Zbigniew Klepacki
ML_Stateczność
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Stateczność
Stateczność
1
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie przewidywane
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
n
t
j
A =
"a e
j
� - tlumienie
j=1
� - częstosć wlasna
j = �j ą i�
j
Możliwe pierwiastki równania charakterystycznego
Możliwe pierwiastki równania charakterystycznego
A44 + A33 + A22 + A1 + A0 = 0
Pierwiastki rzeczywiste  dodatnie i ujemne
Pierwiastki urojone  sprzężone, tłumienie dodatnie i ujemne
2
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie  przypadki szczególne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Pierwiastki rzeczywiste  rozwiązania aperiodyczne
� > 0, � = 0, � < 0
A = Ae�t
0
Pierwiastki rzeczywiste
2.5 A = Aet = Ae�t
00
2
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10121416
3
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie  przypadki szczególne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Pierwiastki urojone, sprzężone  rozwiązania okresowe
A = a1e(�+i�)t + a2e(�-i�)t
ei� = cos� + i sin�
A = e�t A1 cos�t + A2 sin�t
( )
A1 = a1 + a2 , A2 = i a1 - a2
()
4
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie  przypadki szczególne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Rozwiązanie okresowe, nietłumione
A = A1 cos �t + A2 sin �t A1 = a1 + a2 , A2 = i a1 - a2
( ) ( ) ( )
( )
Pierwiastki sprzężone �=0, �>0
3.0
2.0
1.0
0.0
012345678
-1.0
-2.0
-3.0
5
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie periodyczne
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Rozwiązanie okresowe, tłumione - rozbiezne
A = e�t A1 cos �t + A2 sin �t A1 = a1 + a2 , A2 = i a1 - a2
( ) ( ) ( )
()
Pierwiastki sprzężone �>0, �>0
3
2
1
0
012345678
-1
-2
-3
6
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie periodyczne, tłumione
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Rozwiązanie okresowe, tłumione
A1 = a1 + a2 , A2 = i a1 - a2
A = e�t A1 cos �t + A2 sin �t
( )
( ) ( )
()
Pierwiastki sprzężone �<0, �>0
3
2
1
0
012345678
-1
-2
-3
7
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie - charakterystyki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
� < 0
Czas tłumienia amplitudy do połowy
A = Ae�t
0
05
At05 A0e�t
== 0.5 �! �t05 = ln 0.5
( )
A0 A0
ln 0.5
( ) -0.693147
t05 ==
��
8
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie - charakterystyki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
� > 0
Czas podwajania amplitudy
A = Ae�t
0
2
At2 A0e�t
== 0.5 �! �t2 = ln 2
( )
A0 A0
ln 2
( ) 0.693147
t2 ==
��
9
Zbigniew Klepacki
ML_ Rozwiązanie - charakterystyki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Okres drgań
2Ą
T =
�
Częstość drgań nietłumionych
�n = �2 +�2
Współczynnik tłumienia
�
ś =-
�n
10
Zbigniew Klepacki
ML_....
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
W0 xq
-xw - xŃ
ó# - xu Ą#
V ź1
ó#Ą#
u0
ż# �#
ó#Ą#
U0 zq
-zw  - zw-
- xŃ tan Ś0 �#w0 �#
ó#Ą#
�# �#et = 0
V ź1
ó#Ą# �#q Ź#
0
ó#Ą# �# �#
jy mq
ó#Ą# �#Ń0 �#
-mu -mw - mw  - 0

�# �#
ź1 ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
00 -1
ó#Ą#
Ł#Ś#
11
Zbigniew Klepacki
ML_....
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
Ą#ń#
W0 xq
-xw - xŃ
ó# - xu Ą#
V ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
U0 zq
-zw  - zw-
- xŃ tanŚ0
ó#Ą#
V ź1
det = 0
ó#Ą#
ó#Ą#
jy mq
ó#Ą#
-mu -mw - mw  - 0

ź1 ź1
ó#Ą#
ó#Ą#
00 -1
ó#Ą#
Ł#Ś#
A44 + A33 + A22 + A1 + A0 = 0
12