Praca domowa z analizy matematycznej nr 1 1
Praca domowa z analizy matematycznej nr 1
Zadanie 1. Wykazać, że poniższe formuły rachunku zdań są tautologiami:
a) p (" (q (" r) Ð!Ò! (p (" q) (" r,
b) (p Ò! q) Ð!Ò! (<" q Ò!<" p),
c) [(p '" q) Ò! r] Ð!Ò! [p Ò! (q Ò! r)],
d) [(p (" q) '" (<" p)] Ò! q,
e) [(p (" q) Ò! r] Ò! [(p Ò! r) '" (q Ò! r)].
Zadanie 2. Napisać zaprzeczenie poniższego wyrażenia, po czym przekształcić to
zaprzeczenie tak, by nie było w nim znaku negacji:
a) "x "a "b [(x < a) (" (x > b)],
b) "x "y "a "b [(x < a) '" (y < b)].
Zadanie 3. Zbadać prawdziwość poniższych zdań, w których Ć(a, x), gdzie a, x "
R oznacza funkcjÄ™ zdaniowÄ… ax2 + x - 3 < 0.
a) "a "x (Ć(a, x)),
b) "x "a (Ć(a, x)),
c) "x "a (Ć(a, x)),
d) "a "x (Ć(a, x)),
e) "a "x (Ć(a, x)).
Zadanie 4. Wykazać:
a) (A \ B) \ C = A \ (B *" C),
b) Jeśli A = (A *" B) \ B, to A i B są rozłączne,
c) JeÅ›li A = (A \ B) *" B, to B ‚" A.
Zadanie 5. Dane jest odwzorowanie f: R R określone wzorem f(x) = |x|. Wy-
znaczyć obraz i przeciwobraz zbioru a) [0, 1], b) [-1, 1].
Zadanie 6. Dane jest odwzorowanie f: R R określone wzorem f(x) = sin x.
Wyznaczyć obraz zbioru: a) [0, Ą], b) (0, Ą), c) R, d) {x: x = kĄ, k " Z} i przeciw-
obraz zbioru: e) {0}, f) (-", 1), g) (1, ").
Zadanie 7. Wyznaczyć funkcję odwrotną oraz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
i funkcji odwrotnej:

a) y = log3 1x + 1 ,
2
b) y = -1 + arc cos(x + 5),

1 x
c) y = sin - 1 .
3 3
Praca domowa z analizy matematycznej nr 1 2
Zadanie 8. Obliczyć:
a) sin(2 arc tg 0,75),
"
b) cos(arc tg 2 3),

1 2
c) cos arc sin - arc cos ,
3 3

7Ä„
d) arc tg tg .
8
Zadanie 9. Które z następujących funkcji są różnowartościowe i odwzorowują zbiór
liczb rzeczywistych na zbiór liczb rzeczywistych:
a) y = -2x + 3,
1
b) y = ,
1+x2
c) y = x5 - 1.
Zadanie 10. Dane są funkcje: f(x) = 1 + x oraz g(x) = 1 - x. Obliczyć złożenie
tych funkcji (o ile istnieje) f ć% g, g ć% f.