Zbigniew Klepacki
ML_Stateczność
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Stateczność
Stateczność
1
Zbigniew Klepacki
ML_Literatura
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
2
Zbigniew Klepacki
ML_Oznaczenia
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
3
Zbigniew Klepacki
ML_Rys. 1.
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
4
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
II-go
5
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
6
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
7
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
8
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
9
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
10
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
11
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
12
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
13
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
14
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
15
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
16
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
17
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
18
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
19
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
20
Zbigniew Klepacki
ML_Równania Eulera
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
21
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
22
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
23
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
24
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
25
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
26
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
27
Zbigniew Klepacki
ML_Kąty Eulera
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
28
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
!!!
!!!
� �!Ś �!Ś
� �! kąt odchylenia
Ś �! kat pochylenia
Ś �! kąt przechylenia
29
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
30
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
31
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą# ń#
x1 cos� sin� 0 xg
Ą# ń# Ą# ń#
ó# ó#
� �! y1Ą# = sin� cos� 0Ą# ó# yg Ą#
ó# Ą#
ó# Ą# ó#- Ą#
ó# Ą#
z1 0 0 1Ś# Ł# zg Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł#
x2 cos� 0 - sin� x1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# ó# Ą# ó#
� �! y2 Ą# = 0 0
1 y1Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
z2 sin� 0 cos� z1 Ś#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł#
x3 1 0 0 x2
Ą# ń# Ą#ń# Ą# ń#
ó# ó#0 cosĆ sinĆ Ą# ó# Ą#
Ś �! y3 Ą# = y2
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
z3
ó# Ą# ó# - sinĆ cosĆ z2 Ś#
Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł#0 Ś# Ł#
32
Zbigniew Klepacki
ML_do układu ruchomego
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
cos� cos� cos� sin� - sin�
ó#Ą#
ó#Ą#
Ą# ń#Ą#
x3 xń#
ó#Ą#
sinĆ sin� cos� + sinĆ sin� sin� +
ó# Ą#ó# Ą#
y3 = sinĆ cos� yĄ#
ó#Ą#
ó# Ą#ó#
-cosĆ sin� +cosĆ cos�
ó#Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
z3 z
Ł# Ś#Ł# Ś#
ó#cosĆ sin� cos� + cosĆ sin� sin� + Ą#
ó#Ą#
cosĆ cos�
sinĆ sin� - sinĆ cos�
ó#Ą#
Ł#Ś#
33
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
-Ć
-�
-�
34
Zbigniew Klepacki
ML_do układu nieruchomego
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
- sin� cos� + sin� sinĆ +
cos� cos�
ó#Ą#
+cos� sin� + sin� cosĆ cos�
Ą# Ą# ń#
xń# ó#Ą# x3
ó#Ą#
cosĆ cos� +-cos� sinĆ +
ó# Ą#ó# Ą#
yĄ# = cos� sin� y3
ó#Ą#
ó# ó# Ą#
+ sinĆ sin� sin� + sin� sin� cos�
ó#Ą#
ó# Ą#ó# Ą#
zz3
Ł# Ś#Ł# Ś#
ó#Ą#
ó# - sin� cos� sinĆ cosĆ cos� Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
35
Zbigniew Klepacki
ML_związki kinematyczne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
36
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą# ń#
p1 -sin� 0
Ą# ń# Ą# ń#Ć
ó# Ą#
ó#q Ą# ó#0 Ą#
= cos � cos� sin�
ó#� Ą#
ó# Ą# ó# Ą#

ó# Ą# ó#
Ł#r Ś# Ł#0 -sin� cos� cos � Ą# ó#� Ą#
Ś#
Ł# Ś#
37
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
-1
Ą# ń#
Ć
10 -sin� p
Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą#
ó#0 cos � cos� sin�Ą# ó#q Ą#
=
ó#� Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#� Ą#

ó# -sin� cos� cos�Ś# Ł#r Ś#
Ą# ó# Ą#
Ł#0
Ł# Ś#
-1
Ą# ń#
Ć
1 sin� sec� cos� sec� p
Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą#
ó#0cos� Ą# ó#q Ą#
=-sin�
ó#� Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#� Ą#

ó#
Ł#1 sin� tan� cos � tan� Ą# ó# Ą#
Ś# Ł#r Ś#
Ł# Ś#
38
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
- sin� cos� + sin� sinĆ +
cos� cos�
ó#Ą#
+cos� sin� + sin� cosĆ cos�
Ą# Ą#u ń#

xń# ó#Ą#
ó#Ą#
cosĆ cos� +-cos� sinĆ +
ó# Ą#ó# Ą#

yĄ# = cos� sin� v
ó#Ą#
ó# ó# Ą#
+ sinĆ sin� sin� + sin� sin� cos�
ó# ó#wĄ#
Ą# ó#Ą#
z
Ł# Ś#Ł# Ś#
ó#Ą#
ó# - sin� cos� sinĆ cosĆ cos� Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
39
Zbigniew Klepacki
ML_prędkości aerodynamiczne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
40
Zbigniew Klepacki
ML_Siły ciężkości
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą# ń#
Fxg - sin�
Ą# ń#
ó#F g Ą#
ó#cos� sin� Ą#
= mg
y
ó# Ą#
ó# Ą#
ó#Fzg Ą#
ó#
Ł#cos� cos � Ą#
Ś#
Ł# Ś#
41
Zbigniew Klepacki
ML_Siły aerodynamiczne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
X = Pz siną - Px cosą + Ps cosąPs
Z =-Pz cosą + Px siną - Ps sinąPs
42
Zbigniew Klepacki
ML_Równania kompletne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
�# #
ź#
Fxg + FxPs + X = mś#U + QW - RV
�#ś#

�# #
ś#V ź#
Fyg + FyPs + Y = m + RU - PW
�#ś#

�# #
ź#
Fzg + FzPs + Z = mś#W + PV - QU
�#ś#

Ą# ń#
p1 -sin� 0
Ą# ń# Ą# ń#Ć
ó# Ą#
ó#q Ą# ó#0 cos � cos� sin� Ą#
=
ó#� Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#� Ą#

ó#r Ą# ó#0 -sin� cos� cos � Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł# Ś#
43
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
44
Zbigniew Klepacki
ML_Linearyzacja równań
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
45
Zbigniew Klepacki
ML_Linearyzacja prędkości translacyjnych
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
U0 u
ż# �# ż# �#
Vw = Vw0 + vw =+
{ } { } { }�#V �# �#v �#
�# Ź# �# Ź#
0
�#W �# �#w�#
�# 0 �# �# �#

ż#u �#
�# �#
dd d
Vw = Vw0 �# + vw =
{ }ż# { }�# �#
�# Ź#�#v Ź#
dt
�#dt dt
�# �#

�#

a"0
�#w�#
�# �#
46
Zbigniew Klepacki
ML_Linearyzacja prędkości kątowych
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
P0 p
ż# �# ż# �#
�#Q �# �#q �#
� = �0 + � = +
{ } { } { }
�# Ź# �# Ź#
0
�#R �# �# �#
r
�# 0 �# �# �#
Ś0 �
ż# �# ż# �#
�#Ś �# �#Ń �#
E = E0 + e = +
{ } { } { }
�# Ź# �# Ź#
0
�#� �# �#� �#
�# 0 �# �# �#
47
Zbigniew Klepacki
ML_Linearyzacja sił i momentów
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
X0 "X
ż# �# ż# �#
�# �#"Y �#
F = F0 + "F = Y0 �# +
{ } { } { }
�# Ź# �# Ź#
�# �# �#"Z �#
Z0
�# �# �# �#
L0 "L
ż# �# ż# �#
�#M �# �#"M �#
G = G0 + "G = +Ź#
{ } { } { }
�# Ź# �#
0
�# �# �# �#
N0 "N
�# �# �# �#
48
Zbigniew Klepacki
ML_Linearyzacja sinusów i kosinusów
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
sin Ś0 +Ń = sinŚ0 cosŃ + cosŚ0 sinŃ H" sinŚ0 +Ń cosŚ0
( )
cos Ś0 +Ń = cosŚ0 cosŃ - sinŚ0 sinŃ H" cosŚ0 -Ń sinŚ0
()
49
Zbigniew Klepacki
ML_Równania po linearyzacji - siły
Politechnika Rzeszowska
KSiSL

X0 + "X - mg sinŚ0 +Ń cosŚ0 = m�#u+W0qś#
()
ś#ź#
�# #

ś#
Y0 + "Y + mg � cosŚ0 = m�#v+U0r
ś#ź#
�# #

Z0 + "Z + mg cosŚ0 +Ń sinŚ0 = m�# w+V0qś#
()
ś#ź#
�# #
50
Zbigniew Klepacki
ML_Równania po linearyzacji - momenty
Politechnika Rzeszowska
KSiSL

L0 + "L = Jx - Jxz r

M0 + "M = Jy q

N0 + "N = -Jxz p+ Jz r
51
Zbigniew Klepacki
ML_Równania po linearyzacji  zw. kinematyczne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL


Ń = q
q = Ń


� = p + r �"tgŚ0
p = �-� sinŚ0
1

� = r
r =� sinŚ0
sinŚ0
52
Zbigniew Klepacki
ML_Równania w locie ustalonym
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
X0 - mg sinŚ0 = 0
Y0 = 0
Z0 + mg cosŚ0 = 0
L0 = 0
M0 = 0
N0 = 0
53
Zbigniew Klepacki
ML_Równania przyrostów - siły
Politechnika Rzeszowska
KSiSL

"X - mg Ń cosŚ0 = mu
()

ś#
"Y - mg� cosŚ0 = m�#v+U0r
ś#ź#
�# #

"Z - mg Ń sinŚ0 = m�# w-V0qś#
()
ś#ź#
�# #
54
Zbigniew Klepacki
ML_ Równania przyrostów - Momenty
Politechnika Rzeszowska
KSiSL

"L = Jx - Jxz r

"M = Jy q

"N =-Jxz p+ Jz r
55
Zbigniew Klepacki
ML_ Równania przyrostów  Zw. kinematyczne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL


Ń = q
q = Ń


� = p + r �"tgŚ0
p = �-� sinŚ0
1

� = r
r =� sinŚ0
sinŚ0
56
Zbigniew Klepacki
ML_Pochodne sił i momentów
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
"X "X
X = X 0 + "X = X 0 +dU + dW + .....
"U "W
Pochodne aerodynamiczne
dU H" u, dW H" w
Małe zaburzenia
57
Zbigniew Klepacki
ML_Równania ruchu samolotu
Politechnika Rzeszowska
KSiSL

m�#u+W0qś# = Xuu + Xww + Xqq - mgŃ cosŚ0
ś#ź#
�# #

m�#v+U0r -W0 pś# = Yvv + X p + Yrr + mg� cosŚ0
ś#ź#
p
�# #

m�# w-U0qś# = Zuu + Zww + Zqq - mgŃ sinŚ0
ś#ź#
�# #

Jx p- Jxz r = Lvv + Lp p + Lrr


Jy q = Muu + Mw w+ Mqq

Jz r- Jxz p = Nvv + Np p + Nrr

� = p + r tanŚ0

Ń = q
�

r =
sinŚ0
58
Zbigniew Klepacki
ML_Równania ruchu  rozprzężenie ruchów
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
d
Ą#m + Xu ń#
Xw mg cosŚ0 mW0 - Xq 00 0 0 0
ó# Ą#
dt
ó# Ą#
d
ó# Ą#
-Zu m - Zw mg sinŚ0 mU0 + Zq 00 0 0 0
ó# Ą#
dt
ó# Ą#
d
u
ó# Ą#
-Mu -Mwy 0 0
0 J - Mq 0 0 0ż# �#
�#w�#
ó# dt Ą#
�# �#
ó# Ą#
d
Ń
ó# 00 - 100 0 0�# �#
0 Ą#
�#q �#
dt
ó# Ą#
�# �#
ó# Ą#
d
�# �#
000 0 m -Yv -mW0 + Yp mU0 -Yr -mg cosŚo 0
v
ó# Ą# = 0
�# Ź#
dt
ó# Ą#
�#
p�#
ó# dd Ą#
�# �#
000 0 -Lv Jx - Lp -Jxz - Lr0 0
ó# Ą#
r
�# �#
dt dt
ó# Ą#
�#� �#
dd
ó# Ą#
�# �#
000 0 -Nv -Jxz - Np Jx - Nr 0 0
ó# Ą#
�# �#
dt dt
�#� �#
ó# Ą#
d
ó# Ą#
000 001 tanŚ0 - 0
ó# Ą#
dt
ó# Ą#
1 d
ó# Ą#
0 00 0 00 - 0
sinŚ0 dt
ó# Ą#
Ł# Ś#
59
Zbigniew Klepacki
ML_Ubezwymiarowienie równań ruchu.
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Czas aerodynamiczny
m
Ć
t =
�VS
Gęstość względna samolotu
m
ź =
�Slch
lH - w ruchu sumetrycznym
ż#
�#
lch =
�#b
�#2 - w ruchu niesymetrycznym
�#
60
Zbigniew Klepacki
ML_Bezwymiarowe pochodne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Bezwymiarowe pochodne od prędkości translacyjnych
Xu
xu =
�SVe
Bezwymiarowe pochodne od prędkości kątowych
Xq
xq =
�SVelH
61
Zbigniew Klepacki
ML_Bezwymiarowe pochodne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Bezwymiarowe pochodne momentów
Mu
mu =
�SVlH
Mq
mq =
2
�SVlH
Bezwymiarowe pochodne od przyspieszeń
Mw

mw =

2
�SlH
62
ML_Bezwymiarowe prędkości, czas i momenty
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
bezwładności
Bezwymiarowe prędkości translacyjne
u
u =
Ve
Bezwymiarowe prędkości kątowe
Ć
p = t p
Bezwymiarowy czas
t
t =
Ć
t
Bezwymiarowe momenty bezwładności
Jx
jx =
b
m
2
63
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Bezwymiarową postać równań dostaniemy dzieląc przez:
równania sił przez: �Ve2S
równania momentów przez: �Ve2Slch
64
Zbigniew Klepacki
ML_R.r. symetrycznego
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
dW0 xq
- xu -xw - xŃ
ó#Ą#
dt V ź1
ó#Ą#
ó#Ą# u
ż# �#
dU0 zq
-zw - zw - - xŃ tanŚ0 Ą# �#w�#
ó#
dt V ź1
�# �#
ó#Ą#
= 0
�#q Ź#
ó#Ą#
jy d mq
d
�# �#
-mu -mw - mw - 0
ó#Ą#

�#Ń �#
dt ź1 dt ź1
�# �#
ó#Ą#
ó#Ą#
d
00 -1
ó#Ą#
dt
Ł#Ś#
65
Zbigniew Klepacki
ML_R.r. niesymetrycznego
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
yp
Ą#ń#
dW0 U0 yr
- yv - - x� Ą#
ó#
dt V ź2 V ź2
ó#Ą#
ó#Ą# v
lp
ż# �#
jx d jxz d lr
-lv - -
- 0
ó#Ą#
p�#
ź2 dt ź2 ź2 dt ź2�#
�# �#
ó#Ą#
= 0
�#r Ź#
ó#Ą#
np
jxz d jz d nr
�# �#
-mu -- - 0
ó#Ą#
ź2 dt ź2 ź2 dt ź2�#� �#
�# �#
ó#Ą#
ó#Ą#
d
01tanŚ0
ó#Ą#
dt
Ł#Ś#
66
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
mg cosŚ0 1
xŃ = y� = Cz
2
�SV 2
67
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
A = A0et = A0e(�+i�)t
� - tlumienie
� - częstoć wlasna
68
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
W0 xq
-xw - xŃ
ó# - xu Ą#
V ź1
ó#Ą#
u0
ż# �#
ó#Ą#
U0 zq
-zw  - zw-
- xŃ tan Ś0 �#w0 �#
ó#Ą#
�# �#et = 0
V ź1
ó#Ą# �#q Ź#
0
ó#Ą# �# �#
jy mq
ó#Ą# �#Ń0 �#
-mu -mw - mw  - 0

�# �#
ź1 ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
00 -1
ó#Ą#
Ł#Ś#
69
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
W0 xq
-xw - xŃ
ó# - xu Ą#
V ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
U0 zq
-zw  - zw-
- xŃ tanŚ0
ó#Ą#
V ź1
det = 0
ó#Ą#
ó#Ą#
jy mq
ó#Ą#
-mu -mw - mw  - 0

ź1 ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
00 -1
ó#Ą#
Ł#Ś#
A44 + A33 + A22 + A1 + A0 = 0
70
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
71
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
72
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
73
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
74
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
75
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
76
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
77
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
78
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
79
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
80
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
81
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
82