wyklad5, DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH


4.5.3. Lewar - zjawisko kawitacji

Na rys.4.6. przedstawiono przepływ cieczy w rurce ze zbiornika górnego do zbiornika dolnego po uprzednim zassaniu cieczy. Zakrzywioną rurkę wprowadzoną jednym końcem do naczynia (górnego), w celu umożliwienia wypływu cieczy nazywamy lewarem.

Napiszmy równanie Bernoulli'ego dla przekrojów „0” i „2”strugi cieczy.

0x01 graphic
(4.67)

Założymy, że pole powierzchni swobodnej w zbiorniku górnym S0 jest dużo większe od przekroju rurki lewara f. Wykorzystując równanie ciągłości (4.55) mamy:

0x01 graphic

Wtedy średnia prędkość przepływu w lewarze:

0x01 graphic
(4.68)

0x01 graphic

Rys.4.6. Lewar.

Z kolei, z równania Bernoulli'ego zapisanego dla przekrojów „1” i „2”

0x01 graphic
(4.69)

wynika, że ciśnienie w przekroju „1” lewara wynosi:

0x01 graphic
(4.70)

Wyciągamy zatem wniosek, że p1<p0

Przy pewnej, dostatecznie dużej wysokości h ciśnienie p1 może obniżyć się do ciśnienia wrzenia pv w temperaturze otoczenia i zaczną wytwarzać się pęcherzyki pary w kolanie lewara (przekroju „1”).

Po wytworzeniu się pary ciśnienie wzrasta i następuje jej skroplenie. Zjawisko takie, mające charakter okresowo zmienny nazywamy kawitacją. Towarzysząca kawitacji korozja i drgania akustyczne są zjawiskami niepożądanymi i niebezpiecznymi, których należy unikać.

4.5.4. Wypływ ustalony cieczy ze zbiornika przez mały otwór

0x01 graphic

Rys.4.7. Ustalony wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór.

Zbadajmy ustalony (rys.4.7) wypływ cieczy ze zbiornika przy założeniu, że przekrój otworu wypływowego jest mały.

Warunkiem gwarantującym stacjonarność wypływu jest stałość poziomu cieczy w zbiorniku, tj. h= const. Warunek ten spełniony jest wtedy, gdy strumienie objętościowe cieczy: wpływającej i wypływającej ze zbiornika są takie same. Oznacza to, że 0x01 graphic
.

Z równania Bernoulli'ego zapisanego dla przekrojów „0” i „1” (rys.4.7)

0x01 graphic
(4.71)

wynika, że

0x01 graphic
(4.72)

W przypadku, gdy 0x01 graphic
mamy:

0x01 graphic
(4.73)

Jest to, tzw. wzór Toricellego, określający teoretyczną prędkość wypływu cieczy doskonałej.

0x01 graphic

Rys.4.7. Ustalony wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór.

Prędkość wypływu cieczy rzeczywistej obliczyć można za pomocą wzoru

0x01 graphic
(4.74)

gdzie ϕ - współczynnik poprawkowy prędkości uwzględniający lepkość płynu i charakter wypływu.

Rzeczywisty wydatek wypływu (rys.4.7) wynosi

0x01 graphic
(4.75)

0x01 graphic

Rys.4.8. Zjawisko kontrakcji.

Wprowadzając tzw. współczynnik poprawkowy kontrakcji

0x01 graphic
(4.76)

otrzymujemy wzór określający objętościowy strumień wypływu cieczy rzeczywistej:

0x01 graphic
(4.77)

gdzie

0x01 graphic
(4.78)

jest tzw. współczynnikiem poprawkowym wydatku wypływu.

4.5.5. Czas wypływu nieustalonego cieczy ze zbiornika przez mały otwór

Wypływ nieustalony cieczy ze zbiornika (rys.4.9.) ma miejsce wtedy, gdy:

1/ 0x01 graphic
- poziom cieczy w zbiorniku opada,

2/ 0x01 graphic
- poziom cieczy w zbiorniku podnosi się.

0x01 graphic

Rys.4.9. Nieustalony przepływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór.

Bilans masy cieczy wypływającej i dopływającej do zbiornika w czasie dt jest następujący:

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

Czas częściowego opróżniania zbiornika obliczyć, zatem, można za pomocą wzoru:

0x01 graphic
(4.79)

Czas całkowitego opróżniania zbiornika określa z kolei wzór:

0x01 graphic
(4.80)

4.6. Zasada pędu w mechanice płynów

Rozważmy ustalony ruch płynu nieściśliwego (rys.4.10).

0x08 graphic

Rys.4.10. Obszar płynny płynu

Pęd elementu płynu o objętości dV:

0x01 graphic
(4.81)

Pęd bryły cieczy o objętości płynnej V wynosi:

0x01 graphic
(4.82)

Zgodnie z zasadą pędu mamy:

0x01 graphic
(4.83)

lub, po kolejnych przekształceniach:

0x01 graphic

Ponieważ jednak założyliśmy wcześniej, że ruch cieczy jest ustalony, zatem:

0x01 graphic

Zrzutujemy to równanie w kierunku osi x. Mamy:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
(4.84)

Pochodną

0x01 graphic
obliczyć, zatem można w sposób następujący:

0x01 graphic
(4.85)

Wracając do równania (4.83) otrzymujemy wzór:

0x01 graphic
(4.86)

lub

0x01 graphic
(4.87)

Wzór (4.87) opisuje tzw. reakcję hydrodynamiczną, (napór hydrodynamiczny), tj. sięłę poruszająca się ciecz oddziaływa na ściankę ciała stałego.

4.7. Napór hydrodynamiczny cieczy na ściankę krzywaka

Zakrzywiony przewód o zmiennym przekroju poprzecznym (rys.4.10) nazywać będziemy krzywakiem.

0x01 graphic

Rys.4.11. Ruch jednowymiarowy cieczy w krzywaku.

Zgodnie z zasadą pędu:

0x01 graphic
(4.88)

Zatem w rozważanym przypadku

0x01 graphic
(4.89)

Ponieważ powierzchnia ograniczająca rozważany obszar

0x01 graphic
(4.90)

otrzymujemy:

0x01 graphic
(4.91)

Ale

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic
(4.92)

Oznaczmy 0x01 graphic
; jest to reakcja hydrodynamiczna (napór hydrodynamiczny cieczy na ściankę krzywaka). W świetle powyższego, po przekształceniu równania (4.92) otrzymujemy wzór opisujący wypadkowy wektor reakcji hydrodynamicznej na ścianki krzywaka.

0x01 graphic
(4.92a)

Zakładając, że krzywak usytuowany jest w płaszczyźnie xy, możemy obliczyć składowe reakcji hydrodynamicznej:

0x01 graphic

(4.93)

4.8. Zasada, krętu w mechanice płynów

Podobnie jak w p.4.6. rozważymy ustalony ruch płynu nieściśliwego o objętości V.

0x08 graphic

Rys.4.10. Obszar płynny płynu

Kręt elementu o objętości dV (rys.4.10).

0x01 graphic
(4.95)

lub

0x01 graphic
(4.96)

Zgodnie z zasadą krętu:

0x01 graphic
(4.97)

Zatem

0x01 graphic
(4.98)

Ale

0x01 graphic
(4.99)

Po zrzutowaniu równania (4.98) w kierunku osi x ,mamy:

0x01 graphic
(4.100)

Z kolei, zgodnie z założeniem nieściśliwości płynu ρ=const, otrzymujemy:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
(4.101)

i następnie

0x01 graphic
(4.102)

Zasadę krętu w mechanice płynów sformułować można w postaci równania:

0x01 graphic
(4.103)

gdzie 0x01 graphic
jest momentem głównym sił zewnętrznych działających na rozważany obszar płynu. Moment reakcyjny:

0x01 graphic
. (4.104)

5. DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH

5.1. Klasyczne doświadczenie Reynoldsa.

0x01 graphic

Rys.5.1. Doświadczenie Reynoldsa; schemat stanowiska doświadczalnego.

Reynolds zauważył, po raz pierwszy, że bezwymiarowe wyrażenie,

0x01 graphic
(5.1)

nazwane później na cześć Reynoldsa liczbą Reynoldsa, charakteryzuje rodzaj przepływu.

1) W przypadku, gdy liczba Reynoldsa 0x01 graphic
ma miejsce tzw. przepływ laminarny (rys.5.2),tzn. zabarwiona struga cieczy nie miesza się z cieczą bezbarwną, czyli wszystkie elementy płynu poruszają się równolegle do głównego kierunku przepływu. Między sąsiadującymi ze sobą warstewkami cieczy nie ma makroskopowej wymiany pędu.

0x01 graphic

Rys.5.2. Przepływ laminarny.

  1. W przedziale zmienności liczby Reynoldsa 0x01 graphic
    obserwujemy formę przejściową przepływu (rys.5.3), tzn. struga cieczy zabarwionej przyjmuje kształt falisty.

0x01 graphic

Rys.5.3. Forma przejściowa przepływu.

  1. W szerokim zakresie liczb Reynoldsa 0x01 graphic
    - przepływ jest turbulentny (burzliwy) (rys.5.4), tzn. struga zabarwionej cieczy ulega gwałtownemu rozproszeniu w cieczy bezbarwnej, a zatem występują dodatkowe, pulsacyjne składowe poprzeczne prędkości lokalnej elementów płynu i towarzysząca im makroskopowa wymiana pędu miedzy sąsiadującymi ze sobą warstewkami płynu.

0x01 graphic

Rys.5.4. Przepływ turbulentny.

5.2. Różniczkowe równania ruchu płynu lepkiego wyrażone w naprężeniach

Jak wiadomo stan naprężenia w płynie opisany jest tensorem 2-go rzędu. Wyodrębnijmy element poruszającego się płynu rzeczywistego

0x08 graphic

Rys.5.5. Naprężenia działające na wyodrębniony element płynu.

Zgodnie z (1.34) na każdą ze ścianek przechodzących przez punkt A(x,y,z), (rys.5.5) po odrzuceniu otaczającego płynu, działają naprężenia:

0x01 graphic
(5.2)

0x08 graphic

Rys.5.6. Bilans składowych sił powierzchniowych w kierunku osi x.

Natomiast na ścianki elementu przechodzące przez odległy od punktu M o elementarną odległość 0x01 graphic
punkt A', działają naprężenia odpowiednio (0x01 graphic
), (0x01 graphic
),(0x01 graphic
).

Z bilansu sił powierzchniowych i masowych (nie zaznaczonych na rys.5.6) w kierunku osi x wynika następujące równanie:

0x01 graphic

0x01 graphic
(5.3)

Dwa ostatnie wyrażenia w równaniu (5.3) są małymi wyższego rzędu w porównaniu z pozostałymi; można je zatem zaniedbać.

Po napisaniu podobnych równań wynikających z bilansu wszystkich sił działających na element płynu w kierunkach osi y i z i ich uporządkowaniu otrzymujemy układ różniczkowych równań ruchu płynu rzeczywistego wyrażonych w „naprężeniach”.

0x01 graphic
(5.4)

5.3.Postulat Boltzmanna

Zgodnie z zasadą krętu (rys.5.5),

0x01 graphic
(5.5)

lub

0x01 graphic
(5.6)

Dokonajmy kolejnych przekształceń równania (5.6), zrzutowanego w kierunku osi x, zakładając że gęstość płynu ρ=const.:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
(5.7)

Postępując podobnie, tzn. rzutując równanie (5.6) w kierunkach osi: y i z a następnie uwzględniając w nich równania (5.4) otrzymujemy związki, które nazywane są w literaturze przedmiotu postulatem Boltzmana:

0x01 graphic
(5.8)

Z równań (5.8) wynika, że

tensor naprężenia w płynie jest symetryczny,

tzn.,

0x01 graphic
(5.9)

5.4. Równania konstytutywne

Rozłóżmy tensor naprężenia 0x01 graphic
(5.9) na aksjator i dewiator naprężenia:

0x01 graphic
(5.10)

gdzie naprężenie średnie oznacza ujemną wartość ciśnienia hydrostatycznego

0x01 graphic
(5.11)

lub

0x01 graphic
5.11b)

Aksjator naprężenia, występujący w równaniu (5.10) Wyrażony jest następująco:

0x01 graphic
(5.12)

Dewiator naprężenia określony jest natomiast za pomocą wzoru:

0x01 graphic
(5.13)

Przedstawmy z kolei tensor prędkości deformacji 0x01 graphic
w postaci sumy aksjatora i dewiatora, tj.

0x01 graphic
(5.14)

tj.

0x01 graphic
0x01 graphic
(5.15)

Gdzie aksjator prędkości odkształcenia

0x01 graphic
(5.16)

i dewiator prędkości odkształcenia

0x01 graphic
(5.17)

przy czym oznaczenia występujące we wzorach (5.15)-(5.17) są zgodne z definicjami (3.59).

Zgodnie z uogólnioną hipotezą Newtona:

Dewiator naprężenia jest wprost proporcjonalny do dewiatora prędkości odkształcenia.

tj.

0x01 graphic
(5.18)

gdzie 0x01 graphic
- dynamiczny współczynnik lepkości.

Po rozpisaniu (5.18) otrzymujemy tzw. związki fizyczne lub równania konstytutywne:

0x01 graphic
0x01 graphic
(5.19)

5.5. Równania Naviera - Stokesa

Równania różniczkowe ruchu płynu wyrażone w naprężeniach (5.4), równanie ciągłości i równania konstytutywne tworzą zamknięty układ 10-ciu równań z dziesięcioma niewiadomymi pxx, pyy, pzz, pxy, pyz, pzx, vx, vy, vz, p.

Wyeliminujmy składowe naprężeń z równań (5.4) wprowadzając doń związki fizyczne (5.19). W przypadku pierwszego z równań (5.4) mamy:

0x01 graphic
0x01 graphic

i dalej:

0x08 graphic

0x01 graphic

Postępując analogicznie otrzymujemy równania Naviera Stokesa:

0x01 graphic
(5.20)

które uzupełnione jest równaniem ciągłości:

0x01 graphic
3.38a)

lub w zapisie wektorowym:

0x01 graphic
5.20a)

i

0x01 graphic
(3.38)

5.6. Przypadki szczególne równań Naviera - Stokesa:

1/ W przypadku płynu ruchu płynu nieściśliwego 0x01 graphic
mamy:

0x01 graphic
(5.21)

Uzupełnione ono jest równaniem ciągłości

0x01 graphic
(5.22)

2/ W przypadku ruchu potencjalnego, płynu nieściśliwego

0x01 graphic
(5.23)

lub płynu doskonałego (nielepkiego), równania Naviera - Stokesa sprowadzają się do równań Eulera, ruchu płynu doskonałego, tj.

0x01 graphic
(4.3)

3/ W szczególnym przypadku płynu znajdującego się w stanie równowagi (0x01 graphic
), równania (5.20) upraszczają się do równań Eulera:

0x01 graphic
(2.5)

W celu rozwiązania równań Naviera - Stokesa należy podać:

  1. warunki początkowe (jeżeli ruch jest nieustalony), tzn. w chwili t=0 przyjąć postać funkcji vi = vi(xk, 0),

  2. warunki brzegowe, sprowadzające się do warunku zerowania się składowej normalnej prędkości na granicy zetknięcia cieczy z ciałem stałym, oraz warunku równości składowej stycznej prędkości cieczy z prędkością punktu ciała, w którym ciecz styka się z ciałem stałym.

Równania Naviera -Stokesa i równanie ciągłości we współrzędnych cylindrycznych (rys.5.7) mają postaci:

0,

0x01 graphic
(5.24)

Natomiast równanie ciągłości:

0x01 graphic
(5.25)

Operator Laplace'a w równaniach (5.24) ma postać:

0x01 graphic
(5.26)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Dynamika płynów rzeczywistych
DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH
Dynamika plynow doskonałych i rzeczywistych
Dynamika plynow, bio, Chemia, Biofizyka, Toksykologia, Wykład PWrocławska
Ostatni wykład z Dynamiki
dynamika plynow poziomo
antropologia Wykład 2. DYNAMIKA ZJAWISK KULTURY; KULTURA I OSOBOWOŚĆ – WZAJEMNE RELACJE
Wyklad1, STATYKA PŁYNÓW
Elementy statyki i dynamiki płynów
4 Podstawowe równwnia dynamiki płynów nielepkich 5
Wykł 09 Statyka i dynamika płynów
statyka i dynamika plynow(1)
Dynamika plynow 13 14
4 Podstawowe równwnia dynamiki płynów nielepkich

więcej podobnych podstron