Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Ćwiczenia nr 3. Redundancja układowa, aktywna
1. Redundancja aktywna
Rezerwowanie aktywne  elementy rezerwowe są włączane do systemu dopiero w
przypadku awarii elementów podstawowych. Taki sposób rezerwowania wymaga
zastosowania w systemie układu kontrolno przełączającego (przełącznika). Zadaniem takiego
układu jest stałe śledzenie stanu elementu roboczego i elementów rezerwowych oraz
włączanie zdatnego elementu rezerwowego zamiast elementu roboczego po jego uszkodzeniu.
Przełącznik charakteryzują następujące parametry:
Ä - czas przeÅ‚Ä…czania
p
Pp - prawdopodobieństwo wykonania poprawnego przełączenia
Rp(t) - prawdopodobieństwo zdatności przełącznika w chwili t
W analizie niezawodności systemów z rezerwowaniem aktywnym rozpatruje się dwa rodzaje
przełączników:
" idealny, dla którego Ä = 0 , Pp = 1, Rp (t) = 1
p
" rzeczywisty, dla którego Ä e" 0 , Pp d" 1, Rp (t) d" 1
p
2. Miara redundancji
Aby móc ocenić zysk wynikający z zastosowanej redundancji układowej trzeba mieć
mo\
liwość porównania niezawodności systemu z redundancją z niezawodnością systemu
podstawowego (bez elementów rezerwowych).
Wprowadza się pojęcie miary redundancji strukturalnej (zysk z rezerwowania), która to
miara jest ściśle związana ze wskaz
nikiem niezawodności, jaki jest w danym momencie
rozwa\
any:
w*(t)
·w(t ) =
w(t)
gdzie,
" w(t) - rozwa\
any wskaz
nik niezawodności,
przy czym
" w(t)  jest rozwa\
anym wskaz
nikiem dla systemu z jego podstawowymi elementami
(bez nadmiarowych),
" w*(t)  jest rozwa\
anym wskaz
nikiem dla systemu z uwzględnieniem elementów
nadmiarowych.
Jako wskaz
nik niezawodności mo\
e słu\
yć, np. funkcja niezawodności R(t).
Arkadiusz Wrzosk
1
[e-mail]
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Zadanie 1
Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, aktywną zło\
onÄ… z
elementów identycznych, nieodnawialnych o wykładniczym rozkładzie czasu do uszkodzenia
z parametrem a. Zakładamy, \
e przełącznik jest idealny. Schemat blokowy struktury
niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.
Element 2 stanowiÄ… redundancjÄ™ aktywnÄ… dla element 1.
Zatem
Fi (t) = F(t) = 1- e-at
Ri (t) = R(t) = e-at
PrzeÅ‚Ä…cznik idealny, wiÄ™c Ä = 0 , P = 1, R (t) = 1
p p p
Wyznaczyć zysk z redundancji dla wskaz
ników R(t) i E{T}.
Miara redundancji strukturalnej dla wskaz
nika R(t) jest postaci
*
RS (t)
·R(t)(t) =
RS (t)
Funkcja niezawodności systemu podstawowego wyra\
a się następująco
RS (t) = R1(t) = 1- F1(t) = e-at
*
Funkcja niezawodności systemu z redundancją RS (t) = ?
W przypadku redundancji aktywnej, czas do uszkodzenia systemu definiujemy jako sumÄ™
zmiennych losowych: czasu do uszkodzenia elementu podstawowego i czasu do uszkodzenia
elementu rezerwowego.
A więc
*
RS (t) = P(Ts* e" t) = P(T1 + T2 e" t)
System jest w chwili t w stanie zdatności jeśli:
- element podstawowy jest w stanie zdatności
- element podstawowy jest niezdatny, a element rezerwowy jest w stanie zdatności
Zbiór &! przedstawiono na rysunku. Interesują nas zaznaczone zdarzenia.
Arkadiusz Wrzosk
2
[e-mail]
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Zdarzenia:
- element podstawowy jest w stanie zdatności
- element podstawowy jest niezdatny
są rozłączne (wykluczające się), więc
*
RS (t) = P(T1 e" t) + P(T1 < t,T1 + T2 e" t)
Prawdopodobieństwo P(T1 e" t) = R1(t)
Natomiast dla prawdopodobieństwa P(T1 < t,T1 + T2 e" t) musimy zliczyć zdarzenia w zbiorze
&! (zaznaczona ćwiartka). Zbiór jest nieprzeliczalny dlatego wykorzystujemy całkę. Załó\
my,
\
e element podstawowy uszkodzi siÄ™ w chwili u.
Interesuje nas iloczyn prawdopodobieństwa:
- element pierwszy uszkodzi siÄ™ w chwili u  f1(u)
- element rezerwowy musi działać w przedziale (u,t)  R2(t - u)
t
*
RS (t) = P(T1 e" t) + P(T1 < t,T1 + T2 e" t) = R1(t) + (t - u) f1(u)du =
2
+"R
0
t t t
-a(t-u) -a(t-u)-au -at+au-au
= e-at + ae-audu = e-at + a
+"e +"e du = e-at + a+"e du =
0 0 0
t t
-at
= e-at + a du = e-at + ae-at = e-at + ae-at[u]t = e-at + ate-at = e-at (1+ at)
0
+"e +"1du
0 0
Sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach
*
RS (0) = e0(1+ 0) = 1
A więc zysk z redundancji dla wskaz
nika R(t) wynosi
*
RS (t) e-at (1+ at)
·R(t )(t) = = = 1+ at
RS (t) e-at
Wartość miary redundancji strukturalnej w chwili t=0 przyjmuje wartość 1 (·R(t)(0) = 1).
Mo\
emy w prosty sposób sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach.
·R(t )(0) = 1+ a Å" 0 = 1
Natomiast dla t " otrzymujemy
·R(t )(") = "
Wniosek. Szczególny przypadek dla rozkładu wykładniczego.
Arkadiusz Wrzosk
3
[e-mail]
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Miara redundancji strukturalnej dla wskaz
nika E{T} jest postaci
E*{TS}
·E{T } =
E{TS}
Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu bez redundancji
"
" "
1 1
îÅ‚
-at
E{Ts} = Rs(t)dt = dt = e-at Å‚Å‚ =
+" +"e ðÅ‚ a ûÅ‚0 a
ïÅ‚- śł
0 0
Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu z redundancją
" " " "
* -at -at -at
E*{Ts} = (t)dt = + ate-at )dt = dt + dt
S
+"R +"(e +"e +"ate
0 0 0 0
Całkowanie przez części
b
Całka postaci: f (x)g(x)dx
+"
a
Jeśli potrafimy znalez
ć takie h(x), \
e h (x)=f(x), to mo\
emy przekształcić tę całkę do postaci:
b b
-
a
+"h'(x)g(x)dx = [h(x)g(x)]b +"h(x)g'(x)dx
a a
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 "
-at -at -at -at
E*{Ts} = dt + dt = - [e-att]
0
+"e +"ate +"t(-ae )dt = - ìÅ‚ - +"e dt ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
a a
0 0 0 íÅ‚ 0 Å‚Å‚
"
[e-att] = lim(e-att) - 0
0
t "
1
ëÅ‚ -a öÅ‚
z
ìÅ‚ ÷Å‚
1 e
Podstawiamy t = , otrzymujemy lim(e-att) = limìÅ‚ ÷Å‚
t " z0
z z
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1
1 ln
-a
1 1 1
k
z
Podstawiamy e = , więc = - . Z kolei k = .
a
-
k z a
z
e
a
Poniewa\
lim = " , więc k "
b0+
b
Podstawiając do równania otrzymujemy
1 1
ëÅ‚ -a öÅ‚
ln
z
ìÅ‚ ÷Å‚
e 1
k
lim(e-att) = limìÅ‚ ÷Å‚ = lim- = = 0
t " z 0 k "
z a Å" k "
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Arkadiusz Wrzosk
4
[e-mail]
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
"
ëÅ‚ öÅ‚
1 " 1 1 2
ëÅ‚0 öÅ‚
-at
ìÅ‚
E*{Ts} = - [e-att] - dt = - ìÅ‚ - ÷Å‚
0
+"e ÷Å‚ íÅ‚ a Å‚Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
a a a
íÅ‚ 0 Å‚Å‚
A więc zysk z redundancji dla wskaz
nika E{T} wynosi
2
E*{TS} 2 a
a
·E{T} = = = = 2
1
E{TS} a 1
a
Wniosek. Zatem mamy dwukrotny wzrost wartości wskaz
nika niezawodności E{T} dla
dostatecznie du\
ych t.
Zadanie 2
Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, aktywną zło\
onÄ… z
elementów ró\
nych, nieodnawialnych. Zakładamy, \
e przełącznik jest idealny. Schemat
blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.
Element 2 stanowiÄ… redundancjÄ™ aktywnÄ… dla element 1.
Rozkład czasu do uszkodzenia elementów:
F1(t) = 1- e-at
F2(t) = 1- e-bt
PrzeÅ‚Ä…cznik idealny, wiÄ™c Ä = 0 , P = 1, R (t) = 1
p p p
Wyznaczyć zysk z redundancji dla wskaz
ników R(t) .
Miara redundancji strukturalnej dla wskaz
nika R(t) jest postaci
*
RS (t)
·R(t)(t) =
RS (t)
Funkcja niezawodności systemu podstawowego wyra\
a się następująco
RS (t) = R1(t) = 1- F1(t) = e-at
Funkcja niezawodności systemu z redundancją
t t
dF1(u)
*
RS (t) = P(T1 e" t) + P(T1 < t,T1 + T2 e" t) = R1(t) + (t - u)dF1(u)du = R1(t) + (t - u) du =
2 2
+"R +"R
du
0 0
t t t t
-b(t-u) -b(t-u)-au -bt+bu-au
= R1(t) + (t - u) f1(u)du = e-at + ae-audu = e-at + a
2
+"R +"e +"e du = e-at + a+"e du =
0 0 0 0
t
t
îÅ‚ 1 Å‚Å‚ 1
= e-at + ae-bt -(a-b)udu = e-at + ae-bt ïÅ‚ e-(a-b)u śł = e-at + ae-bt (e-(a-b)t -1)=
+"e
b - a
ðÅ‚- (a + b) ûÅ‚0
0
Arkadiusz Wrzosk
5
[e-mail]
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
a a a
= e-at + (e-bte-(a-b)t - e-bt)= e-at + (e-bt-at+bt - e-bt)= e-at + (e-at - e-bt)
b - a b - a b - a
Sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach
a
*
RS (0) = e0 + (e0 - e0) = 1+ 0 = 1
b - a
A więc zysk z redundancji dla wskaz
nika R(t) wynosi
a
e-at + (e-at - e-bt)
*
RS (t) a a
b - a
·R(t )(t) = = = 1+ - e-(b-a)t
RS (t) e-at b - a b - a
Wartość miary redundancji strukturalnej w chwili t=0 przyjmuje wartość 1 (·R(t)(0) = 1).
Mo\
emy w prosty sposób sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach.
a a
·R(t )(0) = 1+ - e0 = 1
b - a b - a
Natomiast dla t " otrzymujemy
a a a b
·R(t )(") = 1+ - Å" 0 = 1+ =
b - a b - a b - a b - a
Zadanie 3
Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, aktywną zło\
onÄ… z
elementów ró\
nych, nieodnawialnych. Zakładamy, \
e przełącznik jest rzeczywisty. Schemat
blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.
Element 2 stanowiÄ… redundancjÄ™ aktywnÄ… dla element 1.
Rozkład czasu do uszkodzenia elementów:
F1(t) = 1- e-at
Å„Å‚
1- e-bt,t < u
F2(t) =
òÅ‚
,t
ół1- e-ct e" u
PrzeÅ‚Ä…cznik rzeczywisty,Ä = 0 , Pp = p , F (t) = 1- e-t
p p
Wyznaczyć zysk z redundancji dla wskaz
ników R(t) i E{T}.
Miara redundancji strukturalnej dla wskaz
nika R(t) jest postaci
*
RS (t)
·R(t)(t) =
RS (t)
Arkadiusz Wrzosk
6
[e-mail]
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Funkcja niezawodności systemu podstawowego wyra\
a się następująco
RS (t) = R1(t) = 1- F1(t) = e-at
*
Funkcja niezawodności systemu z redundancją RS (t) = ?
Pamiętając o rozwa\
aniach w zadaniu 1, w przypadku przełącznika rzeczywistego, w definicji
czasu do uszkodzenia systemu musimy dodatkowo uwzględnić to, czy:
- przełącznik działa w chwili przełączenia u (Tp > u )
- przełączenie zakończyło się sukcesem - p
*
RS (t) = P(T1 e" t) + P(T1 < t,Tp > u, p,T1 + T2 e" t)
Prawdopodobieństwo P(T1 e" t) = R1(t)
Natomiast dla prawdopodobieństwa P(T1 < t,Tp > u, p,T1 + T2 e" t) musimy zliczyć
odpowiednie zdarzenia w zbiorze &!. Zbiór jest nieprzeliczalny dlatego wykorzystujemy
całkę. Załó\
my, \
e element podstawowy uszkodzi siÄ™ w chwili u.
Interesuje nas iloczyn prawdopodobieństwa:
- element pierwszy uszkodzi siÄ™ w chwili u  f1(u)
- element rezerwowy dotrwa do chwili u  R2(u)
- element rezerwowy musi działać w przedziale (u,t) - R2(t - u)
- przełącznik dotrwa do chwili u - Rp (u)
- przełączenie zakończy się sukcesem - p
t
*
RS (t) = P(T1 e" t) + P(T1 < t,Tp > u, p,T1 + T2 e" t) = R1(t) + (u) pRp(u)R2(t - u) f1(u)du =
2
+"R
0
t t t
-bu -(b+-c+a)u
= e-at + pe-ue-c(t-u)ae-audu = e-at + ap e-ctdu = e-at + ape-ct -(b+-c+a)udu =
+"e +"e +"e
0 0 0
t
îÅ‚ 1 Å‚Å‚ ape-ct t
= e-at + ape-ct ïÅ‚ e-(b+-c+a)u śł = e-at - [e-(b+-c+a)u] =
0
(b +  - c + a)
ðÅ‚- (b +  - c + a) ûÅ‚0
ape-ct ap
= e-at - (e-(b+-c+a)t -1) = e-at - (e-(b++a)t - e-ct )
(b +  - c + a) (b +  - c + a)
Sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach
ap
*
RS (0) = e0 - (e0 - e0) = 1
(b +  - c + a)
A więc zysk z redundancji dla wskaz
nika R(t) wynosi
ap
e-at - (e-(b+ + a)t - e-ct )
*
RS (t) (b +  - c + a) ap
·R(t )(t) = = = 1- (e-(b+ )t - e-(c-a)t )
RS (t) e-at (b +  - c + a)
Arkadiusz Wrzosk
7
[e-mail]
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Wartość miary redundancji strukturalnej w chwili t=0 przyjmuje wartość 1 (·R(t)(0) = 1).
Mo\
emy w prosty sposób sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach.
ap
·R(t )(0) = 1- (e0 - e0) = 1
(b +  - c + a)
Zysk z redundancji dla wskaz
nika E{T} wynosi
1 ap ëÅ‚ 1 1 öÅ‚
+ ìÅ‚ + ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
E*{TS} a (b +  - c + a) (b +  + a) c
íÅ‚ Å‚Å‚
·E{T } = =
1
E{TS}
a
Arkadiusz Wrzosk
8
[e-mail]