Praca domowa z analizy matematycznej nr 4
Zadanie 1 Zbadać monotoniczność ciągu (an):
1) an = n - 3
1-3n
2) an =
2
3) an = n2 - n + 1
"
4) an = n + 1
5) an = 1 " 2 " 3 " . . . " n
6) an = (-1)n 2-n
n2
3n+1
7) an =
n+3
1
(3+ )2-32
n
8) an =
1
n
Zadanie 2 Zbadać, czy ciąg o podanym n-tym wyrazie jest ciągiem arytmetycz-
nym i napisać kilka początkowych wyrazów:
1
1) an = (3n - 1)
2
1
2) an = (3n - 1)
6
n
3) an =
n+1
4) an = 4n + 3
"
5) an = 3 + n
1
6) an = (8n - 3)
5
Zadanie 3 Obliczyć sumę wszystkich takich liczb naturalnych, które są mniejsze
od 100 i które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1.
Zadanie 4 Obliczyć sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych niepodziel-
nych przez 3.
Zadanie 5 Ciąg arytmetyczny składa się z 20 wyrazów. Suma wyrazów parzystych
jest równa 250, a suma wyrazów nieparzystych 220. Znalez
ć dwa środkowe wyrazy
ciągu.
Zadanie 6 Pomiędzy liczby 1 i 257 wstawić trzy liczby a, b, c w taki sposób, aby
ciąg (1, a, b, c, 257) był ciągiem arytmetycznym.
Zadanie 7 Rozwiązać równanie:
1
1) 1 + 4 + 7 + . . . + x = 117
2) (x + 1) + (x + 4) + . . . + (x + 28) = 155
x-2
1
3
3) 31 " 32 " 33 " . . . " 3x = (27)
Zadanie 8 Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego wynosi 60.
Suma kwadratów tych wyrazów jest równa 2952. Znalez
ć iloraz tego ciągu.
Zadanie 9 w ciągu geometrycznym a1+a5 = 51 i a2+a6 = 102. Dla jakiej wartości
n suma Sn = 3069.
Zadanie 10 Liczby a i b są pierwiastkami równania x2 - 3x + A = 0, a liczby c
i d są pierwiastkami równania x2 - 12x + B = 0. Ciąg (a, b, c, d) jest rosnącym
ciągiem geometrycznym. Obliczyć AiB.
Zadanie 11 Z czterech liczb trzy pierwsze tworzą ciąg geometrycznym, a trzy
ostatnie - ciąg arytmetyczny. Znalez
ć te liczby, jeżeli wiadamo, z
e suma pierwszej
i ostatniej liczby jest równa 14, a suma liczb środkowych jest równa 12.
1 n-1
Zadanie 12 Wiedząc, że ciąg an = , bn = , obliczyć:
n n+1
1) lim (an + bn)
n"
2) lim (an - bn)
n"
3) lim (an " bn)
n"
an
4) lim
bn
n"
2