1. Podstawy fizyczne

W doświadczeniu zajmiemy się badaniem zjawiska Halla, które zaobserwujemy przy użyciu Hallotronu. Nazwa przyrządu wzięła się od nazwiska jego konstruktora.

Hallotron jest to warstwa półprzewodnika naparowana na nieprzewodzące podłoże o bardzo niewielkiej grubości d = (100±1)μmi zaopatrzona w cztery elektrody. Prąd sterujący I halotronu przepływa wzdłuż naparowanej warstwy o długości l, a więc przez przekrój dc gdzie c = (2,5±0,1)μm - szerokość naparowanej warstwy.

Półprzewodniki charakteryzują się tym, że ich Eg = 0,1eV…5eV. Poniżej dolnej granicy są to już przewodniki, a powyżej górnej - izolatory. Nośnikami prądu w półprzewodnikach mogą być swobodne elektrony bądź dziury.

Elektrony są to nośniki prądu obdarzone ładunkiem ujemnym, natomiast dziury są to nośniki o znaku dodatnim. Półprzewodniki, np. krzem, german mogą być samoistne bądź domieszkowane. Półprzewodniki samoistne w niskiej temperaturze są izolatorami, ponieważ pasmo przewodnictwa jest puste, ale wzrost temperatury może spowodować wzrost energii wystarczającej do przeskoku elektronów przez pasmo wzbronione. Domieszkowanie natomiast polega na wprowadzeniu do sieci krystalicznej półprzewodnika atomów obcego pierwiastka.

Na nośniki prądu w halotronie, działa prostopadła do kierunku przepływu prądu sterującego I_S, oraz indukcji B, siła Lorentza F_L. Pod jej wpływem w czasie przepływu prądu przez płytkę (wykonaną z przewodnika lub półprzewodnika) zmienia się tor nośników prądu:

• F= q v x B

gromadzą się one, na powierzchni bocznego przekroju warstwy tak długo dopóki działanie ich pola elektrycznego nie skompensuje siły Lorentza. Mierząc różnice potencjałów Uh, pomiędzy bocznymi powierzchniami płytki półprzewodnika, stwierdzamy obecność zgromadzonych ładunków, co właśnie jest napięciem Halla. Zjawisko zostało zilustrowane na poniższym rysunku:

Zgromadzone przy ściankach bocznych ładunki wytwarzają pole elektryczne (zakładamy, że jednorodne) o natężeniu Uh/c, które działa na ładunki nośników prądu sterującego q siłą F=q Uh/c. W warunkach równowagi F=FL, a więc q Uh/c = q v B, gdy kierunek prądu sterującego jest prostopadły do wektora indukcji B. Stąd otrzymujemy

Prędkość nośników prądu jest tym większa im większe jest natężenie prądu sterującego I_s płynącego przez halotron i im mniejsza jest koncentracja n nośników prądu w półprzewodniku. Z definicji natężenia prądu jako strumienia ładunków mamy

e - ładunek elementarny (ładunek nośnika prądu)

Podstawiając v z powyższego wzoru do wzory na napięcie Halla, mamy:

Pomiar napięcia Halla pozwala wyznaczyć koncentrację nośników w próbce pod warunkiem, ze poruszają się w niej tylko nośniki jednego znaku. W dalszych rozważaniach przyjmiemy, że w naszym halotronie dominują nośniki jednego znaku tak silnie, że możemy pominąć wpływ pozostałych na wartość napięcia Halla i na rezystancję Rh próbki.

Z prawa Ohma i z definicji natężenia prądu I_s, mamy:

µ - ruchliwość nośników prądu

U - spadek napięcia wzdłuż halotronu.

U/l - jest to natężenie pola elektrycznego w warstwie w kierunku prądu sterującego

µ∙U/l - jest to średnia prędkość ruchu nośników tego prądu w kierunku pola

Z dwóch powyższych wzorów możemy wyznaczyć koncentrację n i ruchliwość µ przez łatwo mierzalne wielkości; wzory te przyjmują następującą postać:

Zatem ze wzorów na koncentrację n i ruchliwość µ wynika, że napięcie Halla Uh jest wprost proporcjonalna do iloczynu natężenia prądu sterującego Is lub napięcia U przyłożonego do warstwy i indukcji magnetycznej B.

Z tych wzorów wynika także to, iż iloczyn koncentracji n i ruchliwości µ jest odwrotnie proporcjonalny do rezystancji warstwy Rh. Podstawiając, bowiem U = R_hI_s (z prawa Ohma) do wzoru na ruchliwość µ otrzymujemy:

- iloczyn n∙e∙µ nazywamy przewodnictwem właściwym warstwy

- iloraz 1/n•e - stałą Halla

2. Cele ćwiczenia

a) Badanie proporcjonalności napięcia Halla U_h do natężenia prądu sterującego I_s i spadku napięcia U na halotronie. Wyznaczenie koncentracji nośników n i ich ruchliwości m.

Budujemy układ według schematu:

Celem przeprowadzonego badania, było zaobserwowanie wpływu wartości natężenia prądu sterującego, oraz wartości indukcji pola magnetycznego, w którym umieszczony był halotron, na napięcie Halla.

Wszystkie wyniki z przeprowadzonego badania zostały umieszczone w tabelach, a zależności pomiędzy Uh i Is, oraz Uh i U na załączonych wykresach:

Tabele z wynikami przeprowadzonych badań:

Dla I_B = 0 Dla I_B = 1,4  B = 112[mT]

Lp.	I [mA]	U [V]	UH [V]
1	3,2	-0,543	-21,5
2	3,4	-0,584	-23,2
3	3,7	-0,631	-25,1
4	4,0	-0,686	-27,3
5	4,4	-0,752	-29,9
6	4,9	-0,832	-33,0
7	5,5	-0,930	-37,1
8	6,3	-1,057	-42,0
9	7,3	-1,222	-48,5
10	8,7	-1,450	-57,8
11	10,4	-1,723	-68,4

Dla I_B = 1,7  B =134[mT] Dla I_B = 2  B = 154[mT]

Lp.	I [mA]	U [V]	UH [V]
1	3,2	-0,547	-29,5
2	3,4	-0,588	-31,7
3	3,7	-0,636	-34,3
4	4,0	-0,691	-37,3
5	4,4	-0,758	-40,9
6	4,9	-0,838	-45,3
7	5,5	-0,937	-50,6
8	6,3	-1,064	-57,4
9	7,3	-1,231	-66,5
10	8,7	-1,459	-78,7
11	10,4	-1,747	-93,5

Dla I_B = 2,3  B = 172[mT]

Lp.	I [mA]	U [V]	UH [V]
1	3,2	-0,549	-33,7
2	3,4	-0,590	-36,2
3	3,7	-0,638	-39,1
4	4,0	-0,693	-42,5
5	4,4	-0,760	-46,6
6	4,9	-0,840	-51,6
7	5,5	-0,940	-57,7
8	6,3	-1,067	-65,6
9	7,3	-1,233	-75,8
10	8,7	-1,462	-80,0
11	10,4	-1,737	-106,9

W doświadczeniu zostały wykorzystane następujące mierniki prądu i napięcia:

Nazwa	Zakres	Błąd pomiaru
Miliamperomierz	200mA	1,2%rdg+1dgt
Woltomierz	2V	0,5%+1dgt
Woltomierz (na halotronie)	200mV	0,5%+1dgt

rdg- wartość pomiaru

1dgt- wartość ostatniej cyfry odczytu

Do sporządzenia kompletnych wykresów niezbędne były prostokąty niepewności pomiarowej. Zostały on policzone w następujący sposób:

ΔUh = zakres • klasa = 200mV • 0,5% = ± 1mV

ΔIs = zakres • klasa = 200mA • 0,5% = ± 0,1mA

ΔU = zakres • klasa = 2V • 0,5% = ± 0,01V

b) pomiar rezystancji halotronu

Korzystając z prawa Ohma możemy wyznaczyć rezystancje Hallotronu.

R = U / I_s

Lp.	I [mA]	U [V]	R [Ω]
1	3,2	-0,541	169,1
2	3,4	-0,581	170,9
3	3,7	-0,628	169,7
4	4,0	-0,683	170,7
5	4,4	-0,748	170,0
6	4,9	-0,828	169,0
7	5,5	-0,927	168,5
8	6,3	-1,052	167,0
9	7,3	-1,217	166,7
10	8,7	-1,444	166,0
11	10,4	-1,713	164,4

Jak widać z powyższej tabeli, przyjmując pewien zakres błędu, rezystancja hallotronu jest niezmienna i nie zależy od wartości natężenia prądu sterującego.

Uśredniając rezystancja hallotronu wynosi:

R = 168,4(±4) [Ω]

Wpływ na wahania wartości rezystancji może mieć niedokładność pomiaru, odczytu, oraz wzrost temperatury spowodowany przepływem prądu przez półprzewodnik.

d) obliczamy n oraz ∆n

Do obliczenia wartości koncentracji nośników zastosowaliśmy wzór:

gdzie:

Jednostka jest następująca:

Dane potrzebne do obliczeń:

grubość hallotronu: d = (100  1) m

szerokość: c = (2,5  0,1) mm

długość: l = (10,0  0,1) mm

ładunek elektronu: e = 1,6•10^-19 [C]

Zależności
przedstawione na załączonych wcześniej wykresach pozwoliły nam obliczyć współczynnik kierunkowy a:

Wykorzystując otrzymane wartości możemy obliczyć koncentrację nośników:

Podstawiając dane do powyższego wzoru otrzymujemy wynik:

dla B = 112mT , a = 6,72 , n = 1,04•10²¹

dla B = 134mT , a = 7,93 , n = 1,05•10²¹

dla B = 154mT , a = 9,19 , n = 1,04•10²¹

dla B = 172mT , a = 10,38 , n = 1,03•10²¹

Błąd koncentracji n policzyliśmy ze wzoru:

B = 0,13 [mT]

n = 0,01•10²¹

a więc błąd względny obliczony ze wzoru:

wyniósł:

n_wzg = 1,0%

Otrzymaliśmy wynik końcowy:

n = (1,040,01)•10²¹

3. Dyskusja niepewności pomiarowej

1. teoria

Niepewności pomiarowe:

• niedoskonałość badanego obiektu

• ograniczona dokładność przyrządów pomiarowych

• niedoskonałość ludzkich zmysłów

Błędy pomiarowe:

• wadliwy przyrząd pomiarowy

• nieuwaga obserwatora

Niepewność pomiarowa Δn to połowa szerokości przedziału, w którym mieści się rzeczywista wartość wielkości mierzonej.

Niepewność bezwzględna:

Niepewność względna:

Niepewności pomiarowe mogą być:

• - przypadkowe (rozrzut wyników występujący przy powtarzaniu pomiarów, którego nie można usunąć)

• - systematyczne (odchylenie mierzonej wartości w tę samą stronę, np. błąd miejsca zero)

Szacownie niepewności pomiarowej:

- mała ilość pomiarów (do 3)

Szacujemy, że Δx wynosi połowę wartości najmniejszej podziałki przyrządu pomiarowego, lub Δx obliczamy z klasy przyrządu ze wzoru:

- wielokrotny pomiar (powyżej 3)

Stosujemy rozkład Gaussa:

∆x_i - odchylenie i-tego pomiaru od wartości średniej

n - liczba pomiarów

- niepewność pomiarowa wielkości złożonej

Jeżeli wynik pomiaru y jest przedstawiony za pomocą wzoru:

y = f (x₁, x₁), to niepewność Δy wyniku pomiaru jest równa:

2. źródła błędów w tym eksperymencie

Zbierając wszystkie wymienione błędy i niepewności pomiarowe mamy:

- błąd wyznaczenia rezystancji hallotronu (±3Ω)

- błąd odczytu wartości indukcji magnetycznej z podanego wykresu (±0,5mT)

- błędy podane przed wykonaniem doświadczenia

grubość hallotronu: d = (100  1) m

szerokość: c = (2,5  0,1) mm

długość: l = (10,0  0,1) mm

ładunek elektronu: e = 1,6•10^-19 [C]

- założenie przepływu nośników o tym samym znaku (dodatnim lub ujemnym)

1. Wnioski i spostrzeżenia własne

Wszystkie zaobserwowane zjawiska, oraz dokonane pomiary, z uwzględnieniem wyżej wymienionych możliwych błędów, oraz niedokładności, potwierdzają słuszność wcześniejszych założeń teoretycznych odnośnie napięcia Halla.

Zaobserwowane zależności i zjawiska:

- istnienie napięcia Halla w badanym hallotronie

- gromadzenie się ładunków po jednej stronie półprzewodnika

- wprost proporcjonalność napięcia Halla i natężenia prądu sterującego Is

- wprost proporcjonalność napięcia Halla i indukcji pola magnetycznego B

- im mniejszy opór na opornicy dekadowej, tym natężenie prądu sterującego Is większe, a tym samym większe napięcie Halla

Istnienie napięcia Halla, zostało również wykorzystane w technice, dzięki temu zjawisku zostały skonstruowane takie przyrządy jak:

- teslomierze halotronowe

- bezstykowe przełączniki sygnałów elektrycznych

- wyspecjalizowane sondy halotronowe

Lp.	I [mA]	U [V]	UH [V]
1	3,2	-0,541	0
2	3,4	-0,581	0
3	3,7	-0,628	0
4	4,0	-0,683	0
5	4,4	-0,748	0
6	4,9	-0,828	0
7	5,5	-0,927	0
8	6,3	-1,052	0
9	7,3	-1,217	0
10	8,7	-1,444	0
11	10,4	-1,713	0

Lp.	I [mA]	U [V]	UH [V]
1	3,2	-0,550	-25,4
2	3,4	-0,591	-27,4
3	3,7	-0,639	-29,6
4	4,0	-0,695	-32,2
5	4,4	-0,761	-35,3
6	4,9	-0,842	-39,0
7	5,5	-0,942	-43,6
8	6,3	-1,065	-49,6
9	7,3	-1,231	-57,3
10	8,7	-1,459	-67,9
11	10,4	-1,728	-80,8

7

---