MECHANIKA TECHNICZNA
kierunek: INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA
WYKA
AD 3
Opracowano na podstawie książki: Leyko J. (2008), Mechanika ogólna, statyka i kinematyka
Tarcie cięgien
Rys. 3.1
Siła S1 i S2 znajduje się w płaszczyz
nie prostopadłej do osi bębna.
Gdy istnieje tarcie liny o bęben i np. chcemy obrócić go w lewo, wówczas
S2 > S1
Stan równowagi elementu liny określonego kątem dĆ przedstawiono na rys. 3.2
Rys. 3.2
Równania równowagi
d� d�
ŁPix = (S+dS) cos - S cos - dT = 0
2 2
d� d�
ŁPiy = dN - S sin - (S+dS) sin = 0
2 2
Na podstawie prawa tarcia
dT = � dN.
Wynikiem rozwiązania równań równowagi jest zależność
S2 max = S1 e� ą.
Gdy np. z jednej strony zawiesimy ciężar G, to siła Pmin powstrzymująca obrót
Rys. 3.3
P min = G e - � ą.
Para sił i moment pary sił
Rys. 3.4 Rys. 3.5
Dwie równoległe i przeciwnie skierowane siły P i P` o równych wartościach
liczbowych i nieleżących na jednej prostej nie równoważą się, tworzą parę sił
(rys. 3.4). Odległość a jest nazywana ramieniem pary sił.
M  moment pary sił (rys.3.5) jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez
wektory P i P`. Zwrot wektora momentu jest oparty na regule śruby
prawoskrętnej; siły tworzące parę sił obracają się w prawo patrząc w
kierunku ,,wkręcanej śruby .
Rys. 3.6. a - definicja znaku momentu (+ obrót przeciwny do ruchu wskazówek
zegara, b  wartość momentu pary sił
Mo = P(h1  h2) = Pa = M =const
Wartość momentu pary sił jest wartością stałą i nie zależy od wyboru punktu
względem, którego jest on liczony.
Różne pary sił działające w tej samej płaszczyz
nie, lecz równych momentach są
sobie statycznie równoważne, np.
P`a` = M = P``a``.
Redukcja dowolnego układu sił
Rys. 3.7
Dowolny układ sił przyłożony do ciała sztywnego o liniach działających w
jednej płaszczyz
nie możemy zastąpić siłą R przyłożoną do dowolnego punktu
((zredukować do dowolnego punktu), równą sumie geometrycznej sił układu,
oraz parą sił o momencie MO równym sumie momentów danych sił względem
i=n
=
=
=
punktu O. Wektor R = Pi jest nazywany wektorem głównym układu sił, zaś
"
"
"
"
i=
=
=
=
moment MO  nazywany momentem głównym względem środka redukcji O.
Przykład:
Rys. 3.8
i=n i=n
= =
= =
= =
Rx = Pix , Ry = Piy
" "
" "
" "
" "
i= i=
= =
= =
= =
i=n i=n
= =
= =
= =
MO = MiO = (Piyx - Pixy)
" " -
" " -
" " -
" "
i= i=
= =
= =
= =
R = R2 + R2
+
+
+
x y
Ry
Rx
cos ą = , sin ą =
=
=
=
R R
Opór przy toczeniu się ciał
Rys. 3.9
rys. a  krążek spoczywa na poziomej płaszczyz
nie,
rys. b  na krążek działa jego ciężar G i przyłożona pozioma siła P, reakcja N
na kierunku równoległym do kierunku ciężaru G przesuniętym o odcinek f,
krążek pozostaje w spoczynku.
Równania równowagi
1). N  G = 0,
2). P  T = 0,
stąd
N = G, T = P.
Krążek nie będzie ślizgać się gdy będzie spełniony warunek wynikający z prawa
tarcia
P d" �N = �G.
3). MA = Nf  Pr = 0,
f  współczynnik oporu przy toczeniu się.
rys. c  wypadkowa N sił reakcji podłoża nierównomiernie rozłożonych.
Środek sił równoległych.
Środek ciężkości
Rys. 3.10 Rys. 3.11
Punkt C ma tę własność, że przechodzi przez niego stale wypadkowa danego
układu sił równoległych niezależnie od kierunku tych sił (przy niezmienionych
punktach przyłożenia tych sił). Punkt C nazwany jest środkiem sił
równoległych. Współrzędne środka ciężkości wyliczamy ze wzorów
i=n i=n
= =
= =
= =
Pixi Pixi
" "
" "
" "
" "
i=1 i=1
= =
= =
= =
xC = = ,
= =
= =
= =
i=n
=
=
=
R
Pi
"
"
"
"
i=1
=
=
=
i=n
=
=
=
Piyi
"
"
"
"
i=1
=
=
=
yC = ,
=
=
=
i=n
=
=
=
Pi
"
"
"
"
i=1
=
=
=
i=n
=
=
=
Pizi
"
"
"
"
i=1
=
=
=
zC = .
=
=
=
i=n
=
=
=
Pi
"
"
"
"
i=1
=
=
=
Środek ciężkości bryły, powierzchni, linii
Środek ciężkości bryły
Rys. 3.12
i=n i=n i=n
= = =
= = =
= = =
łxdV
łixiVi xiVi xiVi
+" " " "
+" " " "
+" " " "
+" " " "
V i=1 i=1 i=1
= = =
= = =
= = =
xC = = = = ,
= = = =
= = = =
= = = =
i=n i=n
= =
= =
= =
łdV V
+"
+"
+"
+"
łiVi Vi
" "
" "
" "
" "
V
i=1 i=1
= =
= =
= =
i=n i=n i=n
= = =
= = =
= = =
łiyiVi yiVi yiVi
" " "
" " "
" " "
" " "
i=1 i=1 i=1
= = =
= = =
= = =
yC = = = ,
= = =
= = =
= = =
i=n i=n
= =
= =
= =
V
łiVi Vi
" "
" "
" "
" "
i=1 i=1
= =
= =
= =
i=n i=n i=n
= = =
= = =
= = =
łiziVi ziVi ziVi
" " "
" " "
" " "
" " "
i=1 i=1 i=1
= = =
= = =
= = =
zC = = = ,
= = =
= = =
= = =
i=n i=n
= =
= =
= =
V
łiVi Vi
" "
" "
" "
" "
i=1 i=1
= =
= =
= =
Powyższe wzory można wykorzystać do obliczenia położenia środka ciężkości
bryły lub układy brył, gdy daną bryłę lub ich układ daje się myślowo podzielić
na n elementów, których znane są objętości i współrzędne środków ciężkości.
Wyrażenie
i=n
=
=
=
xdV = xiVi
=
=
=
"
"
"
"
+"
+"
+"
+"
i=1
=
=
=
V
jest momentem statycznym objętości dV względem płaszczyzny Oyz. Pozostałe
podobne całki są momentami statycznymi odpowiednio względem płaszczyzn
Ozx oraz Oxy.
Środek ciężkości powierzchni
Rys. 3.14) Rys. 3.15
i=n i=n i=n
� xi Fi xi Fi xiFi
+"� x dF " " "
i
F i=1 i=1 i=1
xC = = = = ,
i=n
F
+"�d V i=n
� Fi Fi
" "
i
F
i=1 i=1
i=n i=n i=n
� yiFi yiFi yiFi
+"�ydF " " "
i
F i=1 i=1 i=1
yC = = = = ,
i=n
F
+"�d V i=n
� Fi Fi
" "
i
F
i=1 i=1
i=n i=n i=n
� ziFi zi Fi zi Fi
+"�zdF " " "
i
F i=1 i=1 i=1
zC = = = = ,
i=n
F
+"�d V i=n
� Fi
" "
iFi
F
i=1 i=1
Powyższe wzory można wykorzystać do obliczenia położenia środka ciężkości
powierzchni lub układów powierzchni, gdy daną powierzchnię lub ich układ
daje się myślowo podzielić na n elementów, których znane są powierzchnie
i współrzędne środków ciężkości.
Wyrażenie
i=n
=
=
=
xdF = xiFi
=
=
=
"
"
"
"
+"
+"
+"
+"
i=1
=
=
=
F
jest momentem statycznym powierzchni dF względem płaszczyzny Oyz.
Pozostałe podobne całki są momentami statycznymi odpowiednio względem
płaszczyzn Ozx oraz Oxy.
Przykład obliczeń
Środek ciężkości linii
Rys. 3.16.
Współrzędne środka ciężkości krzywej AB
i=n i=n i=n
= = =
= = =
= = =
q xdl
qixili xili xili
+" " " "
+" " " "
+" " " "
+" " " "
l i=1 i=1 i=1
= = =
= = =
= = =
xC = = = = ,
= = = =
= = = =
= = = =
i=n i=n
= =
= =
= =
qdV l
+"
+"
+"
+"
qili li
" "
" "
" "
" "
l
i=1 i=1
= =
= =
= =
i=n i=n i=n
= = =
= = =
= = =
qydl
qiyili yili yili
+" " " "
+" " " "
+" " " "
+" " " "
l i=1 i=1 i=1
= = =
= = =
= = =
yC = = = = ,
= = = =
= = = =
= = = =
= =
= =
= =
l
+"
+"qdV i=nqili i=nli
+"
+"
" "
" "
" "
" "
l
i=1 i=1
= =
= =
= =
i=n i=n i=n
= = =
= = =
= = =
qzdl
qizili zili zili
+" " " "
+" " " "
+" " " "
+" " " "
l i=1 i=1 i=1
= = =
= = =
= = =
zC = = = = ,
= = = =
= = = =
= = = =
i=n i=n
= =
= =
= =
qdV l
+"
+"
+"
+"
qili li
" "
" "
" "
" "
l
i=1 i=1
= =
= =
= =
Powyższe wzory można wykorzystać do obliczenia położenia środka ciężkości
linii lub układy linii, gdy daną linię lub ich układ daje się myślowo podzielić na
n elementów, których znane są długości i współrzędne środków ciężkości.
Wyrażenie
i=n
=
=
=
x dl = xili
=
=
=
"
"
"
"
+"
+"
+"
+"
i=1
=
=
=
l
jest momentem statycznym odcinka dl względem płaszczyzny Oyz. Pozostałe
podobne całki są momentami statycznymi odpowiednio względem płaszczyzn
Ozx oraz Oxy.
Położenie środka ciężkości powierzchni wybranych figur płaskich
Położenie środka ciężkości powierzchni trójkąta
1
Rys. 3.17. yc = h
3
Położenie środka ciężkości łuku koła AB
r siną
Rys.9.17. xc = ,
ą
Ą 2r
dla półkola, tj. gdy ą = , to xc =
2 Ą
Środek ciężkości wycinka koła OAB
2 siną
Rys. 9.18. xc = r
3 ą
Środek ciężkości odcinka koła ABD
4 sin3ą
Rys. 3.19. xc = r
3 2ą - sin 2ą
Środek ciężkości obliczymy rozpatrując odcinek koła ABD powstały z wycinka
OABD po odjęciu pola trójkąta OAD
Przykład obliczeń
Rys. 3.18. Schemat pręta, dla którego należy obliczyć środek ciężkości