FIZYKA (W4 prof. Lidia Maksymowicz)

1. Dynamika bryły sztywnej.

2. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym - energia rotacyjna.

3. Równanie ruchu bryły sztywnej (Eulera).

Ad 1.)

Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze stałe odległości:

r_i - r_j = r_ij

Wynika stąd, że podczas ruchu układ punktów materialnych, który tworzy tą bryłę sztywną, porusza się jako całość o nie zmieniającej się postaci i objętości.

Bryła sztywna w ruchu swobodnym (żadnych ograniczeń) posiada 6 stopni swobody, gdy na ruch bryły sztywnej nałożymy więzy wówczas nie traktujemy jej jako ciało swobodne. Dla "p" niezależnych więzów liczba stopni swobody bryły sztywnej jest równa :

f = 6 - p

1.) Ruch postępowy.

Jeżeli dowolna prosta przeprowadzona przez bryłę sztywną porusza się równolegle do siebie samej to wówczas wektory prędkości wszystkich punktów ciała są w danej chwili jednakowe i ruch taki rozumiemy przez ruch postępowy bryły sztywnej.

2.) Ruch obrotowy.

Wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej, prosta ta nazywa się chwilową osią obrotu, gdy oś ma stałe położenie w czasie to wówczas mówimy o stałej osi obrotu.

Relacja prędkości liniowej "n -tego" punktu bryły sztywnej :

V _n = ω × r _n (1)

Dla każdej bryły sztywnej, niezależnie od jej kształtu, istnieją 3 ortogonalne kierunki, dla których moment pędu L jest równoległy do osi obrotu (L || ω). Gdy bryła sztywna posiada jakąś symetrię to te osie symetrii są osiami głównymi.

M = dL / dt - dla punktu materialnego

M - moment sił

L - moment pędu

Ponieważ w ruchu obrotowym istotną wielkością jest moment pędu dlatego w dalszym ciągu zajmiemy się wyliczaniem tej wielkości.

ω jest chwilową osią obrotu i zarazem prędkością kątową ciała w ruchu obrotowym względem osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Prędkość liniowa "n -tej" cząstki bryły sztywnej (1) gdzie r jest odległością tej cząstki od osi obrotu.

L = r × (m V) - przypadek klasyczny

L = Σ_(n) m _n (r _n × V) (2)

L = Σ_(n) m _n [r _n × (ω × r _n)] (3)

L = Σ_(n) m _n [ω(r _n ° r _n) - r _n (r _n ° ω)]

L = Σ_(n) m _n [ω r _n² - r _n (r _n ° ω)] (4)

L = Σ_(n) m _n [i ω r _n² + j ω r _n² + k ω r _n² - (i x _n + j y _n + k z _n) (x _n ω_X + y _n ω_Y + z _n ω_Z)] (5)

L = i L_X + j L_Y + k L_Z (6)

L_X = Σ_(n) m _n [ω_X r _n² - x _n (x _n ω_X + y _n ω_Y + z _n ω_Z)] (6a)

L_Y = Σ_(n) m _n [ω_Y r _n² - y _n (x _n ω_X + y _n ω_Y + z _n ω_Z)] (6b)

L_Z = Σ_(n) m _n [ω_Z r _n² - z _n (x _n ω_X + y _n ω_Y + z _n ω_Z)] (6c)

W równaniach (6a), (6b), (6c) grupujemy prawą stronę według współczynnika przy ω_X, ω_Y, ω_Z :

L_X = ω_X Σ_(n) m _n (r _n² - x _n²) - ω_Y Σ_(n) m _n x _n y _n - ω_Z Σ_(n) m _n x _n z _n (7a)

L_Y = ω_Y Σ_(n) m _n (r _n² - y _n²) - ω_X Σ_(n) m _n y _n x _n - ω_Z Σ_(n) m _n y _n z _n (7b)

L_Z = ω_Z Σ_(n) m _n (r _n² - z _n²) - ω_X Σ_(n) m _n z _n x _n - ω_Y Σ_(n) m _n z _n y _n (7c)

współrzędne w (7a) przy ω_X, ω_Y, ω_Z charakteryzują rozkład masy bryły sztywnej względem wybranej osi obrotu. Czyli są to wielkości, które zależą również od chwilowych orientacji bryły sztywnej względem układu współrzędnych. Nie zależą one od czasu! Wielkości te noszą nazwę współczynnika bezwładności lub momentów bezwładności. I_XX to "x -owa" składowa momentu pędu przy "x -owej" składowej ω

I_XX = Σ_(n) m _n (r _n² - x _n²)

I_XY = Σ_(n) m _n x _n y _n

I_XZ = Σ_(n) m _n x _n z _n (8a)

I_YY = Σ_(n) m _n (r _n² - y _n²)

I_YX = Σ_(n) m _n y _n x _n

I_YZ = Σ_(n) m _n y _n z _n (8b)

I_ZZ = Σ_(n) m _n (r _n² - z _n²)

I_ZX = Σ_(n) m _n z _n x _n

I_ZY = Σ_(n) m _n z _n y _n (8c)

Stosując ten definicyjny zapis mamy następujący układ równań na składowe momentu pędu :

L_X = I_XX ω_X + I_XY ω_Y + I_XZ ω_Z (9a)

L_Y = I_YX ω_X + I_YY ω_Y + I_YZ ω_Z (9b)

L_Z = I_ZX ω_X + I_ZY ω_Y + I_ZZ ω_Z (9c)

Z powyższych wzorów wynika, że w ogólnym przypadku wektor L nie jest równoległy do wektora ω.

Najprostszą bryłą sztywną jest kula, dla której zawsze L || ω ze względu na sferyczną symetrię kuli.

z (9a-c) wynika, że moment bezwładności w najbardziej ogólnym przypadku posiada 9 składowych i zapisać go można jako macierz :

I_XX, I_XY, I_XZ

I = I_YX, I_YY, I_YZ

I_ZX, I_ZY, I_ZZ

Moment bezwładności jest tensorem o 9 składowych w przypadku ogólnym. Macierz "I" jest macierzą symetryczną, tzn., że wyrażenia pozadiagonalne są sobie równe :

I_XY = I_YX, I_XZ = I_ZX, I_YZ = I_ZY

Z własności macierzy symetrycznych wiadomo, że dla każdego ciała sztywnego można tak dobrać kierunki osi obrotu, że znikną wszystkie wyrazy pozadiagonalne i wówczas przyjmuje się zapis :

I_XX = I_X, I_YY = I_Y, I_ZZ = I_Z

I_X, 0, 0

I = 0, I_Y, 0

0, 0, I_Z

Dla ciała symetrycznego zaznaczamy :

I_X jako I₁, I_Y jako I₂, I_Z jako I₃

i wtedy 1, 2, 3 noszą nazwę osi głównych bryły sztywnej.

Właściwie dla bryły sztywnej należy operować pojęciem całki a nie sumy. Jeżeli bryłę sztywną traktujemy jako ciągłą formę materii to wówczas musimy korzystać z zapisu całkowego :

I_XX = ∫ ρ(r) (r² - x²) dV

I_XY = ∫ ρ(r) x y dV

I_XZ = ∫ ρ(r) x z dV (8a.1)

I_YY = ∫ ρ(r) (r² - y²) dV

I_YX = ∫ ρ(r) y x dV

I_YZ = ∫ ρ(r) y z dV (8b.1)

I_ZZ = ∫ ρ(r) (r² - z²) dV

I_ZX = ∫ ρ(r) z x dV

I_ZY = ∫ ρ(r) z y dV (8c.1)

Moment bezwładności (każda składowa) dla danego ciała jest dobrze kreślony, gdy znamy oś obrotu (chwilową lub stałą).

Momenty bezwładności niektórych brył sztywnych. (rys 1)

Twierdzenie Steinera.

I_XX = I_XX^O + a² Σ_(n) m _n

Moment bezwładności (I_XX) dowolnego ciała wirującego dookoła osi równoległej do osi "x -ów" oddalonej o "a" od środka masy (np. wzdłuż osi "y -ów") jest równy momentowi bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy (I_XX^O) zwiększony o iloczyn całkowitej masy i kwadratu odległości osi obrotu od środka masy.

Rozważmy obręcz, która się obraca wokół osi przechodzącej przez środek masy ale nie będącej osią symetrii : (rys 2)

ω = ω_|| + ω_⊥ (10)

L = L_|| + L_⊥ (11)

Dla obręczy : I_|| = m r², I_⊥ = (1/2)(m r²)

L_|| = I_|| ω_||

L_⊥ = I_⊥ ω_⊥

(L_⊥ / L_||) = (I_⊥ ω_⊥) / (I_|| ω_||) = (m r² ω_⊥) / [(1/2)(m r² ω_||)] = (2ω_⊥) / (ω_||)

Z tego wynika, że składowe wektora L nie są równe składowym ω, czyli z własności wektorów wynika, że wektor L nie jest równoległy do wektora ω.

Ad 2.)

E_K = (1/2) mV²

Korzystając z definicji energii kinetycznej zapisujemy dla bryły sztywnej :

E_K = (1/2) Σ_(n) m_n V_n² = (1/2) m_n Σ_(n)(ω×r_n)² = (1/2) Σ_(n) m_n (ω×r_n) (ω×r_n)

Np.

Energia kinetyczna kuli jednorodnej rotującej wzdłuż osi "z-ów" [ω||OZ, ω(0,0,ω), r_n(x_n, y_n, z_n)], jeżeli równanie na energię rotacyjną rozwiązujemy dla tego przypadku kuli jednorodnej to dostaniemy :

E_K = (1/2) Σ_(n) m_n (x_n² + y_n²) ω² = (1/2) ∫ ρ(r) (x² + y²) ω² dV

I_ZZ = m_n (r_n² - z_n²) = Σ_(n) m_n (x_n² + y_n²)

Energia kinetyczna jednorodnej kuli rotującej wokół osi "z-ów" :

E_K = (1/2) I_ZZ ω²

Dla ciała o dowolnym kształcie i gdy chwilowa oś obrotu posiada 3 składowe energia rotacyjna wynosi :

E_K = (1/2) (I_XX ω_X² + I_YY ω_Y² + I_ZZ ω_Z² +2I_XY ω_X ω_Y +2I_XZ ω_X ω_Z +2I_YZ ω_Y ω_Z)

Dla przypadku, gdy układ współrzędnych pokrywa się z osiami głównymi energia rotacyjna wynosi :

! E_K = (1/2) (I₁ ω₁² + I₂ ω₂² + I₃ ω₃²)

Ad 3.)

M = dL / dt - dla punktu materialnego

Traktowane dla punktu w ruchu obrotowym jest zapisane dla inercjalnego układu odniesienia, współczynniki momentu bezwładności "I" najwygodniej jest wyliczyć w układzie osi, które są sztywno związane z obracającym się ciałem, czyli w układzie nie inercjalnym. Korzystamy tutaj z transformacji przekształcenia wektora przy przejściu z układu nieruchomego do układu obracającego się.

(dL /dt)_I = (dL / dt) + ω×L = M (1)

L jest określony poprzez współczynniki momentu bezwładności wyliczone w układzie wirującym. Układ odniesienia pokrywa się z osiami głównymi 1, 2, 3 bryły sztywnej.

L(L₁, L₂, L₃)

L₁ = I₁ ω₁

L₂ = I₂ ω₂

L₃ = I₃ ω₃

M₁ = (dL₁ / dt) + (ω₂ L₃ - ω₃ L₂) (2a)

M₂ = (dL₂ / dt) + (ω₃ L₁ - ω₁ L₃) (2b)

M₃ = (dL₃ / dt) + (ω₁ L₂ - ω₂ L₁) (2c) Równania Eulera

M₁ = I₁ (dω₁ / dt) + ω₂ ω₃ (I₃ - I₂) (3a)

M₂ = I₂ (dω₂ / dt) + ω₃ ω₁ (I₁ - I₃) (3b)

M₃ = I₃ (dω₃ / dt) + ω₁ ω₂ (I₂ - I₁) (3c) Równania Eulera dla osi 1, 2, 3

Równania Eulera stosuje się do rozwiązywania różnych zagadnień ruchu bryły sztywnej.

Np. 1

Precesja kuli jednorodnej bez działania momentu sił zewnętrznych (precesja kuli swobodnej).

Z: M = 0

I₁ = I₂ = I₃ = I

Wykorzystujemy (3a-c)

I₁ (dω₁ / dt) = 0 ⇒ dω₁ / dt = 0 ⇒ ω₁ = const ⇒ ω = const

Precesja kuli jednorodnej jest stała w czasie i przestrzeni i jest to szczególna cecha wirującej swobodnie kuli.

Np. 2

Swobodnie wirujący bąk symetryczny. (rys 3)

Z: M = 0

I₁ = I₂ ≠ I₃

z (3c) ⇒ I₃ (dω₃ / dt) = 0 ⇒ ω = const

z (3a) ⇒ (dω₁ / dt) + ω₂ ω₃ (I₃ - I₂) / I₂ = 0

z (3b) ⇒ (dω₂ / dt) - ω₁ ω₃ (I₃ - I₂) / I₂ = 0

Podstawiając za :

Ω = ω₃ (I₃ - I₂) / I₂

Otrzymujemy :

(dω₁ / dt) + Ω ω₂ = 0

(dω₂ / dt) - Ω ω₁ = 0

Dla takiego układu równań różniczkowalnych rozwiązania są takie :

ω₁ = A cos Ωt

ω₂ = A sin Ωt ; A = const

Składowa prędkości kątowej prostopadłej do osi symetrii "z" wirującego bąka obraca się z prędkością kątową Ω, czyli ω wiruje jednostajnie z prędkością kątową Ω dookoła osi bąka "z".

Bąk symetryczny, wirujący dookoła swojej osi z prędkością kątową ω₃ w wolnej od działania sił zewnętrznych przestrzeni wiruje kołysząc się jednostajnie z częstością Ω.

---