LICZBY ZESPOLONE

Iloczynem Kartezjańskim- zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x,y) takich, że x∈X i y∈Y. X×Y={(x,y):x∈X∧y∈Y}

Relacje i własności liczb zespolonych dla z₁=(a,b) i z₂=(c,d):

z₁+z₂:=(a+c, b+d)

z₁-z₂:=(a-c, b-d)

z₁z₂:=(ac-bd, ad+bc)

z₁+z₂:=( (ac+bd)/(c²+d²), (bc-ad)/(c²+d²) )

z₁+z₂=z₂+z₁ -przemienność dodawania

(z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃) -łączność dodawania

z₁z₂ =z₂z₁ -łączność mnożenia

z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃ - rozdzielność

Postać analityczna a+bi gdzie a,b to część rzeczywista oraz i to część urojona (i²=-1) np.

z=x+yi

Postać trygonometryczna

z=|z|(cosϕ+isinϕ)

Postać wykładnicza

z=|z|e^iϕ

Pierwiastkowanie

zⁿ=|z|ⁿ(cosnϕ+isinnϕ) -wzór de Moivre'a

Pierwiastkowaniem stopnia n z liczby z=|z|(cosϕ+isinϕ) nazywamy

każdą liczbę zespoloną ζ=ρ(cosα+isinα)

taką, że ζⁿ=z. ρⁿ(cosα+isinα)=|z|(cosϕ+isinϕ). Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z dowolnej liczby zespolonej różnej od zera

Grupą nazywamy uporządkowaną parę (G,⊕), gdzie G jest zbiorem, a ⊕ jest działaniem w G;

spełniającą trzy warunki:

1) działanie ⊕ jest łączne, tzn, a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c dla dowolnych a,b,c∈G ;

2)w zbiorze G istnieje element neutralny, tj. taki element e, że dla każdego a∈G zachodzi a⊕e=e⊕a=a;

3) dla każdego a∈G istnieje x∈G taki, że a⊕x=x⊕a=e (nazywamy go elementem odwrotnym lub przeciwnym do a)

Grupa abelowa to grupa (G,⊕) gdzie działanie ⊕ jest przemienne, tj. dla dowolnych a.b∈G zachodzi a⊕b=b⊕a

Ciałem nazywamy strukturę (X,⊕,⊗) (gdzie X to zbiór a ⊕,⊗ to działania w X) jeśli: 1) (X,⊕) jest grupą abelową; 2) (X*,⊗) jest grupą abelową ( X* oznacza zbiór odwrotny do X); 3) dla dowolnych a,b,c∈X zachodzi warunek a⊗(b⊕c)=a⊗b⊕a⊗c -rozdzielność działania ⊗ względem ⊕

Wielomianem stopnia n nad F nazywamy funkcję ϕ_n taką, że

ϕ_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ ,

gdzie a_i∈F, pierwiastkiem wielomianu ϕ_n jest liczba p, jeśli ϕ_n(p)=0

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Macierzą prostokątną (nad ciałem F) o n wierszach i m kolumnach nazywamy tablicę utworzoną z elementów ciała F.

Działania na macierzach dla macierzy A,B,C oraz a,b∈F:

(AB)C=A(BC) -łączność

(A+B)C=AC+BC -rozdzielność prawostronna

C(A+B)=CA+CB -rozdzielność lewostronna

(aA)^T=aA^T

(A+B)^T=A^T+B^T

a(bA)=(ab)A

(a+b)A=aA+bA

a(A+B)=aA+aB

(AB)^T=B^TA^T

(A^-1)^T=(A^T)^-1

(AB)^-1=B^-1A^-1

Macierzą jednostkową nazywamy taką macierz I_n=[a_ij] ∈M_n(F), której elementy spełniają warunek a_ij=δ_ij, gdzie symbol δ_ij , zwany deltą Kroneckera, gdzie δ_ij=1 dla i=j oraz δ_ij=0 dla i≠j

Macierzą odwrotną do A nazywamy taką macierz B, która spełnia równości AB=BA=I_n. Oznaczamy symbolem A^-1=(1/detA)A^D

Permutacją zbioru {1,2,...,n} nazywamy dowolną różnowartościową funkcję p odwzorowującą ten zbiór na siebie

Inwersję tworzą liczby k_j i k_i z permutacji (k₁,k₂,...,k_n) jeżeli k_j<k_i dla i<j.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A=[a_ij] nazywamy liczbę detA, którą można wyliczyć za pomocą schematu Sarrusa, rozwinięcia Laplace'a

Rozwinięcie Laplace'a

detA=(-1)ⁱ⁺¹a_i1A_i1+(-1)ⁱ⁺²a_i2A_i2+...+(-1)ⁱ⁺ⁿa_inA_in

Własności wyznacznika:

1) wyznacznik nie zmienia swej wartości, gdy dokonamy transpozycji tego wyznacznika, tzn. gdy przestawimy w nim wszystkie wiersze na miejsce kolumn z zachowaniem kolejności;

2) przestawienie między sobą dwóch dowolnych wierszy lub kolumn zmienia znak wyznacznika na przeciwny;

3) wyznacznik, w którym wszystkie elementy pewnego wiersza lub kolumny są zerami, ma wartość zero;

4) jeżeli w wyznaczniku występują dwa wiersze lub dwie kolumny proporcjonalne (lub identyczne), to wartość wyznacznika równa się zeru;

5) jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza lub kolumny mają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed znak wyznacznika |ka₁₁|=k|a₁₁| ;

6) jeżeli każdy element pewnego wiersza lub kolumny jest sumą dwóch składników to wyznacznik ten można przedstawić w postaci sumy dwóch wyznaczników |a₁₁+b₁₁ a₁₂|=|a₁₁ a₁₂|+|b₁₁ a₁₁| ;

7) wyznacznik nie zmienia wartości, jeżeli do wszystkich elementów dowolnego wiersza lub kolumny dodamy odpowiednie elementy innego wiersza lub kolumny, pomnożone przez tę samą liczbę;

8) jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy znajdujące się pod (lub nad) główną przekątną są równe zeru, to wartość wyznacznika jest równa iloczynowi wszystkich elementów głównej przekątnej.

Rzędem macierzy A nazywamy najwyższy ze stopni tych jej minorów, które są różne od zera. Symbol R(A). Rząd macierzy nie ulegnie zmianie gdy:

1) jej wiersze lub kolumny pomnożymy przez liczbę różną od zera;

2) przestawimy dowolnie jej wierze lub kolumny;

3) do jednego wiersza lub kolumny dodamy sumę innych wierszy lub kolumn pomnożonych przez liczby, czyli dodamy kombinacje liniową tych wierszy lub kolumn;

4) skreślimy wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer.

Kronecker-Capelli układ równań ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy R(A)=R(U), gdy R(A)>R(U) to jest to układ nieoznaczony-wiele rozwiązań, gdy R(A)<R(U) to jest to układ sprzeczny-brak rozwiązania

Układ jednorodny gdy wszystkie wyrazy wolne są równe zeru. Jednorodny układ Cramera posiada jedynie rozwiązanie zerowe, x₁=x₂=...=x_n=0

Wzory Cramera rozwiązanie układu n równań liniowych o n niewiadomych i nieosobliwej macierzy: x_i=detA_i/detA , i=1,2,...,n

Metoda eliminacji Jordana-Gaussa zerowanie kolumn lub wierszy poprzez działanie na kolumnach i wierszach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę różną od zera) zamieniając na układ równoważny o tych samych niewiadomych np.

2x+y=3 2 1 3

x-2y=4 1 -2 4

0 5 -5 0 1 -1

1 -2 4 1 0 2

y=-1

x=2

GEOMETRIA PRZESTRZENNA

Przestrzenią wektorową nazywamy strukturę (V,F,⊕,⊗) (gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem liczbowym,⊕ jest działaniem w V, ⊗ jest mnożeniem elementów zbioru V(wektorów) przez skalary ciała F)

jeśli dla dowolnych x,y,z∈V i a.b∈F:

1) x+y=y+x ;

2) (x+y)+z=z+(y+z) ;

3) isteniej element 0∈V taki, że x+0=x ;

4) dla każdego x istnieje y taki, że x+y=0 ;

5) 1x=x ;

6) (ab)x=a(bx) ;

7) a(x+y)=ax+ay ;

8) (a+b)x=ax+bx.

Przestrzeń wektorowa V nazywa się skończenie wymiarową, jeśli posiada bazę o skończonej liczbie elementów. Liczbę tę nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy symbolem dim(V). Przestrzeń, która nie jest skończenie wymiarowa, nazywa się nieskończenie wymiarową.

Przykłady przestrzeni wektorowych:

1) zbiór punktów płaszczyzny R² gdzie (x,y)⊕(z,t):=(x+z, y+t); a⊗(x,y):=(ax, ay) i a,x,y,z,t∈R ;

2) zbiór wielomianów P(F) o współczynnikach z ciała F, z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia ich przez liczby z ciała F, tworzy przestrzeń wektorową nad tym ciałem ;

3) zbiór macierzy prostokątnych M_n×m(F) tworzy przestrzeń wektorową nad F bo (M_n×m(F), F, ⊕,⊗) spełnia warunki przestrzeni wektorowej.

Przestrzeń Rⁿ ma wymiar n, przestrzeń M_n×m(F) ma wymiar nm, przestrzeń P_n(F) ma wymiar n+1, przestrzeń P(F) jest nieskończenie wymiarowa, przestrzeń (C,C,⊕,⊗) ma wymiar 1 i działanie ⊗ jest mnożeniem liczb zespolonych, przestrzeń (C,R,⊕,⊗) ma wymiar 2 i działanie ⊗ oznacza tu mnożenie liczb zespolonych przez liczby rzeczywiste.

Liniowa zależność wektorów. Wektory x₁,x₂,...,x_n nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli jedynie ich trywialna kombinacja jest wektorem zerowym, w przeciwnym wypadku wektory te są liniowo zależne. Jeżeli a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n=0 => a₁=a₂=...=a_n=0 to są niezależne. Podzbiór S przestrzeni V nazywamy liniowo zależnym, jeśli zawiera on skończony zbiór x₁,x₂,...,x_n wektorów liniowo zależnych. Jeżeli S nie jest liniowo zależny, to nazywamy go liniowo niezależnym. Aby wektory x₁,x₂,...,x_n były liniowo zależne potrzeba i wystarcza, aby jeden z nich był kombinacją liniową pozostałych.

Bazą przestrzeni wektorowej V jest każdy liniowo niezależny zbiór β wektorów tej przestrzeni, taki że każdy wektor V jest kombinacją liniową wektorów β.

Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję T:V→W (V i W to przestrzenie wektorowe nad ciałem F) jeśli dla dowolnych x,y∈V i c∈F zachodzi:

1) T(x+y)=T(x)+T(y);

2) T(cx)=c T(x)

Macierzą przekształcenia T nazywamy macierz A=[a_ij] o wymiarze m×n przekształconą względem uporządkowanych baz β, γ i oznaczamy A=[T]_βγ

Iloczynem skalarnym wektorówu iv nazywamy liczbę równą iloczynowi ich długości i cosinusa kąta α zawartego między nimi. uv=|u||v| cosα

Iloczynem wektorowym liniowo niezależnych wektorów u iv nazywamy taki wektorw, który spełnia warunki:

1) |w|=|u||v| sinα gdzie α jest kątem między wektorami,

2) w jest prostopadły do u i dov , 3) uporządkowana trójka (u,v,w ) ma orientację dodatnią. Oznaczamy symbolemu ×v

Postać parametryczna płaszczyzny wyznaczonej przez punkt P₀ oraz parę wektorów a ib

x=x₀+ua₁+vb₁

y=y₀+ua₂+vb₂

z=z₀+ua₃+vb₃

Równanie płaszczyzny zawierającej punkt P₀ i wektor normalnyu [a,b,c] :

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

Równanie parametryczne prostej

x=x₀+at

y=y₀+bt

z=z₀+ct t∈R

Równanie kierunkowe prostej

(x-x₀)/a=(y-y₀)b=(z-z₀)c

Równanie krawędziowe

a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0

a₂x+b₂y+c₂z+d₂=0

GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Ciągiem zbieżnym nazywamy ciąg (x_n) gdzie istnieje taki x₀∈R, x_n→x₀. ciąg ten ma granice właściwą (skończoną),

gdy ciąg nie jest zbieżny nazywamy go rozbieżnym (nie ma granicy właściwej, ale ma niewłaściwą w ±∞)

Symbole nieoznaczone:

±∞/±∞ ; 0/0 ; (+∞)-(+∞) ; 0⁰ ; 1^+∞ ; (+∞)⁰

Warunki konieczne zbieżności ciągów:

1) x_n→x₀∈R ⇒ ∃M>0 ∀n∈N, |x_n|<M

ze zbiezności ciągu wynika jego ograniczoność;

2) x_n→x₀∈R ⇒ (∀(n_k)⊂N, n₁<n₂<n₃<... ⇒ lim_k→∞x_nk=x₀

każdy podciąg ciągu zbieżnego do x₀ jest zbieżny do x₀;

3) x_n→x₀∈R ⇒(x_n+1-x_n)→0

Przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, d), gdzie X jest dowolnym niepustym zbiorem, a d:X×X ∋(x₁,x₂)→d(x₁,x₂) ∈R jest odwzorowaniem, spełniającym koniunkcję trzech warunków:

1) ∀x₁,x₂∈X, d(x₁,x₂)=0 ⇔ x₁=x₂ ;

2) ∀x₁,x₂∈X, d(x₁,x₂)= d(x₁,x₂) ;

3) ∀x₁,x₂∈X, d(x₁,x₂)+d(x₁,x₂)≥ d(x₁,x₂) ; d nazywamy metryką, a liczbę rzeczywistą d(x₁,x₂) odległością x₁od x₂

Kulą (otwartą) o promieniu r i środku x₀ nazywamy zbiór

U(x₀; r):={x∈X: d(x,x₀)<r}

Ciągiem zbieżnym w przestrzeni X nazywamy ciąg, który jest zbieżny do pewnego punktu tej przestrzeni, w przeciwnym przypadku nazywamy go rozbieżnym. Jeżeli ciąg punktów przestrzeni metrycznej ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic tej przestrzeni, to jest rozbieżny.

Punkt wewnętrzny zbioru A to taki, dla którego istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze A.

Punkt brzegowy zbioru A charakteryzuje się tym, że w jego każdym otoczeniu znajdują się zarówno punkty należące do zbioru A, jak i punkty do niego nie należące.

Punkt domknięcia zbioru A ma tę własność, że każde jego otoczenie ma przecięcie niepuste ze zbiorem A.

Punkt skupienia to taki, że każde otoczenie tego punktu zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od niego

Zbiorem otwartym nazywamy zbiór A=intA (lub A⊂intA) , a domkniętym gdy A=A (lubA⊂A)

Obszarem nazywamy zbiór A otwarty i spójny. Obszarem domkniętym nazywamy domknięcie obszaruA=A∪∂A.

Zbiorem ograniczonym nazywamy zbiór, który zawiera się w pewnej kuli czyli ∃x₀∈X ∃r>0, A⊂U(x₀, r);

w przeciwnym wypadku nazywamy go nieograniczonym.

Zbiorem zwartym nazywamy zbiór A, taki, że dla każdego ciągu (x_n)⊂A istnieje jego podciąg zbieżny do granicy zawartej w zbiorze A

Superpozycja odwzorowań ciągłych jest odwzorowaniem ciągłym

Własności funkcji ciągłych rzeczywistych:

1) funkcja ciągła w pewnym punkcie i przyjmująca w nim wartość różną od 0 zachowuje swój znak w pewnym otoczeniu tego punktu;

2) (tw. Weierstrassa) funkcja ciągła rzeczywista określona na zbiorze zwartym osiąga kres dolny(górny) czyli ekstrema absolutne w najmniejszej(największej) wartości funkcji;

3) funkcja rzeczywista ciągła w zbiorze spójnym ma własność Darboux, tzn. przyjmuje każdą wartość pośrednią y pomiędzy dwoma dowolnymi i różnymi wartościami funkcji;

4) jeśli funkcja ciągła w zbiorze spójnym przyjmuje wartości różnych znaków, to istnieje co najmniej jeden punkt w tym zbiorze, w którym funkcja przyjmuje wartość równą zeru;

5) jeżeli funkcja jest ciągła i rosnąca (malejąca) w przedziale <a,b> to funkcja odwrotna jest także rosnąca (malejąca) w tym przedziale;

6) jeżeli u=ϕ(u) jest funkcją ciągłą w punkcie u₀, i ϕ(u₀)=x₀, zaś funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x₀, to funkcja y=f[ϕ(u)] jest ciągłą w punkcie u₀

Granica ciągu (def. Cauchy'ego) Liczbę g nazywamy granicą ciągu (a_n), jeżeli dla każdej liczby ε>0 istnieje liczba k taka, że nierówność |a_n-g|<ε jest spełniona dla każdej liczby naturalnej n>k

Granica funkcji (def. Heinego) Niech dana będzie funkcja f określona w sąsiedztwie punktu x₀. Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie x₀ granicę g, co zapisujemy lim_x→x0f(x)=g ⇔ gdy ∀ ciągu (x_n) zbieżnego do x₀, o wyrazach różnych od x₀, ciąg wartości funkcji f(x_n) jest zbieżny do liczby g.

Twierdzenie o trzech ciągach mówi, iż: jeśli dane są trzy ciągi a_n, b_n i c_n takie, że dla każdego n większego od pewnej liczby naturalnej N:

i:
to:

Liczbę e definiuje się jako granicę
, jej istnienie wynika z monotoniczności ciągu zbieżnego.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Jeżeli istnieje pochodna ϕ'(x₀) funkcji u=ϕ(x) i ϕ(x₀)=u₀ oraz funkcja f(u) jest określona w otoczeniu punktu u₀ i ma pochodną f'(u₀) to funkcja złożona F(x)=f[ϕ(x)] ma również pochodną w punkcie x₀.

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.

Jeżeli y=f(x) jest funkcją odwrotną względem funkcji x=g(y) posiadającej pochodną w punkcie y₀ i g'(y₀)≠0, to funkcja y=f(x) ma pochodną w punkcie x₀=g(y₀) i pochodna f'(x₀)=1/( g'(y₀))

Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych względem zmiennej x (y) w punkcie (x₀,y₀) nazywamy pochodną zwyczajną funkcji przekrojowej p₁ (p₂) w punkcie x₀ (y₀) i oznaczamy F'_x(y)(x₀,y₀)

Pochodne zwyczajne.

Ich istnienie jest równoznaczne z różniczkowalnością.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu.

Jeśli istnieją pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji g, to nazywamy je pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji g.

Twierdzenie Schwarza.

Dla funkcji wielu zmiennych klasy C² pochodne mieszane są sobie równe

Pochodne i różniczki wyższych rzędów.

Jeżeli funkcja f ma pochodna f', to ta pochodna jest nową funkcją zmiennej x. Pochodna (o ile istnieje) tej nowej funkcji jest drugą pochodną funkcji f(x) itd.

Punkt przegięcia - punkt, w którym funkcja ma drugą pochodną równą zeru. W punkcie przegięcia zachodzi zmiana wypukłości funkcji tj. funkcja wypukła na lewo od tego punktu staje się na prawo od niego wklęsła i odwrotnie - funkcja wklęsła staje się wypukła

Ekstremum globalne to taki punkt, w którym wartość funkcji jest większa lub odpowiednio mniejsza niż we wszystkich innych punktach.

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Mówimy, że funkcja f(x,y) określona i ciągła w otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀) ma w punkcie P₀ maksimum (minimum) lokalne, jeżeli dla wszystkich punktów P(x,y) należących do tego otoczenia f(P₀) ≥ f(P). ~Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie P₀ funkcji f(x,y) mającej pochodne cząstkowe f_x i f_y w tym punkcie jest ich zerowanie się w punkcie P₀.

~Warunek wystarczający - jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu w otoczeniu punktu P₀, pochodne cząstkowe zerują się w punkcie P₀ oraz

W(P₀)= f_xx f_xy >0

f_yx f_yy

to funkcja f ma w punkcie P₀ ekstremum, przy czym jest to maksimum dla f_xx<0 lub minimum dla f_xx>0

Różniczkowalność polega na przybliżaniu funkcji przez klasę funkcji liniowych z odpowiednim warunkiem na błąd przybliżenia; związana jest z rozkładem przyrostu zupełnego wartości funkcji Δf w rozpatrywanym punkcie na część liniową L i resztę r. Ciągłość wynika z rózniczkowalności.

Pochodna funkcji wektorowej-macierz Jacobiego o m wierszach i n kolumnach utworzona jest z pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie P₀

Twierdzenie Cauchy'ego Jeżeli dane funkcje f i g są: ciągłe w przedziale domkniętym [a, b]; różniczkowalne w przedziale (a; b); g ′(x) ≠ 0 w przedziale (a, b), to istnieje punkt c należący do przedziału (a, b) taki, że:

Wzór Taylora to wzór pozwalający obliczyć wartość funkcji w dowolnym punkcie znając jedynie wartość jej kolejnych pochodnych w pewnym ustalonym punkcie. Wzór ten ma postać:

W szczególnym przypadku dla x₀ = 0 otrzymujemy tak zwany wzór Maclaurina:

Przybliżoną wartość funkcji można znaleźć licząc kilka pierwszych wartości:

Błąd jest wtedy nie większy niż:

Twierdzenie Lagrange'a. Na wykresie funkcji f ciągłej na <a,b> i różniczkowalnej na (a,b) znajduje się co najmniej jeden punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej końce wykresu.

Twierdzenie Rolle'a. Na wykresie funkcji f i ciągłej na <a,b> i różniczkowalnej na (a,b) takiej, że końce wykresu mają tę samą rzędną, znajduje się przynajmniej jeden punkt, w którym styczna jest równoległa do osi OX.

Reguła de l'Hospitala

Jeżeli dziedziny funkcji:
zawierają pewne sąsiedztwo S punktu x₀

lub

oraz istnieje granica:
to istnieje także granica
oraz zachodzi równość:

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic jednostronnych. Niekiedy należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych, aby uzyskać wynik. Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.

Hesjan- macierz kwadratowa drugich pochodnych cząstkowych funkcji
należącej do klasy funkcji
(dwukrotnie różniczkowalnych). Hesjan w punkcie
dany jest wzorem
.

Warunki konieczne i dostateczne wypukłości funkcji

1) f. rośnie coraz szybciej na xp gdy f. jest rosnąca i ściśle wypukła ku dołowi

2) f. rośnie coraz wolniej na xp gdy f jest rosnąca i ściśle wypukła ku górze

3) maleje coraz wolniej - maleje i ściśle wypukła ku dołowi maleje coraz szybciej - malejąca i ściśle wypukła ku górze.

Warunkiem dostatecznym na to żeby funkcja różniczkowalna w przedziale była rosnąca jest aby jej pochodna była większa od zera. Wynika to z tzw. monotoniczności

CAŁKI

Całka nieoznaczona Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych nazywamy całką nieoznaczoną

∫f(x)dx=F(x)+C

Funkcja pierwotna . Niech dana będzie funkcja f(x) określona w skończonym lub nieskończonym przedziale otwartym X. Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w danym przedziale, jeżeli dla każdego x∈X F'(x)=f(x). Każda funkcja ciągła w danym przedziale ma w tym przedziale funkcję pierwotną.

Całkowanie przez podstawienie Jeżeli funkcja f(t) jest całkowalna w przedziale (a,b) i funkcja t=ϕ(x) ma ciągłą pochodną w przedziale (α,β) oraz a<ϕ(x)<b, to zachodzi wzór zwany wzorem na całkowanie przez podstawienie:

∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=∫f(t)dt dla t=ϕ(x)

Całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u'(x) i v'(x), to zachodzi wzór zwany wzorem na całkowanie przez części:

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx

Tożsamość Ostrogradskiego

Całka oznaczona. Jeżeli dla każdego ciągu normalnych podziałów przedziału <a,b> ciąg sum całkowych (σ_n) jest zbieżny do tej samej granicy, niezależnie od wyboru punktów pośrednich ξ_n (i=1,2,...,n), to tę wspólną granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale <a,b> i oznaczamy _a∫^bf(x)dx gdzie a jest tzw. dolną granicą całkowania, zaś b górną granicą całkowania.

Wzór Newtona-Leibniza

_a∫^bf(x)dx=F(b)-F(a)

---