S

S

T

T

A

A

T

T

Y

Y

K

K

A

A

I

I

D

D

Y

Y

N

N

A

A

M

M

I

I

K

K

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

Ó

Ó

W

W

D

D

O

O

S

S

K

K

O

O

N

N

A

A

Ł

Ł

Y

Y

C

C

H

H

P

P

ł

ł

y

y

n

n

y

y

:

:

c

c

i

i

e

e

c

c

z

z

e

e

,

,

g

g

a

a

z

z

y

y

C

C

i

i

e

e

c

c

z

z

e

e

d

d

o

o

s

s

k

k

o

o

n

n

a

a

ł

ł

e

e

:

:

 gęstość cieczy na całej długości przewodu się nie zmienia,

 brak tarcia wewnętrznego, cząstki idealnie ruchliwe, cząstki nieściśliwe,

 spełnia prawa Eulera, Pascala i Archimedesa,

G

G

a

a

z

z

y

y

d

d

o

o

s

s

k

k

o

o

n

n

a

a

ł

ł

e

e

:

:

 zbiór punktów o idealnej sprężystości i braku wzajemnych oddziaływań,

 spełnia prawa Boyle’a-Mariotta, Gay-Lussaca-Charlesa, Clapeyrona

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

C

C

I

I

Ą

Ą

G

G

Ł

Ł

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

S

S

T

T

R

R

U

U

M

M

I

I

E

E

N

N

I

I

A

A

C

C

I

I

E

E

C

C

Z

Z

Y

Y

(

(

S

S

T

T

R

R

U

U

G

G

I

I

)

)

W

W

R

R

U

U

C

C

H

H

U

U

U

U

S

S

T

T

A

A

L

L

O

O

N

N

Y

Y

M

M

:

:

Założenie: ciecz wypełnia przewód całkowicie!

S

1

S =3S’

3

3

S

2

Natężenie przepływu masy cieczy płynącej ruchem ustalonym przez dowolny

przewód, jest stałe we wszystkich przekrojach przewodu, prostopadłych do

kierunku przepływu. Zatem MASOWE NATĘŻENE PRZEŁYWU:

W

1

=W

2

=.......=W

n

]

s

kg

[

L

u

S

W









u - średnia prędkość przepływu,



- gęstość płynu,

S - pole powierzchni przekroju przewodu,

s]

m

[

3

u

S

U





OBJĘTOŚCIOWE NATĘŻENIE PRZEPŁYWU

s]

kg

[

L

U

W







zakładając brak zmian gęstości płynu na całej długości przewodu (przepływ

izotermiczny, płyny są wówczas nieściśliwe) można stwierdzić, że:

U

1

=U

2

=.....=U

n

n

n

u

S

u

S

u

S

















2

2

1

1

2

2

1

1

u

S

u

S







zakładając przekrój kołowy pole przekroju

S

wyniesie odpowiednio:

2

2

2

1

2

1

4

4

u

d

u

d















2

1

2

2

2

1

d

d

u

u



P

P

R

R

Ę

Ę

D

D

K

K

O

O

Ś

Ś

Ć

Ć

M

M

A

A

S

S

O

O

W

W

A

A

S

S

T

T

R

R

U

U

M

M

I

I

E

E

N

N

I

I

A

A

C

C

I

I

E

E

C

C

Z

Z

Y

Y

Jest to stosunek masowego natężenia przepływu do pola powierzchni

przekroju przewodu.

]

m

kg

[

2

s

u

S

u

S

S

W

w

L

L

L





















R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

B

B

E

E

R

R

N

N

O

O

U

U

L

L

I

I

E

E

G

G

O

O

D

D

L

L

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

U

U

D

D

O

O

S

S

K

K

O

O

N

N

A

A

Ł

Ł

E

E

G

G

O

O

gęstość płynu jest wielkością stałą



L

=const

Energia kinetyczna:





















2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

u

u

dm

dmu

mv

dE

K

L

d

u

S

dm













Praca sił ciśnienia (energia potencjalna ciśnienia):





d

u

S

p

d

u

S

p

dA

2

2

2

1

1

1





Energia potencjalna położenia:

2

2

2

1

1

1

gz

d

u

S

gz

d

u

S

dE

L

L

p









Z

Z

A

A

S

S

A

A

D

D

A

A

Z

Z

A

A

C

C

H

H

O

O

W

W

A

A

N

N

I

I

A

A

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

(wzrost energii kinetycznej powoduje jednoczesny spadek

energii potencjalnej położenia i ciśnienia):

dA

dE

dE

p

k





dl

1

dl

2

u

1

p

1

p

2

1

2

1’

2’

S

1

S

2

u

2

poziom zerowy

z

1

z

2

po podstawieniu i skróceniu przez



d

u

S





, ponieważ zachowana jest zasada

ciągłości strugi otrzymuje się:

const

z

g

p

u

z

g

p

u

L

L

















2

2

2

2

1

1

2

1

2

2





/:g

w powyższym równaniu każdy z członów ma wymiar [m

2

/s

2

]

H

z

g

p

g

u

L











2

2

natomiast w powyższym równaniu każdy z członów ma wymiar [m]

Z równania tego wynika, że suma trzech wysokości a mianowicie

wysokości odpowiadającej ciśnieniu dynamicznemu

g

u

2

2

, wysokości

odpowiadającej ciśnieniu statycznemu

g

p

L





i wysokości niwelacyjnej

(odniesienia)

z

jest wielkością stałą dla jednostki masy strugi w każdym

przekroju przewodu.

lub inaczej

W czasie ustalonego ruchu cieczy doskonałej suma energii kinetycznej,

energii ciśnienia i energii potencjalnej położenia dla jednostki masy

płynącej strugi cieczy jest wielkością stałą.

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

B

B

E

E

R

R

N

N

O

O

U

U

L

L

I

I

E

E

G

G

O

O

D

D

L

L

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

U

U

D

D

O

O

S

S

K

K

O

O

N

N

A

A

Ł

Ł

E

E

G

G

O

O

z - wysokość położenia tj. wysokość wzniesienia środka określonego przekroju

poprzecznego strugi cieczy ponad przyjęty poziom odniesienia

- wysokość ciśnienia tj. wysokość wzniesienia takiego słupa cieczy, która

na podstawę wywiera ciśnienie p

- wysokość prędkości tj. wysokość, z której ciecz musiałaby swobodnie

spadać, aby osiągnąć prędkość końcową u.

p

g



2

2

u

g

W większości w praktyce przewody są poziome lub bardzo zbliżone do

poziomu, czyli z

1

=z

2

(człony te opuszcza się w równaniu). Przekształcając dalej

równanie Bernouliego, mnożąc przez

g





otrzymuje się:











2

2

1

2

2

2

1

u

u

p

p

czyli zwiększenie prędkości spowoduje spadek ciśnienia i odwrotnie.

Gdy natomiast w równaniu

const

z

g

p

g

u

L











2

2

opuści się z i pomnoży

obie strony przez

g





otrzyma się następujące równanie

const

p

u







2

2



.

Każdy z członów ma wymiar ciśnienia [Pa], zatem otrzymuje się wyrażenie

na ciśnienie całkowite

p

c

, gdzie

2

2





u

jest

ciśnieniem dynamicznym

p

d

a

p

jest ciśnieniem statycznym

p

s

.

Stąd prędkość można obliczyć w oparciu o

następujący wzór:



















s

m

)

(





d

s

c

p

p

p

u

2

2

Objętościowe natężenie przepływu wynosi zatem:































s

m

)

(

3





d

s

c

p

S

p

p

S

u

S

U

2

2

Natomiast masowe natężenie przepływu jest następujące:





























s

kg

)

(

d

s

c

p

S

p

p

S

u

S

W







2

2

I

I

N

N

T

T

E

E

R

R

P

P

R

R

E

E

T

T

A

A

C

C

J

J

A

A

G

G

R

R

A

A

F

F

I

I

C

C

Z

Z

N

N

A

A

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

B

B

E

E

R

R

N

N

O

O

U

U

L

L

I

I

E

E

G

G

O

O

D

D

L

L

A

A

C

C

I

I

E

E

C

C

Z

Z

Y

Y

D

D

O

O

S

S

K

K

O

O

N

N

A

A

Ł

Ł

E

E

J

J

1. Równoległy, poziomy przebieg przewodu w stosunku do poziomu

odniesienia. Przekrój przewodu wzdłuż całej długości jest stały tzn., że

prędkość przepływu też jest stała.

I

I

s

s

t

t

n

n

i

i

e

e

j

j

e

e

z

z

a

a

t

t

e

e

m

m

n

n

i

i

e

e

z

z

m

m

i

i

e

e

n

n

n

n

o

o

ś

ś

ć

ć

w

w

y

y

s

s

o

o

k

k

o

o

ś

ś

c

c

i

i

:

:

o

o

d

d

n

n

i

i

e

e

s

s

i

i

e

e

n

n

i

i

a

a

,

,

c

c

i

i

ś

ś

n

n

i

i

e

e

n

n

i

i

a

a

s

s

t

t

a

a

t

t

y

y

c

c

z

z

n

n

e

e

g

g

o

o

i

i

d

d

y

y

n

n

a

a

m

m

i

i

c

c

z

z

n

n

e

e

g

g

o

o

p

p

r

r

z

z

y

y

w

w

/

/

w

w

p

p

o

o

ł

ł

o

o

ż

ż

e

e

n

n

i

i

u

u

p

p

r

r

z

z

e

e

w

w

o

o

d

d

u

u

.

.

2. Przewód przebiega pod kątem



w stosunku do poziomu odniesienia.

Przekrój przewodu jest stały.

M

M

i

i

m

m

o

o

z

z

m

m

i

i

e

e

n

n

n

n

o

o

ś

ś

c

c

i

i

w

w

a

a

r

r

t

t

o

o

ś

ś

c

c

i

i

t

t

r

r

z

z

e

e

c

c

h

h

w

w

y

y

s

s

o

o

k

k

o

o

ś

ś

c

c

i

i

i

i

c

c

h

h

s

s

u

u

m

m

a

a

j

j

e

e

s

s

t

t

w

w

i

i

e

e

l

l

k

k

o

o

ś

ś

c

c

i

i

ą

ą

s

s

t

t

a

a

ł

ł

ą

ą

.

.

3. Równoległy, poziomy przebieg przewodu w stosunku do poziomu

odniesienia. Przekrój przewodu zmienny tzn., że prędkości są różne

w różnych przekrojach przewodu.

Z

Z

w

w

i

i

ę

ę

k

k

s

s

z

z

e

e

n

n

i

i

e

e

p

p

r

r

z

z

e

e

k

k

r

r

o

o

j

j

u

u

o

o

z

z

n

n

a

a

c

c

z

z

a

a

z

z

m

m

n

n

i

i

e

e

j

j

s

s

z

z

e

e

n

n

i

i

e

e

p

p

r

r

ę

ę

d

d

k

k

o

o

ś

ś

c

c

i

i

p

p

r

r

z

z

e

e

p

p

ł

ł

y

y

w

w

u

u

t

t

z

z

n

n

.

.

z

z

m

m

n

n

i

i

e

e

j

j

s

s

z

z

e

e

n

n

i

i

e

e

e

e

n

n

e

e

r

r

g

g

i

i

i

i

k

k

i

i

n

n

e

e

t

t

y

y

c

c

z

z

n

n

e

e

j

j

w

w

z

z

r

r

a

a

s

s

t

t

a

a

n

n

a

a

t

t

o

o

m

m

i

i

a

a

s

s

t

t

c

c

i

i

ś

ś

n

n

i

i

e

e

n

n

i

i

e

e

s

s

t

t

a

a

t

t

y

y

c

c

z

z

n

n

e

e

.

.

O

O

d

d

w

w

r

r

o

o

t

t

n

n

i

i

e

e

g

g

d

d

y

y

p

p

r

r

z

z

e

e

k

k

r

r

ó

ó

j

j

z

z

m

m

n

n

i

i

e

e

j

j

s

s

z

z

a

a

s

s

i

i

ę

ę

,

,

w

w

z

z

r

r

a

a

s

s

t

t

a

a

e

e

n

n

e

e

r

r

g

g

i

i

a

a

k

k

i

i

n

n

e

e

t

t

y

y

c

c

z

z

n

n

a

a

c

c

z

z

y

y

l

l

i

i

c

c

i

i

ś

ś

n

n

i

i

e

e

n

n

i

i

e

e

d

d

y

y

n

n

a

a

m

m

i

i

c

c

z

z

n

n

e

e

a

a

s

s

p

p

a

a

d

d

a

a

c

c

i

i

ś

ś

n

n

i

i

e

e

n

n

i

i

e

e

s

s

t

t

a

a

t

t

y

y

c

c

z

z

n

n

e

e

.

.

4.

Przebieg przewodu pod kątem



w stosunku do poziomu odniesienia.

Przekrój przewodu zmienny tzn., że prędkości są różne w różnych

przekrojach przewodu.

(Interpretacja identyczna jak w przypadku 2 i 3).

D

D

Y

Y

N

N

A

A

M

M

I

I

K

K

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

Ó

Ó

W

W

R

R

Z

Z

E

E

C

C

Z

Z

Y

Y

W

W

I

I

S

S

T

T

Y

Y

C

C

H

H

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

B

B

E

E

R

R

N

N

O

O

U

U

L

L

I

I

E

E

G

G

O

O

D

D

L

L

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

Ó

Ó

W

W

R

R

Z

Z

E

E

C

C

Z

Z

Y

Y

W

W

I

I

S

S

T

T

Y

Y

C

C

H

H

C

C

Z

Z

Ę

Ę

Ś

Ś

Ć

Ć

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

J

J

E

E

S

S

T

T

T

T

R

R

A

A

C

C

O

O

N

N

A

A

I

I

Z

Z

A

A

M

M

I

I

E

E

N

N

I

I

A

A

N

N

A

A

N

N

A

A

C

C

I

I

E

E

P

P

Ł

Ł

O

O

W

W

y

y

s

s

o

o

k

k

o

o

ś

ś

ć

ć

h

h

e

e

o

o

d

d

p

p

o

o

w

w

i

i

a

a

d

d

a

a

e

e

n

n

e

e

r

r

g

g

i

i

i

i

k

k

i

i

n

n

e

e

t

t

y

y

c

c

z

z

n

n

e

e

j

j

,

,

k

k

t

t

ó

ó

r

r

a

a

j

j

e

e

s

s

t

t

s

s

t

t

a

a

ł

ł

a

a

d

d

l

l

a

a

k

k

a

a

ż

ż

d

d

e

e

g

g

o

o

z

z

p

p

r

r

z

z

e

e

k

k

r

r

o

o

j

j

ó

ó

w

w

(

(

ś

ś

r

r

e

e

d

d

n

n

i

i

c

c

a

a

p

p

r

r

z

z

e

e

w

w

o

o

d

d

u

u

j

j

e

e

s

s

t

t

n

n

i

i

e

e

z

z

m

m

i

i

e

e

n

n

n

n

a

a

)

)

.

.

O

O

b

b

s

s

e

e

r

r

w

w

o

o

w

w

a

a

n

n

e

e

s

s

t

t

r

r

a

a

t

t

y

y

c

c

i

i

ś

ś

n

n

i

i

e

e

n

n

i

i

a

a

t

t

ł

ł

u

u

m

m

a

a

c

c

z

z

y

y

s

s

i

i

ę

ę

o

o

p

p

o

o

r

r

a

a

m

m

i

i

j

j

a

a

k

k

i

i

e

e

m

m

u

u

s

s

i

i

p

p

o

o

k

k

o

o

n

n

a

a

ć

ć

c

c

i

i

e

e

c

c

z

z

w

w

c

c

z

z

a

a

s

s

i

i

e

e

p

p

r

r

z

z

e

e

p

p

ł

ł

y

y

w

w

u

u

.

.

O

O

p

p

o

o

r

r

y

y

t

t

e

e

w

w

y

y

n

n

i

i

k

k

a

a

j

j

ą

ą

z

z

w

w

y

y

s

s

t

t

ę

ę

p

p

o

o

w

w

a

a

n

n

i

i

a

a

t

t

a

a

r

r

c

c

i

i

a

a

w

w

e

e

w

w

n

n

ę

ę

t

t

r

r

z

z

n

n

e

e

g

g

o

o

c

c

i

i

e

e

c

c

z

z

y

y

r

r

z

z

e

e

c

c

z

z

y

y

w

w

i

i

s

s

t

t

y

y

c

c

h

h

j

j

a

a

k

k

r

r

ó

ó

w

w

n

n

i

i

e

e

ż

ż

m

m

o

o

g

g

ą

ą

b

b

y

y

ć

ć

z

z

w

w

i

i

ą

ą

z

z

a

a

n

n

e

e

z

z

n

n

a

a

g

g

ł

ł

ą

ą

z

z

m

m

i

i

a

a

n

n

ą

ą

p

p

r

r

z

z

e

e

k

k

r

r

o

o

j

j

u

u

p

p

r

r

z

z

e

e

w

w

o

o

d

d

u

u

i

i

k

k

i

i

e

e

r

r

u

u

n

n

k

k

u

u

p

p

r

r

z

z

e

e

p

p

ł

ł

y

y

w

w

u

u

,

,

i

i

s

s

t

t

n

n

i

i

e

e

n

n

i

i

e

e

m

m

n

n

a

a

p

p

r

r

z

z

e

e

w

w

o

o

d

d

z

z

i

i

e

e

k

k

u

u

r

r

k

k

ó

ó

w

w

,

,

z

z

a

a

w

w

o

o

r

r

ó

ó

w

w

,

,

z

z

a

a

s

s

u

u

w

w

i

i

t

t

p

p

.

.

.

.

)

,

,

,

,

(

F

F

u

L

d

f

P









R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

B

B

E

E

R

R

N

N

O

O

U

U

L

L

I

I

E

E

G

G

O

O

D

D

L

L

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

Ó

Ó

W

W

R

R

Z

Z

E

E

C

C

Z

Z

Y

Y

W

W

I

I

S

S

T

T

Y

Y

C

C

H

H































2

2

s

m

L

str

L

L

p

z

g

p

u

z

g

p

u







2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

lub

[m]

str

L

L

h

z

g

p

g

u

z

g

p

g

u

















2

2

2

2

1

1

2

1

2

2





gdzie:



p

str

i h

str

– straty ciśnienia spowodowane oporami przepływu,

K

K

R

R

Y

Y

T

T

E

E

R

R

I

I

U

U

M

M

R

R

E

E

Y

Y

N

N

O

O

L

L

D

D

S

S

A

A









d

w

d

u

d

u

L















Re

Ruch laminarny

Ruch przejściowy

Ruch burzliwy

Re<2100

2100<Re<3000

Re>3000

R

R

O

O

Z

Z

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

P

P

R

R

Ę

Ę

D

D

K

K

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

PROMIEŃ HYDRAULICZNY -

B

S

obwód

ia

powierzchn

r

h





ŚREDNICA ZASTĘPCZA -

B

S

r

d

h

e

4

4





Strugi czynnika układają się równolegle do

osi przewodu, rozkład prędkości ma kształt

paraboli. Prędkość maksymalna przypada w

osi przewodu.

u

śr

=0,5 u

max

u

śr



0,8 u

max

Strugi czynnika wirują

w różnych kierunkach,

rozkład prędkości ma

kształt spłaszczonej

krzywej. W środkowej

części przewodu prędkość

pozostaje ta sama, maleje

do zera przy ściankach.

u

śr



0,85 u

max

r. laminarny

r. przejściowy

r. burzliwy

L

L

E

E

P

P

K

K

O

O

Ś

Ś

Ć

Ć

Lepkość płynów rzeczywistych wywołuje opór podczas przesuwania

się cząstek lub warstewek płynu względem siebie. Siły lepkości (siły
tarcia wewnętrznego) występują tylko w czasie ruchu.

S

S

I

I

Ł

Ł

A

A

T

T

A

A

R

R

C

C

I

I

A

A

dA

dx

du

dT







stąd

dA

dT

du

dx







gdzie:



- współczynnik lepkości dynamicznej [kg/m·s]=[Pa·s]

1 Poise=1P=0,1 kg/m·s

1cP=0,001 kg/m·s



- współczynnik lepkości kinematycznej [m

2

/s]















s

m

2







1 Stokes=0,0001 m

2

/s

1cSt=0,01 St

Lepkość dynamiczna cieczy zmniejsza się ze wzrostem temperatury,

praktycznie nie zależy od ciśnienia. Dla gazów lepkość dynamiczna zwiększa

się z temperaturą, gdy są to gazy doskonałe nie zależy od ciśnienia. Lepkość

kinematyczna dla gazów silnie zależy od ciśnienia, dlatego posługujemy się tzw.

zredukowaną lepkością kinematyczną



dx

u

u+du

dA

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

N

N

A

A

V

V

I

I

E

E

R

R

A

A

-

-

S

S

T

T

O

O

K

K

E

E

S

S

A

A

Ciecze rzeczywiste podczas ruchu poddane są działaniu sił masowych,

powierzchniowych i tarcia. Rozważany jest ruch cieczy rzeczywistej, lepkiej,

nieścisliwej. Brany jest pod uwagę element objętościowy cieczy o wymiarach

krawędzi dx, dy i dz. Ten element podlega działaniu siły ciężkości, siły parcia i

siły tarcia. Wypadkowa tych sił rzutowana na określoną oś (np. oś x) równa jest

iloczynowi masy tego elementu przez działające na tę masę przyspieszenie.

SIŁA CIĘŻKOŚCI

(iloczyn masy i przyspieszenia ziemskiego)

SIŁA PARCIA

(iloczyn ciśnienia działającego prostopadle do powierzchni A

1

)

SIŁA PRZECIWPARCIA

(iloczyn ciśnienia panującego w przekroju o dx niżej)

WYPADKOWA SIŁ PARCIA I PRZECIWPARCIA

SIŁA TARCIA

Iloczyn powierzchni bocznej rozważanego elementu cieczy przez wartość

naprężenia stycznego. Ponieważ prędkość przepływu cieczy w różnych

miejscach przekroju jest różna, siła tarcia występująca po dwóch stronach

powierzchni ścian oddalonych o dy też będzie różna.

Siła tarcia powstająca po lewej stronie elementu cieczy może być wyrażona

poprzez iloczyn powierzchni ściany A

2

i naprężenia stycznego



.

Siła tarcia występująca po prawej stronie wyniesie:

Zatem wartość wypadkowa siły tarcia będzie równa:

Zgodnie z prawem Newtona

, zatem wypadkowa siły tarcia po

uwzględnieniu zmiany prędkości u

x

tylko w jednym kierunku y, można wyrazić

następująco:

Natomiast rzut wypadkowej siły tarcia na oś x, która podlega zmianom w

trzech kierunkach wyniesie:

Algebraiczna suma a zarazem wypadkowa trzech sił rzutowanych na oś x

wyniesie:

Tę samą wypadkową siłę ujętą powyższym wyrażeniem można przedstawić

jako iloczyn elementu cieczy i przyspieszenia działającego na tę masę:

Zatem:

Pochodna Du

x

/d



jest pochodną substancjalną (operator Stokesa) i jej

rozwinięta postać jest następująca:

W tym równaniu pierwszy wyraz wyraża zmiany prędkości u

x

w danym

miejscu w czasie (zmiany lokalne). Trzy pozostałe wyrazy oznaczają zmiany u

x

wywołane konwekcją.

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

N

N

A

A

V

V

I

I

E

E

R

R

A

A

-

-

S

S

T

T

O

O

K

K

E

E

S

S

A

A

k

k

i

i

e

e

r

r

u

u

n

n

e

e

k

k

x

x

Równania zapisuje się dla trzech kierunków x, y i z. Jest to układ

cząstkowych, nieliniowych równań różniczkowych. To zestaw równań w postaci

równań ciągłości, opisujące zasadę zachowania masy i pędu dla poruszającego

się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od

zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie.

Dla płynu idealnego o zerowej lepkości równania mówią, że przyspieszenie

jest proporcjonalne do pochodnej ciśnienia.

Oznacza to, że rozwiązania równań dla danego problemu fizycznego muszą

być znalezione na drodze rachunku różniczkowego i całkowego. W praktyce,

jedynie najprostsze przypadki mogą być rozwiązane dokładnie na tej drodze. To

znaczy przypadki nie-turbulentnego, spokojnego przepływu (nie zmieniającego

się w czasie), w których liczba Reynoldsa ma małą wartość.

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

P

P

O

O

I

I

S

S

E

E

U

U

I

I

L

L

L

L

E

E

’

’

A

A

Wyprowadza się w oparciu o równowagę sił działających na element

poruszającego się płynu. Na taki element działają: siła ciężkości, siła parcia

(wywołująca ruch), siła przeciwparcia, siły ściskające element płynu i siła tarcia.

Postać równania jest następująca: W założeniu płyn porusza się

RUCHEM UWARSTWIONYM, CZYLI LAMINARNYM.

L

d

P

U

L















128

4

zaś prędkość maksymalną, która przy w/w założeniu przypada w osi przewodu

i prędkość średnią można wyliczyć w oparciu o wzory:

L

d

P

u

L

śr











32

2

L

d

P

u

L











16

2

max

stąd

2

max



śr

u

u

zatem

u

u





2

max

RUCH BURZLIWY

Dla ruchu burzliwego objętościowe natężenie przepływu i prędkość

maksymalną można wyznaczyć w oparciu o wzory:

4

60

49

2

max

d

u

U











u

u





18

,

1

max

RUCH PRZEJŚCIOWY

Natomiast dla przejściowego przepływu płynu w/w wyznacza się w oparu

o podane niżej wzory:

4

60

49

2

max

d

u

U











u

u





25

,

1

max

STRATY CIŚNIENIA WYWOŁANE TARCIEM WEWNĘTRZNYM

)

,

,

,

,

(

F

F

u

L

d

f

P









zgodnie z analizą wymiarową

2

Re

- kryterium podobieństwa geometrycznego

Re

- kryterium Reynoldsa

Eu=

- kryterium Eulera

b

e

g

L

Eu

A

d

L

K

d

u d

p

u









 

  

 



 







Na podstawie doświadczeń ustalono, że wykładnik potęgowy b=1, natomiast

wykładnik potęgowy e i współczynnik proporcjonalności A przybierają różne
wartości.

Stąd spadek ciśnienia można wyrazić następująco:

2

2

2

Re

2

2

przy czym

(Re)

e

L u

L u

p

A

d

d

f















 



 

  



CIŚNIENIE HYDROSTATYCZNE

Różnica ciśnień na dwóch poziomach płynu o gęstości



L

i odległych

w kierunku pionowym h wynosi:

[Pa]

g

h

p

L











Jeżeli na zwierciadłem panuje ciśnienie p

0

to w dowolnym punkcie cieczy

oddalonym o h od zwierciadła ciśnienie wynosi:

g

h

p

p

L











0

OPORY TARCIA WEWNĘTRZNEGO

Spadek ciśnienia płynu w czasie przepływu przez rurę o długości L

i niezmiennej średnicy d, spowodowany oporami tarcia wewnętrznego:

2

2















u

d

L

p

-

r. Darcy-Weisbacha

gdzie:



współczynnik oporu tarcia wewnętrznego, funkcja liczby Reynoldsa,

a) RUCH LAMINARNY:

Re

64





zatem

2

32

d

L

u

p











-

r. Poiseuille’a

b) RUCH BURZLIWY (rura gładka):

gdy 3·10

3

<Re<10

5

4

Re

3164

,

0





-

r. Blasiusa

gdy 3·10

3

<Re<3·10

6

32

,

0

Re

5

,

0

0052

,

0







-

r. Koo

gdy 10

5

<Re<10

8

237

,

0

Re

221

,

0

0032

,

0







-

r. Nikuradsego

gdy 10

4

<Re<10

7

2

,

0

Re

184

,

0





-

r. Blasiusa

c) RUCH BURZLIWY (rura szorstka):

2

)

72

,

3

lg

2

(

1

k

d







gdzie: k – szorstkość bezwzględna [m],

Oprócz oporów tarcia wewnętrznego wyróżniamy

o

o

p

p

o

o

r

r

y

y

l

l

o

o

k

k

a

a

l

l

n

n

e

e

(

(

z

z

m

m

i

i

a

a

n

n

a

a

k

k

i

i

e

e

r

r

u

u

n

n

k

k

u

u

l

l

u

u

b

b

k

k

s

s

z

z

t

t

a

a

ł

ł

t

t

u

u

g

g

e

e

o

o

m

m

e

e

t

t

r

r

y

y

c

c

z

z

n

n

e

e

g

g

o

o

r

r

u

u

r

r

o

o

c

c

i

i

ą

ą

g

g

u

u

)

), zatem opory sumaryczne

są sumą oporów tarcia wewnętrznego i oporów lokalnych.

2

2

n

n

u

p







 





- współczynnik oporu lokalnego zależny od rodzaju oporu np. nagłe

przewężenie lub rozszerzenie przewodu, istnienie zaworu na przewodzie,

zmiana kierunku przepływu itp.

Zatem:

2

2

2

2

n

n

L u

u

p

p

d













     

  

U

U

R

R

Z

Z

Ą

Ą

D

D

Z

Z

E

E

N

N

I

I

A

A

S

S

Ł

Ł

U

U

Ż

Ż

Ą

Ą

C

C

E

E

D

D

O

O

P

P

O

O

M

M

I

I

A

A

R

R

U

U

P

P

R

R

Ę

Ę

D

D

K

K

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

P

P

R

R

Z

Z

E

E

P

P

Ł

Ł

Y

Y

W

W

U

U

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

U

U

1. ZWĘŻKA POMIAROWA ( w postaci dyszy lub kryzy)

Zasada pomiaru polega na stwierdzeniu proporcjonalności objętościowego
natężenia przepływu płynu do pierwiastka kwadratowego spadku ciśnienia
mierzonego w obrębie zwężki. Zwężka jest pierścieniową płytką mającą kołowy
otwór o średnicy mniejszej niż średnica przewodu, środek otworu pokrywa się z
osią przewodu.

2. RURKA PITOTA I PRANDLA

Rurka Pitota. Jedno ramię rurki ustawione jest „pod prąd” i mierzy sumę
ciśnienia statycznego i dynamicznego, drugie ramię wskazuje ciśnienie
statyczne w tym samym przekroju, co ramię pierwsze. Różnica słupów
w manometrze odpowiada, zatem energii kinetycznej płynu, która jak wiadomo
jest proporcjonalna do prędkości przepływu.

3. RURA VENTURIEGO

Rura Venturiego składa się z cylindrycznej tulei wlotowej, zwężki właściwej
i dyfuzora tworzącego łagodnie rozszerzający się stożek ścięty. Straty ciśnienia
w tym przypadku spowodowane są z przewężeniem strumienia płynu a
następnie z jego powiększeniem są znacznie mniejsze niż przy użyciu zwężki.
Rura Venturiego służy do precyzyjnych pomiarów prędkości przepływu na stałe.

4. ROTAMETRY

Rotametr składa się z pionowej rury rozszerzającej się w kierunku przepływu
płynu. Podczas przepływu płynu z dołu do góry wewnątrz rury umieszczony jest
pływak o gęstości większej niż przepływający płyn. Pływak utrzymywany jest
na stałym poziomie, gdy prędkość przepływu jest stała. W tym przypadku
zachodzi równowaga dwóch sił: siły ciężkości pływaka (F

p

) i siły parcia (R),

jakie wywiera płyn na pływak poruszający się ku górze. Prędkość przepływu
będzie, zatem równa:

L

p

L

p

S

V

g

u







)

(





2

ZADANIE 1

Przewodem o średnicy wewnętrznej 42mm płynie wodny roztwór

gliceryny o gęstości 1190 kg/m

3

(15



C). Obliczyć prędkość liniową oraz

objętościowe natężenie przepływu, jeśli w ciągu godziny przepływa
6000kg roztworu.

ZADANIE 2

W wymienniku ciepła o średnicy wewnętrznej 0,53m płynie woda o

temperaturze 60

o

C z prędkością 0,3 m/s. Wewnątrz wymiennika znajduje

się 61 rurek, które ułożone są w foremne sześciokąty. Średnica
zewnętrzna każdej z rurek wynosi 33mm. Wyznaczyć charakter ruchu
wody, przyjąć, że gęstość wody wynosi 983 kg/m

3

, lepkość dynamiczna

jest równa 0,47∙10

-3

Pa∙s oraz, że przepływ wody jest równoległy do

rurek.

ZADANIE 3

Obliczyć krytyczną prędkość, przy której następuje zmiana charakteru

przepływu z laminarnego na przejściowy dla:
a) wody o temperaturze 20

o

C (dane dla wody



=998 kg/m

3

;



10

-3

Pa

∙s),

b) oleju mineralnego o temperaturze 20

o

C (dane dla oleju



=910 kg/m

3

;



114

∙10

-3

Pa

∙s) w przewodzie o średnicy 92mm.

ZADANIE 4

Do wymiennika

ciepła przewodem o średnicy wewnętrznej d

1

26mm

dopływa woda ciepła z prędkością u

1

=1,43 m/s oraz przewodem o

średnicy wewnętrznej d

2

32mm woda zimna z prędkością 0,8m/s. Woda

ciepła dopływa do wewnętrznej rury wymiennika. Obliczyć średnice rur
wymiennika

, jeżeli wiadomo, że woda ciepła i zimna płyną w wymienniku

z prędkością u=2m/s. Grubość ścianek obu rur wymiennika wynosi 2mm.
Gęstość cieczy jest stała.

u

d

1

d

2

u

1

u

2

ZADANIE 5

Do rurek wymiennika ciepła przewodem o średnicy wewnętrznej 200

mm dopływa ciecz z prędkością 0,7m/s. W rurkach, które mają średnice
wewnętrzną 14mm prędkość przepływu wynosi 2,8m/s. Obliczyć liczbę
rurek w wymienniku. Gęstość cieczy jest stała.

ZADANIE 6

Rurociągiem o średnicy D

1

=150mm płynie ciecz z prędkością u

1

równą

20m/s. Rurociąg rozdziela się na dwie nitki, obliczyć średnice tych dwu
nitek, wiedząc, że u

1

=1/2u

2

. Zakładamy gęstość cieczy stałą na całej

długości rurociągu.

ZADANIE 7

D

1

D

2

D

3

D

4

Jest dany rurociąg średnica D

1

wynosi 0,13m zaś prędkość przepływu

cieczy u

1

=0,07m/s. Następnie rurociąg rozdziela się na dwie nitki a

średnica D

2

wzrasta dwukrotnie w porównaniu z D

1

. Kolejno rurociąg

łączy się w jedną nitkę i średnica D

3

wynosi 0,64m. Na koniec rurociąg

rozdziela się na trzy nitki. Obliczyć u

2

, u

3

, u

4

i D

4

. Ponadto wiadomo, że

gęstość jest stała a S

3

=0,2S

4

’

. UWAGA: S

4

=3S

’

4

.

ZADANIE 8

Rurociągiem

płynie

kwas

siarkowy.

Średnice

rurociągu

zmieniają się jak na rysunku.
Objętościowe natężenie przepływu
wynosi

0,006

m

3

/s.

Średnica

d

1

=51mm, natomiast średnica d

2

jest nieznana, d

3

stanowi 0,7

średnicy d

2

. Wyznaczyć prędkości

u

1

, u

3

wiedząc, że prędkość u

2

=1,2

m/s oraz średnice d

2

i d

3

?

D

2

D

3

D

1

ZADANIE 9

W poziomej rurze o średnicy 30mm, w której płynie woda (



L

=1000

kg/m

3

) panuje ciśnienie statyczne równe 87 mmHg. Całkowite ciśnienie

wynosi 154 m

mHg. Wyznaczyć prędkość przepływu wody i objętościowe

natężenie przepływu.

ZADANIE 10

Ciśnienie całkowite w przewodzie o przekroju 250x270mm, którym

płynie gliceryna (



L

=1261,3 kg/m

3

) wynosi 115 mmHg. Wiedząc, że

objętościowe natężenie przepływu wynosi 0,25 m

3

/s wyznaczyć ciśnienie

statyczne panujące w płynącej glicerynie. Przewód jest poziomy.

ZADANIE 11

Dany jest poziomy przewód o zmiennym przekroju. Natężenie

objętościowe przepływu wody przez ten przewód wynosi 0,07m

3

/s. W

pierwszej części przewodu gdzie d

1

=250mm ciśnienie statyczne wynosi

1,2 mH

2

O. Wyznaczyć ciśnienie statyczne panujące w drugiej części

przewodu, gdzie d

2

=470mm. Przyjąć gęstość wody równą 1000kg/m

3

.

ZADANIE 12

Przewód, którym płynie woda, nachylony pod kątem do poziomu ma

taki sam p

rzekrój na całej długości d=50mm. Poziom odniesienia z

1

wynosi 1m natomiast poziom odniesienia z

2

jest równy 0,4m.

Objętościowe natężenie przepływu wody wynosi 0,02m

3

/s. Ciśnienie

statyczne w pierwszej części przewodu wynosi natomiast 1,03 mH

2

O.

Wyznaczyć ciśnienie statyczne panujące w drugiej części przewodu.
Gęstość wody jest równa 1000kg/m

3

.

ZADANIE 13

Przewód jest usytuowany pod kątem do poziomu. Średnica w pierwszej

części przewodu wynosi 75mm. Wysokość odniesienia z

1

stanowi 5/4

wysokości z

2

, która jest równa 0,6m. Prędkość przepływu cieczy w

drugiej części przewodu u

2

=3,1m/s. W ciągu 1sek. Transportowane jest

2,03kg cieczy o gęstości 779,1kg/m

3

. Wyznaczyć wartość ciśnienia

statycznego w pierwszej części przewodu, wiedząc, że natomiast drugiej
części wynosi ono 0,4 mH

2

O. Wyznaczyć także z

1

i d

2

.

ZADANIE 14

Z ostatniego działu wyparki trójdziałowej wpływa

do skraplacza barometrycznego para o ciśnieniu
15kPa. Obliczyć konieczną wysokość rury
barometrycznej i jej średnicę, jeżeli masowe
natężenie przepływu masy wody wynosi 25kg/s.
Przyjąć prędkość przepływu wody w rurze
skraplacza

równą

0,3m/s,

a

ciśnienie

atmosferyczne 750 mmHg. Opory przepływu
pominąć a gęstość wody przyjąć równą 1000kg/m

3

.

ZADANIE 15

W inżektorze wodno-wodnym przewodem A o średnicy 0,1 m płynie

woda z natężeniem 0,015m

3

/s. Średnica przewężenia wynosi 0,05m.

Piezometr ustawiony w przewodzie A wskazuje ciśnienie 6,85kPa. Woda
z rury B wypływa do atmosfery (p=101,07 kPa). Obliczyć ciśnienie
absolutne p

2

w przekroju 2. (gęstość wody= 1000kg/m

3

).

ZADANIE 16

Obliczyć prędkość przepływu w inżektorze wodno-wodnym w

przekroju 2 oraz objętościowe natężenie przepływu wiedząc, że
powierzchnia przekroju w przewężeniu wynosi 0,02m

2

, stosunek

przekroju zwężonego do normalnego wynosi 0,02, ciśnienie w
przewodzie normalnym wynosi 150kPa natomiast w przekroju 2 wynosi
2,34kPa (



L

=1000kg/m

3

).

H

z =H

1

p

1

p

2

z =0

2

A

1

2

B

d

1

d

2

p

1

p

p

2

1

2

S

1

S

2

ZADANIE 17

Na

rysunku

przedstawiono

wygląd

zbiornika

z

wodą

i

rurociągu, obliczyć h

str

:

a)

pomiędzy

zbiornikiem

i przekrojem 2,
b) pomiędzy przekrojem 1 i 2,
Ciśnienie statyczne w zbiorniku
p

0

wynosi 778mmHg, woda z

przekroju 2 wylewa się do

atmosfery, ciśnienie statyczne p

1

wynosi natomiast 80

0mmHg. Różnica

pomiędzy wysokością odniesienia z

0

i z

2

wynosi 2m, prędkość przepływu

wody ze zbiornika do rury u

0

wynosi 0,0004m/s natomiast prędkość

u

1

=u

2

i wynosi 1,7m/s. Przyjąć gęstość wody równą 1000kg/m

3

.

ZADANIE 18
Prz

ewód, który transportuje wodę (



L

=1000kg/m

3

) jest nachylony pod

kątem do poziomu. Poziom odniesienia z

1

wynosi 1,2m natomiast

z

2

=0,6

m. Przewód transportuje 76kg wody na minutę, średnica w

przekroju 1 wynosi 50mm, średnica w przekroju 2 stanowi 86% średnicy
d

1

.Ciśnienia statyczne wynoszą odpowiednio p

1

=8mH

2

O natomiast

p

2

=4,5mH

2

O. Obliczyć h

str

pomiędzy przekrojami 1 i 2.

ZADANIE 19
Pr

zewodem prostoliniowym o średnicy 120mm i długości 120m

przepływa woda w temperaturze 20

0

C z liniową prędkością 1,2m/s.

Współczynnik lepkości dynamicznej dla wody w tej temperaturze wynosi
1cP, gęstość jest bliska 1000kg/m

3

. Obliczyć objętościowe natężenie

przepływu i straty ciśnienia wywołane tarciem wewnętrznym. Opory
lokalne pominąć.

ZADANIE 20

Woda wodociągowa o temperaturze 10

0

C jest transportowana pionową

rurą o średnicy 130mm i wysokości 15000mm do aparatu
umieszczonego na trzeciej kondygnacji hali

technologicznej. Obliczyć

straty ciśnienia spowodowane przepływem 3,5 litra wody na sekundę.
(



L

=1000kg/m

3

,



=1,3071cP).

1

0

p

o

p

o=2

p

1

u

o

z

-z

o

1

u =u

1

2

2

ZADANIE 21

Oblicz objętościowe natężenie przepływu płynu poruszającego się

ruchem laminarnym w przewodzie o powierzchni przekroju 10cm

2

,

którego prędkość w osi przewodu wynosi 2cm/s.

ZADANIE 22

Rurociągiem o średnicy 120mm, w temperaturze 30

o

C, ruchem

laminarnym płynie roztwór gliceryny z prędkością średnią 5m/s. Obliczyć
straty ciśnienia spowodowane występowaniem sił tarcia wewnętrznego i
objętościowe natężenie przepływu wiedząc, że lepkość kinematyczna
gliceryn

y w w/w temperaturze wynosi 5,3·10

-4

m

2

/s, gęstość roztworu

gliceryny jest równa 1190kg/m

3

a długość rurociągu wynosi natomiast

4000mm.