Statyka i dynamika

płynów

Wykład 9

STATYKA

Zasady zaliczania w semestrze I

• Przedmiot w tym semestrze jest zaliczany na ostatnich zajęciach
• Zaliczanie w formie pracy pisemnej polega na odpowiedzi na 6

pytań definicyjnych i jedno opisowe.(

Obowiązuje materiał z

kursu i wykładów)

• Podstawą do wpisania do indeksu zaliczenia przedmiotu

jest wcześniejsze zaliczenie ćwiczeń rachunkowych i
kursu.

• Osoby które nie zaliczą przedmiotu na ostatnich zajęciach przed

kolejnym zaliczeniem muszą uzyskać pozytywny wpis z ćwiczeń
i zaliczyć kurs

Terminy zaliczeń

Zaliczenia na ostatnich zajęciach:

Zaliczenia w sesji:

Kolejne terminy poprawkowe:

Statyka płynów

Ciśnienie i gęstość

Prawo Eulera, Pascala

Parcie hydrostatyczne

Wypór i równowaga ciał pływających

Dynamika płynów

Ogólny opis przepływu płynów

Twierdzenie Bernoulli’ego

Dynamiczna siła nośna

             

Statyka i dynamika płynów

Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie
przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny.

Pod

pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy
ciecze i gazy

.

Dla ciał sztywnych, mających określony rozmiar i

kształt, sformułowaliśmy mechanikę ciał sztywnych.

Do rozwiązywania zagadnień z mechaniki

płynów musimy wprowadzić nowy formalizm

ponieważ płyny łatwo zmieniają kształt, a w przypadku
gazów przyjmują objętość równą objętości naczynia.
Wygodnym jest w związku z tym sformułowanie zasad
dynamiki Newtona wraz z prawami opisującymi siły w
szczególny sposób.

            

Ciśnienie i gęstość

Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn

i na ciało stałe polega na tym, że

dla cieczy siła

powierzchniowa musi być za-wsze prostopadła do
powierzchni płynu

podczas gdy w ciele stałym może

mieć dowolny kierunek.

Spoczywający płyn nie może równoważyć sił

stycznych (war-stwy płynu ślizgałyby się po sobie) i
dlatego może zmieniać kształt i płynąć.

Wygodnie jest

więc opisywać siłę działającą na płyn za pomo-cą

ciśnienia p

zdefiniowanego jako wartość siły

prostopadłej działa-jącej na jednostkę
powierzchni

. Ciśnienie jest przekazywane na szty-wne

ścianki naczynia, a także na dowolne przekroje płynów

prostopa-dle

do tych ścianek i przekrojów w każdym

punkcie. Ciśnienie jest wielkością skalarną.

W układzie SI jednostką jest (pascal), 1 Pa = 1 N/m

2

.

Innymi jednostkami są bar (1 bar = 10

5

Pa),

atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm

Hg = 1 atm).

Statyka płynów zajmuje się zagadnieniami
równowagi

i

stateczności

płynów,

nieruchomych

względem

przyjętego

układu

odniesienia,

a

także

siłami

wywieranymi przez płyny na ścianki
zbiorników bądź też na ścianki ciał
zanurzonych w płynie i pozostających w
spoczynku względem niego.

Podstawowe równanie statyki płynów można otrzymać
wprost z równań uzyskanych na gruncie zastosowania
zasady zachowania masy, pędu i energii do
poruszającego się płynu, podstawiając w nich
prędkość równą zeru.

W kursie statyki płynów przyjmuje się, że
omawiane zjawiska są niezależne od czasu. A więc
oprócz przyjęcia, że prędkość przepływu jest równa
zero V = 0 wprowadzimy do wymienionych równań
warunek zerowania pochodnych po czasie,

gdzie F jest dowolnym parametrem opisującym ruch
płynu. W ten sposób z opisu eliminuje się zjawisko
przepływu ciepła w nieruchomym płynie. Podstawowe
równanie opisujące parametr F płynu w stanie
równowagi ma postać:

(10)

W równaniu (10) F jest wektorem o składowych X, Y, Z.

Wektorowe równanie (10) można sprowadzić do
równań skalarnych:

0

t

/

F







gradp



F

z

p

Z

y

p

Y

x

p

X

























Równanie równowagi płynu (10) można

wyprowadzić, rozpatrując różniczkowy sześcian dx dy
dz (rys.7a).

Rozpatrzmy szczegółowo równowagę sił działających w
kierunku osi x. Siła powierzchniowa, będąca iloczynem
ciśnienia (p) i powierzchni (dy dz) na odcinku dx rośnie
od wielkości p dydz do

Kierunki tych sił są zwrócone do powierzchni.

dz

dy

dx

x

p

p



















Element płynu

jest w równowadze, jeżeli rzuty sił na osie układu są
równe zeru, zatem dla kierunku x można napisać:

Analogicznie dla kierunków y i z można napisać:

dz

dy

dx

dV 

0

dz

dy

dx

x

p

p

dz

dy

p

Xdm

























0

dz

dx

dy

y

p

p

dz

dx

p

Ydm

























0

dy

dx

dx

z

p

p

dy

dy

p

Zdm

























Wykorzystując fakt, że masa dm elementu płynnego o
objętości dV wynosi

po dodaniu stronami trzech składowych można
napisać:

(I)

Prawa strona równania (I) jest różniczką zupełną
ciśnienia dp

dp możemy również zapisać jako iloczyn skalarny dwu
wektorów:

gdzie:

(II)

dz

dy

dx

dV

dm













dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

dz

Z

dy

Y

dx

X

























dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

dp



















b

a



dp





k

j

i

a

dz

dy

dx







p

grad

z

p

y

p

x

p

































k

j

i

b

Czyli

Wiedząc, że

prawą stronę równania (I) możemy zapisać:

(III)

Zatem równanie (I) ma postać:

Po uproszczeniu przez a otrzymujemy:
(IV)

Równanie powyższe nosi nazwę równania równowagi
Eulera.

p

grad

dp



a





k

j

i

F

Z

Y

X











a

F











dz

Z

dy

Y

dx

X

a

a

F









p

grad

p

grad



F

Prawo 2.1. (Eulera)

Jeżeli na ciecz znajdującą się w spoczynku działają
siły powie-rzchniowe i masowe, to wielkość
ciśnienia wywieranego na element powierzchniowy
umieszczony w dowolnym punkcie cieczy nie zależy
od orientacji tego elementu.

Prawo 2.1. (Eulera)

Jeżeli na ciecz znajdującą się w spoczynku działają siły
powierzchniowe i masowe, to wielkość ciśnienia
wywieranego na element powierzchniowy umieszczony
w dowolnym punkcie cieczy nie zależy od orientacji
tego elementu.

Siły powierzchniowe są to siły występujące na
abstrakcyjnych

powierzchniach

cieczy

lub

na

powierzchniach ograniczających ciecz. Ich wielkość
jest proporcjonalna do elementu pola powierzchni i nie
jest związana bezpośrednio z masą cieczy. Wektor
każdej siły powierzchniowej można rozłożyć na dwie
składowe: prostopadłą do elementu powierzchni -
parcie P i styczną do powierzchni - tarcie T.

Stosunek siły parcia (P) do powierzchni nacisku (S)
nazywamy

ciśnieniem

p

(niekiedy

średnim

ciśnieniem hydrostatycznym p

śr

),

a stosunek naprężeniem stycznym.

Przykładem siły powierzchniowej jest parcie
atmosferyczne oraz tarcie powierzchniowe.













S

T

Siła masowa jest pojęciem związanym z masą.
Przykładami takiej siły są np. siły proporcjonalne do
masy: ciężar ciała (siła ciążenia), siła bezwładności czy
odśrodkowa.

Prawo Eulera ma podstawowe znaczenie w

statyce płynów. W warunkach naturalnych np. w
atmosferze ziemskiej wektor F ma następujące
składowe:

X = 0

Y = 0

Z = -g

(12)

gdzie: g- przyspieszenie ziemskie. (Oczywiście oś Oz
jest skierowana do góry).

 

W najprostszym przypadku, gdy na płyn nie działają
żadne siły masowe, czyli nie działa również siła
ciężkości, a więc wtedy gdy:

F = 0

(13)

to na podstawie równania równowagi Eulera (10)
otrzymujemy:

grad p = 0

(14)

Wynik ten jest matematycznym zapisem prawa
Pascala

.

Prawo 2.2. (Pascala)

Jeżeli na płyn nie działają siły masowe (mogą działać
siły powierzchniowe), czyli wtedy gdy płyn pozostaje w
spoczynku, to ciśnienie hydrostatyczne (statyczne)
jest stałe w całej masie płynu.

Prawo Pascala stosuje się również do płynów

znajdujących się pod działaniem niewielkich sił masowych,
jeżeli te ostatnie są pomijalnie małe w porównaniu z siłami
pochodzącymi od ciśnień.

2.3 Parcie hydrostatyczne

Definicja 2.1. Parcie hydrostatyczne jest to siła
powierzchniowa, z jaką płyn będący w spoczynku
oddziałuje

na

ścianę

naczynia

lub

ciała

zanurzonego w płynie lub na inny płyn. Siła parcia
jest prostopadła do powierzchni działania A.
Wielkość siły parcia można obliczyć opierając się
na równaniu definiującym ciśnienie

Wobec tego

Podane powyżej rozważania dotyczą przypadku, gdy
jedyną działającą siłą masową jest siła ciężkości.
Występujący w równaniach symbol p należy rozumieć
jako nadciśnienie, czyli różnicę między ciśnieniem
bezwzględnym i atmosferycznym.

dA

dP

p 

pdA

dP

pdA

P

A





2.3 Parcie hydrostatyczne

Pamiętając, że

otrzymujemy

(34)

Scałkujmy równanie (34) po powierzchni A (pomnożymy
obustronnie równanie (34) przez pole A podstawy
zbiornika, w którym znajduje się płyn). Wówczas

h

p

p

1

2











dA

h

p

dA

h

p

dA

p

dP

1

1

2





































A

gh

p

A

h

p

P

A

p

1

1

2















Zauważamy, że

siła parcia P działająca na dno zbiornika

nie zależy od kształtu zbiornika.

Zjawisko to nazywamy to

paradoksem

hydrostatycznym

. Mówi o tym twierdzenie Stewina.

Twierdzenie 2.1. (Stewina)

Wielkość parcia hydrostatycznego na poziomie
dna naczynia zależy od powierzchni (A) dna,
ciężaru objętościowego cieczy () (ciężaru

właściwego) oraz od zagłębienia środka
ciężkości powierzchni dna pod jej zwierciadłem
(h). Nie zależy natomiast od kształtu naczynia,
ani od ilości zawartej w nim cieczy.

Zjawisko to w formie graficznej przedstawione jest na
rysunku.

Parcie w obydwu przypadkach na dno powierzchni A
jest takie samo

.

W-2

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających

Rozpatrując parcie działające na ciało zanurzone w
płynie, łatwo stwierdzić następujące prawidłowości:

1.  wszystkie siły poziome nawzajem się znoszą (P

h

= 0) wobec równości poziomych składowych parcia z
każdej strony bryły,

2. siły pionowe parcia działają ku górze, a składowa
parcia pionowego jest proporcjonalna do objętości
zanurzonej części ciała V .

 

Siła

wypadkowa

,

zwana

siłą

wyporu

hydrostatycznego lub wyporem hydrostatycznym

,

(skierowana pionowo w górę i zaczepiona w środku
wyporu, czyli w geometrycznym środku zanurzonej
części ciała) jest równa iloczynowi objętości
zanurzonej części ciała i ciężaru właściwego cieczy, w
której to ciało jest zanurzone czyli







z

z

V

g

V

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających







z

z

V

g

V

Siła wyporu hydrostatycznego jest to więc siła, z jaką

ciecz działa na ciało w niej zanurzone. Fakt ten
znany jest w fizyce jako

prawo Archimedesa:

Poniżej

podano

dwie

wersje

prawa

Archimedesa:

1. Wersja pierwotna

: Ciało zanurzone w

cieczy traci pozornie tyle na wadze, ile
waży ciecz wyparta przez to ciało.

2. Wersja współczesna

: Na ciało zanurzone

w cieczy działa siła wyporu skierowana
pionowo w górę i liczbowo równa
ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających

Stateczność

ciał pływających tylko pośrednio

zależy od wzajemnego położenia środków ciężkości i
wyporu. Ciało częściowo zanurzone może mieć
stateczność trwałą nawet w przypadkach, gdy środek
ciężkości znajduje się ponad środkiem wyporu. Miarą
stateczności ciała pływającego jest tzw.

wysokość

metacentryczna

m.

Metacentrum (M) jest to punkt przecięcia

osi pływania z kierunkiem siły wyporu, po lekkim
wychyleniu ciała ze stanu równowagi.

W przypadku ciała całkowicie zanurzonego
metacentrum pokrywa się ze środkiem wyporu, a
więc o równowadze takiego ciała decyduje jedynie
wzajemne położenie środków: wyporu B i ciężkości G.

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających

Dla ciała częściowo zanurzonego po wychyleniu
następuje zmiana kształtu bryły wyporu, a więc jej
środek wyporu ulega przesunięciu.

Metacentrum leży powyżej środka wyporu i położenie
jego zależy od kształtu i wielkości bryły. Odległość
środka ciężkości G do metacentrum M (liczona w
górę) nazywa się wysokością metacentryczną m, a jej
znak decyduje o stanie równowagi ciała pływającego:

m > 0 - równowaga stała (stabilna)

m = 0 - równowaga obojętna

m < 0 - równowaga chwiejna

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających

Wniosek 2.1.

Wysokość

metacentryczna

m,

stanowiąca

kryterium stateczności nie zależy od kąta
pochylenia  lecz od kształtu i wielkości

płaszczyzny

pływania,

położenia

środka

ciężkości i środka wyporu oraz od objętości
części zanurzonej ciała pływającego.

Statyka i dynamika

płynów

DYNAMIKA

             

Ogólny opis przepływu płynów

Znane są dwa podejścia do opisu ruchu płynu.

Pierwsze

wymaga

"podzielenia"

płynu

na

nieskończenie małe cząstki (elementy objętości) i
śledzenie tych elementów. Oznacza to, że dla każdej
cząstki mamy współrzędne x, y, z i ich zależność od
czasu. W ten sposób skonstruować można opis ruchu
płynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII w).

Drugie

podejście

zaproponowane

przez

Leonharda Eulera jest bardziej wygodne. Zamiast
opisywać historię każdej z cząstek określamy gęstość
płynu i jego prędkość w każdym punkcie przestrzeni i w
każdej chwili czasu. Czyli podajemy



(x,y,z,t) oraz

v(x,y,z,t). Oznacza to, że koncentrujemy się na
wybranym punkcie przestrzeni w pewnym czasie.

1.2 Pole prędkości i przyspieszenia

Rozważmy

punkt

materialny

opisywany

trzema

parametrami a, b, c. Mogą to być współrzędne x

0

, y

0

, z

0

w

chwili początkowej. Przyjmijmy, że w czasie ruchu
wybranego punktu wartości tych parametrów pozostają
stałe. Współrzędne przestrzenne x, y, z określają położenie
danego elementu w każdej chwili czasu t i są zależne od
parametrów a, b, c oraz od czasu t. Powyższe możemy
zapisać w postaci równania wektorowego:





































t

,

c

,

b

,

a

z

z

t

,

c

,

b

,

a

y

y

t

,

c

,

b

,

a

x

x

t

,

c

,

b

,

a

r

r

gdzie:

r (a, b, c, t) - wektor wodzący, łączący

analizowaną cząstkę płynu z początkiem układu
współrzędnych.

Zmieniając parametry a, b, c będziemy rozpatrywali
położenie różnych cząstek w funkcji czasu

. Budując

równanie (1) dla wszystkich cząstek rozpatrywanego
układu poznamy ruch płynu w całej analizowanej
objętości.

Ustalając parametry a, b, c wybieramy jedną,
określoną cząstkę płynu i wyznaczamy jej położenie
w kolejnych chwilach czasu.

Na

rysunku

1

przedstawione

jest

położenie tej samej cząstki
w chwili t

1

(pkt A) i w chwili

t

2

(pkt. C) oraz położenie

innej cząstki w chwili t

1

(pkt. B).

Przy

ustalonych

wartościach parametrów a,
b, c równanie (1) jest
równaniem
parametrycznym

krzywej,

wzdłuż której porusza się
analizowana cząstka płynu.
Krzywa

AC

(łącząca

punkty

A

i

C)

przedstawiona na rys. 1
nosi nazwę

toru punktu

materialnego

lub

trajektorii

cząstki.

A więc

trajektoria

cząstki

to

krzywa wyznaczona przez
kolejne

położenia

cząstki.





































t

,

c

,

b

,

a

z

z

t

,

c

,

b

,

a

y

y

t

,

c

,

b

,

a

x

x

t

,

c

,

b

,

a

r

r

Zgodnie z prawami obowiązującymi w fizyce klasycznej,
prędkość

elementu

płynu

wzdłuż

wybranej

trajektorii to pochodna cząstkowa równań (1)
względem czasu t (przy zachowaniu stałych wartości
parametrów a, b, c). Różniczkując równanie (1) po czasie
t otrzymujemy:



















































































t

,

c

,

b

,

a

w

t

t

,

c

,

b

,

a

z

w

t

,

c

,

b

,

a

t

t

,

c

,

b

,

a

y

t

,

c

,

b

,

a

u

t

t

,

c

,

b

,

a

x

u

t

t

,

c

,

b

,

a

r

V

Z kolei, przyspieszenie a cząstki płynu o stałych
parametrach a, b, c otrzymamy różniczkując równanie
(2) względem czasu. Mianowicie:





















































































2

2

z

2

2

y

2

2

x

t

t

,

c

,

b

,

a

z

t

w

a

t

t

,

c

,

b

,

a

y

t

a

t

t

,

c

,

b

,

a

x

t

u

a

t

t

,

c

,

b

,

a

V

a

Gdzie zgodnie z równaniem (2)

t

z

w

t

y

t

x

u





















Ruch płynu można opisać również w inny sposób

.

Rozwiązując układ równań (1) względem parametrów a,
b, c otrzymamy następujący układ funkcji skalarnych

a = a(x, y, z, t)

b = b(x, y, z, t)

c = c(x, y, z, t)

Podstawiając powyższe wyrażenia do (2) dochodzimy do
związków

















     





t

z

,

t

y

,

t

x

,

t

t

,

z

,

y

,

x

w

w

t

,

z

,

y

,

x

t

,

z

,

y

,

x

u

u

t

t

,

z

,

y

,

x

V

r

V









































Układ ten

w każdej chwili czasu t jest zależny od współrzędnych

x, y, z.

Definiuje on więc przestrzenny rozkład prędkości

płynu w rozważanej masie

, czyli

wektorowe pole

prędkości

.

Właściwości cieczy „płynącej”

Na wstępie rozpatrzmy pewne ogólne

właściwości charaktery-zujące przepływ.

      Przepływ może być

ustalony

(laminarny) lub

nieustalony

. Ruch płynu jest ustalony, kiedy prędkość

płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w
czasie tzn. każda cząstka przechodząca przez dany
punkt zachowuje się tak samo. Warunki takie osiąga się
przy niskich prędkościach.

      Przepływ może być

wirowy

lub

bezwirowy

.

Przepływ jest bezwirowy, gdy w żadnym punkcie
cząstka nie ma wypadkowej prędkości kątowej
względem tego punktu. Można sobie wyobrazić małe
kółko z łopatkami zanurzone w przepływającym płynie.
Jeżeli kółko nie obraca się to przepływ jest bezwirowy,
w przeciwnym razie ruch jest wirowy.

      Przepływ może być

ściśliwy

lub

nieściśliwy

.

Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy (stała



).

Przepływ gazu też może być nieściśliwy tzn. zmiany
gęstości są nieznaczne. Np. ruch powietrza względem
skrzydeł samolotu podczas lotu z prędkością mniejszą
od prędkości głosu.

      Przepływ może być

lepki

lub

nielepki

. Lepkość w

ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał
stałych (lepkość smarów).

W naszych rozważaniach generalnie ograniczymy
się do przepływów ustalonych, bezwirowych,
nieściśliwych i nielepkich. To znacznie upraszcza
matematykę.

5.2 Twierdzenie Bernoulli’ego

Równanie stanowi klasyczne sformułowanie twierdzenia
Bernoulli’ego, które w tym ujęciu brzmi:

Twierdzenie 5.2. (Klasyczne Bernoulli’ego)

W czasie ustalonego przepływu płynu doskonałego
(nieściśliwego) wysokość hydrauliczna h równa

sumie wysokości prędkości ,

wysokości piezometrycznej

i niwelacyjnej

z

jest stała wzdłuż dowolnej linii

prądu lub linii wirowej.

g

2

V

2



p

const

h

p

g

2

V

z

p

g

2

V

z

2

2

2

2

1

2

1

1



















5.3 Równanie Bernoulli’ego dla cieczy

rzeczywistej

Równanie (100) zostało wyprowadzone dla cieczy
doskonałej. Można je stosować przy analizie ruchu
swobodnego płynów rzeczywistych, w których ciecz
graniczy z powietrzem.

W celu wykorzystania równania Bernoulli’ego w
obliczeniach

technicznych

(podczas

gdy

ciecz

przepływa przez turbiny, pompy, koryta otwarte),
należy zastąpić pojęcie płynu doskonałego terminem
cieczy rzeczywistej, czyli musimy uwzględnić opory
ruchu, lepkość itp.

Profil prędkości
(rozkład prędkości w
przekroju
poprzecznym
strumienia)w ruchu
laminarnym

5.3 Równanie Bernoulli’ego dla cieczy

rzeczywistej

Konsekwencją lepkości płynu jest powstawanie
(podczas przepływu) między jego warstwami naprężeń
stycznych

przeciwdziałających

wzajemnemu

przemieszczaniu

warstw.

Przepływowi

płynu

lepkiego

towarzyszy

zawsze

opór

tarcia

hydraulicznego, i w rezultacie całkowita wysokość
hydrauliczna nie jest już stała wzdłuż linii prądu, lecz
ciągle maleje.

Równanie Bernoulli’ego należy zatem uzupełnić o
wyraz, którego wartość liczbowa odpowiada
wysokości strat energetycznych

. W efekcie równanie

Bernoulli’ego dla płynu rzeczywistego przyjmie postać:























straty

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

h

p

g

2

V

z

p

g

2

V

z

Równanie powyższe nazywamy niekiedy

uogólnionym równaniem Bernoulli’ego

       

Dynamiczna siła nośna

Dynamiczna siła nośna

jest to siła jaka działa na np.

skrzydło samolotu, nartę wodną, śmigło helikoptera, i

wywołana jest ruchem tych ciał w płynie

w

odróżnieniu od statycznej siły nośnej, która jest siła
wyporu działającą np. na balon czy statek zgodnie z
prawem Archimedesa.
Na rysunku poniżej pokazane są schematycznie linie
prądu wokół skrzydła samolotu.

v

g

>

v

d

Linie prądu

są gęściej

jak pod

skrzydłem

Analizując te linie prądu zauważymy, że ze względu na
ustawienie skrzydła (kąt natarcia)

linie prądu nad

skrzydłem są rozmieszczone gęściej

niż pod

skrzydłem.

Tak więc

v

g

ponad skrzydłem jest

większa

niż pod skrzydłem v

d

a to oznacza zgodnie z

prawem Bernoulliego, że ciśnienie nad skrzydłem jest
mniejsze od ciśnienia pod skrzydłem i otrzymujemy
wypadkową siłę nośną F skierowaną ku górze

.

Wynika to również z trzeciej zasady dynamiki Newtona.
Prędkość v

0

powietrza zbliżającego się do skrzydła jest

pozioma podczas gdy powietrze za skrzydłem jest
skierowane na ukos w dół (składowa pionowa). Oznacza
to, że skrzydło pchnęło powietrze w dół więc w reakcji
powietrze pchnęło skrzydło do góry.

const

h

p

g

2

V

z

p

g

2

V

z

2

2

2

2

1

2

1

1



















Zaliczenie przedmiotu:

A.Zaliczenie zadań w ramach kursu
B.Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych

C.Praca zaliczająca z teorii

Imię NAZWISKO ………………………………… Grupa ………

C.

Pytania – odpowiedzi powinny być krótkie ale pełne, muszą
zawierać opis wszystkich użytych we wzorach oznaczeń np. a=
przyspieszenie, k – stała sprężystości, …)
1. Podaj wzory na drogę i prędkość w ruchu jednostajnie
przyśpieszonym.
2. Omów siły działające w polu grawitacyjnym.
3. Podaj definicję momentu siły, momentu bezwładności.
4. Podaj wzór na skrócenie długości i dylatacje czasu.
5. Co wiesz o rezonansie.
6. Na czym polega paradoks hydrostatyczny (twierdzenie Stewina).

Pytanie – zagadnienie opisowe – odpowiedz powinna być nie
krótsza jak 1 strona.

a.Omów prawo Archimedesa i równowagę ciał pływających.

UWAGA PISZ STARANNIE

Dodatkowe terminy zaliczeń w sesji:

Najprawdopodobniej

12 luty,
13 luty

godz. 9.50 AULA F

Kolejne terminy w sesji poprawkowej i w czasie

semestru letniego zostaną podane w terminie

późniejszym

(informacje będą na wykładzie i tablicy w budynku

5)