Wyklad15, Przykład 15


Przykład 15.1 - pochodne cząstkowe funkcji złożonej.

0x01 graphic

0x01 graphic

funkcja wewnętrzna -0x01 graphic

0x01 graphic

funkcja zewnętrzna -0x01 graphic

Macierz Jordana funkcji g może być przedstawiona w postaci:

0x01 graphic
0x01 graphic

Aby ją wyznaczyć skorzystamy z tego, że:

0x01 graphic

więc z tw. 14.5 oraz z twierdzenia o macierzy złożenia dwóch odwzorowań:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

z punktu 0x01 graphic
i 0x01 graphic
wynika, że

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Definicja 15.1 - pochodne cząstkowe wyższych rzędów

0x01 graphic
Y - przestrzeń Banacha

1° Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest określona w otoczeniu x0, to:

0x01 graphic

2° Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest określona w otoczeniu x0, to:

0x01 graphic

uwaga: Pochodne mieszane nie zawsze są sobie równe

0x01 graphic

Różniczki wyższych rzędów:

Założenia:

0x01 graphic
X,Y - przestrzeń Banacha

0x01 graphic

0x01 graphic
taka, że funkcja df(x) jest liniowa i ciągła

inaczej 0x01 graphic
, gdzie L(X,Y) to przestrzeń odwzorowań liniowych i ciągłych (jest to przestrzeń Banacha)

0x01 graphic
- różniczka funkcji

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 15.2 - druga różniczka funkcji:

0x01 graphic

1° f - funkcja dwukrotnie różniczkowalna

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli pochodne mieszane są sobie równe, to wtedy druga różniczka wygląda następująco:

0x01 graphic

Zauważmy, że:

0x01 graphic

Wtedy druga różniczka wygląda następująco:

0x01 graphic

Można pokazać, że:

0x01 graphic

Ogólnie:

0x01 graphic

f - jest k-krotnie różniczkowalna

0x01 graphic

Twierdzenie 15.1 - o równości pochodnych mieszanych

Założenia:

0x01 graphic
Y - przestrzeń Banacha

f - funkcja dwukrotnie różniczkowalna w x0

Teza:

0x01 graphic

Wniosek 15.3

Założenia:

0x01 graphic
- jest funkcją ciągłą

Teza:

0x01 graphic

Jeżeli pochodne mieszane są ciągłe, to są one sobie równe.

Przykład 15.3

Niech 0x01 graphic

0x01 graphic
P=(1,2)

Wyznaczyć drugą różniczkę funkcji f w punkcie P.

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Z przykładu 15.2 wynika, że:

0x01 graphic

Jest to różniczka funkcji przedstawiona w postaci kanonicznej.

0x01 graphic

Q=(1,-2)

0x01 graphic

0x01 graphic

Definicja 15.2 - forma kwadratowa

Formą kwadratową nazywamy funkcję postaci:

0x01 graphic

przy czym 0x01 graphic
.

Definicja 15.3 własności formy kwadratowej

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest określona dodatnio.

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest półokreślona dodatnio.

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest określona ujemnie.

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest półokreślona ujemnie.

3° Nie zachodzi warunek 1° ani 2°:

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest nieokreślona.

Przykład 15.3 c.d.

Zauważmy, że: 0x01 graphic
- jest formą kwadratową określoną dodatnio

0x01 graphic
- jest formą kwadratową nieokreśloną

0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic
. Macierz formy kwadratowej.

0x01 graphic
0x01 graphic
Minory główne macierzy Mφ

Twierdzenie 15.2 - Sylwestra - Jacobiego

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest określona dodatnio.

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest półokreślona dodatnio.

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest określona ujemnie.

0x01 graphic
- forma kwadratowa 0x01 graphic
jest półokreślona ujemnie.

3° Nie zachodzi warunek 1° ani 2° - forma kwadratowa 0x01 graphic
jest nieokreślona.

Przykład 15.3 c.d.

W naszym przykładzie:

0x01 graphic

Macierz tej formy kwadratowej wygląda następująco:

0x01 graphic
d1= 6 > 0 d2= 12*6-1 > 0

Zatem (tw. 15.2) 0x01 graphic
- to forma kwadratowa określona dodatnio.

0x01 graphic
d1= 6 > 0 d2= -12*6-1 < 0

Zatem (tw. 15.2) 0x01 graphic
- to forma kwadratowa nieokreślona.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Przykładowe zadania sprawdzianu z wykładów TI 15
wyklad 14 15 2010
IS wyklad 14 15 01 09 MDW id 22 Nieznany
pmp wykład 03 15
pmp wykład 02 15
F' [T] wykłady zima 15 4r
WYKŁADY Przykładowy egzamin
IS 2011 12 wyklad 11 15 12 2011 MDW
PATOMORFOLOGIA wykład 14, PATOMORFOLOGIA wykład 14 (15 I 01)
F' Test z wykładów 4r 15
fizykoterapia - wyklad viii - 15.04.
Wyklady, return, 15. Elementy topograficzne ko˝czyny dolnej, Elementy topograficzne kończyny dolnej
fizykoterapia - wyklad viii - 15.04.
Wyklady, return, 15. Elementy topograficzne ko˝czyny dolnej, Elementy topograficzne kończyny dolnej
wyklad estetyka 15.12, fwdestetyka
8 WYKLAD 14 , 15 RACHUNEK EKONO Nieznany (2)
Dyrektywy wykładni + przykłady uzasadnień, TISP

więcej podobnych podstron