5. Statystyka opisowa  miary zmienności (wzory)
1 Miary pozycyjne
Rozstęp r = xmax - xmin.
Kwantyle  wartości danej cechy, które dzielą ją na określone części pod względem liczby jednostek.
Dane muszą być uporządkowane niemalejąco.
Kwartyle dla danych niezgrupowanych
" Kwartyl pierwszy (dolny) Q1  dzieli dane tak, że 1/4 jednostek ma wartości niższe lub równe, a
3/4 jednostek ma wartości wyższe lub równe niż kwartyl. (Mediana  lewej połowy danych .)
" Kwartyl drugi (środkowy) Q2 to mediana. Dzieli dane tak, że 1/2 jednostek ma wartości niższe
lub równe i 1/2 jednostek ma wartości wyższe lub równe niż kwartyl.
" Kwartyl trzeci (górny) Q3  dzieli dane tak, że 3/4 jednostek ma wartości niższe lub równe, a
1/4 jednostek ma wartości wyższe lub równe niż kwartyl. (Mediana  prawej połowy danych .)
Uwaga Gdy liczba danych jest nieparzysta, to spotyka się dwie definicje kwartyli Q1 i Q3. Jedna
każe włączyć Q2 zarówno do lewej, jak i do prawej części danych, druga każe Q2 w ogóle pominąć w
obliczaniu Q1 i Q3.
Kwartyle dla danych zgrupowanych
" Kwartyl pierwszy (dolny)
k-1
n
- ni
4
i=1
Q1 = xQ1 + iQ1,
nQ1
gdzie: xQ1  lewy koniec klasy zawierającej pierwszy kwartyl,
nQ1  liczność klasy zawierającej pierwszy kwartyl,
k  numer klasy zawierającej pierwszy kwartyl,
iQ1  szerokość klasy zawierającej pierwszy kwartyl.
" Kwartyl drugi (środkowy)
k-1
n
- ni
2
i=1
Q2 = me = xme + ime,
nme
gdzie: xme  lewy koniec klasy zawierającej drugi kwartyl,
nme  liczność klasy zawierającej drugi kwartyl,
k  numer klasy zawierającej drugi kwartyl,
ime  szerokość klasy zawierającej drugi kwartyl.
" Kwartyl trzeci (górny)
k-1
3n
- ni
4
i=1
Q3 = xQ3 + iQ3,
nQ3
gdzie: xQ3  lewy koniec klasy zawierającej trzeci kwartyl,
nQ3  liczność klasy zawierającej trzeci kwartyl,
k  numer klasy zawierającej trzeci kwartyl,
iQ3  szerokość klasy zawierającej trzeci kwartyl.
Rozstęp międzykwartylowy Q3 - Q1.
Q3-Q1
Odchylenie ćwiartkowe (rozstęp międzykwartylowy połówkowy) Q = .
2
Typowy obszar zmienności (me - Q, me + Q).
1
2 Miary klasyczne
Odchylenie przeciętne dla danych niezgrupowanych
n
1
d = |xi - x|
Ż
n
i=1
Odchylenie przeciętne dla danych zgrupowanych
k
1
d = |si - x|ni,
Ż
n
i=1
gdzie: k  liczba klas,
si  środek i-tej klasy,
ni  liczność i-tej klasy,
x  średnia arytmetyczna.
Ż
Wariancja dla danych niezgrupowanych
n
1
s2 = (xi - x)2.
Ż
n
i=1
Odchylenie standardowe
n
"
1
s = s2 = (xi - x)2.
Ż
n
i=1
Typowy obszar zmienności (x - s, x + s).
Ż Ż
Wariancja dla danych zgrupowanych
k
1
s2 = (si - x)2ni,
Ż
n
i=1
gdzie: k  liczba klas,
si  środek i-tej klasy,
ni  liczność i-tej klasy,
x  średnia arytmetyczna.
Ż
3 Współczynnik zmienności
Miara pozycyjna
Q
v = , gdzie Q  odchylenie ćwiartkowe
me
Miary klasyczne
d
v = , gdzie d  odchylenie przeciętne
x
Ż
s
v =
x
Ż
2