MECHANIKA TECHNICZNA
kierunek: INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA
WYKA
AD 4
Opracowano na podstawie książki: Leyko J. (2008), Mechanika ogólna, statyka i kinematyka.
Rysunki są wzięte z tej książki
KINEMATYKA
Kinematyka  to dział mechaniki badający ruch ciał bez wnikania w przyczyny,
które ten ruch wywołują.
Ruch  to zmiana położenia ciał względem innego ciała. Najczęściej ciałem
odniesienia jest Ziemia. Ciało odniesienia traktujemy jako nieruchome. Z nim
wiążemy układ współrzędnych, np. prostokątny, zwany układem odniesienia.
Położenie punktu określają trzy współrzędne prostokątne. Przestrzeń, w której
tak jest określane położenie nosi nazwę przestrzeni Euklidesa.
Ruch ciał uznajemy za określony jeżeli potrafimy obliczyć dla każdego punktu
w określonym czasie:
- współrzędne położenia,
- prędkość,
- przyspieszenie.
Równania ruchu punktu
Położenie punktu A określają współrzędne xyz.
Rys. 4. 1
x = f1(t), y= f2(t), z = f3(t)
Współrzędne xyz są funkcjami czasu t i nazywane równaniami ruchu punktu.
Linia l, będąca miejscem geometrycznym chwilowych położeń punktu, jest
nazywana torem punktu. Gdy tor jest linią prostą, jest to ruch prostoliniowy w
odróżnieniu od ruchu krzywoliniowego. Położenie punktu w chwili, od której
liczymy czas nazywamy położeniem początkowym, tj. dla czasu t = 0.
Na rys. 4.1 położenie punktu A określa wektor r = OA mający początek w
=
=
=
nieruchomym punkcie O. Jest to promień-wektor . Ponieważ punkt się porusza,
to promień-wektor zmienia z upływem czasu swą wartość i kierunek; jest więc
funkcją wektorową czasu
r = r(t)
=
=
=
r = i x(t) + jy(t) + kz(t)
= + +
= + +
= + +
Przykład
Współrzędne biegunowe na płaszczyz
nie
Rys. 4.2
Gdy punkt A porusza się w jednej płaszczyz
nie to jego położenie można
określić za pomocą wektora r o długości odcinka OA i kąta Ć. Oś, dla której kąt
Ć = 0 nosi nazwę osi biegunowej. Równania ruchu punktu są następujące:
r = f1(t), Ć = f2(t),
x = r cos Ć, y = r sin Ć.
Współrzędne walcowe
Rys. 4.3
Położenie punktu w przestrzeni określają współrzędne
r` = f1(t), Ć = f2(t), z = f3(t),
x = r`cos Ć, y = r` sin Ć, z a" z.
Współrzędne biegunowe w przestrzeni
Rys. 4.4
Położenie punktu w przestrzeni określają współrzędne
r = f1(t), Ć = f2(t), Ś = f3(t).
Między współrzędnymi biegunowymi a współrzędnymi punktu A w
prostokątnym układzie współrzędnych 0xyz, istnieją następujące związki
x = r sinŚ cos Ć,
y = r sinŚ sin Ć,
z = r cos Ć.
Parametry r, Ć, Ś są współrzędnymi krzywoliniowymi. Jeżeli jeden z
parametrów jest stały, to punkt A porusza się po pewnej powierzchni. Np. gdy
Ś = const, to punkt A porusza się po powierzchni stożka, którego osią jest oś
0z; gdy r = const, to punkt A porusza się po powierzchni kuli; gdy Ć = const, to
punkt A porusza się po pionowej powierzchni przesuniętej przez oś 0z. Miejsce
geometryczne punktów, w których przecinają się ww. powierzchnie nazywają
się liniami współrzędnych. Współrzędne krzywoliniowe, których linie są
wzajemnie ortogonalne nazywają się współrzędnymi krzywoliniowymi
ortogonalnymi.
Równanie ruchu punktu po torze
Rys.4.5
Jeżeli punkt A porusza się po znanym torze l, to położenie punktu A0 można
określić współrzędną s, nazywaną współrzędną łukową.
Równanie
s = f(t)
nosi nazwę równania ruchu punktu po torze.
W ruchu punktu A po okręgu (rys. 4.6) o promieniu r, chwilowe położenie
punktu określa łuk s = A0A.
Rys. 4.6
Jeżeli kąt Ć zmienia się w czasie, to równanie ruchu punktu po torze
s = r Ć(t).
Prędkość i przyspieszenie punktu
- w ruchu prostoliniowym
Gdy punkt A w równych przedziałach czasu "t przebywa równe odcinki dogi
"x, to taki ruch nazywa się ruchem jednostajnym.
Rys. 4.7. Przykład ruchu prostoliniowego
Prędkość � jest definiowana następująco
" x
� = v =
=
=
=
" t
Wartość bezwzględna prędkości punktu w ruchu jednostajnym równa jest
stosunkowi drogi tego punktu i czasu, w którym droga ta została przebyta.
"x
Iloraz , gdy "t 0 dąży do pochodnej względem czasu odciętej x, tj.



"t
d x
�x = = x(t) .
= = &
= =
= =
d t
Kropką nad zmienną w mechanice przyjęto oznaczać pochodną względem
czasu.
Gdy punkt porusza się w dodatnim kierunku osi 0x, to odcięta x jest rosnącą
d x
funkcją czasu t. Wówczas > 0 , tj. �x> 0. Oznacza to, że wektor � jest
d t
skierowany zgodnie z osią 0x.
Jednostką prędkości jest
m
1 .
s
Jest to prędkość takiego ruchu, w którym następuje przyrost drogi 1m w
czasie 1 s.
Zadanie
Prędkość punktu w ruchu krzywoliniowym
Punkt A porusza się po dowolnym torze krzywoliniowym. Początek ruchu w
nieruchomym punkcie Ao leżącym na torze (rys. 4.8, rys. 4.9).
Rys. 4.8, Rys. 4.9
Prędkością � punktu A jest wektor, którego wartość bezwzględna równa jest
wartości bezwzględnej pochodnej drogi punktu A względem czasu. Wektor �
jest skierowany wzdłuż stycznej do toru rozpatrywanego punktu, w tę stronę, w
którą w danej chwili punkt ten się porusza.
ds
� = � ,
=
=
=
dt
gdzie � wersor osi skierowany w stronę wzrastającej współrzędnej s. Mając
równania ruchu punktu
x = x(t), y= y(t), z = z(t)
obliczamy składowe prędkości �x, �y,�z wektora prędkości � (rys. 4.10)
Rys. 4.10
Wartość bezwzględna wektora prędkości (długość wektora) punktu A jest równa
ds
& & &
� = = �2 + �2 + �2 = x2 + y2 + z2 .
= = + + = + +
= = + + = + +
= = + + = + +
x y z
dt
Przyśpieszenie punktu
Rozpatrzmy dwa położenia poruszającego się punktu (rys. 4.10), odpowiadające
chwilom t i t1 = t+" t. Prędkość odpowiadająca tym chwilom wynosi � i �1
Rys. 4.10
W czasie "t nastąpił przyrost prędkości "� , tj.
"� = �1 - � .
= -
= -
= -
Końce wektorów � i �1 leżą na linii l, która jest hodografem prędkości.
Przyśpieszenie średnie
-
"� �1 - �
-
-
p = = .
= =
= =
= =
"t t1 - t2
-
-
-
Przyśpieszenie punktu w danej chwili
"� d� d2r
p = = = .
= = =
= = =
= = =
lim
"t d t
"t0 d t2



Składowe wektora w nieruchomym prostokątnym układzie współrzędnych
d�y
d�x & d�z &
& &&
px = = �x = x , py = = �y = y , pz = = �z = z .
= = = && = = = = = = &&
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
d t d t d t
Wartość bezwzględna wektora przyśpieszenia, czyli wartość przyśpieszenia
można obliczyć następująco
2
&&2 &&2 &&2
& & &
p = p2 + py + p2 = �2 + �2 + �2 + x + y + z .
= + + = + + + + +
= + + = + + + + +
= + + = + + + + +
x z x y z
Jednostka przyspieszenia
m
1
m
s
1 =
=
=
=
s2 s
Jest to przyśpieszenie takiego ruchu, w którym następuje przyrost
m
prędkości 1 podczas 1 s.
s
Przyspieszenie styczne i normalne
Przyspieszenie jest wielkością wektorową, którą można przedstawić jako sumę
wektorów składowych, np.
& & &
p = ipx + jpy + kpz = i�x + j�y + k�z .
= + + = + +
= + + = + +
= + + = + +
Wyróżnijmy dwie inne składowe wektora przyśpieszenia p . Będą to składowe:
styczna i normalna do toru. Widok normalnej i stycznej do toru pokazano na rys.
4.11. Odcinek � jest krzywizną toru.
Rys. 4.11
Z geometrii różniczkowej dotyczącej krzywizny linii wynikają następujące
związki
Rys. 11.12 Rys. 11.13; � - wersor na normalnej do toru., � - wersor na
stycznej do toru
"� d v
p� = = = - przyspieszenie styczne,
= = =
= = =
= = =
lim
"t dt
"t0



"s "Ś 1 �2
p� = � = � �" � �" = - przyspieszenie dośrodkowe
= = �" �" =
= = �" �" =
= = �" �" =
lim lim
"t "s � �
"t0 "s0



(normalne).
p = �p� + �p�
= +
= +
= +
Wartość bezwzględna przyśpieszenia (długość wektora przyspieszenia) wynosi
2
d� �4
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
2
p = p2 + p2 + p2 = p2 + p� = + .
= + + = + = +
= + + = + = +
= + + = + = +
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
x y z �
dt
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�2
Wnioski:
- w ruchu krzywoliniowym zawsze wystąpi przyspieszenie dośrodkowe,
- w ruchu prostoliniowym i krzywoliniowym, gdy �= const to przyspieszeni
styczne jest wynosi zero.
Ruch punktu po okręgu
Rys. 11.14
- prędkość kątowa
d�
&
� = � = .
= =
= =
= =
dt
Prędkość kątowa jest wielkością wektorową. Wektor � jest skierowany
prostopadle do płaszczyzny obrotu i jego kierunek pokrywa się z osią obrotu.
Jednostka prędkości kątowej �
rad 1
[ ]
[ ]
[�]= = ,
[ ]=1 =
= =
= =
s s
długość łuku
1 radian = 1 rad = - jednostka bezwymiarowa.
= =
= =
= =
promień
- prędkość punktu
� = r�
=
=
=
ma kierunek styczny do toru i normalny do jego krzywizny.
Przyspieszenie kątowe �
d� d2�
� = =
= =
= =
= =
dt
dt2
Przyśpieszenie kątowe � jest wielkością wektorową. Wektor � jest skierowany
prostopadle do płaszczyzny obrotu i jego kierunek pokrywa się z osią obrotu.
1
[ ]
[ ]
[ ]=
Jednostka przyspieszenia kątowego [�]= .
=
=
s2
Przyspieszenie styczne punktu w ruchu po okręgu
d� d� d2�
p� = = r = r ,
= = =
= = =
= = =
dt dt
dt2
p� = r�
=
=
=
Przyśpieszenie dośrodkowe punktu w ruchu po okręgu
�2
p� = �2r = .
= =
= =
= =
r
Poznane pojęcia:
- układ odniesienia,
- równanie ruchu punktu.
- tor punktu,
- promień-wektor,
- współrzędne punktu: w układzie prostokątnym, biegunowym, walcowym,
- prędkość, jej składowe na kierunkach prostokątnego układu współrzędnych,
- przyśpieszenie:
1) składowe na kierunkach prostokątnego układu współrzędnych,
2) przyśpieszenie styczne i normalne,
- prędkość kątowa,
- przyspieszenie kątowe,
- podstawowe zależności między ww. wielkościami.