Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1 1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Elementy teorii niezawodności
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz. 1
Rozpatrujemy systemy o elementach
E = {e1,e2,e3,...,ei,...,en} zbiór elementów struktury niezawodnościowej
dwustanowych w sensie niezawodności
Xi , Y , Xi,Y = {0,1} zbiory stanów niezawodnościowych elementów i
uszkadzajÄ…cych siÄ™ niezale\
nie
systemu
(podejście klasyczne). Zatem
(n)
strukturalna funkcja niezawodnościowa
R a" f (x) : X1 × ... × Xn Y
systemu ma postać:
n
(n)
f (x) : {0,1} {0,1}
Dla wyra\
eń bulowskich:
a + a = a, a Å" a = a, a(a + b) = a, ab + a = a
Minimalną formułą alternatywną (mfa) funkcji monotonicznej nazywamy formułę alternatywną o najmniejszej
liczbie składników sumy (nieredukowalną)
(4)
f (x) = x2 + x1x4 + x3x4 (mfa)
Minimalną formułą koniunkcyjną (mfk) funkcji monotonicznej nazywamy formułę koniunkcyjną o najmniejszej
liczbie czynników (sum)
(4)
f (x) = (x1 + x2 + x3)(x2 + x4) (mfk)
1. Struktury dualne
Dla ka\
dej struktury monotonicznej (koherentnej) określonej przez f(n)(x) istnieje dualna struktura koherentna
określona przez funkcję monotoniczna f(n)D(x). Wyra\
enie bulowskie, określające funkcję dualną otrzymujemy w ten
sposób, \
e w wyra\
eniu bulowskim, określającym f(n)(x), zamieniamy wszystkie znaki alternatywy na znaki
koniunkcji, a znaki koniunkcji na znaki alternatywy.
Dla funkcji:
(4)
f (x) = x1x2x3 + x2 + (x1 + x3)x4
Funkcja dualna ma postać
(4)
fD (x) = (x1 + x2 + x3)(x2)(x1x3 + x4)
Z definicji wynika, \
e mfa funkcji f(n)D(x) otrzymujemy bezpośrednio z mfk funkcji f(n)(x), a mfk funkcji f(n)D(x)
bezpośrednio z mfa f(n)(x).
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1 2
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
2. Minimalna ście\
ka zdatności
Podzbiór W ‚" E elementów systemu nazywa siÄ™ Å›cie\
ką zdatności, jeśli przy zdatności wszystkich elementów
nale\
ących do W system jest w stanie zdatności niezale\
nie od stanu pozostałych elementów systemu.
Åšcie\
ka zdatności jest minimalną, jeśli nie zawiera \
adnej innej ście\
ki zdatności.
Minimalna formuła alternatywna (mfa) określa jednoznacznie zbiór wszystkich minimalnych ście\
ek zdatności
- ka\
demu składnikowi sumy (iloczynowi) odpowiada wzajemnie jednoznacznie minimalna ście\
ka zdatności.
3. Minimalne cięcie systemu
Podzbiór C ‚" E elementów systemu nazywa siÄ™ ciÄ™ciem (przekrojem), jeÅ›li przy niezdatnoÅ›ci wszystkich elementów
nale\
ących do C system jest w stanie niezdatności niezale\
nie od stanu pozostałych elementów systemu.
Cięcie jest minimalne, jeśli nie zawiera \
adnych innych cięć.
Minimalna formuła koniunkcyjna (mfk) określa jednoznacznie zbiór wszystkich minimalnych cięć - ka\
demu
czynnikowi (sumie) odpowiada wzajemnie jednoznacznie minimalne cięcie.
Zadanie 1:
Załó\
my, \
e strukturalna funkcja niezawodnościowa dla systemu zło\
onego z 5-ciu elementów ma postać:
(5)
f (x) = x1x2x4 + (x1 + x3)(x4 + x5)+ x1x3(x4 + x5)
" Wyznaczyć wszystkie minimalne ście\
ki zdatności
(5)
f (x) = x1x2x4 + x1x4 + x1x5 + x3x4 + x3x5 + x1x3x4 + x1x3x5
(5)
f (x) = x1x4 + x1x5 + x3x4 + x3x5 (mfa)
Jest to minimalna formuła alternatywna, zatem nie mo\
na ju\
jej skrócić.
Wniosek 1: element numer 2 nie ma wpływu na niezawodność systemu.
Minimalnymi ście\
kami zdatności są więc 4 ciągi elementów: 1-4, 1-5, 3-4 oraz 3-5.
4
1
3 5
" Wyznaczyć wszystkie minimalne cięcia systemu,
Wcześniej trzeba utworzyć dualną strukturalną funkcję niezawodnościową:
(5)
f (x) = x1x2x4 + (x1 + x3)(x4 + x5)+ x1x3(x4 + x5)
(5)
fD (x) = (x1 + x2 + x4)(x1x3 + x4x5)(x1 + x3 + x4x5)
(5)
fD (x) = (x1x3 + x1x4x5 + x1x2x3 + x2x4x5 + x1x3x4 + x4x5)(x1 + x3 + x4x5)
(5)
fD (x) = (x1x3 + x4x5)(x1 + x3 + x4x5) = (x1x3 + x1x3 + x1x3x4x5 + x1x4 x5 + x3x4 x5 + x4x5)
(5)
fD (x) = (x1x3 + x4x5)(mfa)
Jest to minimalna formuła alternatywna, z której odczytujemy wszystkie minimalne cięcia systemu:
1-3, 4-5, co mo\
na łatwo zilustrować w schemacie niezawodnościowym (linie przerywane).
" Dokonać analizy wra\
liwości systemu rozumianej jako zbadanie wpływu niezawodności poszczególnych
elementów na niezawodność całego systemu.
Wniosek 2: widać, \
e niezawodność wszystkich elementów: 1,3,4 i 5 ma jednakowy wpływ na niezawodność
systemu.
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1 3
Elementy teorii niezawodności
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
4. Elementarne struktury niezawodnościowe  s. szeregowa (elementy nieodnawia
Elementarne struktury niezawodno (elementy nieodnawialne proste)
Niezdatność dowolnego elementu struktury powoduje niezdatno całego systemu.
dowolnego elementu struktury powoduje niezdatność całego systemu
n
n
(n)
(n)
f (x) =
=
fD (x) =
"xi
"x
i
i=1 i=1
Niech oznacza czas zdatności elementu i oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
oznacza czas zdatności elementu i-tego, natomiast oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
Rs(t) = P{Ts e" t}= P{min{T1,T2,...,Tn}e" t}
min
Dla struktury szeregowej system będzie sprawny gdy wszystkie elementy b sprawne.
ędzie sprawny gdy wszystkie elementy będą sprawne.
n n
P{min{T1, T2 ,...,Tn}e" t}= P{T1 e" t, T2 e" t,...,Tn e" t}= e" t}= (t) = R (t)
T }
"P{Ti "R i S
i=1 i=1
5. Elementarne struktury niezawodnościowe  s. równoległa (elementy nieodnawialne proste)
Elementarne struktury niezawodno równoległa (elementy nieodnawialne proste)
Zdatność dowolnego całego systemu.
dowolnego elementu struktury powoduje zdatność całego systemu
n
n
(n)
(n)
f (x) =
=
fD (x) =
"xi
"xi
i=1 i=1
Niech oznacza czas zdatności elementu i oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
oznacza czas zdatności elementu i-tego, natomiast oznacza czas zdatności systemu. Wtedy mamy
Fs(t) = P{Ts)#t}= P{max{T1,T2,...,Tn})#t}
max
Dla struktury równoległej system będzie niesprawnysprawny gdy wszystkie elementy b
ędzie sprawny gdy wszystkie elementy będą niesprawne.
n n
{T
P{max{T1, T2 ,...,Tn})#t}= P{T1)#t, T2 )#t,...,Tn )#t}= )#t}= (t) = FS (t)
"P{Ti "Fi
"
i=1 i=1
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1 4
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Zadanie 2:
Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, \
e w chwili t system jest w stanie zdatności. Elementy systemu są
identyczne, nieodnawialne o rozkładzie czasu do uszkodzenia wykładniczym z parametrem a.
Struktura niezawodnościowa systemu zło\
onego z 7-miu elementów ma postać:
3
1
Zatem:
7
Fi (t) = F(t) =1- e-at ,t e" 0
oraz
2
4
Ri (t) = R(t) = e-at ,t e" 0
5
6
System jest nieodnawialny, poniewa\
:
" system jest nieodnawialny, jeśli istnieje chocia\
by jedno minimalne cięcie zło\
one z elementów nieodnawialnych,
" system jest odnawialny, jeśli istnieje chocia\
by jedna minimalna ście\
ka zdatności zło\
ona z elementów
odnawialnych.
Szukamy zatem Rs(t)=?
Pamiętając o zało\
eniu o wykładniczych czasach do uszkodzenia się elementu obliczmy równania od ostatniego do
pierwszego:
2
FV (t) = F3 (t) Å" F4 (t) = (1 - e-at )(1 - e-at )= (1 - e-at ) =1 - 2e-at + e-2at
2
FIV (t) = F1(t) Å" F2 (t) = (1 - e-at )(1 - e-at )= (1 - e-at ) =1 - 2e-at + e-2at
2
RII (t) = RIV (t)Å" RV (t) = (2e-at - e-2at)(2e-at - e-2at)= (2e-at - e-2at) = 4e-2at - 4e-3at + e-4at
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 5: Niezawodność systemów cz.1 5
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
RIII (t) = R5(t) Å" R6(t) = e-at Å"e-at = e-2at
FI (t) = FII (t) Å" FIII (t) = (1- 4e-2at + 4e-3at - e-4at)(1- e-2at)=
= 1- 4e-2at + 4e-3at - e-4at - e-2at + 4e-4at - 4e-5at + e-6at =
= 1- 5e-2at + 4e-3at + 3e-4at - 4e-5at + e-6at
Rs (t) = R7 (t) Å" RI (t) = e-at Å"(5e-2at - 4e-3at - 3e-4at + 4e-5at - e-6at)=
= 5e-3at - 4e-4at - 3e-5at + 4e-6at - e-7at
Otrzymaliśmy postać funkcji Rs(t):
Rs (t) = 5e-3at - 4e-4at - 3e-5at + 4e-6at - e-7at
Jak sprawdzić, czy nie popełniliśmy pomyłki w obliczeniach? To proste zadanie.
Rs(0)=1 oraz e-at= e0=1, zatem:
Rs (t = 0) = 5e-3at - 4e-4at - 3e-5at + 4e-6at - e-7at = 5e0 - 4e0 - 3e0 + 4e0 - e0 = 5 - 4 - 3 + 4 -1 =1Wystarczy
sprawdzić więc, czy suma współczynników jest równa jeden. Gdybyśmy popełnili gdzieś jedną lub więcej pomyłek,
to na pewno wynik nie byłby równy jeden.
Uwaga: nie widać ju\
we wzorze struktury systemu, mo\
na zatem system traktować jako pojedynczy element prosty
nieodnawialny o funkcji niezawodności Rs(t).
Wiec, na przykład:
" wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e system (obiekt nieodnawialny prosty) uszkodzi siÄ™ do chwili t
Fs (t) =1- Rs (t) =1- 5e-3at + 4e-4at + 3e-5at - 4e-6at + e-7at
" wyznaczyć oczekiwany czas do uszkodzenia systemu
" "
E{Ts}= Rs (t)dt = [5e-3at - 4e-4at - 3e-5at + 4e-6at - e-7at]dt =
+" +"
0 0
" " " " "
-3at -4at -5at -6at -7at
= 5 dt - 4 dt - 3 dt + 4 dt - dt
+"e +"e +"e +"e +"e
0 0 0 0 0
pamiętamy, \
e
"
"
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
-nat
+"e dt = ðÅ‚ na e-nat ûÅ‚0 = 0 - ìÅ‚ - na e0 ÷Å‚ = na
ïÅ‚- śł
íÅ‚ Å‚Å‚
0
wiec otrzymujemy:
" " " " "
5 4 3 4 1
-3at -4at -5at -6at -7at
E{Ts}= 5 dt - 4 dt - 3 dt + 4 dt - dt = - - + -
+"e +"e +"e +"e +"e
zatem
3a 4a 5a 6a 7a
0 0 0 0 0
1 5 4 3 4 1 1 2 3 2 1 0,59
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚
E{Ts}= - - + - ÷Å‚ ìÅ‚ -1- + - ÷Å‚
= E"
ìÅ‚
a 3 4 5 6 7 a 3 5 3 7 a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Mo\
na wyliczyć inne charakterystyki typowe dla obiektów prostych nieodnawialnych przyjmując, \
e jego funkcja
niezawodnoÅ›ci jest równa Rs(t), na przykÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwo braku uszkodzenia w przedziale (t,t+Ä), ale nie
ma na to czasu.
Uwaga: warto dodać studentom, \
e w następnym ćwiczeniu będziemy analizowali ten sam przykład, jednak
zało\
ymy, ze pewne elementy będą odnawialne, przez co system stanie się odnawialnym. Powinni więc oni
przykład z tych ćwiczeń dobrze przeanalizować.
Michał Kapałka
[e-mail]