OSCYLATOR HARMONICZNY
" Drgania swobodne oscylatora harmonicznego
" Energia potencjalna sprę\
ystości
" Drgania tłumione oscylatora harmonicznego
" Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
" Rezonans amplitudowy
" Rezonans mocy
" Dobroć układu drgającego
DRGANIA SWOBODNE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
m - masa,
k - stała sprę\
ystości sprę\
yny
Prawo Hooke a F(x) = -kx
Równanie ruchu ma = F ( x) = -kx
2
d x
m = -kx : m
2
dt
2
d x k
2
+ � x = 0, � a"
0 0
2
dt m
Rozwiązanie ogólne zale\
y od dwóch stałych A, B
x(t) = Asin(�0t) + B cos(�0t)
dx
�! v(t) = = �0Acos(�0t) -�Bsin(�0t)
dt
Stałe wyznacza się z dwóch warunków początkowych
Niechx(0) = 0, v(0) = v0
v0 v0
�! A = , B = 0 �! x(t) = sin(�0t)
�0 �0
Przykład: wahadło matematyczne
r
r
P = mg,
r
r r
M = l � P �! M = lmg sin�
P P
r r
r
r r
L = l � p = l � mv
d�
2 2
v = �l �! L = ml � = ml
dt
r
r
dL dL
= M �! = -lmg sin�
P
dt dt
2
d �
2 2
ml = -lmg sin� : ml
2
dt
2
d � g
sin� � �! + � = 0
2
� 0
dt l
2
d � g
2
+ �0� = 0, �0 =
2
dt l
2Ą l
�0 = �! T0 = 2Ą
T0 g
ENERGIA POTENCJALNA SPR
śYSTOŚCI
v0
Niechx(0) = 0, v(0) = v0 �! x(t) = sin(�0t), v(t) = v0 cos(�0t)
�0
mv2 1
2
Energia kinetyczna
Ek = Ek(t)= = mv0 cos2 �0t
2 2
Maksymalna wartosć energii kinetycznej odpowiada sytuacji, gdy oscylator
przechodzi przez poło\
enie równowagi x=0. Wówczas energia potencjalna Ep=0.
Gdy wychylenie oscylatora jest maksymalne, x=v0/�0, energia kinetyczna Ek=0 (v=0)
i całkowita energia jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej.
2
Kwadrat maksymalnego wychylenia
�ł �ł
1 1 v0
2 2
�ł �ł
Ek,max = mv0 = m�0 �ł� �ł
(amplitudy drgań)
2 2
�ł 0 łł
1 1
2
Stąd energia potencjalna
Ep = Ep(t)= m�0 x2 = kx2
2 2
1 1
2 2
Ep = Ep(t)= mv0 sin2 �0t �! Ep + Ek = mv0 = const
2 2
dEp
Zauwa\
my \
e
F = -kx = -
dx
DRGANIA TA
UMIONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
r
dx
r
Siła tłumiąca
Ft = -łv = -ł
dt
2
d x
Równanie ruchu
m = -kx - łv : m
2
dt
2
d x dx ł k
2
+ 2ą + � x = 0, 2ą = , � a"
0 0
2
dt dt m m
ą < �0
Przypadek słabego tłumienia
Drgania wokół poło\
enia równowagi o malejącej wykładniczo amplitudzie, z
częstoscią mniejszą od częstości drgań własnych �0
ą > �0
Przypadek silnego tłumienia
Wykładniczy powrót do poło\
enia równowagi, brak drgań
ą = �0
Tłumienie krytyczne
Wolniejszy ni\
wykładniczy powrót do poło\
enia równowagi, brak drgań.
Mo\
na pokazać, \
e rowziązanie ma postać (A, B - stałe wzynaczane z warunków
początkowych)
x(t) = (A + Bt)exp(-ąt)
Przypadek słabego tłumienia
Rozwiązania poszukujemy w postaci (A,Ć - stałe zal. od warunków początkowych)
x(t) = A exp (- �t)sin (� t + Ć )
r
Wstawiając do równania i grupując wyrazy przy funkcjach sin, cos otrzymujemy
2 2 2
(� - � + � - 2ą� )A exp (- �t)sin (� t + Ć )+
r 0 r
(- 2� � + 2� ą )A exp (- �t)cos (� t + Ć ) = 0
r r r
2 2
�! � = ą , � = � - ą < �
r 0 0
2 2
x(t) = A exp( -ąt) sin( � - ą t + �)
0
obwiednia
drgania tłumione
Przypadek silnego tłumienia
x(t) = Aexp(t)
Rozwiązania poszukujemy w postaci
Wstawiając postulowaną postać rozwiązania do równania, otrzymujemy równanie na 
2
2 A exp(t)+ 2ąA exp(t)+ �0 A exp(t)= 0 : A exp(t)
2
2 + 2ą + �0 = 0
2 2 2 2
1 = -ą + ą - �0 , 2 = -ą - ą - �0
Rozwiązanie ogólne ma postać kombinacji liniowej rozwiązań z 1, 2
2 2 2 2
x(t) = A exp((- ą + ą - � )t)+ B exp((- ą - ą - � )t)
0 0
A, B - stałe wzynaczane z
warunków początkowych
2 < 1 < 0, 1 < 2 �!
x(t) A exp(1t)
t"
DRGANIA WYMUSZONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
Siła wymuszająca
Fzewn(t) = F0 sin�t
Równanie ruchu
2
d x
m = -kx - łv + F0 sin �t : m
2
dt
2
d x dx ł k F0
2
+ 2ą + � x = f0 sin �t, 2ą = , � a" , f0 =
0 0
2
dt dt m m m
Stan ustalony oscylatora z wymuszeniem (rozwiązanie dla t" )
x(t) = Asin(�t +�)
Rozwiązania poszukujemy w postaci
Rozwiązanie ma postać drgań o częstości równej częstosci siły wymuszającej,
amplitudzie A, przesunietych w fazie o Ć względem siły wymuszającej.
Rozwiązanie nie zawiera zale\
ności od warunków początkowych (w szczególności
A, Ć nie zale\
ą od warunków początkowych, tylko od parametrów oscylatora).
Dla małych t w układzie występują drgania nieustalone, których postać zale\
y od
warunków początkowych. Amplituda drgań nieustalonych maleje wykładniczo z
czasem i przy t " pozostają tylko drgania ustalone, niezale\
ne od warunków
początkowych.
Wstawiając postulowaną postać rozwiązania do równania, otrzymujemy
2 2
(�0 -� )Asin(�t + �)+ 2ąAcos(�t +�)= f0 sin�t
Korzystając ze wzorów na sin(ą+�), cos(ą+�) otrzymujemy
2 2 2 2
[(�4- � )cos2- 2ą� sin ] �t +[(�4- � )sin242ą� �]A cos �t = f0 sin �t
0 0
1 444 4444�3 1 444 44
4� 4Asin 4� + 44cos3
= f0 =0
sin� 2ą�
tg� = = -
2
cos� �0 -�2
f0
A = A(�) =
2
2
2
(�0 -�2) +(2ą�)
�ł �ł
f0 2ą
�ł �ł
x(t) = sin�ł�t +arctg
2
2
2
2
�2 -�0 �ł
�ł łł
(�0 -�2) +(2ą�)
REZONANS AMPLITUDOWY
Amplituda drgań ustalonych jest maksymalna, gdy
dA
2
= 0�!� = &!a" �0 -2ą2 <�0
d�
A(�)
Rezonans
amplitudowy
Rezonans
mocy
� �0
REZONANS MOCY
Moc absorbowana (chwilowa)
P = Fzewn(t)v(t)= F0 sin�t A� cos(�t +�)
Niech oznacza średnią wartość wielkości y w ciągu jednego okresu T=2Ą/�
siły wymuszającej
2 2 2 2
sin �t + cos �t a" 1 �! sin �t + cos �t = 1
1
2 2 2 2
sin �t = cos �t �! sin �t = cos �t =
2
sin �t = sin 2�t = sin 3�t = ... = 0
cos (�t + � ) = cos �t cos � - sin �t sin �
P = F0 A� sin �t cos (�t + � ) =
�ł łł
�ł śł
1
2
�ł śł
= F0 A� cos � sin �t cos �t - sin � sin �t = - F0 A� sin �
14 3
4244
1 3 2
424
�ł śł
1
1
= sin 2�t =0
�ł śł
=
2
�ł 2 �ł
2ą� 2ą�
tg� = - �! sin� = -
2
2
2
2
�0 -�2
(�0 -�2) +(2ą�)
ąm�2 f02
P = = ąm�2A2
2
2
2
(�0 -�2) +(2ą�)
d P
Moc absorbowana jest maksymalna, gdy
= 0�!� =�0
d�
W stanie ustalonym (drgania o stałej
amplitudzie) moc absorbowana = mocy f0
Arez = A(�0)=
traconej na pracę przeciw sile tłumiącej
2ą�0
Dla częstości rezonansowej drgania ustalone
0.5Ą
są przesunięte w fazie o Ą/2 (czyli o 1/4 okresu)
względem siły wymuszającej. Jest to
�(�)
maksymalne mo\
liwe przesuniecie w fazie.
f0
x(t ) = cos (� t)
2ą�
0
-0.5Ą
� �0
DOBROĆ UKA
ADU DRGAJ
CEGO
Średnia energia zmagazynowana w układzie
1 1 1 1
2 2 2 2
Ep = m�0 x2 = m�0 A2 sin2(�t +�)�! Ep = m�0 A2 sin2(�t +�) = m�0 A2
2 2 2 4
1 1 1 1
Ek = mv2 = m�2A2 cos2(�t +�)�! Ek = m�2A2 cos2(�t +�) = m�2A2
2 2 2 4
1
2
E = Ep + Ek = m(�0 +�2)A2
4
Dobroć układu drgającego: stosunek energii zgromadzonej w układzie do energii
traconej w ciągu jednego okresu na pokonanie siły tłumienia (w stanie ustalonym
równej energii dostarczanej przez siłę zewnętrzną) przy częstości pobudzenia równej
częstości rezonansowej.
Im więcej energii mo\
na zmagazynować w stosunku do mocy strat, tym lepszy układ.
2Ą E
�0
Q = =
P T 2ą
� =�0
Przykład: drgania w obwodzie RLC z wymuszeniem
II prawo Kirchhoffa
U(t) +UR +UL +UC = 0
dq
U (t) = U0 sin �t UR = -RI = -R
dt
2
dI d q
UL = -L = -L
dt dt2
q
UC = -
C
I - natę\
enie prądu,
2
d q R dq 1 U
0
q - ładunek na kondensatorze
+ + q = sin �t,
2
Częstość drgań własnych
dt L dt LC L
obwodu RLC
2
1
d x dx
2
�0 =
+ 2ą + � x = f0 sin �t,
0
2
LC
dt dt
R 1 U
0
�0L
2ą = , � a" , f0 =
0
Dobroć
Q =
L L
LC
R