mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
NAJWAŻNIEJSZE WZORY:
Równanie różniczkowe belki zginanej i ściskanej (rozciąganej):
q (x)
N
" ściskanie: w(4 )+k2 w(2 ) = k= , N >0
EI EI
"
wog = C1sin (kx) + C2 cos(kx) + C3 x + C4
CORJ:
q (x)
N
" rozciÄ…ganie: w(4 )-k2 w(2 ) = k= , N >0
EI EI
"
wog = C1sinh (kx) + C2 cosh(kx) + C3 x + C
CORJ:
4
Przy znanym rozkładzie momentów zginających od sił poprzecznych:
M (x)
N
2 0
" ściskanie: w(2 )+k w = - k= , N >0
EI EI
"
wog = C1sin (kx)+C2 cos(kx)
CORJ:
M (x)
N
0
" rozciÄ…ganie: w(2)-k2 w = - k= , N >0
EI EI
"
wog = C3sinh (kx)+C cosh(kx)
CORJ:
4
Równanie różniczkowe belki zginanej na podłożu sprężystym Winklera:
q(x) cÅ"b
4
w(4 ) + z4Å"w = , z =
EI EI
"
c  odpór gruntu [MPa/m]
b  szerokość belki [m]
zx zx
-
zx zx zx zx
2
"
wog = e"2 C1sin + C cos + e C3sin + C cos
CORJ:
2 4
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
2 2 2 2
" " " "
WYBOCZENIE
Współczynnik długości wyboczeniowej i postać wyboczenia dla różnych
schematów utwierdzenia:
Lw = źÅ"L
Długość wyboczeniowa pręta:
Lw
Smukłość pręta:  =
imin
E
Smukłość graniczna: gr = Ą
RH
"
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 1
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
 > gr Ò!
ą wyboczenie w zakresie sprężystym
Ä„2 E
Ãcr =
" Naprężenie krytyczne:
2
Ä„2 EI
min
N = ÃcrÅ"A =
" Siła krytyczna (wyboczeniowa) Eulera:
cr
L2
w
 < gr Ò! N = Ãcr ()Å"A
ą wyboczenie w zakresie niesprężystym
cr
(Re- RH )
Ãcr() = a-bÅ"
" wzór Tetmajera-Jasińskiego: a = Re b=

gr
Ãcr() = a-bÅ"2
" wzór Johnsona-Ostenfelda:
Wartości współczynników a i b wyznaczać można w różny sposób, w zależności od
wymaganej charakterystyki krzywej:
gr
" Styk krzywych w , brak ciągłości pochodnej na styku krzywych
( Re-RH)
a = Re b =
2
gr
2 E

 = Ä„
" Ciągłość pochodnej na styku krzywych, styk krzywych w
Re
"
2
Re
a = Re b =
4 Ä„2 E
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 2
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.1
Wyznaczyć smukłość i siłę wyboczeniową dla pręta IPN300 długości 5m wykonanego ze
E = 200 GPa , RH = Re = 215 MPa
stali St3S (przyjąć: ) dla każdego ze stosowanych
schematów podparcia. Wyznaczyć smukłość graniczną dla podanego materiału. Porównać
obliczoną siłę wyboczeniową z nośnością sprężystą profilu
Profil: IPN 300
" pole przekroju: A = 69,1 cm2
I = 451 cm4 imin= Imin = 2,555 cm
" min. moment i promień bezwładności:
min
A
"
Długość: L=5 m
Materiał: Stal St3S
E=200 GPa
" moduł Younga:
Re=215 MPa
" granica sprężystości:
E
 = Ä„ = 95,818 [-]
" smukłość graniczna:
gr
RH
"
N = A Re = 1485,65 kN
Nośność sprężysta profilu:
R
Wsp. dł. Siła krytyczna
Smukłość
Długość
N
wybocze- cr
Le
Ä„2 E I
wyboczeniowa
Schemat min [-]
niowej = [-] N = [kN]
cr N
R
Le=ź L [m]
imin
L2
[-]
w
1
ź=
2,5 97,847 1424,381 95,88%
2
1
ź=
3,536 138,395 712,003 47,93%
2
"
ź=1 5 195,695 356,095 23,97%
ź=2 10 391,389 89,024 5,99%
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 3
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.2
Dany jest stalowy słupek o przekroju kwadratowym, długości 1m, utwierdzony z jednej
strony i obciążony siłą osiową 1500 kN z drugiej. Dobrać minimalny wymiar przekroju
RH = 190 MPa Re = 215 MPa
poprzecznego a. Przyjąć E = 210 GPa .
Wstępnego oszacowania wymiaru przekroju poprzecznego dokonujemy sprawdzając
nośność sprężystą przekroju:
N N N
à = = < Re Ò! a > = 8,35 cm
A Re
a2 "
Po przyjęciu a=8,5 cm charakterystyki geometryczne pręta są następujące:
Pole powierzchni przekroju:
A = a2 = 72,23 cm2
a4
Moment bezwładności przekroju: I = I = = 435,01 cm4
y z
12
Imin a
Minimalny promień bezwładności przekroju:
imin= = = 2,45 cm
A
"
2"3
Współczynnik wyboczeniowy dla wspornika: ź=2
Lw = źÅ"L = 2 m
Długość wyboczeniowa:
Lw
Smukłość pręta:  = = 81,63 [-]
imin
E
Smukłość graniczna dla materiału pręta:  = Ą = 104,44 [-]
gr
RH
"
Smukłość pręta jest mniejsza od smukłości granicznej, zatem wyboczenie nastąpi po
przekroczeniu granicy proporcjonalności, zatem w zakresie niesprężystym. Jeśli stateczność
będzie wymagać większego wymiaru przekroju, wtedy smukłość jeszcze się obniży i dalej
będziemy w zakresie niesprężystym. Gdyby wymagany wymiar był mniejszy od
założonego, to warunek nośności sprężystej zapewnia również stateczność pręta.
Siłę krytyczną w zakresie niesprężystym opisać można jednym z wielu wzorów
empirycznych. Przyjmujemy schemat Tetmajera-Jasińskiego  naprężenia krytyczne są
wtedy równe:
(Re-RH )
N = ÃcrÅ"A
Ãcr = Re - .
gr Å" a stÄ…d siÅ‚a krytyczna: cr
Smukłość i pole powierzchni zależą od nieznanego wymiaru przekroju a. Dobieramy go w
(N > N ):
ten sposób, aby siła obciążająca była mniejsza od siły krytycznej
cr
( Re-RH) 2 3 Lw
"
N = ÃcrÅ"A = Re -
cr
[ ]
gr Å" a a2 = 215Å"106 a2-1,658Å"106 a > 1500Å"103
215 a2-1,658 a-1,5 > 0 Ò! a > 0,0875 m
amin = 8,75 cm .
Minimalny wymagany wymiar przekroju poprzecznego wynosi:
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 4
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.3
Dany jest słup betonowy o przekroju kołowym, wysokości 6 m, ściskany siłą N = 200 kN.
Dobrać średnicę słupa. Moduł Younga betonu E=30 GPa , wytrzymałość betonu na
Rc = 30 MPa RH=0,9 Rc.
ściskanie . Założyć, że
Dobór średnicy z uwagi na wytrzymałość przekroju:
N 4 N 4 N
à = = < Rc Ò! D > H" 9,21 cm
A Ä„ Rc
Ä„ D2 "
Charakterystyki geometryczne przekroju dla założonej średnicy:
Ä„ D4 Ä„ D2 I D
I = = 353,19 cm4 A = = 66,62 cm2 i = = = 2,30 cm
64 4 A 4
"
Dobór średnicy z uwagi na stateczność:
Współczynnik długości wyboczeniowej i długość wyboczeniowa dla wspornika:
L = 6 m
ź=2
Lw = ź L = 12 m
E
Smukłość graniczna betonu:  = Ą = 104,72 [-]
gr
RH
"
Lw 4ź L
Smukłość elementu dla założonej średnicy:  = = = 521,173 [-]
i D
>gr
, co sugeruje, że wyboczenie nastąpi w zakresie sprężystym. Siła obciążająca
musi być mniejsza od siły krytycznej. Siłę krytyczną wyznaczamy przy założeniu, że
wyboczenie wystąpi w zakresie sprężystym (tj. wg wzoru Eulera):
64 N ź2 L2
Ä„2 E I Ä„3 E D4 > N Ò! D > 4
N = = H" 21 cm
cr
L2 64ź2 L2 Ą3 E
"
w
4ź L
Dla tak dobranej średnicy wyznaczamy rzeczywistą smukłość:  = = 228,571 [-]
D
Rzeczywista smukłość jest w dalszym ciągu większa od smukłości granicznej, zatem
założenie o wyboczeniu w zakresie sprężystym (i zastosowanie wzoru Eulera) było
Dmin = 21 cm .
poprawne. Minimalna wymagana średnica słupa wynosi
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 5
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.4
Dana jest belka dwuteowa o profilu IPE140 o długości 4 m. Schemat statyczny jak na
rysunku. Obliczyć siłę krytyczną dla tej belki. Przyjąć stałe materiałowe jak dla stali:
RH = 185 MPa Re = 225 MPa
E = 205 GPa .
iy = 5,74 cm
L = 4 m I = 541 cm4
y
iz = 1,65 cm
I = 44,9 cm4
A = 23,9 cm2
z
Płaszczyzna Sztywność wsp. długości wboczeniowej,
wyboczenia długość wyboczeniowa
I źy = 2 Ò! Lwy = źy L = 8 m
(xz)
y
1
I źz = Ò! Lwz = źz L = 2 m
(xy)
z
2
E
Smukłość graniczna: gr = Ą = 104,578
RH
"
Dla każdego ze schematów wyboczenia możemy wyznaczyć smukłość pręta
Lwy Lwz
 = = 139,373 > gr , y = = 121,212 > gr
y
i iz
y
W obydwu przypadkach wyboczenie nastąpi w zakresie sprężystym. Siły krytyczne
określamy na podstawie wzoru Euelra:
Ä„2 E I
Ä„2Å"205Å"109Å"541Å"10-8 = 171,029 kN
( y) y
N = =
cr
L2 82
wy
Ä„2 E I
Ä„2Å"205Å"109Å"44,9Å"10-8 = 227,112 kN
(z ) z
N = =
cr
L2 22
wz
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 6
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.5
Dana jest szyna kolejowa S49 długości 12 m wystawiona na działanie wysokiej
temperatury. Szczelina dylatacyjna między sąsiednimi szynami ma szerokość 5 mm.
Obliczyć jak duża musiałaby być zmiana temperatury aby spowodować wyboczenie szyny?
Ścisłe rozwiązanie zadanie jest stosunkowo trudne. Dla uproszczenia obliczeń zakładamy,
że mocowania szyny do podkładów kolejowych nie powodują usztywnienia szyny oraz, że
przemieszczenie na stykach jest zablokowane  układ opisuje zatem schemat statyczny
belki swobodnie podpartej na końcach.
Dane:
Szyna:
L=12 m
" Długość:
" Minimalny moment bezwładności szyny S49: I = 320 cm4
" Pole przekroju szyny S49: A = 62,9 cm2
Materiał:
E=210 GPa
" Moduł Younga:
Ä… = 1,2Å"10-5 1
" współczynnik rozszerzalności cieplnej:
C"
Szczelina dylatacyjna: d = 5 mm
Współczynnik długości wyboczeniowej: ź=1
Siła krytyczna dla szyny:
Ä„2 E I Ä„2Å"210Å"109Å"320Å"10-8
N = = = 46,058 kN
cr
(ź L)2 (1Å"12)2
"T
Rozpatrujemy dwa etapy deformacji szyny  najpierw zwiększamy temperaturę o aż
1
do momentu zniwelowania szczeliny dylatacyjnej i zetknięcia się sąsiednich szyn, a
"T
następnie zwiększamy temperaturę o . Ten dodatkowy przyrost temperatury
2
powoduje powstanie w szynach siły osiowej będącej reakcją na brak możliwości dalszej
deformacji po zniknięciu dylatacji.
Zmiana temperatury powodująca zetknięcie się sąsiednich szyn  zakładamy, że każda z
sąsiadujących szyn ulega podobnemu wydłużeniu. Każda z nich musi zatem wydłużyć się z
obydwu stron o długość równą połowie szerokości szczeliny dylatacyjnej.
" L1 5Å"10-3
1
" L1 = 2Å" d = d Ò! "T = = H" 34,722 C"
1
( )
2 Ä… L
1,2Å"10-5Å"12
" L2 = Ä… L " T
Reakcja ściskająca na styku szyn kompensująca dodatkowe wydłużenie , a
2
mogąca spowodować wyboczenie:
A E Ä… L "T N
46,058Å"103
2 cr
N = = N Ò! " T = = = 2,906 C"
cr 2
L E A Ä…
210Å"109Å"62,9Å"10-4Å"1,2Å"10-5
Całkowity przyrost temperatury powodujący wyboczenie szyny przy założonych
"T + "T =37,628 C"
warunkach wynosi .
1 2
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 7
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.6
Obliczyć nośność słupa wspornikowego o profilu HEB 320 i wysokości 3 m wykonanego ze
stali konstrukcyjnej o module Younga E=210 GPa , granicy proporcjonalności równej
RH = 190 MPa Re = 215 MPa
i granicy plastyczności .
Pole przekroju:
A = 161 cm2
Moment bezwładności: I = 9240 cm4
min
I
min
Promień bezwładności:
imin = = 7,576 cm
A
"
Długość: L = 3 m
Współczynnik dł. wyboczeniowej: ź = 2
Lw=ź L = 6 m
Długość wyboczeniowa:
Lw
Smukłość:  = = 79,197 [-]
i
Nośność z uwagi na uplastycznienie całego przekroju:
N = Re A = 3461,5 kN
Nośność sprężysta:
R
Nośność z uwagi na utratę stateczności:
E
Smukłość graniczna stali: gr = Ą = 104,444 [-]
RH
"
gr>
a zatem wyboczenie nastąpi w zakresie niesprężystym.
Naprężenie odpowiadające sile krytycznej w zakresie niesprężystym szacujemy na
podstawie:
" hipotezy Tetmajera-Jasińskiego:

ÃTJ () = (RH-Re)+Re = 196,043 MPa
gr
Siła krytyczna:
TJ
N =ÃTJÅ"A = 3156,292 kN
cr cr
" hipotezy Johnsona-Ostenfelda:
2
ÃJO() = (RH -Re)+Re = 200,626 MPa
2
gr
Siła krytyczna:
JO
N =ÃJOÅ"A = 3230,079 kN
cr cr
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 8
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.7
Dana jest belka swobodnie podparta, obciążona równomiernie
rozłożonym obciążeniem ciągłym, oraz skupionymi siłami
osiowymi na podporach jak na rysunku. Wyznaczyć rozkład sił
przekrojowych uwzględniając efekty II rzędu.
Wyznaczamy rozkład momentów zginających od obciążenia poprzecznego:
q LÅ"x- q
M (x) = x2
0
2 2
Po uwzględnieniu wpływu sił osiowych funkcja rozkładu momentów przyjmuje postać:
q LÅ"x- q
M (x) = M ( x)+NÅ"w(x) = x2+NÅ"w(x)
0
2 2
Równanie różniczkowe rządzące zagadnieniem przyjmuje postać:
2
M
M (x)
d2 w d w N
0
=- Ò! +k2 w = - gdzie k =
EI EI
"
dx2 EI dx2
z warunkami brzegowymi w (0)=0, w( L)=0.
Jest to liniowe, niejednorodne równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego ze stałymi
współczynnikami. Rozwiązanie tego równania można zapisać jako sumę ogólnego
wog
rozwiązania równania jednorodnego (z prawą stroną równą 0) oraz dowolnego
wsz w=wog+wsz
rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego tj. :
Całka ogólna równania jednorodnego (CORJ):
wog( x)=C sin(k x)+C cos(k x)
1 2
Całka szczególna równania niejednorodnego (CSRN):
Funkcję tę można wyznaczyć np. metodą przewidywania  skoro prawa strona równania
niejednorodnego jest wielomianem stopnia 2, stąd możemy założyć, że rozwiązanie również
jest wielomianem odpowiedniego stopnia. Ponieważ najniższym rzędem pochodnej
występującej w równaniu jest 0, stąd rozwiązanie szczególne na pewno nie będzie
wielomianem wyższego stopnia niż 2:
wsz( x)=a x2+b x+c
Współczynniki a, b, c całki szczególnej znajdujemy podstawiając przewidywaną funkcję do
równania i porównując wielomiany po obydwu stronach.
2
d wsz
q qL
+k2wsz = 2 a + k2a x2 + k2 b x + k2 x a" x2 - x
2 EI 2 EI
dx2
Dwa wielomiany są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy
odpowiednich potęgach zmiennej niezależnej są sobie równe:
q q
a = =
q
k2a = 2 EI k2 2 N
2 EI
qL qL
b = - = -
qL Ò!
k2b =-
2 EI k2 2 N
2 EI
{
q
{
2a+k2c = - = -q EI
2a+k2c = 0
2
EI k4 N
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 9
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
A zatem całka ogólna równania niejednorodnego (rozwiązanie zadania) jest równa:
q q L q EI
2
w (x)=C1sin (k x)+C2 cos(k x) + x - x -
2
2 N 2 N
N
Stałe całkowania rozwiązania ogólnego wyznaczamy z warunków brzegowych:
q EI
q EI 1-cos(kL)
w(0) = C2- = 0
C1 =
2
2
sin(kL)
N
N
Ò!
qL2 qL2 q EI q EI
C =
w( L) = C1sin (kL)+C cos(kL)+ - - = 0
{ {
2 2
2
2
2 N 2 N
N
N
Funkcja rozkładu ugięć belki jest równa:
EI [1-cos(k L)]
q EI 1 L EI
w (x)= sin (k x)+ cos(k x)+ x2- x-
[ ]
N N sin(k L) N 2 2 N
lub inaczej:
[1-cos(k L)]
q 1 1 L EI
w (x)= sin(k x )+ cos(k x)+ x2- x-
[ ]
N 2 2 N
k2 sin(k L) k2
Funkcja rozkładu kątów ugięcia:
[1-cos(k L)]
dw q 1 L
Ć( x) = = cos(k x)- sin(k x)+ x-
[ ]
dx N k sin(k L) k 2
Siły przekrojowe znajdujemy poprzez odpowiednie różniczkowanie funkcji rozkładu ugięć:
2
[1-cos(k L)]
q
M (x) = -EIÅ"d w = sin(k x)+cos(k x)-1
[ ]
dx2 k2 sin(k L)
3
[1-cos(k L)]
q
Q( x) = - EIÅ"d w = cos(k x)-sin (k x)
[ ]
dx3 k sin(k L)
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 10
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.8
Dana jest belka swobodnie podparta, obciążona skupioną siłą poprzeczną w połowie
przęsła, obciążona ponadto siłami osiowymi na podporach. Sprawdzić, jak różnią się
rozwiązania tego zadania (rozkład sił przekrojowych i przemieszczeń):
a) przy pominiÄ™ciu efektów II rzÄ™du (efekt P-´ ).
b) przy uwzględnieniu efektów II rzędu, gdy siła osiowa jest siłą ściskającą
c) przy uwzględnieniu efektów II rzędu, gdy siła osiowa jest siłą rozciągającą.
Rozwiązanie klasyczne (z pominięciem efektów II rzędu):
Przedział AB: x"(0 ; L /2) Przedział BC: x"(L /2 ; L)
N0( x)=-N N (x)=-N
0
P
Q0( x) = Q0( x) = -P
2 2
P P
{ {
M ( x) = x M ( x) = ( L-x)
0 0
2 2
Wyznaczenie rozkładu ugięcia metodą Clebscha:
BC
AB
1
P L
M (x ) = ( x-0)1 -P x-
#" ( )
#"
2 2
BC
AB 2
1 P P L
Ć( x) = - C1+ (x-0)2 - x-
#" ( )
#"
[ ]
EI 4 2 2
BC
AB 3
1 P P L
w (x) = - C +C1 x+ ( x-0)3 - x-
2
#" ( )
#"
[ ]
EI 12 6 2
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych:
C =0
2
w(0)=0
Ò!
3
{
w (L)=0 C =- PL2
{ 1
48
Ostatecznie:
3
P 3 1
P 3 1 1 L
w (x) = L2 x - x3
wBC (x) = L2 x- x3+ x-
AB
[ ]
( )
[ ]
EI 48 12
EI 48 12 6 2
2
P 3 1
P 3 1 1 L
ĆAB( x) = L2- x2
ĆBC(x) = L2- x2+ x-
[ ]
( )
[ ]
EI 48 4
EI 48 4 2 2
Rozwiązanie z uwzględnieniem efektów II rzędu  ściskanie
Ponieważ na długości belki przyłożone jest obciążenie skupione, stąd ugięcie opisane jest
dwoma funkcjami  w każdym przedziale charakterystycznym osobną. Funkcje te muszą
spełniać w swoim przedziale odpowiednie równanie różniczkowe i warunki brzegowe oraz
warunki zszycia (równości ugięć i kątów na granicy przedziałów charakterystycznych).
1 Px N
2) 2) 2
w(AB+k2 wAB = - M Ò! w(AB+k w = - k =
0, AB AB
EI 2 EI EI
"
1 P N
2 ) 2)
w(BC+k2 wBC = - M Ò! w(AB+k2 wAB = - ( L- x) k =
0, BC
EI 2 EI EI
"
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 11
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
Całki ogólne równań jednorodnych:
wog , AB = C1sin (kx)+C2 cos(kx) wog , BC = D1sin (kx)+ D2 cos(kx)
Całki szczególne równań niejednorodnych  wyznaczane metodą przewidywania:
P
a =-
Px
2) 2
wsz , AB = ax+b Ò! w(sz , AB+k wsz , AB = k2ax+k2b a" - Ò!
2 k2 EI
2 EI
{
b = 0
P
c =
Px PL
2 2k2 EI
wsz , BC = cx+d Ò! w(sz),BC+k2wsz , BC = k2cx+k2d a" - Ò!
2 EI 2 EI PL
d = -
{
2k2 EI
Stałe całkowania wyznaczane na podstawie warunków brzegowych i warunków zszycia:
wAB(0)=0
P cos(kL)
D1 = -
P
wBC (L)=0 C1 =
2k3 EI cos(kL/ 2)
Ò! '"
2 k3cos(kL/2)EI
wAB( L/ 2)=wBC( L/ 2) P sin (kL)
{
D2 =
C2 = 0
{
{
ĆAB(L /2)=ĆBC( L /2) 2 k3EI cos(kL/2)
Przedział AB: x"(0 ; L /2)
P 1 sin( kx)
w = - x
[ ]
k cos(kL/ 2)
2 k2 EI
dw P cos(kx)
Ć = = - 1
[ ]
dx 2 N cos(kL/ 2)
2
sin(kx )
d w P
M = -EI = M +N w =
2 k cos(kL/2)
dx2 0
cos(kx)
d3 w P
Q = -EI = Q0+N Ć =
2 cos( kL/2)
dx3
{
cos(kx)
P2
N = N -Q0Ć = -N + - 1
0
[ ]
4 N cos(kL/ 2)
Przedział BC: x"( L/ 2 ; L)
P 1 sin (k ( L- x))
w = - (L-x)
[ ]
k cos(kL/ 2)
2 k2 EI
cos(k ( L- x))
dw P
Ć = = - - 1
[ ]
dx 2 N cos(kL/ 2)
d2w P sin(k ( L-x))
M = -EI = M +N w =
0
2k cos(kL/2)
dx2
d3 w P cos(k (L-x))
Q = -EI = Q0+N Ć = -
2 cos(kL/ 2)
dx3
{
2
P cos(k( L-x))
N = N -Q0 Ć = -N - - 1
0
[ ]
4 N cos(kL/ 2)
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 12
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
Rozwiązanie z uwzględnieniem efektów II rzędu  rozciąganie
Równania różniczkowe:
1 Px N
2) 2) 2
w(AB-k2 wAB = - M Ò! w(AB+k w = - k =
0, AB AB
EI 2 EI EI
"
1 P N
2 ) 2)
w(BC-k2 wBC = - M Ò! w(AB+k2 wAB = - ( L- x) k =
0, BC
EI 2 EI EI
"
Całki ogólne równań jednorodnych:
wog , AB = C1sinh (kx)+C2 cosh(kx) wog , BC = D1sinh (kx)+ D2 cosh(kx)
Całki szczególne równań niejednorodnych  wyznaczane metodą przewidywania:
P
Px a =
wsz , AB = ax+b Ò! w(2), AB-k2wsz , AB = -k2ax-k2b a"- Ò!
sz 2 k2 EI
2 EI
{
b = 0
P
c = -
Px PL
2) 2 k2 EI
wsz , BC = cx+d Ò! w(sz , BC-k2 wsz , BC = -k2 cx-k2 d a" - Ò!
2 EI 2 EI PL
d =
{
2
2k EI
Stałe całkowania wyznaczane na podstawie warunków brzegowych i warunków zszycia:
wAB(0)=0
P cosh (kL)
D1 =
P
wBC( L)=0 C1 = -
2 k3 EI cosh (kL/2)
Ò! '"
2k3 EI cosh (kL/ 2)
P sinh(kL)
wAB( L/ 2)=wBC (L /2)
{
D2 =-
C2 = 0
{
{
ĆAB(L /2)=ĆBC (L /2) 2 k3 EI cosh (kL/2)
Przedział AB: x"(0 ; L / 2)
P 1 sinh(kx)
w = - - x
[ ]
k cosh (kL/2)
2k2 EI
cosh (kx)
dw P
Ć = =- - 1
[ ]
dx 2 N cosh(kL/ 2)
d2w P sinh(kx)
M = -EI = M +N w =
0
2k cosh(kL/ 2)
dx2
d3 w P cosh( kx)
Q = -EI = Q0+N Ć =
2 cosh (kL/ 2)
dx3
{
P2 cosh(kx)
N = N -Q0 Ć = N - - 1
0
[ ]
4 N cosh( kL/2)
Przedział BC: x"( L/ 2 ; L)
P 1 sinh(k ( L-x))
w = - - ( L-x)
[ ]
k cosh( kL/2)
2k2 EI
cosh(k ( L-x))
dw P
Ć = = - 1
[ ]
dx 2 N cosh (kL/2)
d2w P sinh(k( L-x))
M = -EI = M +N w =
0
2k cosh(kL/ 2)
dx2
d3 w P cosh( k( L-x))
Q = -EI = Q0+N Ć = -
2 cosh (kL/2)
dx3
{
P2 cosh (k (L-x))
N = N -Q0 Ć = N + - 1
0
[ ]
4 N cosh (kL/ 2)
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 13
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
Aby zobrazować różnice, najlepiej przeliczyć przykład liczbowy. Przyjmijmy:
Belka długości L = 5 m , profil IPE300 o , wykonany ze stali o
I = 8360 cm4
E = 210 GPa . Obciążenie stanowi siła poprzeczna P = 45 kN oraz siła osiowa
N = 300 kN.
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 14
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.9
Dany jest słup o profilu HEB280 długości 4m, wykonany ze stali o E = 210 GPa, obciążony
siłą osiową P=1500 kN. W wyniku błędu wykonawczego, siła przyłożona jest na
mimośrodzie e = 5 mm na kierunku równoległym do mocniejszej osi zginania. Wyznaczyć
rozkład sił poprzecznych, momentów zginających oraz ugięcia przy uwzględnieniu efektów
II rzÄ™du  wpÅ‚ywu deformacji na rozkÅ‚ad siÅ‚ przekrojowych (efekt P-´ ) oraz na
oddziaływanie obciążenia zewnętrznego (efekt P-" ). Porównać uzyskane wyniki z
wynikami obliczeń pomijających efekty II rzędu.
Zastępujemy obciążenie zewnętrzne obciążeniem statycznie
równoważnym i wyznaczamy rozkład momentów zginających
w zwykły sposób:
M = PÅ"e = 7,5 kNm
M (x) = -M
y0
Zwykłe równanie belki zginanej i ściskanej zakłada, że położenie siły
osiowej jest stałe w całym procesie deformacji. Zakładając, że siła
przyłożona jest stale w tym samym punkcie skrajnego przekroju
wspornika, oraz, że nie zmienia kierunku działania, rozkład momentów
zginających (po uwzględnieniu efektów II rzędu) przyjmuje postać:
M (x) = M -P w( L)-w (x) = -M -P w( L)+ P w(x)
( )
y y0
Równanie ugięcia belki:
2
M
d w d2 w M +P w( L) P
y
= - Ò! +k2 w = gdzie k =
EI EI
"
dx2 EI dx2
z warunkami brzegowymi: w (0)=0, Ć(0) = w ' (0)=0.
Całka ogólna równania jednorodnego:
wog( x) = C1sin(kx)+C2 cos(kx )
Całka szczególna równania niejednorodnego:
wsz( x) = C3
CSRN przewidywana w postaci:
C3 wsz
Stałą znajdujemy podstawiając do równania różniczkowego:
2
M +P w( L) M +P w( L)
d w
+k2 w = k2 C3 a" Ò! C3 =
EI
dx2 k2 EI
Całka ogólna równania niejednorodnego:
M +P w (L)
w (x ) = C1 sin(kx)+C2 cos(kx) +
rozkład ugięć:
2
k EI
Ć( x) = C1 k cos(kx)-C k sin(kx)
rozkład kątów ugięć:
2
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 15
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych:
C1 = 0
M +P w (L)
w(0) = C2+ = 0
Ò!
M +P w( L)
k2 EI
C = -
2
{
{
Ć(0) = C1 k = 0
k2 EI
M +P w( L)
w (L) = C1sin (kL) + C2 cos(kL) +
Ponadto:
2
k EI
1-cos(kL) 1-cos(kL)
M
w (L) = = eÅ"
cos(kL) cos(kL)
k2 EI
e
C2 = -
cos(kL)
1-cos(kx)
w (x ) = eÅ"
Ostatecznie:
cos(kL)
sin(kx)
dw
Ć( x) = = e kÅ"
dx cos(kL)
2
cos(kx)
d w
M (x) = -EI = -P eÅ"
y
cos(kL)
dx2
3
sin(kx)
d w
Qz( x) = - EI = P k eÅ"
cos(kL)
dx3
Wyniki dla analizy I rzędu:
Qz( x) = 0
M (x) = -P e
y
x
M
P e
y
Ć( x) = - dx+C1 = x + C1 Ć(0)=0 Ò! C1=0
+"
EI EI
0
x
P e
w (x ) = Ć dx+C2 = x2+C2 w(0)=0 Ò! C2=0
+"
2 EI
0
Porównanie uzyskanych wyników z tymi, uzyskiwanymi przy pominięciu efektów II rzędu
przedstawione jest na wykresach:
e = 5 mm
P = 1500 kN
L = 4 m
E = 210 GPa
I = 19270 cm4
y
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 16
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
ZADANIE 13.10
Dana jest belka o sztywności EI spoczywająca na podłożu
sprężystym Winklera o sztywności r. Belka obciążona jest
obciążeniem ciągłym trapezowym, zaś jeden jej koniec został
utwierdzony z możliwością przesuwu pionowego (zablokowany
obrót). Wyznaczyć rozkład ugięcia belki oraz występujących w
niej sił przekrojowych.
Równanie belki na podłożu sprężystym Winklera: ,
EIÅ"w(4)(x) + rÅ"w( x) = q (x)
q2-q1
gdzie funkcja gęstości obciążenia jest równa:
q (x ) = q1+ x
L
1
4 r
w(4 ) + z4 w = q(x )
Podstawiając , równanie można przepisać w postaci:
z =
EI
EI
"
Warunki brzegowe  belka spoczywa na podłożu sprężystym, przemieszczenia i kąty
obrotów wszystkich jej punków mogą być zatem w ogólności dowolne. Belka nie jest
ponadto obciążona obciążeniem skupionym  linia ugięcia będzie więc opisana jednym
wzorem. Warunki brzegowe:
Podpora z lewej: Koniec swobodny z prawej:
Ć(0)=0 M (L)=0
{ {
Q(0)=0 Q( L)=0
Rozwiązanie zagadnienia będzie sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki
szczególnej równania niejednorodnego.
Całka ogólna równania jednorodnego:
w(4) + z4 w = 0
Równanie charakterystyczne powyższego równania:
s4+z4 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego:
z z z z
s1 = (1+i) , s2 = (1-i) , s3 = (-1+i) , s4 = (-1-i)
2 2 2 2
" " " "
z z z z
!(s1 /2) = , #"!(s1 / 2)#"= !(s3 /4) = - , #"!(s3 / 4)#"=
2 2 2 2
" " " "
Pierwiastkom tym odpowiada całka ogólna równania jednorodnego następującej postaci:
zx zx
-
zx zx zx zx
2
"
wog( x) = e"2 C1sin + C2 cos + e C3sin + C cos
4
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
2 2 2 2
" " " "
q2-q1
1
Całka szczególna równania niejednorodnego: w(4) + z4 w = q1+ x
( )
EI L
Ponieważ równanie jest liniowe, a funkcja po prawej jego stronie jest prostą funkcją
wielomianową, stąd przewidujemy całkę szczególną w postaci wielomianu odpowiedniego
stopnia:
wsz = a x+b
Nieznane współczynniki tego wielomianu wyznaczamy na podstawie równania:
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 17
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
14  Efekty II rzędu - ZADANIA
q2-q1
a =
q1 q2-q1
4 z4 L EI
w(sz ) + z4 wsz = z4 a x+z4 b a" + x Ò!
EI L EI q1
b =
{
z4 EI
Całka ogólna równania niejednorodnego:
zx zx
-
q2-q1 q1
zx zx zx zx
2
"
w (x) = e"2 C1 sin + C2 cos + e C3 sin + C4 cos + x +
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
2 2 2 2
" " " " z4 L EI z4 EI
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych:
(q1-q2)Å"[sin( y)-cos( y)-e- y+2]
C1 =
2 z4 y EI sin( y)+sinh ( y)
[ ]
(q1-q2)Å"[sin ( y)+cos( y)-e- y]
Ć(0)=0
C2 =
Q (0)=0 2 z4 y EI [sin ( y)+sinh( y)]
Ò!
, gdzie:
y = 2 z L
"
M (L)=0
(q1-q2)Å"[sin( y )+cos( y)+ey-2]
{
C3 =
Q (L)=0
2 z4 y EI [sin ( y)+sinh ( y)]
{
(q1-q2)Å"[-sin( y )+cos( y)-ey]
C4 =
2 z4 y EI sin ( y)+sinh( y)
[ ]
Funkcje rozkładu sił przekrojowych uzyskujemy na drodze różniczkowania funkcji ugięcia.
2 3
d w d w
M (x) = -EI Q( x) = - EI
dx2 dx3
Funkcje te mają bardzo złożoną postać. W praktyce obliczenia wykonuje się numerycznie
już dla ustalonych wartości parametrów zadania. Przykładowo:
Belka stalowa o profilu IPN200
Moment bezwładności przekroju:
I = 2140 cm4
Moduł Younga stali: E = 210 GPa
Długość belki: L = 6 m
b = 9 cm
Szerokość belki:
f
Odpór gruntu: c = 100 MPa /m
r = cÅ"b = 9 (N/ m)/m
Odpór liniowy gruntu:
f
q1 = 3 kN/m
Gęstość obciążenia:
q2 = 1 kN/ m
© Copyright: PaweÅ‚ SzeptyÅ„ski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 18