Ćwiczenie 7

Badanie drgań wahadła sprężynowego

Wprowadzenie

-ruch drgający harmoniczny:

Ruch drgający - rodzaj ruchu w którym ciało porusza się tam i z powrotem po tej samej drodze

Ruch harmoniczny prosty: występuje gdy siła działająca na ciało drgające jest proporcjonalna do wychylenia ciała z pozycji równowagi i przeciwnie do niego skierowana.

Ruch harmoniczny prosty jest to taki ruch, w którym współrzędna opisująca ruch ciała zmienia się okresowo w sposób sinusoidalny. Wielkości występujące w poniższej funkcji charakteryzują ruch harmoniczny:

x=Acos(ωt+ φ)

φ-faza początkowa ruchu; jest to kąt, który określa wartość współrzędnej x w chwili t=0

A-amplituda drgań

ω - częstośc kołowa drgań spełniająca zależność

ω=2Πf=2Π/T

Okres drgań - czas, w którym wykonane jest jedno pełne drganie. W czasie okresu ciało przejdzie dwukrotnie każdy punkt swojej drogi i wraca do stanu początkowego.

Częstotliwość drgań - jest to liczba drgań przypadających na jednostkę czasu.

Okres i częstotliwość związane są zależnością:

f*T=1

Zależność pomiędzy współrzędną położenia ciała, jego przyspieszeniem i częstościa kołową drgań w ruchu harmonicznym:

a=- ω²x.

Ruch drgający ciała zawieszonego na sprężynie:

Celem naszego doświadczenia jest obserwacja ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie, tzw. wahadła sprężynowego. Ciężarek zawieszony na sprężynie spoczywa w położeniu, Które jest położeniem równowagi. Jeśli ciężarek pociągniemy w dół poniżej położenia równowagi i puścimy, zacznie on wykonywać drgania w dół i w górę. Zgodnie z prawem Hooka, przy małych odkształceniach, siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia x₀:

F₀=-kx₀

Stała k jest tutaj współczynnikiem sprężystości sprężyny.

Współrzędną spoczynkowego odkształcenia x₀ otrzymamy z warunku równowagi sił: P+F₀=0.; wartości tych wektorów muszą być więc jednakowe: mg=kx₀. Jeśli zmierzymy x₀ dla znanej masy m zawieszonej na sprężynie, możemy wyznaczyć jej współczynnik sprężystości k:

Jeszcze wzór na okres drgań:

Jak widać okres drgań nie zależy od amplitudy A - jest to prawo izochronizmu wahadła sprężynowego.

Z energetycznych rozważań o ruchu drgającym można wyprowadzić wzór uwzględniający fakt, że sprężyna ma swoją masę. Ma on postać:

Wykonanie doświadczenia

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny:

1. Zawieszamy sprężynę na statywie i do jej końca przymocowujemy lekki plastykowy wskaźnik. Na podziałce liniowej połączonej ze statywem odczytujemy położenie poziomej kreski zaznaczonej na wskaźniku.

2. Do wskaźnika doczepiamy odważnik o znanej masie i ponownie odczytujemy położenie kreski wskaźnika. Obliczamy wydłużenie sprężyny.

3. Obliczamy ciężar zawieszonej masy i współczynnik sprężystości k.

4. Pomiary wykonujemy dla trzech różnych ciężarków i obliczamy średnią wartość k.

Sprawdzanie prawa izochronizmu wahadła :

1. Obciążmy sprężynę odważnikiem, odciągamy go w dół o pewną wielkość i mierzymy czas n pełnych drgań wahadła. Dla tej samej amplitudy drgań powtarzamy te pomiary trzykrotnie. Obliczamy średni czas n drgań, a następnie okres ruchu drgającego.

2. Pomiary okresu powtarzamy jeszcze przy dwóch innych, odpowiednio powiększonych amplitudach drgań.

Wyznaczanie masy ciężarka :

Masa m. jest sumą masy badanej m_x i masy wskaźnika m._w. Masę m._x obliczamy więc ze wzoru:

Obliczenia:

Wyznaczanie masy ciężarka:

Rachunek błędów

Δk=maxk-k_i, i=1,2,3

Δk=0%

Δm_x=5,98%

Wnioski

Potwierdziło się prawo izchronizmu wahadła - rzeczywiście okres drgań nie zależy od amplitudy.

Szukane wielkości; współczynnika sprężystości sprężyny k=50, natomiast obliczona masa ciężarka m=0,124kg.

Nasze obliczenia są z pewnym błędem, co wynika głównie z niedokładności pomiarów, niedoskonałości osób wykonujących doświadczenie i z małej dokładności urządzeń mierzących.

---