Ćwiczenia 13 Przykład 47 - 51 -

Wyznaczyć jaki ma być kąt pochylenia szosy na zakręcie o średnim promieniu r = 300 m, aby dla samochodu jadącego z prędkością V = 80 km/h nie zachodziło niebezpieczeństwo poślizgu.

Rozwiązanie

r

C

a - ma

T

α N

mg α

Rys. 47

Siły działające na samochód przedstawiono na rys. 47.

Aby mieć gwarancję że nie nastąpi ześlizgnięcie się samochodu z drogi kąt α musi być tak dobrany aby siła tarcia była równa zeru. Warunek ten jest spełniony dla sił przedstawionych na rysunku 47, czyli gdy

Przykład 48

Określić prędkość satelity krążącego wokół Ziemi na wysokości h = 400km, jeśli wiadomo, że promień Ziemi R_z = 6370 km.

Rozwiązanie

orbita satelity M masa Ziemi

m

Ziemia mg V = 0

R_z

mg_x m -ma

R_S V_S

Rys. 48

Równowaga sił działających na satelitę dla V = 0
stąd
(a)

Równowaga sił działających na satelitę znajdującego się na orbicie R_S = R_Z + 400 km

stąd
(b)

Porównując (a) i (b) otrzymujemy:

Przykład 48 - 52 -

Silnik elektryczny, którego stojan ma masę równą M = 0.5 kg, a wirnik masę m = 0.1 kg, ustawiono na fundamencie, tak jak pokazuje rys. 48. Obliczyć, jaka może być maksymalna prędkość kątowa wirnika, aby silnik nie podskakiwał, jeżeli wiadomo, że środek masy wirnika, oznaczony na rysunku 48 przez C, leży w odległości e = 0,3 mm od osi wirnika.

Rozwiązanie

mω²e

wirnik

C gdy R = 0 to

e wtedy

G stojan

fundament

R

Przykład 49

Wyprowadzić wzory na moment bezwładności względem osi z przechodzącej przez środek masy i osi z₁ cienkiego jednorodnego pręta (rys.49). Dane: masa pręta m, długość pręta l.

z₁ z

C dm

0₁ x

x dx

l/2 l/2 Rys. 49

Rozwiązanie

Przykład 50

Dla cienkiej trójkątnej płytki o masie m i wymiarach jak na rysunku 50, określić moment bezwładności względem osi x. Grubość płytki δ.

- 53 -

y

dy H

b_x y

0 x

b Rys. 50

Rozwiązanie

gęstość masy trójkąta

z podobieństwa trójkątów
stąd

(50)

Przykład 51

Wyznaczyć moment dewiacji względem osi xy cienkiej jednorodnej płytki o postaci trójkąta (rys.51) oraz względem osi x'y' równoległych do osi xy i przechodzących przez środek masy C. Dane a, b i m (masa trójkąta).

Rozwiązanie

y x_C y'

dm

b dy y_c=b/3

u x_c = a/3

y_c x' y

x dx x Rys.51

a

;
;
;

- 54 -

Wyznaczenie momentu dewiacji względem osi x'y'

Wzór Steinera

stąd

Przykład 52

Dla cienkiej jednorodnej płytki (rys. 52) obliczyć wartość momentu bezwładności względem osi x_C przechodzącej przez środek masy C i równoległej do podstawy płytki. Dane m = 3 kg, H = 40 cm, a = 34 cm.

y

H

C x'

y_C

0 x

a Rys. 52

Rozwiązanie

Wzór Steinera

gdzie
(patrz wzór (50))

Odpowiedz: Moment bezwładności względem osi x'

C

---