ML_Stateczność  Ruchy uproszczone 
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
symetryczne
Stateczność
Stateczność
1
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
W0 xq
-xw - xŃ
ó# - xu Ą#
V ź1
ó#Ą#
u0
ż# �#
ó#Ą#
U0 zq
-zw  - zw-
- xŃ tan Ś0 �#w0 �#
ó#Ą#
�# �#et = 0
V ź1
ó#Ą# �#q Ź#
0
ó#Ą# �# �#
jy mq
ó#Ą# �#Ń0 �#
-mu -mw - mw  - 0

�# �#
ź1 ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
00 -1
ó#Ą#
Ł#Ś#
2
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
W0 xq
-xw - xŃ
ó# - xu Ą#
V ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
U0 zq
-zw  - zw-
- xŃ tanŚ0
ó#Ą#
V ź1
det = 0
ó#Ą#
ó#Ą#
jy mq
ó#Ą#
-mu -mw - mw  - 0

ź1 ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
00 -1
ó#Ą#
Ł#Ś#
A44 + A33 + A22 + A1 + A0 = 0
3
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Założenia:
Stała prędkość lotu
Małe zmiany kąta toru
4
Zbigniew Klepacki
ML_ Szybkie oscylacje
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
5
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
"w = Ą# W + w cosŃ -U sin Śń# - w
( )
Ł#Ś#
Przy
Ń 1
"w E" w -UŃ
6
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Pamiętając, że
dŃ
U = V0 i
= q
dt
Równanie sił w kierunku osi z
dw 1 w
m�#ź#2
-V0qś# = - �V Sa
ś#
dt 2 V0
�# #
7
Zbigniew Klepacki
ML_Bez wpływu opóz
nienia strug
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Pomijając wpływ opóz
nienia strug na usterzeniu poziomym
i momentów tłumienia pochodzących od kadłuba, równanie
Momentu pochylającego ma postać
�#ś#
1 dCm w lH q

Jyq = �V02 ś# Sla - SHlH a1
2 dą V0 V0 ź#
�# #
Sprowadzimy oba równania do postaci bezwymiarowej
Równanie sił podzielimy obustronnie przez
�V02S
A równanie momentów przez
�V02SlH
8
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Dla równania sił dostaniemy
1 w
dw
�V S a
m�#ź# 2
-V0qś#
ś#
2 V0
dt
�# #
=-
2
2
�V S
�V S
I dalej
dw
m
mV0 q
1 m
dt
- = - aw �! = tĆ
2
�V S 2 �V0S
�V0 2 S
9
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
dw
m
1 m
dt
- tq =- �w �! = tĆ
�VVS 2 �V0S
1 dw 1
tĆ - tĆq = - aw
V0 dt 2
10
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
zauważmy
dw d 1 dw 1
==
wV0
( )V dt
dt dt dt dt tĆ
0
Stąd bezwymiarowe równanie sił przyjmuje postać
dw 1
- q = - aw
dt 2
11
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Równanie momentów

Jyq
=
�V02SlH
1
�V02 �#ś#
dCm w lH q
2
Sla - SHlH a1
ś#
dą V0 V0 ź#
�V02 SlH �# #
12
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Lewa strona równania
dq
J lH m
y

Jyq
dt
==
2
�V02SlH �V0V0SlH m
dq dq
jytĆtĆjy
dq lH �Sm
dt dt
= jytĆ = =
dt V0�Sm ź1 ź1
13
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Prawa strona równania
1
�V02 �#ś#
dCm w
2
Sla -ź# =
ś#
dą V0 #
�V02 SlH �#
la dCm
11 SH lH q m�S
= w - a1 =
2 lH dą 2 S V0 m�S
la dCm
11 SH qtĆ
= w - a1 =
2 lH dąź1
2 S
la dCm
11 SH q
= w - a1
2 lH dąź1
2 S
14
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ostatecznie równania ruchu w zapisie macierzowym przyjmują postać
d 1
Ą#ń#
+ a -1
ó#Ą#
dt 2
ż#�#
�#w�# 0
ó#Ą#
=
�#q Ź#
jy d
la dCm
11 SH 1
ó#Ą#
�# �#
�# �#
+ a1
ó#- lH dąź1 dt 2 S ź1 Ą#
2
Ł#Ś#
15
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Przewidujemy rozwiązanie w postaci
w = w0e t
q = q0e t
Podstawiając je do równań ruchu i wykonując odpowiednie
operacje arytmetyczne dostaniemy
16
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
1
Ą#ń#
 + a -1
ó#Ą#
2
ż# �#
0
�#w �#e t = 0
ó#Ą#
�#q Ź#
jy
la dCm
11 SH 1
ó#Ą#
0
�# �#
 + a1
ó#- lH dąź1 �# �#
22 S ź1 Ą#
Ł#Ś#
17
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
�#ś#
11 SH 1 1 la dCm
�# + aś#ś# jy +-
a1 = 0
ś#ź#
2 ź1 ź# 2 lH dą
�# #�# ź1 2 S
#
�#
11 SH 1 1 la dCm
�# + aś#ś# jy +ś#
a1 ź# - =
ś#ź#
2 ź1 # 2 lH dą
�# #�# ź1 2 S
jy jy
�# ś# �# ś#
1 SH 1 1
2
=  +  a1 + aź# +
ś# ź# ś#
ź1 2 S ź1 2 ź1 #
�# # �#


a
b
jy
�#ś# �# ś#
1 SH 1 1 la dCm
+ś# aa1 - = 0
ź# ś# ź#
4 S ź1 2 lH dą ź1
�# # �# #

c
18
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
�#ś#
1 SH 1 1
2
 +  a1 + aź# +
ś#ź#
ś#
2 Sjy 2
�#

#
b
�#
1 SH 1 1 la dCm ź1 ś#
+ś# aa1 - = 0
ś#ź#
4 Sj 2 lH dą jy ź#
�#
y
#
c
19
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
-b " "
 =
2a
" = b2 - 4ac
2
�#ś# �#ś#
�#ś#
1 SH a1 1 SH a1 1 SH 1 1 la dCm
 =- + aź# " + aź# - a a1 -
ś#ź# ś#ź#
ś#ź#
ś# ś#
4 S jy 16 S jy 4 S ź1 2 lH dą
�#
�# # �# #

#

�
i�
20
Zbigniew Klepacki
ML_Wpływ opóz
nienia strug
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Zmiana kąta natarcia na usterzeniu
�#ś#
d� dą d� d w lH
"ąH H" "t =
ś#V ź#V
dą dt dą dt
�# 0 # 0
�#ś#
1 d� d w lH
"M =- �V02SHlH a1 ś#V ź#V =
2 dą dt
00
�# #
1 a1 d� dw
2
=- �V02SHlH
2 V02 dą dt
21
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Równanie momentów
jy dq 1 SH a1
la dCm
1 1 SH a1 d� dw
+ q - w + = 0
ź1 dt 2 S ź1 2 lH dą 2 S ź1 dą dt
d 1
Ą#ń#
+ a -1
ó#Ą#
dt 2
ż#�#
�#w�# 0
ó#Ą#
=
�#q Ź#
jy d 1 SH
la dCm
11 SH a1 d� d 1
ó#
�# �#
+ a1 Ą# �# �#
ó#- lH dą + 2 S ź1 dą dt ź1 dt 2 S ź1 Ą#
2
Ł#Ś#
22
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
2
�# �#
11 1 SH a1 1 la ź1 dCm ś#
SH a1 d� SH a1 d�
�#1+ ś#ś# �#1+ ś#ś# �#
 =- a +
ś#
ź#ź# ą 16 ś# a + S jy ś#ź#ź# - ś# 4 S jy a - lH jy dą ź#
ś# ś#
4 S jy ś# dą 2
�# #ź# dą ź#
�# #ź# ś#
�# # �# # �#


#

�
i�
� 1 �V0S�# SH a1 d�
�#1+ ś#ś#
� = = - a +
ś#
ź#ź#
ś#
tĆ 4 m S jy ś# dą
�# #ź#
�# #
2
�#
� �V0S 11 SH a1 1 la ź1 dCm ś#
SH a1 d�
�#1+ ś#ś# �#
� = = -ś# a +
ś#
ź#ź# + ś# 4 S jy a - lH jy dą ź#
ź#
tĆ m16 S jy ś# dą 2
�# #ź# ś#
�# # �# #
23
Zbigniew Klepacki
ML_Oscylacje fugoidalne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Uproszczenie
ą = const
Zmienne
"Ń, "V
24
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Równania równowagi przed zaburzeniem
1
mg sin Ś + �V02SCx = 0
2
1
mg cos Ś - �V02SCz = 0
2
Równania równowagi po zaburzeniu
1 d
2
mg sin Ś+"Ń + � V0 +"V SCx + m "V = 0
() () ( )
2 dt
1 d
2
mg cos Ś+"Ń - � V0 +"V SCz +V0m "Ń = 0
() () ( )
2 dt
25
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Wykonując operacje arytmetyczne wyrażeniach opisujących
równowagę samolotu po zaburzeniu, pomijając składniki wyższego
rzędu, a następnie odejmując odpowiednio równania równowagi
przed zaburzeniem dostaniemy równania zaburzeń ruchu.
Dzieląc je przez
1
�V02S
2
i ubezwymiarawiając dostaniemy
26
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
sin Ś0 +Ń = sinŚ0 cosŃ + cosŚ0 sinŃ H" sinŚ0 +Ń cosŚ0
( )
cos Ś0 +Ń = cosŚ0 cosŃ - sinŚ0 sinŃ H" cosŚ0 -Ń sinŚ0
()
1 d
22
mg sin Ś + "Ńcos Ś + �
( ) ( ) ( )
()
(V + 2V0"V + "V )SC + m dt "V = 0
0 x
2
d
22
mg cos Ś - "Ńsin Ś - �
( ) ( )1 ( )
(V + 2V0"V + "V )SC +V0m dt "Ń = 0
0 z
2
27
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
1 d
mg sin Ś + "Ńcos Ś + � V02 + 2V0"V SCx + m "V = 0
( ) ( ) ( )
() ()
2 dt
1
mg cos Ś - "Ńsin Ś - � V02 + 2V0"V SCz +V0m "Ń = 0
( ) ( ) ( )
() ()d
2 dt
1
mg sin Ś + �V02SCx = 0
2
1
mg cos Ś - �V02SCz = 0
2
d
mg "Ńcos Ś + � V0"V SCx + m "V = 0
( ) () ( )
()
dt
d
mg -"Ńsin Ś - � +V0"V SCz +V0m "Ń = 0
( ) () ( )
()
dt
28
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
d 1
Ą#ń#
Cz
ó#dt + Cx Ą#
"V
ż#�#
2
= 0
ó#Ą#
�#"Ń Ź#
d 1
ó#
-Cz + Cx Ą# �#�#
ó#Ą#
dt 2
Ł#Ś#
Wyznacznik charakterystyczny będzie równy
31
22 2
 + Cx + Cz + Cx = 0
()
22
29
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Pierwiastki równania
2
33 12
�#
2
 =- Cx ą Cx ś# - Cz + Cx
()
ś#ź#
22 2
�# #
W większości stanów lotu
2
31
�#
22
Cx ś# < Cz + Cx
()
ś#ź#
22
�# #
30
Zbigniew Klepacki
ML_...
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Co oznacza, że ruch ma charakter oscylacyjny, tłumiony.
Tłumienie (wymiarowe) jest równe
� 3 �SV0
� = = - Cx
tĆ 4 m
Częstość
2
� �SV0 13
�#
22
� = = Cz + Cx - Cx ś#
() #
ś#ź#
tĆ m 22
�#
A odwrotność okresu
2
1 �SV0 1 3
�#
22
= Cz + Cx - Cx ś#
() #
ś#ź#
T 2Ą m 2 2
�#
31
Zbigniew Klepacki
ML_Jeszcze raz SPO
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Założenia:
Stała prędkość lotu
Małe zmiany kąta toru
Ą#ń#
W0 xq
 - xu -xw - xŃ
ó#Ą#
V ź1
ó#Ą#
0
ż# �#
ó#Ą#
U0 zq
ó#
-zw  - zw - - xŃ tan Ś0 Ą# �#w0 �#
�# �#et = 0
ó#Ą#
V ź1
�# Ź#
ó#Ą#
0
�#q �#
jy mq
ó#Ą#
�# �#
0
-mu -mw - mw  - 0

�# �#
ó#Ą#
ź1 ź1
ó#Ą#
0 0 -1 
ó#Ą#
Ł#Ś#
32
Zbigniew Klepacki
ML_Jeszcze raz SPO
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
U0 zq
 - zw - -
ó#
V ź1 Ą# w0 t
ż# �#
ó#Ą#
�#q Ź#e = 0
ó#
jy mq Ą# �# 0 �#
-mw - mw  -

ó#Ą#
ź1 ź1 Ś#
Ł#
jy mqU0 zq
 - zw ś#  - -
- - -mw - mw = 0
()�#ś# �#ś#
( )
ź1 ź1 ź# ś# V ź1 ź#
�# # �# #
33
Zbigniew Klepacki
ML_Jeszcze raz SPO
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
jy mq jy mq
U0 U0zqzq
2 -  - zw + zw -  mw - mw -  mw - mw = 0

ź1 ź1 ź1ź1 VV ź1ź1
jy mq jy U0 zq mq U0 zq
�#ś# �# ś#
2 -  + zw + mw + mw ź# + zw mw - mw ź# = 0
-
ś# ś#
ź1 ź1 ź1 V ź1 ź1 V ź1
�# # �# #
�#ś# �# ś#
mq zq mq U0 ź1 zq
U0 ź1
2 -  + zw +mw + mw ź# + zw
-mw - mw ź# = 0
ś#ź# ś# ź#
ś# ś#
jy V jy jyjy V jy #
jy
�# # �#
34
Zbigniew Klepacki
ML_Jeszcze raz SPO
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
2
�#ś# ś#
�#
mq zq mq U0 ź1 zq
U0 ź1
"=ś# + zw + mw + mw ź# - 4ś# zw - mw - mw ź#

ś#ź# ź#
ś#
jy V jy jy jy V jy jy
�# # #
�#
�#ś#
mq zq
1 U0 ź1
 =- + zw + mw + mw ź# +

ś#ź#
ś#
2 jy V jy jy
�# #
2
�#ś# ś#
�#
mq zq mq U0 ź1 zq
1 U0 ź1
ą+ zw + mw + mw ź# - 4ś# zw - mw - mw ź#

ś#ź# ź#
ś#
ś#
2 jy V jy jy jy V jy jy
�# # #
�#
35
Zbigniew Klepacki
ML_Jeszcze raz LPO
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
W0 xq
 - xu -xw - xŃ
ó#Ą#
V ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
u0
ż# �#
U0 zq
ó#
-zw  - zw -- xŃ tan Ś0 Ą# �# 0 �#
�# �#et = 0
ó#Ą#
V ź1
�# Ź#
ó#Ą#
0
�# �#
ó#Ą#
jy mq
�#Ń0 �#
ó#Ą#
�# �#
-mu -mw - mw  - 0

ź1 ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
00 -1 
ó#Ą#
Ł#Ś#
36
Zbigniew Klepacki
ML_Jeszcze raz LPO
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
 - xu xŃ u0 t
Ą#ń# ż# �#
�#Ń Ź#e
ó#Ą#
0 
Ł#Ś# 0 �#
�#
 - xu  = 0
( )
2 - xu = 0
37