MINISTERSTWO EDUKACJI
NARODOWEJ
Grzegorz Korzela
Posługiwanie się jednostkami miar, skalą
oraz współrzędnymi geodezyjnymi 311[10].O1.02
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2007
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Recenzenci:
dr in\. Barbara Gąsowska
mgr in\. Wanda Brześcińska
Opracowanie redakcyjne:
mgr in\. Grzegorz Korzela
Konsultacja:
mgr Małgorzata Sienna
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311.[10].O1.02
Posługiwanie się jednostkami miar, skalą oraz współrzędnymi geodezyjnymi , zawartego
w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta.
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2007
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
1
SPIS TREŚCI
1. Wprowadzenie 3
2. Wymagania wstępne 5
3. Cele kształcenia 6
4. Materiał nauczania 7
4.1. Definicja, historia, zadania geodezji oraz podstawowe informacje
o układzie współrzędnych prostokątnych, mapie i skali 7
4.1.1. Materiał nauczania 7
4.1.2. Pytania sprawdzające 17
4.1.3. Ćwiczenia 18
4.1.4. Sprawdzian postępów 20
4.2. Jednostki miar stosowane w geodezji 21
4.2.1. Materiał nauczania 21
4.2.2. Pytania sprawdzające 22
4.2.3. Ćwiczenia 22
4.2.4. Sprawdzian postępów 24
4.3. Posługiwanie się współrzędnymi do rozwiązywania podstawowych zadań
geodezyjnych 25
4.3.1 Materiał nauczania 25
4.3.2 Pytania sprawdzające 34
4.3.3 Ćwiczenia 35
4.3.4 Sprawdzian postępów 39
5. Sprawdzian osiągnięć 40
6. Literatura 46
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
2
1. WPROWADZENIE
Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o historii geodezji, jej działach,
znaczeniu dla gospodarki narodowej oraz w rozwiązywaniu podstawowych zadań z rachunku
współrzędnych.
W poradniku znajdziesz:
- wymagania wstępne wykaz umiejętności, jakie powinieneś mieć ju\ ukształtowane,
abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika,
- cele kształcenia wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z poradnikiem,
- materiał nauczania wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści jednostki
modułowej,
- zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy ju\ opanowałeś określone treści,
- ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować
umiejętności praktyczne,
- sprawdzian postępów,
- sprawdzian osiągnięć, przykładowy zestaw zadań; zaliczenie testu potwierdzi
ukształtowanie umiejętności całej jednostki modułowej,
- literaturę.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
3
311[10].O1
Podstawy geodezji
i kartografii
311[10].O1.01
Przestrzeganie przepisów
bezpieczeństwa i higieny
pracy, ochrony
przeciwpo\arowej
oraz ochrony środowiska
311[10].O1.02
Posługiwanie się jednostkami
miar, skalą oraz
współrzędnymi geodezyjnymi
311[10].O1.03
Posługiwanie się mapami
stosowanymi w geodezji
Schemat układu jednostek modułowych
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
4
2. WYMAGANIA WSTPNE
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej, powinieneś umieć:
- korzystać z ró\nych zródeł informacji,
- obsługiwać komputer,
- charakteryzować układ współrzędnych prostokątnych,
- przestrzegać zasad bezpieczeństwa i higieny pracy,
- uczestniczyć w dyskusji.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
5
3. CELE KSZTAACENIA
W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś, umieć:
określić rolę geodezji w gospodarce,
przedstawić rys historyczny geodezji,
scharakteryzować poszczególne działy geodezji,
posłu\yć się jednostkami miar stosowanymi w geodezji,
obliczyć azymut kierunku ze współrzędnych,
obliczyć długość odcinka ze współrzędnych,
obliczyć współrzędne punktu na prostej,
obliczyć wartość kąta ze współrzędnych,
określić wartość kąta w ró\nych jednostkach,
odczytać współrzędne punktu z mapy,
odszukać na mapie punkt o określonych współrzędnych,
posłu\yć się podziałką poprzeczną,
zastosować do obliczeń geodezyjnych technikę komputerową,
scharakteryzować graficzne zobrazowanie rzezby,
obliczyć powierzchnię figury ze współrzędnych
skontrolować poprawność obliczeń geodezyjnych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
6
4. MATERIAA NAUCZANIA
4.1. Definicja, historia, zadania geodezji oraz podstawowe
informacje o układzie współrzędnych prostokątnych, mapie
i skali
4.1.1. Materiał nauczania
Geodezja nazwa wprowadzona przez Arystotelesa, pochodzi z języka greckiego geo
Ziemia, daiso będę dzielił, a więc dosłownie oznacza podział ziemi, czyli pomiar i podział
posiadłości nieruchomości, co i w obecnych czasach stanowi jedno z wa\nych zadań
geodezji.
Geodezja jest jedną z nauk o Ziemi a zarazem działem techniki. Zajmuje się pomiarami
obiektów na powierzchni ziemi oraz pomiarami Ziemi jako planety. Pomiary geodezyjne
określają wymiary, kształt i wzajemne poło\enie w przestrzeni obiektów (naturalnych
i sztucznych) znajdujących się na powierzchni ziemi a tak\e kształt i wymiary Ziemi jako
planety. Praktyczne zadania geodezji obejmują pomiary topograficzne przydatne do
sporządzania map, pomiary gruntów oraz pomiary obiektów in\ynierskich związane z ich
budową a tak\e pózniejszą eksploatacją. Podstawy teoretyczne geodezji opierają się na takich
naukach jak: matematyka, fizyka, astronomia, geografia, mechanika i inne.
Rys historyczny geodezji [2]
Początki geodezji sięgają 3 5 tysięcy lat przed naszą erą, kiedy to wykonywane były
pomiary katastralne. Z czasów najodleglejszych zachowały się do dzisiaj tylko nieliczne ślady
działalności "geodezyjnej". Są to malowidła ścienne w tureckiej Anatolii, niewielkie
fragmenty glinianych tablic katastralnych w Mezopotamii, zapisy na papirusie czy te\
średniowieczne kopie staro\ytnych map. Im bli\ej czasów współczesnych, tym więcej mamy
przekazów historycznych i dowodów, mówiących nie tylko o roli i znaczeniu geodezji, ale
i kolejnych etapach jej rozwoju. Za niezwykle wa\ne w rozwoju geodezji uwa\a się
wyznaczenie wymiarów Ziemi przez Eratostenesa z Cyreny (III w. p.n.e.). Ten grecki
astronom i matematyk porównał obserwacje Słońca w dwóch odległych punktach (Asuan
i Aleksandria) le\ących w przybli\eniu na tym samym południku. Dokonał on pomiaru kąta
padania promienia słonecznego w Aleksandrii, w momencie, gdy w Asuanie słońce świeciło
w zenicie. Określając odległość między tymi miastami na podstawie czasu przejścia
karawany, uczony obliczył promień kuli ziemskiej: R~6300 km.
Początki geodezji w Polsce [3]
Najwcześniejsze wzmianki o mierniczych na ziemiach polskich pochodzą z XII i XIII
wieku. Wykonujących pomiary nazywano wtedy \erdnikami królewskimi, bo te\ posługiwali
się tak prostymi narzędziami, jak \erdz i sznur, za pomocą których mierzyli grunty i tyczyli
nowe miasta. Budowę tych ostatnich zaczynano od wytyczenia rynku, z reguły prostokątnego
do prowadzenia handlu, potem siatki ulic i parceli budowlanych.
W średniowieczu znana była, równie\ w Polsce, instytucja Podkomorzego. Na dworze
pierwszych Piastów kontrolowali oni zarządzanie dobrami królewskimi i byli zastępcami
wojewodów. Jednym z ich obowiązków było rozstrzyganie sporów granicznych. W połowie
XV wieku Podkomorzy był ju\ dobrze zakorzenioną, szlachecką instytucją samorządową, swą
funkcję sprawował praktycznie do\ywotnio. Podkomorzy rozstrzygał spory graniczne, potrafił
oszacować wartość nieruchomości, a z czasem sklasyfikować grunty.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
7
W XVI wieku ukazały się pierwsze podręczniki geodezji w języku polskim, jak
chocia\by Geometria to jest miernicka nauka... Stanisława Grzepskiego z 1566 r. Rozwijało
się szkolnictwo. Na Akademii Krakowskiej dzięki inicjatywie kanonika Jana Bro\ka w 1631
r. utworzono katedrę geodezji. Jej nieliczni adepci nosili jak na królewską uczelnię przystało
tytuł geometry królewskiego. Zaczęły się pojawiać przyrządy miernicze, wynaleziono
lunetę, podziałkę transwersalną (u\ywana jest do dnia dzisiejszego zostanie omówiona
w rozdziale następnym), a matematyka dostarczała ju\ narzędzi do rozwiązywania coraz
bardziej skomplikowanych zadań.
W XVIII wieku za panowania Stanisława Augusta Poniatowskiego, spopularyzowano
instytucję Geometry Jego Królewskiej Mości. Przywilej uzyskiwało się z rąk królewskich
i wymagane były referencje lub poparcie zaufanych króla. Kandydaci na geometrów
królewskich nie musieli legitymować się szlacheckim pochodzeniem, nie byli te\ przypisani
do pracy na terenie określonego powiatu, a obszarem ich działania było całe państwo.
W końcu XVIII wieku liczbę wszystkich parających się zawodem geometry (mierniczego)
mo\na szacować na około 400.
Rozbiory Polski i utrata niepodległości pozostawiły, niestety, na dwa wieki sprawy
polskiego miernictwa w rękach trzech państw: Austrii, Prus i Rosji. Dwa pierwsze,
dysponujące sprawną administracją, stosowały na podporządkowanych terenach swoje
regulacje prawne. Z kolei w zaborze rosyjskim utrzymano, co prawda, instytucję
Podkomorzego, ale zlikwidowano wolny zawód. Wyjątkiem był okres Księstwa
Warszawskiego. Aby zostać geometrą II klasy, nale\ało legitymować się odpowiednią
praktyką i zdać egzamin przed komisją departamentową. Następnie po rocznej praktyce
i zaliczeniu egzaminu u Najwy\szej Komisji Egzaminacyjnej mo\na było zdobyć stopień
wy\szy geometry klasy I. Tytuły takie uzyskało 70 geometrów, a część z nich stanowili byli
geometrzy JKM Stanisława Augusta. Po upadku Księstwa Warszawskiego, przez ponad sto
lat, polskich mierniczych egzaminowali Austriacy, Niemcy i Rosjanie, a we wszystkich trzech
zaborach zostali oni wprzęgnięci w obce struktury państwowe.
Po odzyskaniu niepodległości w 1918 r. dostaliśmy w spadku nie tylko niespójne
jednostki miar, osnowy, mapy, systemy hipoteczne i instrukcje, ale te\ mierniczych
o przeró\nych tytułach i zró\nicowanych umiejętnościach. Potrzeby gospodarcze młodego
państwa wymagały szybkiego ujednolicenia odziedziczonych po zaborcach regulacji
prawnych, tak\e tych dotyczących naszego zawodu. W 1925 r. wprowadzono ustawą tytuł
Mierniczego Przysięgłego. Aby nim zostać, nale\ało mieć: obywatelstwo polskie,
wykształcenie miernicze wy\sze lub średnie i odpowiednio 2- lub 5-letnią praktykę
zawodową. Trzeba było równie\ zaliczyć egzamin przed jedną z dwóch państwowych komisji
egzaminacyjnych, z których pierwsza zbierała się we Lwowie, a druga w Warszawie (sesje
odbywały się dwa razy do roku, na wiosnę i jesienią). Mierniczy przysięgły był wyłącznym
wykonawcą wszelkich prac pomiarowych, które nie były zastrze\one dla słu\b państwowych.
Plan czy mapa opatrzone pieczęcią mierniczego były dokumentem urzędowym.
Okres międzywojenny przyniósł du\o zmian. Uregulowano lub stworzono od podstaw
wiele przepisów pomiarowych, dla potrzeb katastru zastosowano na szeroką skalę zdjęcia
lotnicze, scalono prawie 5,5 mln ha gruntów, w większych miastach powstały samorządowe
jednostki geodezyjne. Według ró\nych szacunków w 1939 r. zarejestrowanych było w kraju
1200-1500 mierniczych przysięgłych, z których 20% miało tytuł in\yniera, pozostali
legitymowali się średnim wykształceniem. W administracji i szkolnictwie pracowało dalsze
750 osób (około 60% z nich miało wy\sze wykształcenie). Do tego mo\na doliczyć 1800 osób
personelu pomocniczego. Razem daje to blisko 4 tysiące osób. Taki był stan liczebny
środowiska geodezyjnego u progu II wojny światowej.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Po II wojnie światowej nowe ludowe państwo wzięło sprawy zawodowe geodetów
w swoje ręce. Według artykułu 1. dekretu Polskiego Komitetu Wyzwolenia Narodowego
z 7 pazdziernika 1944 r. do realizacji reformy rolnej mobilizacji podlegały wszystkie siły
miernicze (wraz z przyrządami pomiarowymi), które nie ukończyły 60-tego roku \ycia.
Siłami mierniczymi byli: in\ynierowie mierniczy, mierniczy przysięgli, mierniczy,
praktykanci i absolwenci szkół mierniczych. Kto nie podporządkował się mobilizacji,
ryzykował 2 lata więzienia, a dodatkowo utratę prawa wykonywania zawodu na 5 lat.
W kolejnym dekrecie Krajowej Rady Narodowej z 30.03.1945 r., został ustanowiony Główny
Urząd Pomiarów Kraju. Wzorcem dla nowopowstałego urzędu był moskiewski Wy\szy
Urząd Geodezyjny, utworzony dekretem Rady Komisarzy Ludowych, podpisanym przez
samego Włodzimierza I. Lenina. Jedną z głównych bolączek geodezji w 1945 r. były
zniszczone i niekompletne archiwa geodezyjne, oraz brak sprzętu pomiarowego. Teodolity
i niwelatory rozszabrowano lub zniszczono. Wiele materiałów i map wywieziono w głąb
Niemiec. Po kilku latach starań zdołano odzyskać tylko około 20 ton tej dokumentacji.
Ocalałe i odzyskane materiały przejęły archiwa geodezyjne zorganizowane przez Główny
Urząd Pomiarów Kraju. Ju\ od 1947 r., czyli w czasie akcji ich porządkowania, zaczął
funkcjonować przepis o obowiązku rejestrowania pomiarów i oddawania ich wyników do tych
archiwów (przepis w du\ej mierze aktualny do dzisiaj).
Wraz z odbudową kraju ruszyły pierwsze prace geodezyjne. Były one związane przede
wszystkim z delimitacją granic kraju, przygotowaniem dokumentacji geodezyjnej dla akcji
osiedleńczej na Ziemiach Zachodnich i Północnych, pomiarami na potrzeby reformy rolnej,
katastrem i odbudową gospodarki. Prace geodezyjne miały wykonywać przedsiębiorstwa
państwowe, bowiem dyskryminacyjna polityka podatkowa państwa doprowadziła w 1950 r.
do prawie całkowitej likwidacji sektora prywatnego. Było to bowiem sprzeczne
z obowiązującą ju\ pod koniec lat 40. linią upaństwowienia gospodarki. Ostatnie biura
mierniczych przysięgłych zamknięto w 1953 r. Prace geodezyjne związane z odbudową kraju
prowadziły przedsiębiorstwa państwowe, niejednokrotnie z liczną załogą, dochodzącą do
1000 pracowników i więcej (nawet 1500 osób), które miały monopol na takie prace. Poniewa\
firmy te nie mogły wykonywać niewielkich prac dla zwykłego obywatela, w 1983 r.
umo\liwiono wykonywanie tych prac geodetom posiadającym uprawnienia zawodowe.
Określono siedem zakresów, w których mo\na było nadawać takie uprawnienia w dziedzinie
geodezji i kartografii oraz wybrano specjalną komisję do egzaminowania. Od 1 stycznia
1989 r. zaczęła obowiązywać ustawa o działalności gospodarczej, fundament \ycia
gospodarczego w nowej Polsce i podstawa wolnego rynku.
W nowy ustrój wkroczyło 6964 geodetów mających uprawnienia zawodowe. Teraz ka\dy
mógł, bez \adnych przeszkód, zało\yć własną prywatną firmę. Od tego czasu nadano
uprawnienia ponad 17 tysiącom ludzi.
Zadania geodezji w gospodarce
Znaczenie geodezji w gospodarce jest ogromne. Do najwa\niejszych mo\na zaliczyć:
1. Określanie kształtu i wymiarów Ziemi, jako planety.
2. Opisywanie powierzchni Ziemi poprzez określenie przestrzennego rozmieszczenia
obiektów naturalnych i sztucznych oraz rzezby terenu. Najpowszechniejszym materiałem
wynikowym tego procesu jest mapa w ró\nych skalach (począwszy od 1:500), zarówno
tradycyjna jak i cyfrowa realizowana w technologii informatycznej.
3. Budowanie katastru tj. systemu informacji o nieruchomościach (gruntach, budynkach
i lokalach) dla potrzeb ksiąg wieczystych i podatków. W skład tych informacji wchodzi
min.: sposób u\ytkowania, stan prawny, klasyfikacja gleboznawcza, wartość rynkowa.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
9
4. Wytyczanie (realizacja) w terenie projektów budowli (budynków, dróg,zakładów
przemysłowych, mostów, kolei itp.) oraz kontrola ich funkcjonowania (pomiary
odkształceń i przemieszczeń).
5. Sporządzanie i gromadzenie dokumentacji geodezyjnej zawierającej opis podziemnej
infrastruktury technicznej (kanalizacja, wodociągi, energetyka, telekomunikacja, gaz itp.),
opis złó\ mineralnych i wyrobisk górniczych oraz archiwizacja tej dokumentacji w celach
u\ytkowych i udostępnianie jej zainteresowanym osobom i instytucjom.
6. Przekształcanie struktury powierzchniowej gruntów (scalenia i wymiany gruntów).
7. Monitorowanie środowiska i przestrzennego zagospodarowania kraju.
8. Dostarczanie danych do Systemu Informacji Przestrzennej (SIP), które określają
lokalizację oraz cechy jakościowe i ilościowe opisywanych obiektów.
Jak mo\na się zorientować z powy\szego zestawienia rola geodezji w codziennym \yciu
obywatela, gminy miasta oraz całego kraju jest nieoceniona.
Podział geodezji
Geodezja dzieli się na szereg działów zajmujących się określonym zakresem zadań.
Mo\na wyró\nić następujące działy: [1]
1. Geodezja ogólna nazywana dawniej geodezją ni\szą lub miernictwem zajmuje się
pomiarami na małych obszarach, które mo\na odnieść do płaszczyzny bez uwzględnienia
krzywizny Ziemi.
2. Geodezja wy\sza zajmuje się badaniem kształtu oraz wymiarów Ziemi i pomiarami na
du\ych obszarach z uwzględnieniem jej krzywizny.
3. Kartografia zajmuje się podstawami matematycznymi przedstawienia zakrzywionej
powierzchni Ziemi na płaszczyznie rysunku mapy, poprzez tzw. odwzorowania
kartograficzne oraz technikami sporządzania i reprodukcji map.
4. Topografia zajmuje się sporządzaniem map w skalach średnich 1:10 000, 1:50 000,
1: 100 000, w oparciu o opracowania wielkoskalowe lub odrębną technikę pomiarową.
5. Fotogrametria zajmuje się wykonywaniem i wykorzystaniem zdjęć naziemnych,
lotniczych i satelitarnych do potrzeb pomiarowych. W oparciu o te zdjęcia mogą być
wykonywane mapy, plany oraz badania zjawisk zachodzących na powierzchni Ziemi.
Fotogrametria stosowana do celów sporządzania map średnioskalowych nosi nazwę
fotogrametrii topograficznej lub fototopografii.
6. Instrumentoznawstwo geodezyjne zajmuje się konstrukcją, badaniem, u\ytkowaniem
i konserwacją przyrządów geodezyjnych.
7. Rachunek wyrównawczy zajmuje się metodami obliczeń geodezyjnych, wyrównania
wyników pomiarów i szukaniem ich najbardziej prawdopodobnych wartości liczbowych
wielkości mierzonych.
8. Geodezja gospodarcza, to geodezja stosowana w ró\nych dziedzinach gospodarki.
Wyró\niamy zatem geodezję: in\ynieryjno przemysłową, rolną, leśną, górniczą, i inne.
9. Astronomia geodezyjna zajmuje się określaniem poło\enia punktów na powierzchni
Ziemi za pomocą astronomicznych obserwacji ciał niebieskich.
Polska jest jednym z nielicznych krajów, w których słowa geodezja u\ywa się do
określenia dziedziny wiedzy i techniki związanej z pomiarami na małych obszarach (geodezja
ogólna). W większości krajów Europy zachodniej termin geodezja zarezerwowany jest
wyłącznie dla nauki zajmującej się pomiarami na du\ych obszarach i całej Ziemi. Zadania
zarezerwowane dla geodezji ogólnej określane są tam mianem miernictwa.
Podstawowymi czynnościami technika geodety jest przeprowadzanie pomiarów
w terenie, wykonywanie obliczeń, rysunków i szkiców a w oparciu o nie, sporządzanie map
do ró\nych celów. Te czynności wykonują geodeci będący pracownikami jednostek
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
10
wykonawstwa geodezyjnego, urzędów administracji rządowej lub samorządowej. Geodeta
zajmuje się równie\ prowadzeniem spraw dotyczących gospodarki gruntami lub
gromadzeniem i archiwizacją dokumentacji geodezyjnej w przypadku pracy w Ośrodku
Dokumentacji Geodezyjnej i Kartograficznej.
Powierzchnia odniesienia
Ziemia jest nieregularną bryłą, której w matematyczny sposób nie da się opisać, dlatego
wyniki pomiarów i obliczeń geodezyjnych muszą być określane na regularnej powierzchni
dającej się opisać równaniami matematycznymi. Powierzchnia ta musi być zbli\ona kształtem
do fizycznej powierzchni Ziemi. Powierzchnię, na którą rzutuje się pomierzone w terenie
punkty, nazywamy powierzchnią odniesienia. W zale\ności od wielkości obszaru
podlegającego pomiarowi powierzchnię odniesienia mo\e stanowić: płaszczyzna, kula lub
elipsoida obrotowa. Elipsoida obrotowa spłaszczona powstaje poprzez obrót elipsy wokół osi
małej.
Układy współrzędnych
Układ współrzędnych jest to zespół obiektów geometrycznych względem, których określa
się jednoznacznie poło\enie punktu lub zbioru punktów. Przy dwuwymiarowym układzie
współrzędnych, który występuje na płaszczyznie, określenie poło\enia punktu wymaga
podania dwóch liczb, w układzie trójwymiarowym natomiast trzech liczb. Na płaszczyznie
i w przestrzeni stosuje się ró\ne typy współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich), ponadto
na płaszczyznie biegunowy układ współrzędnych. Na powierzchniach odniesienia u\ywane są
układy współrzędnych krzywoliniowych (sferycznych lub elipsoidalnych), do których
zaliczamy współrzędne geograficzne.
Na przestrzeni lat, w Polsce stosowane były ró\ne państwowe układy współrzędnych
prostokątnych [2]. Ró\nice między nimi polegają m. in. na przyjętej powierzchni odniesienia
elipsoidzie obrotowej. W Polsce, podobnie jak w innych państwach byłego Układu
Warszawskiego, obowiązywała od roku 1952 elipsoida Krassowskiego, z punktem
przyło\enia do geoidy w Pułkowie koło Sankt Petersburga. Kształt Ziemi najlepiej wyra\a
geoida - bryła powstała w wyniku przedłu\enia średniej powierzchni mórz i oceanów w stanie
spoczynku pod lądami i nad depresjami. Ze względu na niejednolity rozkład mas wewnątrz
Ziemi, bryła ta jest nieregularna. Bryłą regularną, która najbardziej zbli\ona jest do kształtu
Ziemi jest elipsoida obrotowa. Wielu uczonych wykonało pomiary, których celem było
ustalenie dokładnych wymiarów elipsoidy ziemskiej. Od nazwisk tych uczonych przyjęto
nazwy elipsoid. Znane są elipsoidy Bessela, Clarka, Hayforda oraz wymieniona wy\ej
elipsoida Krassowskiego.
Układ współrzędnych geograficznych geodezyjnych jest jednym z układów, który
składa się na jednolity dla całego kraju, państwowy system odniesień przestrzennych.
Stosowanie jednolitych układów współrzędnych dla całego kraju wynika z zasady ciągłości
i porównywalności wyników pomiarów oraz powstałej w ich rezultacie dokumentacji
sporządzanej przez ró\nych wykonawców, która jest gromadzona w państwowym zasobie
geodezyjnym i kartograficznym. Układ ten określa poło\enie punktu le\ącego na elipsoidzie
za pomocą dwóch wielkości: szerokości oraz długości geograficznej geodezyjnej. Szerokość
geograficzna geodezyjna B jest to kąt zawarty pomiędzy normalną (prostopadłą) do elipsoidy
w danym punkcie a płaszczyzną równika. Długość geograficzna geodezyjna L jest to kąt
dwuścienny, zawarty pomiędzy półpłaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka
przechodzącego przez dany punkt. Płaszczyznę południka na elipsoidzie wyznaczają: oś
obrotu elipsoidy i normalna do elipsoidy w danym punkcie.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Rys. 1. Układ współrzędnych geograficznych geodezyjnych [4]
Układ współrzędnych biegunowych określa punkt B początek układu, czyli biegun
i wychodząca z niego półprosta Z nazywana osią biegunową (Rys. 2). Współrzędnymi
biegunowymi danego punktu P są: promień wodzący r , czyli długość od bieguna do punktu
P oraz kąt kierunkowy ą zawarty pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym
mierzony od osi zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W przypadku, gdy oś Z pokrywa się
z kierunkiem południka i kieruje się na północ, kąt kierunkowy ą jest zarazem azymutem
odcinka BP czyli ą = ABP.
Z
P
r
ą
B
Rys. 2. Układ współrzędnych biegunowych [opracowanie własne]
Układ współrzędnych prostokątnych płaskich stosowany w geodezji ró\ni się od
układu matematycznego usytuowaniem osi układu X i Y oraz kierunkiem liczenia kątów.
Kierunek liczenia kątów w układzie geodezyjnym jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek
zegara (Rys. nr 3). Dla niewielkiego obszaru kierunek osi X mo\na uznać za zgodny
z kierunkiem południka przechodzącego przez środek obszaru. Poło\enie punktu P wyra\ane
jest za pomocą współrzędnych XP i YP (lub x i y).
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
12
X
XP P (XP,YP)
Y
YP
0
Rys. 3. Geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych [opracowanie własne]
Do połowy lat 60 tych, obowiązywał w Polsce układ współrzędnych zwany 1942 . Układ
ten powstał w wyniku zastosowania odwzorowania Gaussa KrQgera na elipsoidzie
Krassowskiego.
Od końca lat 60-tych w słu\bie cywilnej zaczęto wprowadzać nowy, pięciostrefowy układ
współrzędnych prostokątnych, zwany skrótowo układem 1965 . W tym układzie
opracowano mapę zasadniczą kraju.
Od początku lat 90-tych podjęto prace, mające na celu włączenie obszaru Polski do
europejskiego systemu odniesień przestrzennych ETRS (European Terrestial Reference
System), będącego częścią światowego systemu ITRS (International Terrestial Reference
System). Wszystkie obliczenia wykonano ju\ na nowej elipsoidzie, zwanej w skrócie GRS-80
(nazwa pełna: Geodetic Reference System 1980 ).
Zarówno dla poziomych sieci pomiarowych jak i dla opracowań kartograficznych
przyjęto dwa nowe układy współrzędnych prostokątnych:
1. układ nazywany skrótowo 1992 , stanowiący podstawę do wykonywania nowych map
urzędowych w skalach 1:10 000 i mniejszych.
2. układ nazywany skrótowo 2000 , stosowany do opracowań map w skalach du\ych oraz
dla osnów geodezyjnych. Układ ten wprowadzono w Polsce do 2000r. Układ 1965
mo\e być wykorzystywany tylko do końca 2009 r.
Poza wymienionymi wy\ej państwowymi układami współrzędnych prostokątnych na
terenach niektórych miast wprowadzono lokalne układy współrzędnych. Przykładem takiego
układu jest układ współrzędnych nazywany skrótowo AAM (Aódzka Aglomeracja Miejska),
obejmujący dawniej miasto Aódz i okoliczne miejscowości, a obecnie funkcjonujący jedynie
na terenie samego miasta.
Mapa to rzut prostokątny powierzchni Ziemi na płaszczyznę, wykonany w określonym
zmniejszeniu, czyli w skali, w przyjętym układzie odniesienia.
Mapy słu\ą człowiekowi ju\ od kilku tysięcy lat, a najstarsze pochodzą ze staro\ytnego
Egiptu i Babilonii (ok. 3 tys. lat p.n.e.).
Przy tworzeniu map dla niewielkich obszarów (o powierzchni nieprzekraczającej
750 km2), fizyczną powierzchnię mierzonego terenu przenosi się na płaszczyznę mapy
przyjmując odpowiednią skalę, stosując odpowiednie znaki umowne oddające, wybraną treść.
Przy wykonywaniu map bez uwzględnienia krzywizny Ziemi stosuje się układ współrzędnych
prostokątnych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Przy przedstawianiu większych obszarów ni\ 750 km2, występuje trudność związana
z przedstawieniem zakrzywionej powierzchni Ziemi na płaszczyznie mapy. Trudność ta
polega na tym, \e fizyczna powierzchnia Ziemi, zbli\ona kształtem do powierzchni kuli lub
elipsoidy obrotowej, nie daje się rozwinąć na płaszczyznę bez zniekształceń liniowych,
kątowych a tak\e zniekształceń pól powierzchni. Matematycznie określony sposób
przeniesienia punktów znajdujących się na powierzchni odniesienia na płaszczyznę rysunku
mapy, nazywany jest odwzorowaniem kartograficznym. Odwzorowanie w sposób
jednoznaczny ustala zale\ności pomiędzy współrzędnymi geograficznymi punktu (Ć, ł) na
kuli lub elipsoidzie obrotowej, a współrzędnymi prostokątnymi (X,Y), rzutu tego punktu na
płaszczyznę.
Skalą mapy nazywamy stosunek długości odcinka na mapie do rzutu poziomego jego
długości w terenie. Skalę mo\emy wyrazić wzorem:
1 d
=
M D
Gdzie: M mianownik skali.
d długość odcinka na mapie.
D długość rzutu poziomego tego odcinka w terenie.
Skala mapy jest, zatem ułamkiem, którego licznik jest równy jedności, a mianownik jest
liczbą, wskazującą stopień zmniejszenia rysunku w porównaniu do obrazu terenu.
Spośród kilku skal ta jest mniejsza, która ma większy mianownik. Skale du\e stosowane
są dla zobrazowania terenów o du\ym zagęszczeniu szczegółów terenowych (naziemnych
i podziemnych) takich jak tereny zurbanizowane. Dla terenów miejskich mapa zasadnicza
wykonywana jest zwykle w skali 1:500 lub 1:1000, dla zurbanizowanych obszarów wiejskich
w skali 1:1000 i 1:2000, a dla terenów o mniejszym zagęszczeniu obiektów terenowych np.
terenów leśnych w skali 1:5000. Poni\ej przedstawiono fragmenty map o ró\nych skalach
obrazujących ten sam teren (Rys. 4).
Mapa topograficzna w skali 1:10 000
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Mapa ewidencji gruntów i budynków w skali 1:5000
Mapa zasadnicza w skali 1:1000
Rys. 4. Mapy w ró\nych skalach [opracowanie własne]
Mapy archiwalne, które jeszcze mo\na spotkać np. w księgach wieczystych i archiwach
mogą mieć skale: 1:2880 i 1:4200. Taka wielkość mianownika skali wynika z jednostek
długości stosowanych w zaborze austriackim i rosyjskim.
Oko człowieka jest zdolne ocenić wielkość liniową z dokładnością do 0,1 mm. Długość
terenową, odpowiadającą tej wielkości, nazywamy dokładnością danej skali. Np. dla skali
1:5000 będzie to 0,5 m.
W trakcie korzystania z map obrazujących ten sam obszar, a wykonanych w ró\nych
skalach, mo\e zaistnieć potrzeba przeniesienia określonego odcinka d1 w skali 1: M1 na mapę
w skali 1: M2. Aby odło\yć odpowiednią odległość d2 na mapie w skali 1: M2 nale\y
przekształcić zale\ność:
d2 M1
=
d1 M2
Na podstawie powy\szej zale\ności mo\na równie\ określić nieznaną skalę mapy.
Aby wykonać to zadanie musimy dysponować mapą o znanej skali na ten sam teren. W celu
określenia nieznanej skali mapy musimy zidentyfikować na obydwu mapach odcinki oparte na
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
15
tych samych punktach i zmierzyć ich długości z największą mo\liwą dokładnością.
Na podstawie wzoru:
d1
.
M2 = M1
d2
obliczamy nieznany mianownik skali mapy.
Graficzne przedstawienie skali to podziałka. Podziałka wykorzystywana jest do mierzenia
oraz odkładania odległości na mapie. W powszechnym stosowaniu rozró\nia się podziałki
liniowe i poprzeczne inaczej nazywane transwersalnymi.
Podziałka liniowa podobna jest do linijki z podziałem centymetrowym, ale jej podział
opisany jest odległościami terenowymi.
Podziałka poprzeczna ma kształt liniału, zwykle wykonanego z mosiądzu, o długości ok.
25 cm i szerokości 4 cm, z wytrawionymi liniami pionowymi, poziomymi i ukośnymi.
Określenie odległości pomierzonej cyrklem odmierzaczem na mapie, polega na przyło\eniu
jego ostrzy do odpowiednich linii pionowych i ukośnych podziałki i odczytaniu odległości
terenowej.
Jak opisano w początkowej części rozdziału, dla niedu\ych obszarów, wykonuje się mapy
z wykorzystaniem układu współrzędnych prostokątnych płaskich. Prowadząc linie równoległe
do osi X i Y otrzymamy siatkę kwadratów, która ułatwia odszukanie na mapie punktu
o znanych współrzędnych, odczytanie współrzędnych konkretnego punktu lub wniesienie na
mapę punktu o zadanych współrzędnych. Siatka kwadratów przedstawiana jest na mapie
w postaci krzy\y, umiejscowionych w punktach przecięcia się prostych równoległych do osi X
i Y. Krzy\e te rozmieszczone są w stałej odległości 10 cm od siebie, co odpowiada
(w zale\ności od skali mapy) odcinkom o długości 50 m, 100 m, 200 m lub 500 m w terenie.
U\ywając podziałki transwersalnej, cyrkla odmierzacza oraz ekierek, mo\na,
wykorzystując siatkę kwadratów, wykonać następujące zadania:
- odszukać punkt o znanych współrzędnych,
- skartować, czyli wnieść na mapę punkt o znanych współrzędnych,
- odczytać współrzędne wybranych punktów obrysu konkretnego obiektu zobrazowanego
na mapie.
Aby wykonać te zadania nale\y ustalić kwadrat siatki, dla którego współrzędne naro\y
będą zbli\one do współrzędnych interesującego nas punktu. Następnie konieczne jest
odło\enie lub określenie ró\nicy współrzędnych między liniami siatki kwadratów a szukanym
punktem.
Graficzne przedstawienie rzezby terenu na mapie
Rzezba terenu czyli jego pionowe ukształtowanie (naturalne lub sztuczne), jest
przedstawiane na mapie za pomocą znaków umownych, opisu wysokości charakterystycznych
punktów terenowych oraz warstwic.
Znaki umowne są graficznym obrazem obiektów znajdujących się na powierzchni ziemi,
których nie mo\na przedstawić w skali mapy. Obiektami mającymi znaczenie dla opisania
ukształtowania terenu będą np. skarpy, wąwozy.
Punkty charakterystyczne dla danego obszaru takie jak: szczyty wyró\niających się
wzniesień, najwy\sze punkty działów wodnych i przełęczy, najni\sze punkty dolin,
wąwozów, parowów, sztucznych zagłębień, rowów, oraz punkty na osiach dróg urządzonych,
uzupełnia się opisem wysokości tych punktów nad poziomem odniesienia.
Warstwice są to linie na mapie, łączące punkty o tej samej wysokości względem
przyjętego poziomu odniesienia. Obrazami warstwic na mapie są ślady przecięcia
powierzchni terenu płaszczyznami poziomymi równoodległymi od siebie. Odległość pionowa
między warstwicami nazywana jest cięciem warstwicowym. Wielkość cięcia warstwicowego
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
16
uzale\niona jest od ukształtowania terenu (wielkości nachylenia terenowego) oraz skali mapy.
Wartości cięcia warstwicowego dla ró\nych skal mapy zasadniczej podano w tabeli nr 1.
Tabela 1. Cięcie warstwicowe dla mapy zasadniczej [1, s. 176]
Skala mapy Zasadnicze cięcie
zasadniczej warstwicowe
1:500 0,5 m
1:1000 1,0 m
1:2000
2,5 lub 5,0 m
1:5000
W przypadku gdy opracowywany teren jest równinny, z małym nachyleniem terenu, dla
lepszego zobrazowania rzezby terenu mo\na zastosować tzw. warstwice pomocnicze, których
cięcie warstwicowe wynosi połowę cięcia zasadniczego podanego w tabeli nr 1, a w razie
potrzeby tak\e warstwice uzupełniające, o cięciu równym 1/4 cięcia. Charakterystyczną
wartością liczbową ka\dej warstwicy jest wysokość płaszczyzny tnącej nad poziomem
odniesienia, określana jako cecha warstwicy. Opis cechy warstwicy umieszcza się w luce
powstałej w wyniku przerwania ciągłości warstwicy (Rys. 5). Liczba, stanowiąca cechę
warstwicy, jest zapisana w taki sposób, \e jej podstawa wskazuje kierunek spadku terenu a jej
wartość stanowi całkowitą wielokrotność cięcia warstwicowego. Na mapach mo\emy spotkać
się z opisem tylko warstwic pogrubionych , czyli posiadających cechy stanowiące
wielokrotność 5m. Dodatkowym elementem, uzupełniającym rysunek warstwic, są wskazniki
spadu, czyli krótkie kreski przylegające do linii warstwic, pozwalające odró\nić formy
wypukłe od wklęsłych oraz określić na mapie kierunki spadku terenu w zakolach warstwic.
196
195
Rys. 5. Opis warstwicy [opracowanie własne]
4.1.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakimi cechami charakteryzuje się geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych
płaskich?
2. Jakimi cechami charakteryzuje się mapa?
3. Jaką zale\ność określa skala mapy?
4. Jaka się nazywa graficzna postać skali mapy?
5. W jaki sposób zobrazowany jest układ współrzędnych prostokątnych na mapie?
6. Jakimi narzędziami mo\na odczytywać i odszukiwać współrzędne na mapie?
7. W jaki sposób przedstawiana jest rzezba terenu na mapie?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
17
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Określ odległość rzeczywistą między punktami wskazanymi na mapie przez nauczyciela.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania zale\ności dotyczące skali mapy,
2) pomierzyć zadany odcinek cyrklem odmierzaczem,
3) ustalić u\ywając podziałki liniowej lub poprzecznej terenową długość odcinka.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- wycinek mapy o znanej skali,
- cyrkiel odmierzacz,
- podziałka liniowa lub transwersalna,
- papier formatu A4.
Ćwiczenie 2
Odłó\ na kartce papieru zadane przez nauczyciela odległości w skali: 1:250, 1:500,
1:1000, 1: 2000.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania zale\ności dotyczące skali mapy,
2) odło\yć zadane odległości za pomocą cyrkla odmierzacza i podziałki liniowej lub
transwersalnej.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- cyrkiel odmierzacz,
- podziałka liniowa lub transwersalna,
- papier formatu A4.
Ćwiczenie 3
Na mapie o nieznanej skali 1:M2 oraz na mapie w skali 1: 5000 zidentyfikowano
i pomierzono długość tego samego odcinka terenowego otrzymując wyniki: d2= 23.1 mm,
d1=19.4 mm. Na podstawie pomierzonych długości ustal mianownik skali M2.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) wykonać obliczenie,
3) opisać uzyskany wynik.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Ćwiczenie 4
Odszukaj na mapie punkty o podanych przez nauczyciela współrzędnych.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania zale\ności dotyczące skali mapy,
2) ustalić kwadraty, w których umiejscowione są zadane punkty,
3) wykorzystać dwie ekierki do skonstruowania linii równoległych do osi X i Y,
4) wykorzystać podziałkę poprzeczną do właściwego określenia usytuowania punktów.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- mapa o znanej skali,
- cyrkiel odmierzacz,
- dwie ekierki
- podziałka transwersalna,
- poradnik dla ucznia.
Ćwiczenie 5
Odczytaj współrzędne punktów wskazanych na mapie przez nauczyciela.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania zale\ności dotyczące skali mapy,
2) ustalić współrzędne naro\y kwadratów, w których znajdują się zadane punkty,
3) wykorzystać dwie ekierki do skonstruowania linii równoległych do osi X i Y,
4) wykorzystać podziałkę transwersalną do odczytania współrzędnych.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- mapa o znanej skali,
- cyrkiel odmierzacz,
- dwie ekierki,
- podziałka transwersalna.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
19
4.1.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) zdefiniować pojęcie geodezja?
1 1
2) przedstawić rys historyczny geodezji?
1 1
3) scharakteryzować poszczególne działy geodezji?
1 1
4) podać główne zadania geodezji w gospodarce?
1 1
5) wymienić rodzaje układów współrzędnych stosowanych w geodezji?
1 1
6) scharakteryzować geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych?
1 1
7) scharakteryzować pojęcie skali mapy?
1 1
8) posłu\yć się podziałką transwersalną?
1 1
9) odczytać współrzędne punktu na mapie?
1 1
10) znalezć na mapie punkt o zadanych współrzędnych?
1 1
11) scharakteryzować graficzne zobrazowanie rzezby terenu?
1 1
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
20
4.2. Jednostki miar stosowane w geodezji
4.2.1. Materiał nauczania
Miary długości
Podstawową jednostką długości stosowaną w geodezji jest metr. Jest to w przybli\eniu,
długość jednej dziesięciomilionowej (10-7) części ćwiartki południka ziemskiego.
W metrach wyra\one są takie wielkości jak:
- długości odcinków,
- wysokości (rzędne) punktów nad poziomem morza,
- współrzędne prostokątne płaskie.
Pochodnymi jednostkami długości a wykorzystywanymi w geodezji są:
- milimetr (mm) u\ywany w dokumentacjach projektowych do zwymiarowania
elementów oraz w podziale na łatach niwelacyjnych do niwelacji precyzyjnej
1 mm = 0,001 m.
- kilometr (km) stosowany przy wyrównywaniu sieci geodezyjnych poziomych
i wysokościowych, jako wartość określająca wielkość tych sieci oraz na mapach
i w dokumentacji związanej z drogami, 1km = 1000 m = 1 000 000 mm.
Dawne miary stosowane w Polsce:
1 pręt = 7,5 łokcia = 15 stóp = 4,32 m
1 łokieć = 0,576 m
1 cal = 0,024 m
1 klafter (są\eń wiedeński) = 6 stóp = 1,8965 m dawna miara austriacka
1są\eń = 7 stóp = 2,1336 m dawna miara rosyjska
1 stopa pruska lub reńska = 0.3139 m
1 krok = 3 stopy = 0.9417 m
Miary kątowe
Najstarszą miarą kątową, liczącą ponad 5000 lat, jest miara sześćdziesiętna, nazywana
stopniową [1]. Podział stopniowy powstał przez podzielenie kąta pełnego na 360 części
(stopni). Dalszy podział odbywa się w systemie sześćdziesiętnym, tj. jeden stopień dzieli się
na sześćdziesiąt minut (') a minuta z kolei na sześćdziesiąt sekund (").
1
1 = część kąta pełnego
360
1
1' =
60
1'
1" =
60
Zapis kąta w podziale stopniowym podaje się wpisując kolejno stopnie, minuty i sekundy
np.15002'09"
Niewygoda wynikająca z konieczności przeliczania minut i sekund na części dziesiętne
stopnia, wymusiła wprowadzenie dziesiętnej miary kątowej. Jednostka tej miary kata
nazywana jest gradem. Jeden grad (g)powstaje przez podział kąta prostego na 100 części, lub
podziału kąta pełnego na 400 części. Dalszy podział powstaje przez podzielenie 1 grada na
100 części centygradów (c), i przez podział 1 centygrada na 100 decymiligradów (cc).
1
1g = część kąta pełnego
400
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
21
1g
1c =
100
1c
1cc =
100
Zapis kąta w gradach mo\na wykonać w dwóch postaciach: grady-centygrady-decymiligrady
lub tylko w gradach, np.: 155g77c96cc lub 155,7796g
Zamiana (przeliczanie) miar kątowych
Wiedząc, \e 90 = 100g mo\na określić zale\ności między jednostkami.
10g
1 = =1,1111(1)
9
oraz 1g = 0,9
Wzory na przeliczenie kątów wyra\onych w ró\nych miarach mo\na, więc napisać w postaci:
.
10
stopnie grady : ąg = ą
9
.
9
grady stopnie ą = ąg
10
gdzie: ą - kąt wyra\ony w stopniach,
ąg - kąt wyra\ony w gradach.
Przy zamianie stopni na grady lub odwrotnie gradów na stopnie, nale\y na wstępie
wyrazić przeliczany kąt w jednostkach najgrubszych (stopnie, grady) a następnie
zastosować odpowiedni współczynnik zamiany.
4.2.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie miary długości stosowane są w geodezji?
2. Jakie są zale\ności pomiędzy miarami długości?
3. Jakie miary kątowe stosowane są w geodezji?
4. Jaki jest podział kąta pełnego na stopnie i grady?
5. Jaką postać mają zale\ności niezbędne przy przeliczaniu miar kątowych?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Zamień podane długości na metry.
a) 11235 km,
b) 21352 mm,
c) 0,534 km,
d) 161 mm,
e) 1,010 km,
f) 1010 mm.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przypomnieć sobie zale\ności pomiędzy miarami długości,
2) przeliczyć podane długości na metry, korzystając z odpowiednich zale\ności.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator.
Ćwiczenie 2
Wykonaj sumowanie i odejmowanie kątów wyra\onych w tych samych jednostkach.
a) 10010'20" + 18101'02",
b) 26959'57" + 35958'57,
c) 26959'57" - 10010'20",
d) 311g22c33cc +399g81c47cc,
e) 222g44c55cc - 99g89c71cc.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) wyrazić kąty w jednolitych jednostkach,np. w stopniach lub w sekundach dla kątów
podanych w mierze stopniowej lub w gradach lub decymiligradach dla kątów podanych
w mierze gradowej,
2) wykonać sumowanie lub odejmowanie kątów,
3) wyrazić ponownie kąty w stopniach minutach sekundach, lub gradach centygradach
decymiligradach,
4) sprawdzić czy otrzymane wyniki nie przekraczają wartości kata pełnego. Je\eli tak, to
nale\y je zredukować o wartość kąta pełnego.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator.
Ćwiczenie 3
Zamień wartości kątów wyra\one w stopniach na grady:
a) 10010'20",
b) 18101'02",
c) 26959'57",
d) 35958'57,
e) 001'01".
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania zale\ności między jednostkami miar kątowych,
2) zamienić minuty i sekundy na części stopnia,
3) przeliczyć wartości kątów na grady, stosując odpowiednie zale\ności.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
23
Ćwiczenie 4
Wyra\one w gradach miary kątowe, zamień na stopnie.
a) 99g89c71cc,
b) 222g44c55cc,
c) 311g22c33cc,
d) 399g81c47cc,
e) 0g02c03cc.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania zale\ności między jednostkami miar kątowych,
2) zamienić centygrady i decymiligrady na części grada,
3) przeliczyć wartości kątów na stopnie, stosując odpowiednie zale\ności,
4) wyrazić otrzymany wynik w stopniach, minutach i sekundach.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator.
4.2.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) podać miary długości stosowane w geodezji?
1 1
2) przeliczyć miary długości stosowane w geodezji?
1 1
3) scharakteryzować podział stopniowy i gradowy?
1 1
4) scharakteryzować sposób zapisu kąta w stopniach i w gradach?
1 1
5) przeliczyć stopnie na grady i odwrotnie?
1 1
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
24
4.3. Posługiwanie się współrzędnymi do rozwiązywania
podstawowych zadań geodezyjnych
4.3.1. Materiał nauczania
Azymut odcinka
Azymutem AAB odcinka AB, jest kąt zawarty pomiędzy kierunkiem południka
przechodzącego przez punkt A, a odcinkiem AB, liczony zgodnie z ruchem wskazówek
zegara od kierunku południka. Azymut mo\e przybierać wartości od 0 do 360 (0g 400g)
Rys. 6. Je\eli punktem wyjściowym dla określenia azymutu jest punkt B, wówczas
prowadzimy z niego kierunek północy i wyprowadzamy w prawo kąt pomiędzy linią północy
a bokiem BA. Otrzymamy wówczas azymut boku odwrotnego BA (azymut odwrotny),
oznaczany symbolem ABA, który ró\ni się od azymutu boku wyjściowego o wartość kąta
półpełnego - 180 (200g). Mo\emy to zapisać wzorem: ABA = AAB ą 180 (lub 200g). Znak
plus we wzorze dotyczy azymutów wyjściowych do 180 (lub 200g), znak minus
wprowadzany jest gdy azymut wyjściowy przekracza 180 (lub 200g).
X
"YAB B
XB
"XAB AAB
dAB
XA
A
Y
0 YA YB
Rys. 6. Azymut odcinka, przyrosty współrzędnych [1, s. 85]
Poniewa\ południk mo\e być określany ró\nymi sposobami, w związku, z czym
wyró\nia się kierunki południków: geograficznego, topograficznego i magnetycznego.
Południk geograficzny jest to linia na powierzchni kuli ziemskiej, łącząca bieguny
geograficzne Ziemi.
Południk topograficzny jest obrazem na mapie południka geograficznego przechodzącego
przez określony punkt na mapie. Na mapach w du\ych skalach opracowanych w prostokątnym
układzie współrzędnych, kierunek osi 0X pokrywa się z kierunkiem południka
topograficznego, przechodzącego przez środek obszaru przedstawionego na mapie. Przyjmuje
się, \e na mapach wielkoskalowych południki topograficzne są do siebie równoległe
i równoległe do osi 0X układu współrzędnych prostokątnych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
25
Południk magnetyczny, to linia na powierzchni Ziemi, łącząca bieguny magnetyczne
Ziemi. Kierunek południka magnetycznego jest wyznaczany przez igłę magnetyczną busoli.
W zale\ności od przyjętego kierunku odniesienia, wyró\nia się azymuty: geograficzny,
topograficzny i magnetyczny. Poniewa\ kierunki południków geograficznego, magnetycznego
i topograficznego nie pokrywają się, w związku, z tym azymuty odcinka, mającego swój,
początek w danym punkcie, będą się ró\niły o wartości kątowe:
- azymut geograficzny i magnetyczny o kąt deklinacji magnetycznej (jest to kąt
zawarty pomiędzy południkiem geograficznym Ng i magnetycznym Nm. Azymut
geograficzny Ag obliczamy sumując azymut magnetyczny i deklinację magnetyczną:
Ag = Am + ,
- azymut geograficzny i topograficzny o kąt zbie\ności południków ł (jest to kąt
zawarty pomiędzy południkiem geograficznym Ng i topograficznym Nt). Azymut
geograficzny Ag obliczamy sumując azymut topograficzny i kąt zbie\ność południków:
Ag = At + ł. (Rys. 7)
Nt
Ng
Nm
Ag
ł
Am
At
A
B
Rys. 7. Zale\ność między azymutem geograficznym, topograficznym i magnetycznym [1, s. 84]
Zgodnie z rys. nr 6, wzór na obliczenie azymutu topograficznego ma postać:
"YAB
tgAAB =
"XAB
gdzie:
tgAAB tangens azymutu odcinka AB,
"XAB ró\nica (przyrost) współrzędnych na odcinku AB wzdłu\ osi X: "XAB= XB XA,
"YAB ró\nica (przyrost) współrzędnych na odcinku AB wzdłu\ osi Y: "YAB= YB YA..
Jak opisano wcześniej wartości azymutu przybierają wielkości od 0 do 360 (0g-400g),
a na podstawie podanego wzoru nie jesteśmy w stanie określić wartości kąta AAB.
W celu jednoznacznego określenia tej wartości wprowadzono pojęcie czwartaka. Czwartak
Ć jest to kąt ostry, zawarty pomiędzy linią osi X a danym odcinkiem AB obliczony na
podstawie podanego wy\ej wzoru. Zale\ności pomiędzy czwartakiem, a azymutem
przedstawia tabela nr 2.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
26
Tabela 2. Zale\ność pomiędzy czwartakiem a azymutem [1, s. 86]
Zale\ność pomiędzy
Numer ćwiartki Znaki
azymutem A
"X "Y
azymutu
i czwartakiem Ć
cos A sin A
I + + A = Ć
II + A = 200g - Ć
III A = 200g + Ć
IV + A = 400g - Ć
Układ ćwiartek i czwartaków przedstawia Rys. nr 8. (a,b,c,d)
X
a)
B
AAB
AAB = Ć
A
I ćwiartka
ĆAB
Y
0
b)
X
AAB = 200g (180) - Ć
Y
0
ĆAB
A II ćwiartka
B
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
27
X
c)
AAB = 200g (180) + Ć
0
Y
ĆAB
A AAB
III ćwiartka
B
X
B
d)
AAB = 400g (360) - Ć
A
ĆAB
IV ćwiartka
Y
0
AAB
Rys. 8. Zale\ności pomiędzy azymutem i czwartakiem [2, s. 85]
Obliczenia kontrolne azymutu odcinka polegają obliczeniu azymutu powiększonego o kąt 45
(50g):
(XB + YB) - (XA + YA) "XAB + "YAB
tg(AAB+45) = =
(XB - YB) - (XA - YA) "XAB - "YAB
Obliczenie odległości ze współrzędnych
Wzór na obliczenie długości odcinka AB ze współrzędnych ma postać:
2 2
dAB = "XAB + "YAB
Dla kontroli poprawności obliczeń mo\na stosować wzór:
"XAB "YAB
dAB = =
cosAAB sinAAB
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
28
W praktyce geodezyjnej stosuje się formę tabelarycznego zestawienia danych do
obliczeń, wyników oraz obliczeń kontrolnych. Przykład takich obliczeń przedstawia tabela
nr 3.
Tabela 3. Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych [1, s. 87]
Oznaczenie
Kontrola
"y
tgĆ=
punktów: XB YB cos Ć
"x + "y
"x
końcowy B
początkowy -
Czwartak Ć "x - "y A+45 (50g)
XA YA sin Ć
Lp.
A
Oznaczenie Odległość
"x+"y "x "y
"X AB =XB- "YAB=YB-
zwrotu Azymut AAB tg= d= =
XA YA
d= "x2 +"y2
"x-"y cos sin
boku: AB
1 2 3 4 5 6 7 8
B 2 708,63 4 541,15 0,364 483 9 0,939 537 4 -980,29 27 g74c89,1cc
1 A 4 251,14 3 978,93 22g25c10,9cc 0,342 446 2 -2 104,73 227 g74c89cc
A - B -1 542,51 +562,22 177 g 74 c 89 cc 1 641,776 0,465 7557 1 641,776
D 3 978,93 12 561,78 0,804 230 1 0,779 258 4 +144,21 611'33,8"
2 C +562,22 13 154,20 3848'26,2" 0,626 702 8 +1 329,05 611'33,8"
C - D +736,63 -592,42 32111'33,8" 945,296 0,108 506 1 945,296
Obliczenie współrzędnych punktu końcowego, gdy znany jest azymut i długość odcinka
Je\eli znane są współrzędne punktu A (XA,YA) początku odcinka, azymut linii AB oraz
jej długość dAB (Rys. 6) aby obliczyć współrzędne punktu B końca odcinka, stosujemy
wzory:
XB = XA + "XAB = XA + dAB. cosAAB
YB = YA + "YAB = YA + dAB sinAAB
Obliczenia kontrolne:
dAB = (XB - XA)2 + (YB - YA)2
"YAB
oraz AAB = arc tg
"XAB
Obliczenie współrzędnych punktu na prostej
Aby obliczyć współrzędną punktu P poło\onego na prostej wyznaczonej przez punkty A
i B o znanych współrzędnych (Rys. nr 9),
B(XB, YB)
P
dAP
A(XA, YA)
Rys. 9. Punkt na prostej AB [opracowanie własne]
nale\y posłu\yć się wzorem:
XP = XA + dAP cosA AB
YP = YA + dAP sinA AB
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
29
Jako obliczenie kontrolne mo\na obliczyć odległości: dAP, dBP oraz dAB, ze współrzędnych
a następnie sprawdzić czy spełniona jest równość:
dAB = dAP, + dBP
lub obliczyć azymut A AP i sprawdzić czy A Ap = A AB
Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym
Jedną z metod pomiaru poło\enia obiektów terenowych jest metoda rzędnych i odciętych
nazywana równie\ metodą domiarów prostokątnych. Metoda ta wykorzystuje odcinek linię
pomiarową - oparty na punktach o znanych współrzędnych, do zrzutowania na nią szczegółów
terenowych i polega na określeniu ich rzędnej i odciętej.
Zgodnie z Rys. 10, odciętą nazywamy odcinek d a rzędną - prostopadły do linii AB odcinek
h . Przy obliczaniu współrzędnych punktów pomierzonych metodą domiarów prostokątnych,
rzędnym nadaje się ró\ne znaki w zale\ności od tego, po której stronie linii AB znajduje się
mierzony punkt. Je\eli punkt P znajduje się po prawej stronie linii, to rzędna otrzymuje znak
plus (+), a je\eli po lewej stronie znak minus (-). Podana zasada jest słuszna przy zało\eniu,
\e linia pomiarowa jest tak zorientowana, \e w punkcie A jest jej początek a w punkcie
B koniec.
.
.
Rys. 10. Rzędna i odcięta punktów P i R [opracowanie własne]
Do obliczenia współrzędnych punktu P słu\ą wzory:
XP = XA + d cosAAB h sinAAB
YP = YA + d sinAAB + h cosAAB
Obliczenia kontrolne mo\emy wykonać dwoma sposobami:
1. Ponownie określić współrzędne szukanego punktu, po zmianie kierunku obliczeń na
odwrotny (od B do A). Wymaga to przeliczenia wartości odciętych i zmiany znaku
rzędnych.
2. Obliczyć odległość AP i BP ze współrzędnych oraz z danych terenowych:
2 2 2 2
dAP = "XAP + "YAP = d2 + h2
2 2 2
dBP = "XBP + "YBP = (D - d2)2 + h2
W przypadku obliczania współrzędnych wielu punktów rzutowanych na tę samą prostą,
wskazane i wygodne jest wykonywanie obliczeń w formie tabelarycznej. Przykładową tabelę
przedstawiono poni\ej.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
30
R
h (-)
1
B
d
(X,Y)
2
A
d
(X,Y)
D
1
h (+)
2
P
Tabela 4. Obliczenie współrzędnych punktów na domiarze prostokątnym [1, s. 91]
Domiary Przyrosty Przyrosty Współrzędne
Bok osnowy
prostokątne domiarów współrzędnych punktów
Oznacze
Oznacze-
nie "xAB Współczynnik
nie
"x= "y=
i
punktó
Odcięta Rzędna odciętej rzędnej "yAB
punktów
Kierunkowe
"lcosA- "lsinA-
X Y
w
l h "l "h dAB ob.l cosA
"hsinA "hcosA
fd-fdmax
sinA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 0,00 0,00 4950,12 7251,84 A
+14,32 +0,0763978
+47,93 -22,47 -18,75 -49,49
-186,89 -0,9970657
R 47,93 -22,47 4931,37 7202,35 R
+30,19 +46,41 187,44 +48,59 -26,55
P 78,12 +23,94 4979,96 7175,80 P
+0,06
62,94 -23,94 -15,52 -110,85
ą0,13
0,00
B 187,50 4964,44 7064,95 B
SUMY 187,44 0,00 +14,32 -186,89
Obliczenie kąta ze współrzędnych
Je\eli dane są trzy punkty o znanych współrzędnych to mo\na na ich podstawie obliczyć
kąt zawarty pomiędzy odcinkami opartymi na tych punktach.
X L
ACP
ACL
C
P
Rys. 11. Zale\ności między wartością kąta a azymutami jego ramion [1, s. 92]
Na podstawie Rys. 11, mo\emy stwierdzić, \e kąt zawarty pomiędzy odcinkami CL
i CP równy jest ró\nicy azymutów kierunków, które są jego ramionami.
= ACP - ACL
Mo\liwe jest równie\ obliczenie kąta ze współrzędnych na podstawie wzoru:
_
"XCL " "YCP "XCP . " "YCL
tg =
"XCL " "XCP + "YCL " x"CP
Wykorzystując ten wzór nale\y zwrócić uwagę na znaki licznika i mianownika w celu
ustalenia ćwiartki i prawidłowego obliczenia wartości funkcji arc tg.
Obliczenie pola powierzchni figury ze współrzędnych
Powierzchnię czworoboku 1,2,3,4 przedstawionego na Rys. 12 mo\emy przedstawić jako
kombinację powierzchni trapezów.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
31
X
1
X1
2
X2
4
X4
X3 3
Y
0 Y4 Y1 Y3 Y2
Rys. 12. Powierzchnia wieloboku jako kombinacja powierzchni trapezów [1, s. 115]
Są to trapezy o podstawach równoległych do osi X lub o podstawach równoległych do osi
Y. Pole wieloboku mo\na rozpatrywać jako sumę pól trapezów zawierających fragmenty
wieloboku, pomniejszoną o pola trapezów znajdujących się na zewnątrz wieloboku.
Rozpatrując trapezy o podstawach równoległych do osi X, mo\emy napisać:
2P = (X2 + X1)(Y2 Y1) (X3 + X2)(Y2 Y3) (X4 + X3)(Y3 Y4) + (X1 + X4)(Y1 Y4)
Analogicznie rozpatrując trapezy o podstawach równoległych do osi Y mo\emy napisać:
2P = (Y1 + Y2)(X1 X2) + (Y3 + Y2)(X2 X3) (Y4 + Y3)(X4 X3) (Y1 + Y4)(X1 X4)
Po odpowiednich przekształceniach i uogólnieniu oznaczeń otrzymamy wzory:
n
2P = i + 1 + Xi)(Yi + 1 - Yi)
"(X
i=1
n
-2P = i + 1 + Yi)(Xi + 1 - Xi)
"(Y
i =1
Wzory te noszą nazwę wzorów trapezowych.
Po wymno\eniu wyra\eń w nawiasach oraz dokonaniu redukcji wyrazów i uogólnieniu,
otrzymamy wzory:
n
2P = i + 1 - Yi - 1)Xi
"(Y
i=1
n
-2P = (Xi + 1 - Xi - 1)Yi
"
i=1
Podczas ustalania kierunku wzrostu wskaznika i dla obliczeń poszczególnych
iloczynów nale\y pamiętać, \e kierunek ten powinien biec zgodnie z ruchem wskazówek
zegara, tj. (w prawo). W przypadku niezachowania tej zasady otrzymamy na podstawie
pierwszego wzoru pole ujemne a na podstawie drugiego pole dodatnie.
Kontrolę obliczenia ró\nic Yi+1 Yi-1 oraz Xi+1 Xi-1 stanowi warunek, \e suma tych
ró\nic równa się zero (wielobok zamknięty):
n
i + 1 - Xi - 1) = 0
"(X
i=1
n
i + 1 - Yi - 1) = 0
"(Y
i=1
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
32
Kontrolą jest równie\ dwukrotne obliczenie tej samej powierzchni ze wzorów 2P oraz -
2P. Otrzymane wartości powinny być takie same.
Obliczenia pośrednie ró\nic współrzędnych, a zwłaszcza iloczynów wchodzących
w skład sumy, nie muszą być zapisywane, lecz rejestrowane w pamięci kalkulatora.
Przy obliczaniu pola powierzchni korzystne jest utworzenie tabeli z punktami uło\onymi
po obwodzie figury zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w postaci: nr punktu, współrzędna
X, współrzędna Y. Dla ułatwienia wyszukiwania z tabeli właściwych wartości współrzędnych,
potrzebnych do utworzenia ka\dego iloczynu, wygodne jest korzystanie z szablonów
z wyciętymi okienkami, przedstawionych poni\ej.
Xi-1 Yi-1
Yi Xi
Xi+1 Yi+1
Współrzędnymi prostokątnymi, które mogą być wykorzystane do obliczania pól wy\ej
wymienionymi wzorami mogą być zarówno współrzędne geodezyjne X i Y jak i domiary
prostokątne z metody ortogonalnej: odcięte jako współrzędne X i rzędne jako współrzędne Y.
Nale\y przy tym pamiętać o właściwych znakach odciętych i rzędnych. Ujemna
współrzędna X występuje tylko, wtedy, gdy pomierzony punkt obrysu figury znajduje się na
przedłu\eniu linii pomiarowej, przed jej punktem początkowym. Ujemna współrzędna Y
występuje wtedy, gdy pomierzony punkt obrysu figury znajduje po lewej stronie linii
pomiarowej.
Przykład: na rys. nr 13 przedstawiono pomiar działki wykonany metodą domiarów
prostokątnych.
działka 245/2
Rys. 13. Pomiar działki metodą domiarów prostokątnych [2, s. 114]
Sposób obliczenia powierzchni działki zestawiono w tabeli nr 5.
Tabela 5. Obliczenie pola działki wg. danych pokazanych na rys. 13 [2, s. 116]
Współrzędne
Nr Iloczyny
punktów Yi+1-Yi-1 X i+1-X i-1 Pole obiektu
pkt
Xi(Yi+1- Yi-1) Yi(X i+1-X i-1)
Xi Yi
4 +15,40 +13,40 x x x x
1 +19,60 -21,50 -31,10 +16,10 -589,96 -346,15
2 +31,50 -16,70 +30,70 +30,40 +967,05 -507,68
704,66m2
3 +50,00 +9,20 +30,10 -16,10 +1505,00 -148,12
4 +15,40 +13,40 -30,70 -30,40 -472,78 -407,36
2p=+1409,31 -2p=-1409,31
1 +19,60 -21,50 Ł=0,00 Ł=0,00
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
33
1
2
21,50
16,70
15,40
50,00
13,40
19,60
31,50
9,20
4
3
Sposób obliczenia powierzchni działki na podstawie znanych współrzędnych zestawiono
w tabeli nr 6.
Tabela 6. Obliczenie pola działki wg. danych współrzędnych [opracowanie własne]
Nr Współrzędne punktów Iloczyny
Yi+1-Yi- X i+1-X i-1 Pole
Pkt
Xi Yi Xi(Yi+1- Yi-1) Yi(X i+1-X i-1) obiektu
1
.
63 136,89 623,31 x x x x
1 121,60 778,25 +153,80 -27,67 18702,08 -21534,18
23 109,22 777,11 -156,10 +2,91 -17049,24 2261,39
1935,86m2
62 124,51 622,15 -153,80 +27,67 -19149,64 17214,89
63 136,89 623,31 +156,10 -2,91 21368,53 -1813,83
2P=3871,73 -2P=-3871,73
1 121,60 778,25 Ł=0,00 Ł=0,00
Zastosowanie do obliczeń geodezyjnych programów obliczeniowych
Wszystkie podane powy\ej zadania z rachunku współrzędnych mo\na wykonać
z wykorzystaniem komputera i zainstalowanych na nim programów obliczeniowych. Spośród
popularnych programów obliczeniowych, wykorzystywanych przez geodetów, mo\na
wymienić następujące: Geo89, C-geo, Geonet, WinKalk, GeoMap. W ró\nych programach te
zadania mogą być nieco inaczej nazywane, niemniej, jednak je\eli szukamy w programie
sposobu obliczenia współrzędnych punktu na prostej lub punktu pomierzonego metodą
rzędnych i odciętych, to szukamy obliczeń lub pomiarów wykonanych metodą domiarów
prostokątnych. Je\eli mamy obliczyć współrzędną punktu, gdy dany jest punkt zaczepienia,
azymut i długość odcinka, to szukamy obliczeń metodą biegunową, nazywaną równie\
w programie WinKalk tachimetrią. Obliczenie odległości, azymutu, pola powierzchni ze
współrzędnych te\ nie będzie trudnym zadaniem, poniewa\ rozwijając zakładki w zadaniach
obliczeniowych, znajdziemy interesujące nas zadanie obliczeniowe. W przypadku obliczania
azymutu lub kąta ze współrzędnych, nie musimy ustalać w której ćwiartce znajdują się
szukane wielkości i podstawiać do obliczeń czwartaki, poniewa\ program obliczeniowy zrobi
to za nas i poda nam prawidłową wielkość.
Niezale\nie od tego, jaki program obliczeniowy zastosujemy, przed wykonaniem
obliczeń musimy zało\yć obiekt, nadając mu nazwę (najlepiej kojarzącą się nam z konkretną
pracą geodezyjną), wprowadzić do tego obiektu dane, takie jak numery i współrzędne
punktów. Zapisanie tych danych pozwoli nam wielokrotnie powracać do tego obiektu, a przy
wykonywaniu obliczeń operować numerami punktów, co przyśpieszy wykonanie pracy.
W trakcie pracy mo\emy wykonać (w celach kontrolnych) edycję rysunku obliczonej
konstrukcji. Po wykonaniu obliczeń, w zale\ności od zastosowanego programu, mo\emy
wykonywać wydruki raportów obliczeniowych, które będą zawierały dane, przyjęte do
obliczeń oraz wyniki.
4.3.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie układy współrzędnych są stosowane w geodezji?
2. Jak zorientowany jest geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych płaskich?
3. Co to jest czwartak?
4. Przy jakich obliczeniach stosowany jest czwartak?
5. Jakie są rodzaje azymutów?
6. Na jakich zasadach nadaje się odciętym znak (+) lub ( ), przy obliczaniu współrzędnych
punktu na domiarze prostokątnym?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
34
7. Z jakich zale\ności korzysta się przy obliczaniu azymutu i długości ze współrzędnych?
8. Jakie wzory stosuje się przy obliczaniu pola powierzchni ze współrzędnych?
9. Jakie czynności nale\y wykonać, aby wykonać obliczenia geodezyjne przy pomocy
komputerowego programu obliczeniowego?
4.3.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Odcinek AB oparty jest na punktach o znanych współrzędnych XA = 5000.00,
YA = 5000.00, XB = 4842.77, YB = 5118.17. W oparciu o podane wartości współrzędnych
oblicz azymut odcinka AB wyra\ony w gradach oraz długość tego odcinka.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) obliczyć przyrosty współrzędnych,
3) ustalić ćwiartkę azymutu,
4) obliczyć szukane wielkości,
5) wykonać obliczenia kontrolne.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator in\ynierski.
Ćwiczenie 2
Znany jest odcinek AC o długości 123,45 m, zaczepiony w punkcie A o współrzędnych:
XA = 5000.00, YA = 5000.00, zorientowany azymutem AAC = 311g22c33cc. Na podstawie
podanych danych oblicz współrzędne końca odcinka punktu C.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) obliczyć przyrosty współrzędnych,
3) obliczyć szukane wartości,
4) wykonać obliczenia kontrolne.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator in\ynierski.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
35
Ćwiczenie 3
Na rysunku przedstawiono punkty pomierzone na prostej oraz metodą domiarów
prostokątnych. Oblicz współrzędne punktów 1,2,3,4.Jako współrzędne punktów A i B
przyjmij wartości: XA = 5000.00, YA = 5000.00, XB = 4842.77, YB = 5118.17. Obliczenia
wykonaj w formie tabelarycznej.
Rysunek do ćwiczenia 3
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) uło\yć tabelę do obliczeń współrzędnych punktów na domiarach prostokątnych,
3) określić współczynniki kierunkowe,
4) określić znaki dla domiarów,
5) obliczyć współrzędne pomierzonych punktów,
6) wykonać obliczenia kontrolne.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator in\ynierski.
Ćwiczenie 4
Odcinki LC i CP zaczepione są we wspólnym punkcie C (Rys.). Znając współrzędne
punktów LCP oblicz kąt ą (wyra\ony w gradach), zawarty między odcinkiem CL i CP. Dane
współrzędne punktów:
P
Punkt L: X = 4325.00, Y = 6467.00
Punkt C: X = 4416.00, Y = 6560.00
Punkt P: X = 4444.00, Y = 6560.00
ą
C
L
Rysunek do ćwiczenia 4
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
36
3
189,61
11,22
83.44
19.92
A
B
0.00
ę!
155.66
2
196,75
4
7,89
1
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) obliczyć azymuty ramion kąta,
5) obliczyć kąt z ró\nicy azymutów,
6) wykonać jako kontrolę obliczenie kąta ze współrzędnych wg. odpowiedniego wzoru
kontrolnego, zwracając uwagę na znak licznika i mianownika.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator in\ynierski.
Ćwiczenie 5
Wykorzystując miary z pomiaru metodą domiarów prostokątnych oblicz powierzchnię
figury ograniczonej punktami1, 2, 3, 4.
Rysunek do ćwiczenia nr 5
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) uło\yć tabelę do obliczenia pola powierzchni na podstawie rzędnych i odciętych,
3) określić znaki domiarów ,
4) przyjąć odcięte i rzędne jako współrzędne punktów do obliczenia powierzchni figury,
5) obliczyć powierzchnię figury 1,2,3,4,
6) wykonać obliczenia kontrolne.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
37
2
1
11.15
14,69
198..65
133.24
A
0.00
B
270.55
25.14
258.48
9.15
12.78
4
3
Ćwiczenie 6
Znane są współrzędne punktów granicznych działki.
Nr
X Y
punktu
11 153.42 608.99
12 138.51 606.87
13 124.51 622.15
14 109.22 777.11
15 136.45 779.62
W podanym wykazie punkty uło\one są kolejno po obwodnicy, zgodnie z ruchem
wskazówek zegara. Na podstawie podanych wartości współrzędnych oblicz powierzchnię
działki.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) wykonać szablon, przydatny do obliczenia powierzchni ze współrzędnych,
3) obliczyć pole powierzchni działki wykorzystując wykonany szablon,
4) wykonać obliczenia kontrolne.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
- kalkulator.
Ćwiczenie 7
Wykorzystując komputer i dostępny program do obliczeń geodezyjnych, wykonaj zadania
opisane w ćwiczeniach 1 - 6, przyjmując te same dane.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przestrzegać zasad bezpieczeństwa koniecznych przy pracy z komputerem,
2) odszukać odpowiednie zadanie w programie obliczeniowym,
3) wprowadzić konieczne dane do wykonania obliczeń,
4) ustawić o ile to konieczne odpowiednie jednostki w programie,
5) wykonać niezbędne obliczenia,
6) porównać uzyskane wyniki z obliczonymi bez pomocy komputera.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
papier formatu A4,
komputer,
program do obliczeń geodezyjnych zainstalowany na komputerze.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
38
4.3.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) zdefiniować pojęcie azymutu kierunku?
1 1
2) zdefiniować pojęcie czwartaka?
1 1
3) obliczyć azymut kierunku ze współrzędnych?
1 1
4) obliczyć długość odcinka ze współrzędnych?
1 1
5) obliczyć współrzędną punktu na prostej i na domiarze prostokątnym?
1 1
6) obliczyć wartość kąta ze współrzędnych?
1 1
7) obliczyć pole powierzchni figury ze współrzędnych?
1 1
8) wykonać obliczenia z zakresu rachunku współrzędnych,
wykorzystując oprogramowanie komputerowe? 1 1
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
39
5. SPRAWDZIAN OSIGNIĆ
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
1. Przeczytaj uwa\nie instrukcję.
2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.
3. Zapoznaj się z zestawem zadań testowych.
4. Test zawiera dwadzieścia trzy zadania. Do ka\dego zadania dołączone są cztery
mo\liwości odpowiedzi. Tylko jedna jest prawidłowa.
5. Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi stawiając w odpowiedniej rubryce
znak X . W przypadku pomyłki nale\y błędną odpowiedz zaznaczyć kółkiem a
następnie ponownie zakreślić odpowiedz prawidłową.
6. Zadania wymagają stosunkowo prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed
wskazaniem poprawnego wyniku.
7. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonanego zadania.
8. Je\eli udzielanie odpowiedzi będzie sprawiało Ci trudność, wtedy odłó\ jego rozwiązanie
na pózniej i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.
9. Po zakończeniu testu podnieś rękę i zaczekaj a\ nauczyciel odbierze od Ciebie pracę.
10. Na rozwiązanie testu masz 80 minut.
Powodzenia!
ZESTAW ZADAC TESTOWYCH
1. Geodezja jako nauka zajmuje się
a) budową wnętrza Ziemi.
b) określeniem wymiarów i kształtu Ziemi.
c) budową geologiczną Ziemi.
d) badaniem jądra Ziemi.
2. Jako jeden z pierwszych pomiary i obliczenia kształtu Ziemi wykonywał
a) Tales z Miletu.
b) Pitagoras.
c) Erastostenes.
d) Galileusz.
3. Układ współrzędnych geodezyjnych ró\ni się od układu współrzędnych matematycznych
a) poło\eniem osi X i Y oraz kierunkiem liczenia kątów.
b) promieniem wodzącym i kierunkiem liczenia kątów.
c) kierunkiem osi pionowej, która jest zgodna z kierunkiem południka magnetycznego.
d) oznaczeniem osi: H i Z.
4. Podział gradowy polega na podziale kąta pełnego na
a) 100 części.
b) 360 części.
c) 400 części.
d) 1000 części.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
40
5. Kąt wyra\ony w mierze stopniowej wynosi: 25916'25". Ten sam kąt wyra\ony w gradach
ma wielkość
a) 288g08c18cc.
b) 288g18c18cc.
c) 289g28c08cc.
d) 295g18c08cc.
6. Kąt wyra\ony w mierze gradowej ma wielkość 135g33c76cc. Ten sam kąt wyra\ony
w mierze stopniowej ma wielkość
a) 12158'34".
b) 16456'24".
c) 12513'26".
d) 12148'14".
7. Skala mapy oznacza
a) wielkość arkusza, na którym wykreślona jest mapa.
b) wielkość terenu objętego mapą.
c) stosunek długości odcinka na mapie do długości rzutu poziomego tego odcinka
w terenie.
d) odległość pionową między warstwicami.
8. Podziałka poprzeczna (transwersalna) jest stosowana do
a) pomiaru i odkładania odległości na mapie.
b) podziału odcinka na równe części.
c) sprawdzania prawidłowości naniesienia podziału na taśmach geodezyjnych.
d) nanoszenia siatki kwadratów na mapach.
9. Na mapie o nieznanej skali 1:M2 oraz na mapie w skali 1:5000 zidentyfikowano
i pomierzono ten sam odcinek terenowy, otrzymując wynik: d2 = 46,2 mm, i d1 =
38,8 mm. Nieznany mianownik skali - M2 to
a) 1000.
b) 2000.
c) 2880.
d) 4199.
10. Ta terenach byłego zaboru rosyjskiego mo\na się spotkać ze skalą mapy
a) 1:2000.
b) 1:2880.
c) 1:4200.
d) 1:5000.
11. Na mapie w skali 1:500 pomierzono odcinek o długości 125.3 mm. W terenie odpowiada
mu odcinek o długości
a) 62.65 m.
b) 105.30 m.
c) 125.30 m.
d) 626.50 m.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
41
12. Odcinek łączący dwa punkty geodezyjnej sieci pomiarowej o znanych współrzędnych ma
długość: 201.60 m. Po naniesieniu tych punktów na mapę w skali 1:2000, ten sam odcinek
będzie miał na mapie długość
a) 100.8 mm.
b) 151.1 mm.
c) 201.6 mm.
d) 403.2 mm.
13 Dany jest odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: XA= 100.00,
YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00. Prawidłowa wartość azymutu odcinka AB wyra\ona
w gradach to
a) 50g00c00cc.
b) 150g00c00cc.
c) 250g00c00cc.
d) 350g00c00cc.
14. Dany jest odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: XA= 100.00,
YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00, prawidłowa długość odcinka AB to
a) 50.71 m.
b) 70.07 m.
c) 70,71 m.
d) 107.71 m.
15. Od punktu A o współrzędnych XA= 100.00, YA= 100.00, odmierzono odcinek o długości
110.00 m i azymucie: 335g00c00cc. Współrzędne końca odcinka będą miały wartość
a) X = 107.47, Y = 56.21.
b) X = 160.00, Y = 150.00.
c) X = 160.00, Y = 56.21.
d) X = 107.47, Y = 6.21.
16. Na odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: XA= 100.00,
YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00, wtyczono punkt D w odległości 50.00 m od punktu
A. Prawidłowa wartość współrzędnych punktu D to
a) X = 54.64, Y = 136.56.
b) X = 64.64, Y = 64.64.
c) X = 34.34, Y = 36.36.
d) X = 164.64, Y = 136.35.
17. Podczas obliczania współrzędnych punktów pomierzonych metodą domiarów
prostokątnych, odcięte pomierzonych punktów przyjmuje się ze znakiem (-), w przypadku,
gdy punkt znajduje się
a) na prawo od prostej.
b) na lewo od prostej.
c) na przedłu\eniu prostej, za punktem końcowym.
d) na przedłu\enie prostej, przed punktem początkowym.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
42
18. Na linię pomiarową poprowadzoną przez punkty A i B o znanych współrzędnych:
XA= 100.00, YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00, zrzutowano punkt E, otrzymując
wartości: odcięta d = 25.00 m, rzędna h = -15.00 m. Przyjmując, \e odcinek jest
zorientowany AB oraz podane dane, właściwe współrzędne punktu E to
a) X = 93.93, Y = 128.28.
b) X = 71.72, Y = 107.07.
c) X = 71.72, Y = 92.93.
d) X = 100.00,Y = 135.36.
19. Czwartakiem nazywamy
a) azymut kierunku znajdującego się w IV ćwiartce.
b) kąt zawarty pomiędzy południkiem magnetycznym i geograficznym.
c) kąt zawarty pomiędzy południkiem geograficznym i topograficznym.
d) kąt ostry zawarty pomiędzy osią X a danym kierunkiem.
20. Znane są odcinki LF i FP zaczepione we wspólnym punkcie F.(Rys.) Współrzędne
punktów mają wartości:
L
L: X = 200.00, Y = 100.00
F: X = 150.00, Y = 150.00
F ą
P: X = 100.00, Y = 100.00.
P
Rysunek do zadania nr 20
Przyjmując oznaczenia zgodne z rysunkiem oraz podane wartości współrzędnych, kąt
wyra\ony w gradach będzie miał wartość
a) 275g00c00cc.
b) 300g00c00cc.
c) 335g00c00cc.
d) 350g00c00cc.
21. Warstwica jest to linia
a) oddzielająca warstwy gleby na profilu glebowym.
b) łącząca na mapie punkty o tym samym azymucie.
c) łącząca punkty na mapie o tej samej wysokości względem przyjętego poziomu
odniesienia.
d) łącząca punkty na mapie o tej samej wartości współrzędnej X lub Y.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
43
22. Metodą domiarów prostokątnych pomierzono punkty graniczne działki przedstawionej na
rysunku.
Rysunek do zadania 22
Pole powierzchni pomierzonej w ten sposób działki ma wartość
a) 3100 m2.
b) 3110 m2.
c) 3112 m2.
d) 3118 m2.
23. Pomierzono poło\enie i obliczono współrzędne punktów granicznych działki. Punkty
poło\one na obwodnicy działki mają wartości współrzędnych:
Nr X Y
63 136,89 623,31
64 121,60 778,25
23 109,22 777,11
62 124,51 622,15
Przyjmując, \e punkty uło\one są po obwodnicy działki zgodnie z kierunkiem ruchu
wskazówek zegara, pole powierzeni działki ma wartość
a) 1926 m2.
b) 1936 m2.
c) 1946 m2.
d) 1956 m2.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
44
1
2
11.12
171.29
83.04
7.57
B
227.45
A 0.00
21.01
205.65
12.12
14.81
3
4
KARTA ODPOWIEDZI
Imię i nazwisko:..........................................................................................
Posługiwanie się jednostkami miar, skalą oraz współrzędnymi
geodezyjnymi
Zakreśl poprawną odpowiedz.
Nr
Odpowiedz Punkty
zadania
1. a b c d
2. a b c d
3. a b c d
4. a b c d
5. a b c d
6. a b c d
7. a b c d
8. a b c d
9. a b c d
10. a b c d
11. a b c d
12. a b c d
13. a b c d
14. a b c d
15. a b c d
16. a b c d
17. a b c d
18. a b c d
19. a b c d
20. a b c d
21. a b c d
22. a b c d
23. a b c d
Razem:
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
45
6. LITERATURA
1. Jagielski A.: Geodezja I, Wydawnictwo P.W. Stabil Kraków 2002
2. Przywara J.: www.geoforum /geodezja/ od katastru do
3. Przywara J.: www.geoforum /geodezja/w Polsce
4. Szeliga K.: www.geoforum /geodezja/ wprowadzenie do geodezji
5. Ząbek J.: Geodezja I, Oficyna, Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003
6. Ząbek J.: Ćwiczenia z geodezji I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe 1984
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
46
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
02 Posługiwanie się dokumentacją techniczną (2)02 Posługiwanie się dokumentacją techniczno technologiczną02 Posługiwanie się dokumentacją techniczną02 Posługiwanie się dokumentacją techniczną02 Posługiwanie się dokumentacją technicznąinstrukcja bhp przy poslugiwaniu sie recznymi narzedziami o napedzie mechanicznym przy obrobce metalInstrukcja BHP przy posługiwaniu się marzędziami ręcznymi14 Posługiwanie się dokumentacją technicznąid51402 ROZKŁAD NORMALNY, JEDNOSTANJY i DWUMIANOWY05 Posługiwanie się dokumentacją techniczną (2)Posługiwanie się podstawowymi pojęciami z zakresu obróbki plastycznej03 Posługiwanie się mapami stosowanymi w geodezjizasady bezpiecznego posługiwania się broniąwięcej podobnych podstron