Konrad Oleszczuk

Konrad Ochman

Hubert Piróg

MiBM rok II

DYNAMIKA PŁYNÓW

RZECZYWISTYCH

Płynem rzeczywistym nazywamy płyn lepki i ściśliwy, podczas

przepływu, którego występują straty energii związane z tarciem
wewnętrznym pomiędzy przemieszczającymi się warstwami.
Prędkość teoretyczna przepływu w płynie doskonałym jest zawsze
większa od prędkości rzeczywistej, a różnicę nazywa się stratą
prędkości. Stosunek średniej prędkości rzeczywistej do prędkości
teoretycznej jest nazywany współczynnikiem prędkości α

0

. Straty

prędkości są spowodowane lepkością cieczy i są mniejsze ze
wzrostem liczby Reynoldsa, czyli dla przepływów turbulentnych.
Drugie charakterystyczne zjawisko towarzyszące przepływowi
płynu rzeczywistego jest kontrakcją strumienia, polegającą na
tym, że przekrój strumienia w pewnej odległości od przekroju
wylotowego jest mniejszy od pola powierzchni tego przekroju.
Iloraz obydwu pól nazywa się współczynnikiem kontrakcji.
Przykładowo dla przekroju kołowego współczynnik kontrakcji
posiada wartość:

0

0

,

0









str

kontr

r

v

S

Q

Iloczyn β

0

= κ

0

α

0

nazywa się współczynnikiem wydatku i

przyjmuje wartość β

0

= 0,60 dla przekrojów kołowych.

Przepływy rzeczywiste płynu są na ogół przepływami
niestacjonarnymi, o stałych amplitudach zaburzeń oraz
przepływami

turbulentnymi,

przy

utracie

stateczności

przepływu. Zjawiska te zostały potwierdzone doświadczalnie w
1883 r. przez Reynoldsa. Stateczne przepływy płynu
rzeczywistego nazywają się przepływami laminarnymi i
występują dla liczb Reynoldsa < 2300.

S

Skontr



0



0

0

0

Q

Sv







Równanie Bernoulliego dla płynu newtonowskiego

Równanie Daniela Bernoulliego dla rzeczywistego płynu

(newtonowskiego) przy uwzględnieniu strat przepływu wzdłuż linii
prądu ma postać:















str

i

h

z

p

g

v

z

p

g

v

,

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2





(1.1)

gdzie h

i,str

jest stratą przepływu, wyróżniając straty liniowe i

lokalne.

Energia kinetyczna przepływu zwana wysokością

rozporządzalną jest określona zależnością:

z

p

g

v

H











2

2

gdzie α jest współczynnikiem Coriolisa, określonym wzorem:

S

v

dS

v

śr

3

3







(1.2

)

(1.3)

Wartość współczynnika Coriolisa dla przepływu laminarnego

Poiseuille’a wynosi α = 2, natomiast dla przepływu turbulentnego
=1,1 – 1,2.

Różniczkując względem elementu dl długości linii prądu

wysokość rozporządzalną wyznaczono spadek hydrauliczny:

















































2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

,

2

2

1

1

z

p

g

v

z

p

g

v

l

h

l

dl

dH

J

str

i









(1.4
)

Przykładowo dla przepływu płynu przez przewód o długości l

nachylony do poziomu pod kątem α spadek hydrauliczny wynosi:







sin















l

p

l

z

l

p

J

2

1

p

p

p







(1.5)

,

Równanie ciągłości przepływu dla płynu ściśliwego ma postać:

0

)

(





v

div

dt

d





(1.6)

a jego przedstawienie rozwinięte:

0









v

grad

div

v

dt

d







(1.7)

Straty przepływu rzeczywistego. Liczba Reynoldsa

W przewodzie rurowym występują straty przepływu zwane

tarciem hydraulicznym lub stratami ciągłymi oraz straty w
połączeniach przewodów. Straty energii dla rur o przekroju kołowym
dla laminarnego przepływu w rurze są opisane wzorem Darcy’ego:

g

v

d

l

h

h

śr

str

2

2









(1.8)

gdzie λ jest współczynnikiem strat ciągłych zależnym od liczby
Reynoldsa R

e

i od chropowatości wewnętrznych ścian przewodu.

Liczbę Reynoldsa dla przewodu o przekroju kołowym wyznacza się
ze wzoru:

v

d

v

R

śr

e



(1.9)

gdzie v jest lepkością kinematyczną płynu,







v

gdzie μ lepkość
dynamiczna

Współczynnik strat λ określa się ogólnym wzorem:

e

bi

e

n

i

i

R

R

64

1

1

























(1.10)

W przypadku przepływu laminarnego płynu w rurze przyjmuje się


1

= 64

b

1

= 1, 

2

= 

3

= … = 

n

= 0. Wtedy zależność (1.8) jest postacią:

g

v

g

v

d

l

R

h

śr

śr

e

str

2

2

64

2

2



















(1.11)

gdzie

d

l

R

e















64



Liczna Reynoldsa dla przepływu laminarnego jest rzędu R

e

<

2300. W przypadku przepływu turbulentnego współczynnik strat λ
określa się na podstawie wzoru Blasiusa:

25

.

0

316

,

0

e

R





(1.12)

Wzór (1.12) daje wartości zgodne z doświadczalnymi dla

przepływu
turbulentnego w zakresie liczb Reynoldsa 2300 ≤ R

e

≤ 80000

Dla przewodów o przekrojach dowolnych liczbę Reynoldsa

oblicza się

ze wzoru:

 

v

r

v

R

n

śr

e

4





(1.13)

gdzie r

n

jest promieniem hydraulicznym o wartości:

z

z

n

L

S

r 

(1.14)

natomiast S

z

jest przekrojem strumienia cieczy, L

z

jest obwodem

zwilżonym.

Straty lokalne w przewodzie, a dokładniej w przekroju

stanowiącym jego połączenia w rozszerzeniu z drugim przewodem,
określimy na podstawie straty energii przepływu według równania
Bernoulliego:

12

2

2

2

1

2

1

2

2

h

p

g

v

p

g

v













(1.15)

skąd obliczono:

g

v

v

p

h

2

2

2

2

1

12

12











2

1

12

p

p

p







(1.16)

,

Na podstawie prawa zachowania pędu





2

21

2

1

S

p

v

v

Q









1

2

21

p

p

p







2

2

v

S

Q 

(1.17)

,

,

obliczono zmianę
ciśnienia:





2

1

2

21

v

v

v

p









(1.18)

W przypadku rozszerzenia przewodu założono S

2

> S

1

. Podstawiając

(1.18) do zależności (1.16) wyznaczono współczynnik strat lokalnych:









g

v

v

g

v

v

g

v

v

v

h

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

12













(1.19)

Uwzględniając prawo ciągłości przepływu:

1

1

2

2

S

v

S

v



S

2

>

S

1

,

(1.20)

współczynnik strat lokalnych przyjmie postać:

g

v

h

2

2

1

12

12





(1.21)





,

1

2

12

0

12















sin



(1.22)

gdzie:

,

2

1

12

S

S





Wzór (1.22) jest potwierdzony doświadczalnie dla przepływów

turbulentnych przy kątach rozwarcia δ < 14

o

.

W przypadku nagłego zwężenia się rurociągu (rys.1 )

współczynnik strat lokalnych określa zależność:

,

2

2

2

21

12

g

v

h









,

1

2

21

0

21











1

2

12

S

S





(1.23)

Rys.1 Zwężenia przewodu

Współczynnik strat przy nagłym rozszerzeniu rurociągu wynosi:





2

1









(1.24)

gdzie:

,

2

1

S

S





S

2

> S

1

,



> 1

Współczynnik strat przy nagłym zwężeniu rurociągu

,

1

1

1

2

2

















 





k

(1.25)

Zadanie

1

Ciecz o ciężarze właściwym γ przepływa przez przewód o średnicy

d, znajdujący się na dole otwartego zbiornika o wysokości h
napełnienia cieczą. W przewodzie w przekroju B podczas przepływu
cieczy powstała kontrakcja i nagłe zwężenie przewodu o średnicy
d

0

< d (rys.2). Obliczyć prędkość przepływu płynu przez przewód przy

uwzględnieniu straty lokalnej oraz ciśnienie p

0

w przekroju B.

Rozwiązanie:

Ze wzoru Torricelliego

gh

v

2



Natomiast z równania ciągłości przepływu mamy:

v

v

vS

S

v

0

0

0

0









,

4

2

d

S





,

4

2

0

0

d

S





1

2

0

0

0



















d

d

S

S



gdzie:

Rys.2

Z prawa Bernoulliego przy uwzględnieniu kontrakcji:







b

p

g

v

p

g

v

g

v









2

2

2

2

0

2

0

2

0

Uwzględniając, że

,

2

0

0

gh

v







0

> 1

Obliczono ciśnienie w przewężeniu:















































1

1

2

0

2

0

0

h

p

p

h

p

b

b

gdzie:

,

1

1

1

2

2

















 





k

,

1

0

0





d

d



2

1

1











 



k





























 















2

2

2

0

0

1

1
k

h

p

p

p

b







2

0

1

1











 











k

h

p

p

p

b



Określono zatem ciśnienie w

przewężeniu:

Przepływ płynu rzeczywistego przez rurociąg.
Prawo Hagena – Poiseuille’a

Profil prędkości przepływu laminarnego płynu w rurce o

przekroju kołowym posiada kształt paraboliczny (rys.3a) w zakresie
liczb Reynoldsa do wartości R

e

≤ 2300. Założono stałą lepkość v

oraz gęstość ρ płynu i pominięto pole sił masowych (pole
wywołane polem grawitacji).

Różniczkowe równania ruchu cząstki płynu przez rurociąg mają

postać :

C

z

p











1

C

dr

dv

r

dr

v

d

x

x





1

2

2

(2.1)

gdzie C charakteryzuje szorstkość ścianki rurki kołowej, v

x

=

v

x

(r).

Równanie (2.1) są rozwiązywane przy warunkach brzegowych r

= R,

v

x

(R) = 0, dla r = 0. Oznacza to, że w środku rurki

prędkość

0







t

v

x

przepływu osiąga maksymalną wartość, natomiast na jej ściance
prędkość
przyjmuje wartość zerową.

Rys.3 Przepływ Poiseuille’a

Przyjmując

oznaczenie

u

d

dv

r

x



, drugie równanie układu (2.1) jest postacią:

C

u

r

r

u









1

(2.2)

Rozwiązaniem równania jest funkcja:

Cr

u

2

1



a po powtórnym scałkowaniu przy założonych warunkach brzegowych:





2

2

4

1

R

r

C

v

x





(2.3)

stałą C równą szorstkości ściany określono na podstawie pierwszego
równania (2.1):

l

p

z

p

C



















1

1

(2.4)

gdzie, l jest długością przewodu.

Podstawiając (2.4) do równania (2.1) określono ostatecznie pole

prędkości przepływu płynu przez rurociąg, zwane przepływem

Poiseuille’a:

 



































2

0

1

R

r

v

r

v

v

x

x

(2.5)

gdzie

2

2

max

0

16

4

d

l

p

R

l

p

v

v















(2.6)

jest maksymalną wartością prędkości przepływu w środku rury dla r =
0.

Natężenie przepływu płynu przez rurę obliczono na podstawie

wzoru
całkowego:

 

0

2

4

0

8

128

2

v

d

d

l

p

dr

r

rv

Q

R

x



















(2.7)

Wzór (2.7) stanowi treść prawa Hagena – Poiseuille’a dla

przepływu
laminarnego płynu przez rurociąg:

„Natężenie przepływu płynu lepkiego przez rurę o stałej

średnicy

jest proporcjonalne do długości przewodu”.

Wyznaczymy następnie średnią wartość prędkości przepływu

płynu
przez rurkę:

0

2

1

v

v

śr



Uwzględniając zależności (2.4), (2.5) wartość średnia prędkości
wynosi:

2

2

32

4

d

l

p

d

Q

v

śr











(2.8)

Ze wzoru (4.34) obliczono przyrost ciśnienia w rurce:

2

32

d

l

v

p

śr







(2.9)

Wartość straty

energii:

2

32

gd

l

v

p

h

śr













(2.10)

Wprowadzając liczbę Reynoldsa

l

d

v

R

śr

e



określono wysokość strat

przepływ

u

g

v

d

l

g

v

d

l

h

h

śr

śr

str

2

2

Re

64

2

2



































(2.11)

Natomiast wartość strat ciśnienia w rurce wyniesie:

g

v

d

l

h

p

śr

2

2

























(2.12)

Dla przepływów turbulentnych kształt profilu prędkości jest

bardziej równomierny wzdłuż średnicy rury, co ilustruje rys.3.b.
Średnia wartość prędkości przepływu przez rurę jest równa w
przybliżeniu prędkości maksymalnej v

śr

= v

max

.

Natomiast liczbę Reynoldsa określa

wzór:

 

v

r

v

R

n

śr

e

4



(2.13)

gdzie r

n

jest promieniem hydraulicznym o wartości:

;

z

z

n

L

S

r 

S

z

jest polem

przekroju zwilżenia cieczy, L

z

jest obwodem zwilżenia.

Przykładowo dla rurki o przekroju kołowym wypełnionej do połowy

cieczą promień hydrauliczny posiada wartość:

2

2

2

R

R

R

r

n









Współczynnik strat λ przy przepływach turbulentnych w zakresie

liczb
Reynoldsa dochodzących do R

e

= 150000 szacuje się wg wzoru

Schillera
i Hermanna:

 

3

,

0

396

,

0

0054

,

0







e

R



(2.14)

Doświadczalną zależność pomiędzy liczbą strat λ oraz liczbą

Reynoldsa R

e

sformułował Mises .

Zadanie

2

Obliczyć średnią wartość prędkości przepływu płynu przez

przewód o średnicy d i długości l, nachylony do poziomu pod kątem
α. Płyn tłoczony jest z pompy pod ciśnieniem p. Należy uwzględnić
ciągłe straty przepływu wg wzoru Darcy’ego.

Rozwiązanie

Maksymalną wartość prędkości określa wzór:

2

0

16

d

l

p

v







gdzie





,

str

b

h

h

p

p

p













,

sin



l

h 

,

2

2

g

v

h

śr

str





d

l

R

d

l

e

64









(1)





,

16

2

max

0

d

l

h

h

p

p

v

v

str

b















0

2

1

v

v

śr



(2)

Z równości (1) obliczono wartość maksymalnej oraz średniej

prędkości
przy uwzględnieniu strat ciągłych.





,

16

2

2

0

d

l

h

p

v















0

2

1

v

v

śr



(3)

gdzie





,

2

256

4

2

2

h

p

d

l



















Δp > γh

(4)

Współczynnik strat

,

d

l







e

R

64





Równanie Naviera – Stokesa

Dla płynów rzeczywistych, przy uwzględnieniu lepkości

dynamicznej

o współczynniku μ wektora, postać równania zachowania pędu może

być

zapisana w formie:

F

v

div

T

div

dt

v

d

d





































 





3

2

2

(3.1)

gdzie δ – jest tensorem jednostkowym, T

d

– jest tensorem

deformacji.

Dla uproszczenia założono stałą lepkość płynu, μ = const.

Równanie (3.1) można również przedstawić w postaci:









F

v

div

grad

grad

T

div

dt

v

d

d



















3

2

2

(3.2)

Pierwszy składnik równania (3.2) określa składowe wektora

deformacji odkształcenia postaciowego i można je wyrazić wzorami:





 

v

div

grad

v

T

div

x

x

x

d













2

2





 

v

div

grad

v

T

div

y

y

y

d













2

2





 

v

div

grad

v

T

div

z

z

z

d













2

2

(3.3)

gdzie

 

2

2

2

2

2

2

2

z

y

x























(3.4)

jest laplasjanem (operator Laplace’a).

Równanie (3.2) przy uwzględnieniu wyrażeń (3.3) przyjmuje postać

skalarną:

 





x

x

x

x

x

F

v

div

grad

x

p

v

div

grad

v

dt

dv



























3

2

2

 





y

y

y

y

y

F

v

div

grad

y

p

v

div

grad

v

dt

dv



























3

2

2

 





z

z

z

z

z

F

v

div

grad

z

p

v

div

grad

v

dt

dv



























3

2

2

(3.5)

Równania (3.5) nazywamy równaniem Naviera – Stokesa w

ortokartezjańskim układzie współrzędnych (0, x, y, z).

Do równania (3.5) dołącza się równanie ciągłości przepływu:

 

0









v

div

t





(3.6
)

Rozwinięte skalarowi postacie równań (3.5) są dość złożone.

Pochodne składowych wektora prędkości przepływu v

x

, v

y

, v

z

posiadają
składnik substancjalny i rotacyjny, opisany operatorem Stokesa :



 

v

v

t

v

dt

v

d











(3.7)

gdzie macierz diady operatora Stokesa



przyjmuje postać:





























































































































































z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

v

v

v

v

v

v

v

z

z

z

y

y

y

x

x

x

z

y

x

z

y

x

0

0

0

0

0

0

3

(3.8)































0

0

0

0

0

0

3

,

,

,





























z

y

x

gdzie

są operatorem nabla i diagonalnym operatorem różniczkowym nabla
o wymiarze 3.

Wykonując działania operatorowe zgodnie z równaniem (3.7)

otrzymamy szczegółową postać skalarną operatora Stokesa

 





















































































































z

v

v

y

v

v

x

v

v

z

v

v

y

v

v

x

v

v

z

v

v

y

v

v

x

v

v

v

v

v

v

v

v

v

z

z

y

y

z

x

y

z

y

y

y

x

x

z

x

y

x

x

z

y

x

Szczegółowe postacie równań (3.5), po uwzględnieniu wzorów

(3.7), (3.8), są następujące:

x

z

y

x

x

x

x

x

F

z

v

y

v

x

v

x

z

v

y

v

x

v

x

p

v



















































































3

1

2

2

2

2

2

2



y

z

y

x

y

y

y

y

F

z

v

y

v

x

v

y

z

v

y

v

x

v

y

p

v





















































































3

1

2

2

2

2

2

2



(3.9)

z

z

y

x

z

z

z

z

F

z

v

y

v

x

v

z

z

v

y

v

x

v

z

p

v



















































































3

1

2

2

2

2

2

2



gdzie:

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

v

x

z

x

y

x

x

x

x



























z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

v

y

z

y

y

y

x

y

y



























z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

v

z

z

z

y

z

x

z

z



























(3.10)

są pochodnymi absolutnymi składowych wektora prędkości względem
zmiennych (x, y, z, t). Wielkości F

x

, F

y

, F

z

oznaczają składowe wektora

sił masowych.

Równania Naviera – Stokesa we współrzędnych

walcowych

Równania Naviera – Stokesa we współrzędnych walcowych (r, φ, z)

przy założeniu stałej lepkości płynu nieściśliwego przyjmują postać :

r

r

r

r

r

r

r

F

v

r

v

r

r

v

r

z

v

v

r

r

v

r

p

v



































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1





























F

r

v

v

r

r

v

r

z

v

v

r

r

v

p

r

v

r

























































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1



z

z

z

z

z

z

F

r

v

r

z

v

v

r

r

v

z

p

v























































1

1

2

2

2

2

2

2

2



(4.1)

r

v

z

v

v

v

r

v

r

v

v

t

v

v

r

z

r

r

r

r

r

2



































r

v

v

z

v

v

v

r

v

r

v

v

t

v

v

r

z

r













































z

v

v

v

r

v

r

v

v

t

v

v

z

z

z

z

r

z

z































(4.2)

gdzie:

są składowymi wektora przyspieszenia płynu. Bardziej złożona postać
równania Naviera – Stokesa dotyczy opisu ruchu płynu rzeczywistego
o zmiennej lepkości μ i jest przytoczona w literaturze.

Zadanie 3

W poziomym przewodzie o średnicy D znajduje się pręt o

średnicy d,

przemieszczający się w kierunku osi x z prędkością u. Wnętrze rury

pomiędzy

ścianą przewodu a prętem wypełnione jest cieczą o lepkości

kinematycznej 

i gęstości ρ. Wyznaczyć prędkość przepływu płynu w kierunku osi x w

funkcji

promienia r (odległość dowolnej cząstki cieczy od osi x)

Rozwiązanie

Ruch płynu jest ustalony, prostoliniowy, czyli

)

r

(

V

V

x

x



2

2

z

y

r





0

V

,

0

V

z

y





Warunki brzegowe są:

0

X

V

;

R

r

R

;

2

D

R

;

0

)

R

(

V

;

2

d

R

;

U

)

R

(

V

x

2

1

2

2

x

1

1

x



















co wynika z równania ciągłości przepływu. Równania Naviera -
Stokesa redukują się w przypadku jednego równania w kierunku osi
x:

2

x

2

x

x

r

r

P

1

r





























( 1 )

gdzie p = p(r) jest ciśnieniem punktu w odległości r od osi X. Z
zasady zachowania pędu wynika równanie:

r

p

1

r

2

x

2















( 2 )

Całkując równanie (2) dwukrotnie wyznaczono:

2

1

2

1

r

2

1

;

r

1

C

r

C

r

p

C

r

p

r

x

x

























































( 3.1 )

( 3.2 )

Uwzględniając warunki brzegowe uzyskano układ równań ze
względu na stałe
C

1

, C

2

:

2

2

1

2

2

2

1

1

2

1

C

R

C

R

r

p

2

1

0

C

R

C

R

r

p

2

1

u

















































( 4 )

Rozwiązując układ równań (4) obliczono wartości stałych:





1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

R

R

R

u

r

p

2

R

R

C

R

R

r

p

2

1

R

R

u

C



















































( 5 )

Podstawiając stałe C

1

C

2

do równości (3.2) wyznaczono

prędkość przepływu w kierunku osi X w funkcji promienia r:

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

x

r

r

p

2

1

r

R

R

R

R

1

r

p

2

R

R

R

r

1

R

R

R

u































































































Założono liniową zmianę ciśnienia p w funkcji promienia r :

( 6 )





r

R

a

p

aR

b

0

p

;

R

r

;

ar

b

p

2

2

2



















( 7 )

Podstawiając do równania (6) wartość pochodnej ciśnienia

a

r

p







































































2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

x

R

R

r

r

R

R

R

R

1

2

R

R

R

r

1

R

R

R

u

( 8 )

Maksymalna wartość prędkości występuje w punktach położonych w
odległości r

śr

do osi X:









2

1

śr

2

1

2

max

R

R

2

1

R

,

a

8

R

R

u















( 9 )

Straty hydrodynamiczne przepływu

Podczas ruchu ciała w płynie lepkim (oraz przepływu płynu w

przewodzie) działa siła oporu, która w ogólności zależy od gęstości,
lepkości oraz prędkości V:

 

2

2

e

l

R

f

R





Dla płynów rzeczywistych zależność f(R

e

) wyznacza się na ogół

doświadczalnie, gdzie

jest liczbą Reynoldsa. Przy opływie ciała przez ciecz wartość siły
oporu jest proporcjonalna do różnicy ciśnień statycznych p-p

∞

na

powierzchni ciała w warstwie przyściennej i wynosi:







d

R

e

p

2

p

e

S

2

V

C

R







(5.1)

(5.2)

gdzie V

∞

jest prędkością przepływu niezakłóconego, S

p

jest polem

powierzchni przekroju czołowego ciała.

Wartość współczynnika C

p

zależy od kształtu (profilu) ciała przy

opływie, kąta natarcia a i liczby R

e

. Składowa pozioma R

xt

siły oporu R

nazywa się siłą tarcia opływu lub oporem powierzchniowym i posiada
wartość:

t

2

xt

xt

S

2

V

C

R







gdzie S

t

jest polem powierzchni opływanego ciała. Składowa pionowa

R

y

nazywa się siłą nośną i posiada wartość:

Rys. 4

(5.3)

S

2

V

C

R

2

y

y







gdzie S jest polem płata poziomego o największej wartości, zwanym
płatem lotniczym, C

y

jest współczynnikiem siły nośnej.

Każdy profil posiada krytyczny kąt natarcia α

kr

dla którego siła R

y

osiąga wartość maksymalną. Podczas przepływu turbulentnego płynu
w przewodzie kołowym występuje opór przepływu zależny od profilu
prędkości. Naprężenia styczne r zwane naprężeniami newtonowskimi
określa wzór:



















dn

dV

których największe wartości występują na powierzchni wewnętrznej
przewodu dla r=R; n oznacza wektor jednostkowy normalny, η jest
współczynnikiem lepkości dynamicznej.

Siłę tarcia stycznego przy opływie elementu walcowego o długości

l i promieniu R obliczamy jako:









































d

dV

C

d

dV

Rl

2

S

T

w

(5.4)

(5.5)

(5.6)

Przez C oznaczono współczynnik oporu hydrodynamicznego o
wartości:











Rl

2

b

W przypadku przepływu PoiseuiIle'a uwzględniając wzór na

prędkość przepływu:





































2

max

R

r

1

V

V

i obliczając pochodną :

dr

dV

R

dn

dV

,

R

r

V

2

dr

dV

2

max







wyznaczono wartość siły tarcia w funkcji promienia r :





















R

r

bV

R

r

V

R

l

4

T

śr

max

Maksymalna wartość siły tarcia przy przepływie Poiseuille'a

występuje na ściance wewnętrznej przewodu dla r=R i wynosi:
T

max

=bV

śr

gdzie V

śr

=V

max

/2 jest prędkością średnią.

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Opływy ciał i wiry Karmana

Rozpatrujemy opływ ciała sztywnego zanurzonego w

przemieszczającym

się

płynie,

stanowiącego

nieruchomą

przeszkodę o określonej geometrii, np. w formie walca, kuli
elipsoidy lub tzw. dysku. Zjawisko opływu jest związane z
natarciem strumienia płynu z prędkością v na powierzchnię
(zwykle z jednej strony) ciała i zniekształceniem linii prądu (np.
równoległych linii strugi po napotkaniu przeszkody). Z drugiej
strony opływanego ciała, w pobliżu jego powierzchni powstaje
„martwa" strefa przepływu (tzw. cień hydrodynamiczny), w którym
panuje podciśnienie, co może spowodować osobliwy przepływ
przedostających się tam cząstek płynu w pobliżu wirów (linii wiru).
Wiry nazwano od nazwiska badacza tego zjawiska wirami
Karmana. Ilustrację wirów Karmana przy opływie walca
zanurzonego w strumieniu płynu stanowi rys.5 Z kolei dla
ciała bardziej spłaszczonego w formie dysku zawirowania powstają
jedynie tuż przy powierzchni ciała po jego drugiej stronie, zaś linie
prądu przy opływie ciała ulegają zniekształceniu rys 6.

Rys.5

Rys.6

Prędkość opływu płynu przy powierzchni walca wynosi:

Rozkład ciśnień na powierzchni walca można obliczyć przy
zastosowaniu prawa Bernoulliego względem linii prądu. Z drugiej
strony prędkość względna opływu v

t2

daje się obliczyć za pomocą

cyrkulacji płynu r po powierzchni walca:









sin

2

1

t

t

R

2 







Suma obydwu prędkości daje prędkość całkowitą o wartości:

Stosując równanie Bernoulliego można obliczyć ciśnienie p w punkcie
P na powierzchni walca:

gdzie p

o

jest ciśnieniem na zewnątrz walca, w dalszej od niego

odległości.

R

2

sin

2

t















g

p

g

p

t

2

2

2

2

0















(6.3)

(6.2)

(6.1)

Wyznaczamy następnie siłę nośną Żukowskiego działającą na walec
przy opływie:

























































2

2

0

R

2

sin

2

2

1

p

p

p

























2

0

0

l

d

sin

R

p

p

l

F

Na podstawie równości (6.3) wyznaczono różnicę ciśnień:

gdzie l jest długością walca.

Działanie siły nośnej F na opływane ciało zwane jest efektem

Magnusa, zaobserwowanym przez niego w roku 1852. Równanie (6.5)
zostało po raz pierwszy wyprowadzone przez Kuttę - Jankowskiego i
może być uogólnione również na przypadek opływu dowolnego ciała.
Przyrównując do zera wyrażenie (6.5) określa się punkt zerowy
prędkości opływu

(6.4)

(6.5)

R

2

sin

2

0













gdzie Θ

0

jest kątem pomiędzy osią poziomą a promieniem r

0

do

punktu zerowego P

0

na powierzchni walca.

skąd obliczono wartość cyrkulacji



















R

4

sin

R

4

0

Zauważmy, że dla kąta prędkość opływu ciała osiąga

wartość maksymalną:







2

3

0

2

-

2

4

R

2

R

4

2

0

max

































(6.7)

(6.6)

(6.8)

Walec pod działaniem opływu doznaje obrotu z prędkością kątową

R

2

R

1











(6.9)

dla linii prądu nachylonych pod kątem 60° do osi poziomej.

Opływ kuli o promieniu R zanurzonej w płynie badał z kolei Stokes.

Całkowita siła nośna kuli przy opływie jest sumą siły wywołanej
ciśnieniem oraz oporem opływu i wynosi:

gdzie C

0

jest współczynnikiem opływu, S jest polem przekroju

równikowego kuli, S =  R

2

.

Prawo opływu kuli sformułowane przez Stokesa przy

uwzględnieniu siły oporu lepkiego wyraża się wzorem

Dla opływu turbulentnego kuli wartość współczynnika opływu

C

0

= 0,45. W przypadku przepływu laminarnego współczynnik ten

oblicza się ze wzoru C

0

= 24/R

e

za pomocą liczby Reynoldsa.

2

S

C

F

2

0

d







R

6

d

3

F

d









(6.10)

(6.11)

Dodajmy również, że badania przeprowadzone przez Taylora oraz

Rayleigha pozwoliły sformułować zależność dla częstotliwości wzorów
Karmana, powstających przy opływie walca:





















e

k

R

20

1

D

20

,

0

f

Podobieństwo dynamiczne przepływów. Liczby

kryterialne i analiza wymiarowa

W technice występują grupy zjawisk, które można opisywać tymi
samymi równaniami różniczkowymi, pomimo że ich zmienne
opisowe, czyli współrzędne uogólnione są istotnie różne od siebie,
np. elektryczne, mechaniczne, cieplne, przepływowe. Zjawiska
takie, wykazujące podobieństwo modelowe, nazywamy zjawiskami
analogicznymi względem siebie. Metodologia polegająca na
porównywaniu wyników badań lub obliczeń na podstawie modelu
analogicznego nazywa się modelowaniem analogowym lub analizą
podobieństwa.
Wyróżnia się następujące grupy podobieństw i analogii:
-

podobieństwo geometryczne,

-

podobieństwo fizyczne: statyczne, dynamiczne, cieplne,

elektryczne
itp.

(6.12)

Liczby podobieństwa dynamicznego

Podstawową liczbą kryterialną podobieństwa dynamicznego jest

liczba Reynoldsa, opisująca iloraz sił bezwładności do sił lepkości:

gdzie η kg/ms jest współczynnikiem lepkości dynamicznej, I jest
długością drogi przepływu. Liczba Froude'a jest ilorazem siły
bezwładności do siły grawitacji.

Liczba Froude'a opisuje opory falowe na powierzchni płynu. Wszystkie
podane liczby kryterialne są bezwymiarowe.













l

l

R

e

gl

F

r





Jako kryterium podobieństwa przyjmuje się równość odpowiednich

parametrów oraz równań opisowych porównywalnych zjawisk. W
układach hydrodynamicznych zachodzi podobieństwo różnych liczb
kryterialnych, zwanych liczbami podobieństwa dynamicznego,
opisujących siły bezwładności, lepkości, ciężkości oraz energie
przepływu.