Statyka i dynamika płynów

Ciśnienie i gęstość

Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn

i na ciało stałe polega na tym, że

dla cieczy siła

powierzchniowa musi być za-wsze prostopadła do
powierzchni płynu

podczas gdy w ciele stałym może

mieć dowolny kierunek.

Spoczywający płyn nie może równoważyć sił

stycznych (war-stwy płynu ślizgałyby się po sobie) i
dlatego może zmieniać kształt i płynąć.

Wygodnie jest

więc opisywać siłę działającą na płyn za pomo-cą

ciśnienia p

zdefiniowanego jako wartość siły

prostopadłej działa-jącej na jednostkę
powierzchni

. Ciśnienie jest przekazywane na szty-wne

ścianki naczynia, a także na dowolne przekroje płynów

prostopa-dle

do tych ścianek i przekrojów w każdym

punkcie. Ciśnienie jest wielkością skalarną.

W układzie SI jednostką jest (pascal), 1 Pa = 1 N/m

Innymi jednostkami są bar (1 bar = 10

Pa),

atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm

Hg = 1 atm).

Statyka płynów zajmuje się zagadnieniami
równowagi

stateczności

płynów,

nieruchomych

względem

przyjętego

układu

odniesienia,

także

siłami

wywieranymi  przez  płyny  na  ścianki
zbiorników  bądź  też  na  ścianki  ciał
zanurzonych  w  płynie  i  pozostających  w
spoczynku względem niego.

Podstawowe równanie statyki płynów można otrzymać
wprost z równań uzyskanych na gruncie zastosowania
zasady zachowania masy, pędu i energii do
poruszającego się płynu, podstawiając w nich
prędkość równą zeru.

W  kursie  statyki  płynów  przyjmuje  się,  że
omawiane  zjawiska  są  niezależne  od  czasu.  A  więc
oprócz  przyjęcia,  że  prędkość  przepływu  jest  równa
zero  V  =  0  wprowadzimy  do  wymienionych  równań
warunek zerowania pochodnych po czasie,

  gdzie  F  jest  dowolnym  parametrem  opisującym  ruch
płynu.  W  ten  sposób  z  opisu  eliminuje  się  zjawisko
przepływu  ciepła  w  nieruchomym  płynie.  Podstawowe
równanie  opisujące  parametr  F  płynu  w  stanie
równowagi ma postać:

(10)

W równaniu (10) F jest wektorem o składowych X, Y, Z.

Wektorowe równanie (10) można sprowadzić do
równań skalarnych:





gradp



F



















Równanie równowagi płynu (10) można

wyprowadzić, rozpatrując różniczkowy sześcian dx dy
dz (rys.7a).

Rozpatrzmy szczegółowo równowagę sił działających w
kierunku osi x. Siła powierzchniowa, będąca iloczynem
ciśnienia (p) i powierzchni (dy dz) na odcinku dx rośnie
od wielkości p dydz do

Kierunki tych sił są zwrócone do powierzchni.







Element płynu

jest w równowadze, jeżeli rzuty sił na osie układu są
równe zeru, zatem dla kierunku x można napisać:

Analogicznie dla kierunków y i z można napisać:

dV 

Xdm













Ydm



















Zdm













Wykorzystując fakt, że masa dm elementu płynnego o
objętości dV wynosi

po dodaniu stronami trzech składowych można
napisać:

(I)

Prawa strona równania (I) jest różniczką zupełną
ciśnienia dp

dp możemy również zapisać jako iloczyn skalarny dwu
wektorów:

gdzie:

(II)









































a











grad























Czyli

Wiedząc, że

prawą stronę równania (I) możemy zapisać:

(III)

Zatem równanie (I) ma postać:

Po uproszczeniu przez a otrzymujemy:
(IV)

Równanie powyższe nosi nazwę równania równowagi
Eulera.

grad



a













F

















grad



F

Prawo 2.1. (Eulera)

Jeżeli na ciecz znajdującą się w spoczynku działają
siły powie-rzchniowe i masowe, to wielkość
ciśnienia wywieranego na element powierzchniowy
umieszczony w dowolnym punkcie cieczy nie zależy
od orientacji tego elementu.

Prawo 2.1. (Eulera)

Jeżeli na ciecz znajdującą się w spoczynku działają siły
powierzchniowe i masowe, to wielkość ciśnienia
wywieranego na element powierzchniowy umieszczony
w dowolnym punkcie cieczy nie zależy od orientacji
tego elementu.

Siły powierzchniowe są to siły występujące na
abstrakcyjnych

powierzchniach

cieczy

lub

powierzchniach  ograniczających  ciecz.  Ich  wielkość
jest proporcjonalna do elementu pola powierzchni i nie
jest  związana  bezpośrednio  z  masą  cieczy.  Wektor
każdej  siły  powierzchniowej  można  rozłożyć  na  dwie
składowe:  prostopadłą  do  elementu  powierzchni  -
parcie P i styczną do powierzchni - tarcie T.

Stosunek siły parcia (P) do powierzchni nacisku (S)
nazywamy

ciśnieniem

(niekiedy

średnim

ciśnieniem hydrostatycznym p

śr

a stosunek naprężeniem stycznym.

Przykładem siły powierzchniowej jest parcie
atmosferyczne oraz tarcie powierzchniowe.



W najprostszym przypadku, gdy na płyn nie działają
żadne siły masowe, czyli nie działa również siła
ciężkości, a więc wtedy gdy:

F = 0

(13)

to na podstawie równania równowagi Eulera (10)
otrzymujemy:

grad p = 0

(14)

Wynik ten jest matematycznym zapisem prawa
Pascala

Prawo 2.2. (Pascala)

Jeżeli na płyn nie działają siły masowe (mogą działać
siły powierzchniowe), czyli wtedy gdy płyn pozostaje w
spoczynku, to ciśnienie hydrostatyczne (statyczne)
jest stałe w całej masie płynu.

Prawo Pascala stosuje się również do płynów

znajdujących się pod działaniem niewielkich sił masowych,
jeżeli te ostatnie są pomijalnie małe w porównaniu z siłami
pochodzącymi od ciśnień.

2.3 Parcie hydrostatyczne

Definicja 2.1. Parcie hydrostatyczne jest to siła
powierzchniowa, z jaką płyn będący w spoczynku
oddziałuje

ścianę

naczynia

lub

ciała

zanurzonego w płynie lub na inny płyn. Siła parcia
jest prostopadła do powierzchni działania A.
Wielkość siły parcia można obliczyć opierając się
na równaniu definiującym ciśnienie

Wobec tego

Podane  powyżej  rozważania  dotyczą  przypadku,  gdy
jedyną  działającą  siłą  masową  jest  siła  ciężkości.
Występujący  w  równaniach  symbol  p  należy  rozumieć
jako  nadciśnienie,  czyli  różnicę  między  ciśnieniem
bezwzględnym i atmosferycznym.

p 

pdA

dP

pdA





2.3 Parcie hydrostatyczne

Pamiętając, że

otrzymujemy

(34)

Scałkujmy równanie (34) po powierzchni A (pomnożymy
obustronnie równanie (34) przez pole A podstawy
zbiornika, w którym znajduje się płyn). Wówczas



















































Zauważamy, że

siła parcia P działająca na dno zbiornika

nie zależy od kształtu zbiornika.

Zjawisko to nazywamy to

paradoksem

hydrostatycznym

. Mówi o tym twierdzenie Stewina.

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających

Rozpatrując parcie działające na ciało zanurzone w
płynie, łatwo stwierdzić następujące prawidłowości:

1. wszystkie siły poziome nawzajem się znoszą (P

= 0) wobec równości poziomych składowych parcia z
każdej strony bryły,

2. siły pionowe parcia działają ku górze, a składowa
parcia pionowego jest proporcjonalna do objętości
zanurzonej części ciała V .

Siła

wypadkowa

zwana

siłą

wyporu

hydrostatycznego lub wyporem hydrostatycznym

(skierowana  pionowo  w  górę  i  zaczepiona  w  środku
wyporu,  czyli  w  geometrycznym  środku  zanurzonej
części  ciała)  jest  równa  iloczynowi  objętości
zanurzonej części ciała i ciężaru właściwego cieczy, w
której to ciało jest zanurzone  czyli







2.4 Wypór i równowaga ciał pływających







Siła wyporu hydrostatycznego jest to więc siła, z jaką

ciecz działa na ciało w niej zanurzone. Fakt ten
znany jest w fizyce jako

prawo Archimedesa:

Poniżej

podano

dwie

wersje

prawa

Archimedesa:

1. Wersja pierwotna

: Ciało zanurzone w

cieczy traci pozornie tyle na wadze, ile
waży ciecz wyparta przez to ciało.

2. Wersja współczesna

: Na ciało zanurzone

w cieczy działa siła wyporu skierowana
pionowo w górę i liczbowo równa
ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

2.4 Wypór i równowaga ciał pływających

Stateczność

ciał pływających tylko pośrednio

zależy  od  wzajemnego  położenia  środków  ciężkości  i
wyporu.  Ciało  częściowo  zanurzone  może  mieć
stateczność  trwałą  nawet  w  przypadkach,  gdy  środek
ciężkości  znajduje  się  ponad  środkiem  wyporu.  Miarą
stateczności  ciała  pływającego  jest  tzw.

wysokość

metacentryczna

Metacentrum (M) jest to punkt przecięcia

osi pływania z kierunkiem siły wyporu, po lekkim
wychyleniu ciała ze stanu równowagi.

W  przypadku  ciała  całkowicie  zanurzonego
metacentrum  pokrywa  się  ze  środkiem  wyporu,  a
więc  o  równowadze  takiego  ciała  decyduje  jedynie
wzajemne położenie środków: wyporu B i ciężkości G.

Ogólny opis przepływu płynów

Znane są dwa podejścia do opisu ruchu płynu.

Pierwsze

wymaga

"podzielenia"

płynu

nieskończenie  małe  cząstki  (elementy  objętości)  i
śledzenie  tych  elementów.  Oznacza  to,  że  dla  każdej
cząstki  mamy  współrzędne  x,  y,  z  i  ich  zależność  od
czasu.  W  ten  sposób  skonstruować  można  opis  ruchu
płynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII w).

Drugie

podejście

zaproponowane

przez

Leonharda  Eulera  jest  bardziej  wygodne.  Zamiast
opisywać  historię  każdej  z  cząstek  określamy  gęstość
płynu i jego prędkość w każdym punkcie przestrzeni i w
każdej  chwili  czasu.  Czyli  podajemy



(x,y,z,t) oraz

v(x,y,z,t). Oznacza to, że koncentrujemy się na
wybranym punkcie przestrzeni w pewnym czasie.

1.2 Pole prędkości i przyspieszenia

Rozważmy

punkt

materialny

opisywany

trzema

parametrami a, b, c. Mogą to być współrzędne x

, y

, z

chwili  początkowej.  Przyjmijmy,  że  w  czasie  ruchu
wybranego  punktu  wartości  tych  parametrów  pozostają
stałe. Współrzędne przestrzenne x, y, z określają położenie
danego  elementu  w  każdej  chwili  czasu  t  i  są  zależne  od
parametrów  a,  b,  c  oraz  od  czasu  t.  Powyższe  możemy
zapisać w postaci równania wektorowego:





















gdzie:

r (a, b, c, t) - wektor wodzący, łączący

analizowaną cząstkę płynu z początkiem układu
współrzędnych.

rysunku

przedstawione

jest

położenie tej samej cząstki
w chwili t

(pkt A) i w chwili

(pkt. C) oraz położenie

innej cząstki w chwili t

(pkt. B).

Przy

ustalonych

wartościach parametrów a,
b, c równanie (1) jest
równaniem
parametrycznym

krzywej,

wzdłuż której porusza się
analizowana cząstka płynu.
Krzywa

(łącząca

punkty

przedstawiona na rys. 1
nosi nazwę

toru punktu

materialnego

lub

trajektorii

cząstki.

A więc

trajektoria

cząstki

krzywa wyznaczona przez
kolejne

położenia

cząstki.





















Zgodnie z prawami obowiązującymi w fizyce klasycznej,
prędkość

elementu

płynu

wzdłuż

wybranej

trajektorii to pochodna cząstkowa równań (1)
względem czasu t (przy zachowaniu stałych wartości
parametrów a, b, c). Różniczkując równanie (1) po czasie
t otrzymujemy:

























































Z kolei, przyspieszenie a cząstki płynu o stałych
parametrach a, b, c otrzymamy różniczkując równanie
(2) względem czasu. Mianowicie:



















































Gdzie zgodnie z równaniem (2)















Ruch płynu można opisać również w inny sposób

Rozwiązując układ równań (1) względem parametrów a,
b, c otrzymamy następujący układ funkcji skalarnych

a = a(x, y, z, t)

b = b(x, y, z, t)

c = c(x, y, z, t)

Podstawiając powyższe wyrażenia do (2) dochodzimy do
związków

















     























Układ ten

w każdej chwili czasu t jest zależny od współrzędnych

x, y, z.

Definiuje on więc przestrzenny rozkład prędkości

płynu w rozważanej masie

, czyli

wektorowe pole

prędkości

Właściwości cieczy „płynącej”

Na wstępie rozpatrzmy pewne ogólne

właściwości charaktery-zujące przepływ.

 Przepływ może być

ustalony

(laminarny) lub

nieustalony

. Ruch płynu jest ustalony, kiedy prędkość

płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w
czasie tzn. każda cząstka przechodząca przez dany
punkt zachowuje się tak samo. Warunki takie osiąga się
przy niskich prędkościach.

 Przepływ może być

wirowy

lub

bezwirowy

Przepływ  jest  bezwirowy,  gdy  w  żadnym  punkcie
cząstka  nie  ma  wypadkowej  prędkości  kątowej
względem  tego  punktu.  Można  sobie  wyobrazić  małe
kółko z łopatkami zanurzone w przepływającym płynie.
Jeżeli kółko nie obraca się to przepływ jest bezwirowy,
w przeciwnym razie ruch jest wirowy.

 Przepływ może być

ściśliwy

lub

nieściśliwy

Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy (stała



Przepływ  gazu  też  może  być  nieściśliwy  tzn.  zmiany
gęstości  są  nieznaczne.  Np.  ruch  powietrza  względem
skrzydeł  samolotu  podczas  lotu  z  prędkością  mniejszą
od prędkości głosu.

 Przepływ może być

lepki

lub

nielepki

. Lepkość w

ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał
stałych (lepkość smarów).

W  naszych  rozważaniach  generalnie  ograniczymy
się  do  przepływów  ustalonych,  bezwirowych,
nieściśliwych  i  nielepkich.  To  znacznie  upraszcza
matematykę.

5.2 Twierdzenie Bernoulli’ego

Równanie stanowi klasyczne sformułowanie twierdzenia
Bernoulli’ego, które w tym ujęciu brzmi:

Twierdzenie 5.2. (Klasyczne Bernoulli’ego)

W czasie ustalonego przepływu płynu doskonałego
(nieściśliwego) wysokość hydrauliczna h równa

sumie wysokości prędkości ,

wysokości piezometrycznej

i niwelacyjnej

jest stała wzdłuż dowolnej linii

prądu lub linii wirowej.



const













5.3 Równanie Bernoulli’ego dla cieczy

rzeczywistej

Konsekwencją lepkości płynu jest powstawanie
(podczas przepływu) między jego warstwami naprężeń
stycznych

przeciwdziałających

wzajemnemu

przemieszczaniu

warstw.

Przepływowi

płynu

lepkiego

towarzyszy

zawsze

opór

tarcia

hydraulicznego, i w rezultacie całkowita wysokość
hydrauliczna nie jest już stała wzdłuż linii prądu, lecz
ciągle maleje.

Równanie Bernoulli’ego należy zatem uzupełnić o
wyraz, którego wartość liczbowa odpowiada
wysokości strat energetycznych

. W efekcie równanie

Bernoulli’ego dla płynu rzeczywistego przyjmie postać:























straty

Równanie powyższe nazywamy niekiedy

uogólnionym równaniem Bernoulli’ego

Dynamiczna siła nośna

jest to siła jaka działa na np.

skrzydło samolotu, nartę wodną, śmigło helikoptera, i

wywołana jest ruchem tych ciał w płynie

odróżnieniu od statycznej siły nośnej, która jest siła
wyporu działającą np. na balon czy statek zgodnie z
prawem Archimedesa.
Na rysunku poniżej pokazane są schematycznie linie
prądu wokół skrzydła samolotu.

Linie prądu

są gęściej

jak pod

skrzydłem

Analizując te linie prądu zauważymy, że ze względu na
ustawienie skrzydła (kąt natarcia)

linie prądu nad

skrzydłem są rozmieszczone gęściej

niż pod

skrzydłem.

Tak więc

ponad skrzydłem jest

większa

niż pod skrzydłem v

a to oznacza zgodnie z

prawem Bernoulliego, że ciśnienie nad skrzydłem jest
mniejsze od ciśnienia pod skrzydłem i otrzymujemy
wypadkową siłę nośną F skierowaną ku górze

Wynika to również z trzeciej zasady dynamiki Newtona.
Prędkość v

powietrza zbliżającego się do skrzydła jest

pozioma podczas gdy powietrze za skrzydłem jest
skierowane na ukos w dół (składowa pionowa). Oznacza
to, że skrzydło pchnęło powietrze w dół więc w reakcji
powietrze pchnęło skrzydło do góry.

const













Zaliczenie przedmiotu:

A.Zaliczenie zadań w ramach kursu
B.Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych

C.Praca zaliczająca z teorii

Imię NAZWISKO ………………………………… Grupa ………

Pytania – odpowiedzi powinny być krótkie ale pełne, muszą
zawierać opis wszystkich użytych we wzorach oznaczeń np. a=
przyspieszenie, k – stała sprężystości, …)
1. Podaj wzory na drogę i prędkość w ruchu jednostajnie
przyśpieszonym.
2. Omów siły działające w polu grawitacyjnym.
3. Podaj definicję momentu siły, momentu bezwładności.
4. Podaj wzór na skrócenie długości i dylatacje czasu.
5. Co wiesz o rezonansie.
6. Na czym polega paradoks hydrostatyczny (twierdzenie Stewina).

Pytanie – zagadnienie opisowe – odpowiedz powinna być nie
krótsza jak 1 strona.

a.Omów prawo Archimedesa i równowagę ciał pływających.

UWAGA PISZ STARANNIE

Document Outline