4. Statystyka opisowa  miary średnie (wzory)
1 Åšrednie  przypomnienie
Åšrednia arytmetyczna liczb x1, . . . , xn
n

1
x = xi.
Å»
n
i=1
Średnia arytmetyczna ważona liczb x1, . . . , xn z wagami a1, . . . , an, gdzie ai 0 dla każdego
n

i = 1, . . . , n oraz ai = 1
i=1
n

x = aixi.
Å»
i=1
Åšrednia geometryczna liczb dodatnich x1, . . . , xn
"
n
! = x1 · · · xn.
Średnia harmoniczna liczb x1, . . . , xn różnych od zera
n
Å»
h = .
n

1
xi
i=1
2 Miary klasyczne
Åšrednia arytmetyczna x dla danych niezgrupowanych
Å»
n

1
x = xi.
Å»
n
i=1
Średnia arytmetyczna x dla danych zgrupowanych (średnia ważona)
Å»
k k

1
x = sini = sipi,
Å»
n
i=1 i=1
gdzie: k  ilość klas,
si, i = 1, . . . , n  środki klas,
ni, i = 1, . . . , n  liczebności klas,
pi, i = 1, . . . , n  częstości względne.
1
3 Miary pozycyjne
Mediana (wartość środkowa) me dla danych niezgrupowanych
Å„Å‚
n+1 n  nieparzyste,
ôÅ‚
( )
òÅ‚x ,
2
me =
ôÅ‚x +x(
n n
ół
( ) +1)
2 2
, n  parzyste.
2
Mediana (wartość środkowa) me dla danych zgrupowanych

m-1

b n
me = al + - ni ,
nm 2
i=1
gdzie: al  lewy koniec klasy zawierajÄ…cej medianÄ™,
b  szerokość klasy,
m  numer klasy zawierajÄ…cej medianÄ™,
nm  liczność klasy zawierającej medianę,
ni  liczność i-tej klasy.
Moda (dominanta) mo dla danych niezgrupowanych  wartość, która pojawia się najczęściej.
Moda (dominanta) mo dla danych zgrupowanych

środek klasy modalnej, gdy liczności klas sąsiednich są równe,
mo =
nm-nm-1
al + b, gdy liczności klas sąsiednich są różne,
(nm-nm-1)+(nm-nm+1)
gdzie: al  lewy koniec klasy modalnej,
nm  liczność klasy modalnej,
nm-1, nm+1  liczności klas sąsiednich,
b  szerokość klasy.
4 Porównanie miar średnich klasycznych i pozycyjnych
Dla rozkładów umiarkowanie asymetrycznych zachodzi wzór Pearsona
x - mo = 3(x - me).
Å» Å»
2