Populacją nazywa się każdy kompletny zbiór pomiarów, obiektów lub jednostek podlegających badaniu.

Populacją jest każdy zbiór elementów mających minimum jedną cechę wspólną.

Cechy podlegające badaniu utożsamiamy z tzw. zmiennymi losowymi.

Zmienne losowe:

dyskretne - zbiór wartości skończony lub przeliczalny;

ciągłe - zbiór wartości nieskończony, nieprzeliczalny.

Zachowanie się zmiennej losowej opisuje rozkład prawdopodobieństwa.

Każdy rozkład prawdopodobieństwa charakteryzują pewne parametry.

Próba stanowi część, podzbiór badanej populacji. Na podstawie obserwacji, które znalazły się w próbie uzyskuje się oceny parametrów , czyli wartości estymatorów parametrów opisujących rozkład badanej zmiennej losowej (cechy).

Charakterystyki próby

Miary położenia

Miary położenia charakteryzują położenie funkcji rozkładu prawdopodobieństwa na osi odciętych.

Niech

będą obserwacjami badanej cechy pochodzącymi z próby.

Średnią arytmetyczną obserwacji nazywamy wielkość

Czasami obserwacjom w próbie przypisujemy pewne wagi związane ze znaczeniem danych obserwacji. W takim wypadku wyznaczamy tzw. ważoną średnią arytmetyczną obserwacji czyli wielkość

gdzie
oznaczają wagi przypisane poszczególnym obserwacjom w zależności od ich znaczenia.

Przykład

Student leśnictwa uzyskał 16 punktów z I kolokwium, 14 punktów z II kolokwium i 18 punktów z egzaminu. Średnia punktów uzyskanych przez studenta jest równa

Jeśli wspomnianemu wcześniej egzaminowi przypiszemy wagę 3 a kolokwium wagę 1, to ważona średnia przyjmie wartość

Medianą uporządkowanego ciągu obserwacji nazywamy wartość środkową (jeśli liczba obserwacji jest nieparzysta) lub średnią arytmetyczną dwóch wartości środkowych (gdy liczba obserwacji jest parzysta).

Modą (wartością modalną) zbioru obserwacji jest obserwacja najczęściej występująca w zbiorze. Moda może nie istnieć lub może być kilka wartości modalnych w danej próbie.

Średnią geometryczną zbioru obserwacji, z których każda jest liczbą dodatnią nazywamy wielkość

Średnią harmoniczną zbioru obserwacji, z których każda jest liczbą różną od zera nazywamy wielkość

Średnia uciętą nazywamy średnią arytmetyczną, którą wyznaczamy po usunięciu z próby takiej samej liczby obserwacji najmniejszych i największych, np 5%.

Obok średniej, mediany i mody do miar położenia zalicza się także kwartyle. Kwartylami
nazywamy wielkości, które dzielą zbiór obserwacji na cztery równe części. Kwartyl drugi jest medianą. Kwartyl pierwszy, zwany także dolnym, jest medianą tych obserwacji, które nie są większe niż mediana w całej próbie, a kwartyl trzeci, zwany górnym, jest medianą obserwacji nie mniejszych od mediany w całej próbie.

Przykład

W pewnym doświadczeniu farmakologicznym oznaczano moment pojawienia się symptomów choroby u 21 szczurów, którym podano nową szczepionkę. Otrzymano następujące obserwacje: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 7, 12, 12, 16, 17, 17, 22, 25 (dni).

Średnia arytmetyczna jest równa

moda jest równa 2,

medianą jest obserwacja jedenasta, czyli 5,

kwartyl dolny jest obserwacją szóstą, czyli jest równy 2,

kwartyl górny jest obserwacją szesnastą czyli jest równy 12.

Miary rozproszenia

Miary rozproszenia opisują kształt funkcji rozkładu prawdopodobieństwa.

Przykład

W badaniach nad plonowaniem nowej odmiany pomidora pobrano dwie próby. W pierwszej uzyskano następujące obserwacje: 12, 13, 11, 14, 15, 15, 18 (kg). W drugiej próbie zanotowano: 10, 8, 9, 20, 13, 12, 26 (kg).

średnia arytmetyczna = 14

Rozstępem nazywamy różnicę między największą i najmniejszą obserwacją w próbie.

Zmienność kwartylowa jest połową różnicy między kwartylem górnym a dolnym, czyli jest wielkością

Średnim odchyleniem nazywamy wielkość

Wariancją zbioru danych nazywamy wielkość

Odchyleniem standardowym nazywamy pierwiastek kwadratowy z wariancji czyli s.

Współczynnikiem zmienności nazywamy wielkość

Współczynnik zmienności jest wielkością niemianowaną. Może więc posłużyć także np. do porównania zmienności pomiarów wykonywanych dwoma urządzeniami mierzącymi w różnych jednostkach.

- zmienność kwartylowa wynosi

,

- średnie odchylenie jest równe

,

- wariancja jest równa

,

- odchylenie standardowe wynosi s=2.31,

- współczynnik zmienności jest równy

.

3

---