Ćwiczenia 8 - 29 -

Przykład 28

Na punkt materialny o masie m = 1.6 kg, znajdujący się w spoczynku, zaczyna w chwili t = 0 działać siła zmieniająca się według równania P = P₀ cosω t, gdzie t oznacza czas w sekundach, a ω jest stałą wyrażoną w 1/s. Wyznaczyć równanie drogi punktu materialnego pod działaniem tej siły, oraz x dla P₀ = 3 N, ω = 0.5 1/s, t = 1.1 s.

Rozwiązanie

Zakładając, że dla t = 0, x = 0 i wektor siły P pokrywa się z osią x to równanie ruchu punktu ma postać:

,
(a)

Warunki początkowe: t = 0, V₀ = 0 = x^' stąd

,
(b)

podstawiając (b) do (a)

(c)

podstawiając dane do (c)

Przykład 29

Samochód o masie m = 1000 kg poruszający się z prędkością V₀ =108 km/h rozpoczął hamowanie na prostoliniowym odcinku drogi. Współczynnik tarcia między oponami i drogą wynosi μ = 1. Opór powietrza przyjąć R = kV² N.

Znaleźć drogę przebytą przez samochód do momentu zatrzymania się oraz czas ruchu. Warunki początkowe dla t = 0: s₀ = 0, ds/dt = V₀, k = 0.25

T T T

s

s_k

Rys.29

Rozwiązanie

,
,

ponieważ:
,

- 30 -

dlatego:
(d)

oznaczmy
(e)

, czyli

oznaczmy
wtedy
(f)

całkujemy (f)

stąd

Stałą całkowania C₁ wyznaczamy z warunków początkowych dla s = 0, V = V₀

dla V = 0; s = s_max = s_k (rys. 29)

gdzie

- 31 -

Czas ruchu obliczamy, wychodząc z równania (d)

stąd po rozdzieleniu zmiennych

po scałkowaniu otrzymujemy

. Dla t = 0, V =V₀

Uwaga: arkus tgα = arc tgα ( wina programu)

Z warunku, że dla V = 0, t = t_k, czas ruchu punktu od początku ruchu do momentu zatrzymania wynosi:

gdzie
ostatecznie

V₀ = 30 m/s

V_k = 0

V