MAP1142  ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A
Zadania z listy oznaczone gwiazdkÄ… (") sÄ… nieco trudniejsze albo majÄ… charakter teoretyczny. Jednak nie wy-
chodzą one poza ramy programu kursu. Odpowiedzi do zadań z listy można zweryfikować za pomocą pro-
gramów komputerowych. Istnieje wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy te
można wykorzystać np. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, wyznaczania całek
i pochodnych, rozwiązywania równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych. Polecamy stronę
internetowÄ… Wolfram Alpha oraz darmowe programy: Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, pakiet
R, Sage, Scilab, a także programy płatne: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPalce.
Uzdolnionych studentów zachęcamy do udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z
tych egzaminów można znalez
ć na stronie internetowej
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Wrocław, wrzesień 2012
Listy zadań
Lista 1
1.1. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:
a)  Amsterdam jest stolicÄ… Holandii ; b)  liczba 123888 jest podzielna przez 8 ; c)  a2 + b2 = c2 ;
d)  trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest ostrokątny ; e)  25 32 ; f)  " = b2 - 4ac .
1.2. Napisać zaprzeczenia zdań:
a)  jem śniadanie i słucham radia ; b)  kwadrat nie jest pięciokątem ;
c)  stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław ; d)  jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen ;
e)  liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3 .
1.3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych:
a)  nieprawda, że funkcja f(x) = x2 jest rosnąca na R ;
b)  (-1)44 = -1 lub 2008 jest liczbÄ… parzystÄ… ;
c)  funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f(x) = 3x nieparzysta ;
d)  jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ;
e)  liczba 13579 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 jest podzielna przez 9 .
1.4. Czy podane funkcje zdaniowe sÄ… prawami logicznymi:
a) Ź (p (" q) =Ò! [(Źp) '" (Źq)] ; b) p =Ò! [(q '" Źq) =Ò! r] ; c) (p =Ò! q) Ð!Ò! [(Źp) (" q] ; d) [p '" (Źq)] (" [(Źp) '" q]?
1.5. Zbiory określone za pomocą formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci:

a) x " R : x2 = 4 ; b) n " N : liczba n2 - n jest parzysta ;
c) {x " R : (x < 3) (" (x 5)}; d) {n " N : n jest podzielne przez 5};

e) x " R : (x > 0) =Ò! x2 > 0 ; f) {(x, y, z) : x, y, z " N '" x < y < z '" xyz = 16}.
1.6. Podać przykłady warunków, które spełniają tylko elementy zbiorów:
a) [-1, 7] ; b) {trójkąt równoboczny, kwadrat}; c) {2, 4, 6, . . .};

1 1 1 1 1
d) , , , , , . . . ; e) {1} *" [2, 3]; f) {-1, 1, -3, 3, -5, 5, -15, 15}.
2 3 5 7 11
1
1.7. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe:

1
a) sin x = ; b) x2 + 4x + 3 > 0; c) x2 - y2 = 0;
2
x"R x"R x"R y"R


Ä„ Ä„
d) xy = 0; e) (y x) (" (y > x); f) ! x " - , '" tg x = y.
2 2
y"R x"R x"R y"R y"R x"R
1.8. Dla podanych par zbiorów A, B ‚" R wyznaczyć A *" B, A )" B, A \ B, B \ A, Ac, Bc, AÅ‚%B:
a) A = (0, 5), B = [0, 7]; b) A = (-", 3), B = [-1, ");
c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}; d) A = N, B = {2n : n " N} .
Wskazać te pary A, B, dla których A ‚" B.
1.9. Wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru {ć%, ł%, } .
1.10*. Która z relacji A ‚" B, czy B ‚" A zachodzi, gdy:
a) A *" B = A; b) A *" B ‚" A; c) A \ B = A; d) B ‚" A )" B?
Lista 2
2.1. Określić i narysować dziedziny funkcji:

x x - 2
a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = 16 - x2;
x2 - 2x - 3 x2 + 4

x - 1 x - 4
d) f(x) = -(x + 3)4; e) f(x) = " ; f) f(x) = .
x2 - 8x + 16
x - 1
2.2. Określić funkcje złożone f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g oraz podać ich dziedziny, jeżeli:
"
1
a) f(x) = , g(x) = x2; b) f(x) = x, g(x) = x4;
x
"
1 1
c) f(x) = , g(x) = ; d) f(x) = |x|, g(x) = x + 1.
x + 1 x + 2
2.3*. Uzasadnić, że złożenie funkcji:
a) rosnÄ…cych jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ…;
b) rosnÄ…cej i malejÄ…cej jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ…;
c) malejÄ…cych jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ….
2.4. Znalez
ć funkcje f i g takie, że h = f ć% g, jeżeli:
x2 + 2x + 1
a) h(x) = x2; b) h(x) = x4 + 2x2 - 2; c) h(x) = ;
x2 + 2x - 1

|x| + 1 x + 1 2
d) h(x) = ; e) h(x) = ; f) h(x) = 2x .
|x| - 1 x
*Czy funkcje f i g sÄ… wyznaczone jednoznacznie?
2.5. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
1
a) f(x) = 2x - 3, R; b) f(x) = , R \ {0}; c) f(x) = x4, [0, ");
x

" "
x + 1 1
d) f(x) = , (2, "); e) f(x) = x - 3, [0, "); f*) f(x) = x - x, , " .
x - 2 4
"
2.6. Korzystajac z wykresu funkcji y = x naszkicować wykresy funkcji:
" "
"
a) y = x - 2; b) y = 2 x; c) y = 2 - x;
"
" "
d) y = 2 - x; e) y = 1 + x; f) y = 1 - x + 1.
2
2.7. Znalez
ć funkcje odwrotne do funkcji:
"
x + 1
3
a) f(x) = ; b) f(x) = 3 - x + 2; c*) f(x) = x6 sgn x;
x - 1

1
-x2 dla x < 0,
x
d*) f(x) = e) f(x) = 2x-1; f) f(x) = 4 ;
2 + x dla x 0;
g) f(x) = log(x + 2); h) f(x) = log 1 2x; i) f(x) = log3(x + 1).
2
2
Lista 3
3.1. Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować wykresy funkcji:

x Ä„
a) y = sin 2x; b) y = sin ; c) y = sin x + ;
3 4

1 Ä„
d) y = 1 + sin x; e) y = sin x - 1; f) y = sin 2 x - .
2 6
3.2. Naszkicować wykresy funkcji:



1 Ä„

a) y = sin x - sin x ; b) y = 1 + ctg x + ; c) y = tg x + | tg x|; d) y = |tg x| ctg x.

2 4
3.3.
Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapisać podane wyrażenia w postaci funkcji trygonometrycznych kąta

Ä„
Ä… " 0, :
2


3Ä„ 5Ä„ Ä„
a) sin - Ä… ; b) cos + Ä… ; c) tg (Ä„ - Ä…); d) ctg + Ä… .
2 2 2
3.4. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
1 + tg Ä… 1 2
a) = tg Ä…; b) sin4 Ä…+cos4 Ä… = 1- sin2 2Ä…; c) tg Ä… + ctg Ä… = ;
1 + ctg Ä… 2 sin 2Ä…
Ä… 1 - cos Ä… 1
d) tg = ; e) sin4 Ä…-cos4 Ä… = sin2 Ä…-cos2 Ä…; f) - cos Ä… = sin Ä… tg Ä….
2 sin Ä… cos Ä…
Dla jakich kątów ą są one prawdziwe?
3.5*. Obliczyć wartości wyrażeń:

1 1 3 8
a) tg arccos ; b) ctg arcsin ; c) sin arcsin + arcsin ; d*) sin (arc tg 1 + arc tg 2).
2 3 5 17
3.6*. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:

Ä„ 3Ä„
a) f(x) = sin x, x " , ; b) f(x) = cos x, x " [Ä„, 2Ä„];
2 2

3Ä„ Ä„
c) f(x) = tg x, x " - , - ; d) f(x) = ctg x, x " (Ä„, 2Ä„).
2 2
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.
Lista 4
4.1. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
"
2 + cos n 4n - 1
n
a) an = ; b) an = 2n + 1; c) an = ;
3 - 2 sin n 2n + 3
" "
1 1 1
d) an = n + 8 - n + 3; e) an = + + . . . + ; f) an = 2n - 3n.
41 + 1 42 + 2 4n + n
3
4.2. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
2n + 1 n n!
a) an = ; b) an = ; c) an = ;
n + 2 n2 + 1 10n

1 4n
d) an = ; e) an = ; f) an = n2 + 1 - n.
n2 - 6n + 10 2n + 3n
4.3. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:
3 - n 2n + 1
a) lim = -1; b) lim = 0; c) lim ln (2n - 5) = ".
n" n" n"
n + 4 n2
4.4. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
3n - 1 n + 1 n3 + 2n2 + 1
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
n" n" n" - 3n3
n + 4 2n2 + 1 n
3
n20 + 2
1 + 3 + . . . + (2n - 1) 5n - 4n
d) lim ; e) lim ; f) lim ;
n" n" n" - 3n
2 + 4 + . . . + 2n 5n
(n3 + 1)20




n2 + 1 n! + 1 " "
g) lim ; h) lim n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ; i) lim n + 6 n + 1 - n .
n" n" n"
(2n + 1)(n + 1)!
4.5. KorzystajÄ…c z twierdzenia o trzech ciÄ…gach znalez
ć granice:
"
2n + (-1)n #nĄ#
n
a) lim ; b) lim ; c) lim 3 + sin n;
n" n" n"
3n + 2 n


"
1 2 3 1 1 1
n n
d) lim + + ; e) lim n2n + 1; f) lim + + . . . + ;
n" n" n"
n n2 n3 n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
"

n 2
3n + 2n
n+2
n
g) lim " ; h) lim ; i) lim 3n + 4n+1.
n" n" n"
5n + 4n
n 3
4.6. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
3n-2 15n n
1 5n + 2 3n
a) lim 1 + ; b) lim ; c) lim ;
n" n" n"
n 5n + 1 3n + 1
2
5-2n n n n
n + 4 n2 3n + 2 5n + 3
d) lim ; e) lim ; f*) lim · .
n" n" n"
n + 3 n2 + 1 5n + 2 3n + 1
Lista 5
5.1*. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znalez
ć granice:
"
n
a) lim nn + 5; b) lim (4n + (-3)n); c) lim (sin n-2) n2;
n" n" n"
n n

1 1 1 1 1 1
" " "
d) lim + 5- ; e) lim n5-10n6+1 ; f) lim + +. . .+ .
n" n" n"
3 n n n
1 2
5.2. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:

n2 + 1
a) lim ; b) lim n4 - 3n3 - 2n2 - 1 ; c) lim (1 + 2n - 3n);
n" n" n"
n
n
" Ä„ n
n + 1 1 - (n + 1)!
d) lim ; e) lim ; f) lim 3 - cos ;
n" n" n"
2n n! + 2 n
arc tg n n + 1 arc tg 2n
g) lim ; h*) lim ; i) lim .
n" n" n"
arc ctg n 2n
n ln(n + 1) - ln n
4
5.3. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:
1
a) lim (x - 2)5 = 1; b) lim #x# = 4; c) lim = ".
x3
xĄ+ x 2+ x - 2
5.4. Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice nie istnieją:
"
x2
a) lim ; b) lim x2 ; c) lim sin x;
x3 - 3
x2 x"
x
1 sgn x
d) lim cos ; e) lim ; f) lim (x- #x#) .
x0 x5
x0- x2 sgn (x+1)
5.5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
"
x2 - 1 x2 - 4 x + x
a) lim ; b) lim ; c) lim " ;
x0 - x + 1 x2 x
x2 - x - 2
x0
x2
x3 - 1 x6 - 1 x2 - 5x + 4
d) lim ; e) lim ; f) lim .
x" - 5)
x1 - 1 1 x(x
x1 - x2
x4
Lista 6
6.1. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice (cd.):
" " "
"
3
x - 2 - 2 x - 4 1 + x - 1 - x
g) lim ; h) lim " ; i) lim ;
x6 - 6 x 2x
x64 - 8
x0
x
"

1 + x2 2x + 1
j) lim x2 + 1 + x ; k) lim " ; l) lim ;
3
x-" x" x"
3x + 2
1 - x3

tg2 x + 1 sin2 x 1
m) lim ; n) lim ; o) lim tg x - .
Ä„
Ä„ -
x0 - cos x
x tg2 x + 5 1 x cos x
2
2
6.2. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
1
x2 - 4
x3
a) lim x sgn x; b) lim 2 ; c) lim ;
x0 x0 x2 - 2|
|x

#x# 1
d) lim sgn x 1 - x2 ; e) lim ; f) lim x arc tg .
x-1 x0 x0
x x
6.3. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:
"
1 1
e) lim x cos = 0; a) lim x3 arc tg = 0; d) lim #x# sin(xĄ) = 0;
x0 x2
x0+ x2 x
2-x + sin x 2+sin x x + sin2 x
c) lim = 1; f) lim = 0; g) lim e = 0;
x-" x" x-"
2-x + cos x x2

#3ex#+2 3 1 1
h) lim = ; i) lim x3 = 0; j*) lim sin x+ -sin x = 0.
x" x0 x"
#2ex#+1 2 x x
6.4*. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić równości:
1


2 + sin
x2 + 1
1
x
a) lim = "; b) lim = "; c) lim 3 - cos ctg x = -".
x" x0
#x# x2 x0- x
6.5. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:
x 1
sin tg
sin2 3x
2 x
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x
2
x0 x0 x"
x2
sin
tg
3
x
arcsin 2x 1 cos 3x - cos 7x
d) lim ; e) lim x2 arc tg ; f*) lim ;
x0 x" x0
arc tg x x x2
5
"
3
cos 5x e3x - 1 ln (1 + x)
g) lim ; h) lim ; i) lim ;
Ä„
x0 x0
x cos 3x sin 2x x
2
1
ln (1 + 2x) 2x - 1
x
j*) lim ; k) lim " ; l) lim (1 + 2x) ;
x-" x0
3x x0+ x - 1
4
2x-1 " "
3 6
1 1 + x - 1 - x
m) lim 1 + ; m) lim [1 + tg(2x)]ctg x; o) lim .
x" x0 x0
x + 2 x
6.6. Znalez
ć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
x3 + x2 x3 1 - x2
a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = ;
x2 - 4 (x + 1)2 x + 1
"
x - 3 1 + x2 1
d) f(x) = " ; e) f(x) = ; f) f(x) = ;
x ex - 1
x2 - 9
sin x sin2 x
g) f(x) = ; h) f(x) = ; i) f(x) = x - arc tg x.
x - Ä„ x3
Lista 7
7.1. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
a) lim f(x) = ", lim f(x) = 1, f(2) = 0, lim f(x) = -1;
x-" x"
x0-
b) lim f(x) = e, lim f(x) = 0, funkcja f jest parzysta;
x" x2
c) prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji f w -", prosta y = x - 1 asymptotą ukośną w ", a prosta
x = 0 jest jej asymptotÄ… pionowÄ… obustronnÄ…;
d) lim f(x) = 0, lim f(x) = 3, lim f(x) = -";
x-" x1 x"
e) lim f(x) = ", lim f(x) = -", lim f(x) = 1, lim f(x) = 5;
x-" x"
x0- x0+
f) lim f(x) = -4, lim f(x) = ", lim f(x) = 4;
x-" x-1 x"
g) lim f(x) = ", lim f(x) = 0, funkcja f jest okresowa i ma okres T = 3;
x1 x2
h) lim f(x) = 4, lim f(x) = ", funkcja f jest nieparzysta.
x-" x1
Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
7.2. Dobrać parametry a, b " R tak, aby podane funkcje były ciągłe na R:
Å„Å‚ Å„Å‚
Ä„

ôÅ‚ ôÅ‚ ax2 + 1 dla x < -1,
a
òÅ‚ sin x dla |x| , òÅ‚
+ 1 dla x < -1,
2
a) f(x) = x b) f(x) = c) f(x) = 2x dla -1 x 0,
Ä„
ôÅ‚ ôÅ‚
b - 2x dla x -1; ół ół
ax + b dla |x| < ;
x3 + bx dla x > 0;
2
Å„Å‚
Å„Å‚
Ä„

ôÅ‚
a sin x + b cos x dla |x| > ,
òÅ‚ bx dla x < Ä„, òÅ‚
x2+ax+b dla |x| < 2,
4
d) f(x) = " e) f(x) = f) f(x) =
sin x
Ä„
ół ôÅ‚
x x2 - 4 dla |x| 2; dla x Ä„.
ół
1 + tg x dla |x| .
ax
4
7.3. Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie a (jeżeli istnieją) dla funkcji o podanych wykresach:
y y y
a) b) c)
y=f(x) y=f(x) y=f(x)
a x a x a x
6
y y y
d) e) f)
y=f(x)
y=f(x) y=f(x)
a x a x a x
7.4. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj:
Å„Å‚
x + 2
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x = 1, 2

x2 -1
1
òÅ‚ òÅ‚
x2 + x + 2
" dla x " (0, 1) *" (1, "),
arc tg dla x = 0,

a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = x-1
x
0 dla x = 1,
ôÅ‚ ół
ôÅ‚ 0 dla x = 0;
ół 3 dla x = 1;
1 dla x = 2;
Å„Å‚ Å„Å‚
|x| + x 1
òÅ‚ òÅ‚
dla x = 0, 1 - cos dla x = 0,

d) f(x) = e) f(x) = sgn x(x - 1) ; f) f(x) =
x2 x
ół ół
0 dla x = 0.
0 dla x = 0;
7.5. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:


5Ä„ sin x Ä„
a) x3 + 6x - 2 = 0, [0, 1]; b) x sin x = 7, 2Ä„, ; c) 1 = + x, 0, ;
2 2 2

1
d) x100 + x - 1 = 0, , 1 ; e) 3x + x = 3, [0, 1]; f) x2x = 1, [0, 1].
2
Wyznaczyć rozwiązania równania a) 0.125.
Lista 8
8.1*. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstre-
malne majÄ… rozwiÄ…zania:
a) wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;
b) wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy obwód;
c) wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe pole (założyć,
że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta).
8.2. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f(x) = |x - 1|, x0 = 1; b) f(x) = 2x - |x|, x0 = 0; c) f(x) = |x - Ä„|3 sin x, x0 = Ä„;
Å„Å‚
Å„Å‚
Ä„

ôÅ‚
1
òÅ‚ sin x dla x , òÅ‚
x2 dla x 2,
x2 arc tg dla x = 0,

2
d*) f(x) = e*) f(x) = f*) f(x) =
x
Ä„
ôÅ‚ ół
2x dla x > 2,
ół
1 dla x > , 0 dla x = 0,
2
Ä„
x0 = 2; x0 = ; x0 = 0.
2
Naszkicować wykresy funkcji a), b), d) i e).
8.3. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:
1
a) f(x) = x2 - 3x, gdzie x " R; b) f(x) = , gdzie x = -1;

x + 1
"
Ä„
c) f(x) = x, gdzie x > 0; d) f(x) = tg x, gdzie x = + kĄ dla k " Z.

2
8.4. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:

x2
a) f(x) = - x , x0 = 1; b) f(x) = sin x · sgn (x), x0 = 0;
7
Å„Å‚ Å„Å‚
Ä„
òÅ‚ òÅ‚ - 1)
x(x
tg x dla - < x 0,
dla x < 1,
2
c) f(x) = x0 = 0; d) f(x) = x0 = 1.
Ä„
2
"
ół ół
sin x dla 0 < x < ,
x - 1 dla x 1,
2
Naszkicować wykresy tych funkcji.
Lista 9
9.1. Zbadać z definicji, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0:
" "
5 3
a) f(x) = 3 - x; b) f(x) = tg x;


c) f(x) = | sin x|; d*) f(x) = |x| + |x|.
9.2. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
x2 + 1 ex+1
a) y = ; b) y = 3 cos x + tg x; c) y = ;
x - 1 sin x


" "
1
4
d) y = x3 + ex; e) y = 1 + x tg x ; f) y = ex arc tg x;
x2


x
3
g) y = ln sin2 x + 1 ; h) y = arcsin (x2); i) y = ee ;
2
"
2sin x tg x
x
j) y = ; k*) y = x ; l*) y = x.
2
3cos x
9.3*. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć f-1 (y0), jeżeli:
a) f(x) = x + ln x, y0 = e + 1; b) f(x) = cos x - 3x, y0 = 1;
" " "
3 5 7
c) f(x) = x + x + x, y0 = 3; d) f(x) = x3 + 3x, y0 = 4.
9.4. Obliczyć f2 , f2 2 , f2 2 2 funkcji:
2 ex
a) f(x) = 4x7 - 5x3 + 2x; b) f(x) = x3 - ; c) f(x) = ;
x x
d) f(x) = arc tg x; e) f(x) = sin3 x + cos3 x; f) f(x) = x3 ln x.
9.5. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
Ä„

x Ä„
a) f(x) = arcsin , (1, f(1)); b) f(x) = ln x2 + e , (0, f(0)); c) f(x) = etg x, , f ;
2 4 4
" "
"
"
2x
x
d) f(x) = 2x + 1, (3, f(3)); e) f(x) = , 2, f 2 ; f*) f(x) = x, (e, f(e)).
1 + x2
Lista 10
10.1.
a) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x4 -2x+5, która jest równoległa do prostej y = 2x+3.
"
Ä„
b) Znalez
ć styczną do wykresu funkcji f(x) = x, która tworzy kąt z dodatnią częścia osi Ox.
4
c) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x ln x, która jest prostopadła do prostej 2x+6y-1 =
0.
1
d) Znależć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x arc tg , w punkcie jego przecięcia z prostą Ąx = 4y.
x
e) Wyznaczyć równanie prostej, która jest wspólną styczną wykresów funkcji f(x) = x2 i g(x) = (x - 2)2 + 4.
10.2.
a) Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji:
"
x2
3
i) f(x) = x2, g(x) = x, x > 0; ii) f(x) = 4 - x, g(x) = 4 - , x > 0;
2
"
1 Ä„
iii) f(x) = , g(x) = x, x > 0; iv) f(x) = tg x, g(x) = ctg x, 0 < x < .
x 2
8
b) Dla jakich wartości parametru a " R, wykresy funkcji y = eax, y = e-x przetną się pod kątem prostym?
10.3. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
"
1 2001
3
a) 7.999; b) " ; c) ln ;
2000
3.98
d) ln 0.9993; e) e0.04; f) arccos 0.499;
"
1 2
g) ; h) ; i*) ln 0.2 + 1 + 0.04 .
1 33Ä„
1 + e0.005
+ sin
2 200
10.4.
a) Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 200 m. Kąt przy wierzchołku tego trój-
Ä„
kata, zmierzony z dokładnością 0.01 rad wynosi . Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego
3
terenu?
b) Objętość kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością 1 cm3, wynosi 36Ą cm3. Z jaką w przybliżeniu dokład-
nością można obliczyć średnicę tej kuli?
c) Do szybu puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością 0.1 s. Z jaką w przy-
bliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli czas spadania kamienia wyniósł 4.1 s? Przyjąć
g = 9.8 m/s2.
d) Średnica kuli zmierzona z dokładnością 0.1 mm wynosi 21.7 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można
obliczyć objętość tej kuli?
e) Przekątna sześcianu zmierzona z dokładnością 1 mm wynosi 14.3 cm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością
można obliczyć pole powierzchni całkowitej tego sześcianu?
f) W biegu na 100 m czas mierzy się z dokładnością 0.01 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć
średnią prędkość zawodniczki, jeśli uzyskała ona czas 12.50 s?
10.5*. Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić podane nierówności:
y
a) |arc tg x - arc tg y| |x - y| dla x, y " R; b) ln < y - x dla 1 x < y;
x
x
c) x arcsin x " dla 0 x < 1; d) ex > ex dla x > 1.
1 - x2
Lista 11
11.1. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange a dla podanych funkcji f, punktów x0 oraz n :
1
a) f(x) = x3, x0 = -1, n = 4; b) f(x) = , x0 = 1, n = 2; c) f(x) = sin 2x, x0 = Ä„, n = 3;
x2
1
d) f(x) = e-x, x0 = 0, n = 5; e) f(x) = , x0 = 2, n = 3; f) f(x) = ln x, x0 = e, n = 4.
x
11.2. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji:
x x
a) f(x) = sin ; b) f(x) = ch x; c) f(x) = cos x; d) f(x) = .
3 ex
11.3. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:
Ä„
a) tg x H" x, |x| ; b) cos2 x H" 1 - x2, |x| 0.1;
12
"
x x2 x2 x3
c) 1 + x H" 1 + - , |x| 0.25; d) ln(1 - x) H" -x - - , |x| < 0.1.
2 8 2 3
11.4. Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
"
1
3
a) z dokładnością 10-3; b) 0.997 z dokładnością 10-3;
e
c) ln 1.1 z dokładnością 10-4; d) sin 0.1 z dokładnością 10-5.
9
11.5. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice:
Ä„
ln sin x
ln (2x + 1) x - arc tg x
2
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x" x1 x0
x ln x x2
x10 - 10x + 9 ln cos x
d) lim ; e) lim ; f) lim x arc ctg x;
x1 - 5x + 4 ln cos 3x
x0 x"
x5

x 1
g) lim x ln x; h) lim (Ä„ - x) tg ; i) lim - ctg x ;
x0+ xĄ- 2 x0- x
x
1
2
j) lim (cos x)x ; k) lim arc tg x ; l) lim (1 + x)ln x.
x0 x"
Ä„ x0+
Lista 12
12.1. Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji:
x4 x3 1
a) f(x) = x3 - 30x2 + 225x; b) f(x) = - - x2; c) f(x) = 4x + ;
4 3 x
"
x3
3
d) f(x) = ; e) f(x) = x - 3 x; f) f(x) = xe-3x;
3 - x2
x 1
g) f(x) = x ln2 x; h) f(x) = ; i) f(x) = .
ln x x ln x
12.2*. Uzasadnić tożsamości:
Ä„ 2x
a) arc tg x + arc ctg x = dla x " R; b) arcsin = 2 arc tg x dla x " (-1, 1);
2 1 + x2
Ä„ 1 - x x
c) arc tg x = - arc tg dla x " (-1, "); d) arcsin x = arc tg " dla x " (-1, 1).
4 1 + x
1 - x2
12.3. Znalez
ć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:
1 2x2 - 1
a) f(x) = x3 - 4x2; b) f(x) = x + ; c) f(x) = ;
x x4

"
1
x2
d) f(x) = ; e) f(x) = x - x; f) f(x) = - 5x - 6 ;
x2 - x


g) f(x) = x ln x; h) f(x) = 3x - x3; i) f(x) = 2 arc tg x - ln 1 + x2 .
12.4. Znalez
ć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
1 - x
a) u(x) = 2x3 - 15x2 + 36x, [1, 5]; b) v(x) = arc tg , [0, 1];
1 + x

9
c) w(x) = (x - 3)2e|x|, [-1, 4]; d) z(x) = 1 - - x2 , [-5, 1];

"
3
e) g(x) = x - 2 x, [0, 5]; f) h(x) = 2 sin x + sin 2x, 0, Ä„ .
2
Lista 13
13.1. a) Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie
dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego
platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie  100 000 euro. Do
którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?

Platforma
wiertnicza
10 km

x
Rafineria
16 km
b) Jaka powinna być miara kąta ą przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień
koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?
10
Ä…
r
c) Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m2 blachy potrzeb-
nej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych  30 zł. Jakie powinny być wymiary
kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
d) Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem
jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?
rzeka
a
S
b
e) Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych częściach
była najmniejsza.
13.2. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:

x3
a) f(x) = xe-x; b) f(x) = ; c) f(x) = ln 1 + x2 ;
x2 + 12
1 2 1
d) f(x) = ; e) f(x) = x - x3 - 4 ln |x|; f) f(x) = sin x + sin 2x;
1 - x2 3 8
ln x
"
g) f(x) = earc tg x; h) f(x) = .
x
13.3. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
"
x3 x
a) f(x) = (x - 1)2(x + 2); b) f(x) = ; c) f(x) = ;
x - 1 x - 1

4 4 x
d) f(x) = 3 - - ; e) f(x) = x 1 - x2; f) f(x) = .
x x2 ln x
Lista 14
14.1. Obliczyć podane całki nieoznaczone:

"
"
1 (1 - x) dx x4 dx
3
a) 3 x2 + - 2x x dx; b) " ; c) ;
3
x3 1 - x x2 + 1
"

3
cos 2x dx x3 + x2 - 1 2x - 5x
d) ; e) " dx; f) dx.
cos x - sin x x 10x
14.2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:

" "
x dx
a) xe-3x dx; b) x22x dx; c) x arc tg x dx; d) ;
cos2 x

arccos x dx
e) x2 sin x dx; f) " ; g) ln(x + 1) dx; h) arccos x dx;
x + 1

i) e2x sin x dx; j) sin x sin 3x dx; k) sin 3x cos x dx; l) cos x cos 5x dx.
11
14.3. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone:
"
"

cos x 1 + 4x cos x dx
a) " dx; b) dx; c) (x+1) sin x2 +2x+2 dx; d) " ;
x x
1 + sin x


dx dx
5
e) ; f) (5-3x)10 dx; g) x2 5x3+1 dx; h) " ;
ch x 2 + x

ln x ex dx 5 sin x dx 2
i) dx; j) ; k) ; l) x3ex dx.
x e2x + 1 3-2 cos x
14.4*. Obliczyć całki nieoznaczone:


1
a) (|x| + 1) dx; b) min x, x2 dx; c) - x2 dx; d) e|x| dx.
Lista 15
15.1. Obliczyć podane całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju:

dx dx 5 dx 8 dx
a) ; b) ; c) ; d) .
(x - 3)7 x + 5 (2 - 7x)3 9x + 20
15.2. Obliczyć podane całki z ułamków prostych drugiego rodzaju:

dx (6x + 3) dx (4x + 2) dx
a) ; b) ; c) ;
x2 + 4x + 29 x2 + x + 4 x2 - 10x + 29

(x - 1) dx dx 5 dx
d) ; e*) ; f*) .
9x2 + 6x + 2
(x2 - 4x + 5)2 (x2 + 2)3
15.3. Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:

(x + 2) dx x2 dx dx dx
a) ; b) ; c) ; d) ;
x(x - 2) x + 1 (x - 1)x2 (x2 + 1) (x2 + 4)

(4x + 1) dx (3x - 1) dx dx 2 dx
e) ; f) ; g) ; h) ;
2x2 + x + 1 x2 - x + 1 x2 + 2x + 8 x2 + 6x + 18

(5 - 4x) dx x2 dx x(x + 2) dx dx
i) ; j) ; k) ; l) .
x2 - 4x + 20 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 2 x (x2 + 4)
15.4. Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:

a) sin3 x dx; b) sin4 x cos3 x dx; c) cos4 x dx;

d) sin3 x cos6 x dx; e) cos2 x cos 2x dx; f*) sin2 2x sin2 x dx.
15.5. Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:

dx 1 + tg x dx
a) ; b) dx; c) ;
sin x + tg x cos x 1 + 2 cos2 x

sin2 x dx dx sin5 x dx
d) ; e) ; f) ;
1 + cos x 1 - tg x cos3 x

dx dx dx
g) ; h) ; i) .
cos x sin x + cos x 3 sin x + 4 cos x + 5
12