Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Elementy teorii niezawodności
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z
zerowym czasem odnowy
Jedynymi istotnymi zdarzeniami w
eksploatacji obiektu prostego odnawialnego
z zerowa odnową są chwile uszkodzeń, które
przy zerowej odnowie, są jednocześnie
chwilami odnów.
Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia dla strumienia ogólnego:
 rozkład gamma z parametrami a, b
a
t t
1 1 b
ëÅ‚ öÅ‚
a-1
F1 (t) = ba xa-1e-bx dx = ba x e-bx dx, f1* (s) =
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
“(a) “(a) b + s
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
, & -rozkład Erlanga 2 rzędu z parametrem
2
i i
n-1 1
(t) (t) 
ëÅ‚ öÅ‚
*
F(t) = 1- e-t =1- e-t = 1- e-t - te-t , f (s) =
ìÅ‚ ÷Å‚
" "
i! i!  + s
íÅ‚ Å‚Å‚
i=0 i=0
Strumienie odnów
Proste Ogólne
Wszystkie zmienne losowe , , & mają identyczne Wszystkie zmienne losowe oprócz mają identyczne
rozkłady określone: rozkłady jak w strumieniu prostym, ma inny rozkład
określony:
" dystrybuantÄ… ,
" dystrybuantÄ… ,
" gęstością ,
" gęstością ,
" transformatÄ… Laplace a ,
" transformatÄ… Laplace a ,
" wartością oczekiwaną ,
" wartością oczekiwaną ,
" odchyleniem standardowym .
" odchyleniem standardowym .
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 2
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Miary niezawodnościowe
1. Czas do r-tej odnowy
- zmienna losowa dla której:
Dystrybuanta:
Transformata Laplace a funkcji :
"
Gęstość :
"
Dla strumienia prostego
Dla strumienia ogólnego
Dla " zmienna losowa dÄ…\
y do rozkÅ‚adu normalnego · , ·
"
" Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e 7-me uszkodzenie wystÄ…pi po chwili
6
a a 12
ëÅ‚ëÅ‚  öÅ‚2 öÅ‚
1 6 1 b 1 b 
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
* *
ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
P(S7 e" t1) =1- K7(t1), K*(s) = f (s)(f (s)) = =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
7 1
ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚
s s b + s  + s s b + s  + s
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
" Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie co najmniej 5 napraw
4
a a 8
ëÅ‚ëÅ‚  öÅ‚2 öÅ‚
1 4 1 b 1 b 
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
* *
ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
P(S5 < t2) = K5(t2), K*(s) = f (s)(f (s)) = =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
5 1
ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚
s s b + s  + s s b + s  + s
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2. Proces stochastyczny - liczba odnowień do chwili t
1
1
Dla " proces dÄ…\
y do
·
"
,
" Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie dokładnie 8 uszkodzeń
P(N(t3) = 8) = K8(t3) - K9(t3),
7 8
a a 14 a a 16
ëÅ‚ëÅ‚  öÅ‚2 öÅ‚ ëÅ‚ëÅ‚  öÅ‚2 öÅ‚
1 b 1 b  1 b 1 b 
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚ ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
K*(s) = = K*(s) = =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
8 9
ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚ ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚
s b + s  + s s b + s  + s s b + s  + s s b + s  + s
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 3
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
3. Funkcja odnowy - oczekiwana liczba odnowień do chwili t
Równanie odnowy: ·
Dla strumienia prostego Dla strumienia ogólnego
1 1
1 1
4. Gęstość odnowy
Dla strumienia prostego Dla strumienia ogólnego
1 1
" Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili
a
b
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
*
f (s)
1 1 1 b + s
* íÅ‚ Å‚Å‚
H (t4) = ?, H (s) = =
* 2
s 1 - f (s) s

ëÅ‚ öÅ‚
1 - ìÅ‚ ÷Å‚
 + s
íÅ‚ Å‚Å‚
" Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu ,
?
Jak w poprzednim punkcie.
5. Miary graniczne dla "
1
lim ; ż :
Tw. Blackwella
" Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale ,
a
lim(H (t8) - H (t7 ))= , Åš .

t7"
Åš
t8 - t7 
lim(H (t8) - H (t7 ))= = (t8 - t7)
t7"
2
2

" Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili
t
lim H (t) =
t"
Åš
2
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 4
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
" Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili
t à t
"
N (t) N (m,à '), gdzie m = , à '= , pamiętamy, \
e dla rozkÅ‚adu Erlanga Ã
3

t"
Åš
Åš2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ëÅ‚
÷Å‚
ëÅ‚
à t10 öÅ‚ ìÅ‚ t10 öÅ‚
t10  t10
÷Å‚

÷Å‚
zatem N(t10) dÄ…\
y do rozkÅ‚adu NìÅ‚ , = NìÅ‚ t10, t10 ÷Å‚ = NìÅ‚ ,
3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Åš 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚2 ÷Å‚ íÅ‚
íÅ‚ Åš2 Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚

íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
" Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie co najmniej 50
uszkodzeń
P(S50 < t11) = K50 (t11) E" Fnormalny (t11)
ëÅ‚100 100 öÅ‚
÷Å‚
50 · , · 50 , N(m,à ')= N(50Åš,à 50)= NìÅ‚ ,
"
ìÅ‚ ÷Å‚
 
íÅ‚ Å‚Å‚
" Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie mniej ni\
100 napraw
P(S100 e" t12 ) = 1- K100 (t12) E" 1- Fnormalny (t12)
ëÅ‚ öÅ‚
200 10 2
÷Å‚
100 · , · 100 N(m,à ')= N(100Åš,à 100)= NìÅ‚ ,
"
ìÅ‚ ÷Å‚
 
íÅ‚ Å‚Å‚
6. Prawdopodobieństwo , braku uszkodzenia w przedziale ,
,
Tw. Smitha
Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale ,
, 1
" Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e w przedziale (t13,t14) nie będzie uszkodzeń
t13
P(t13,t14 ) = 1- F1(t14 ) + F(t14 -Ä )]h(Ä )dÄ
+"[1-
0
a
b
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b + s
íÅ‚ Å‚Å‚
h(t) wyznaczamy z formuły h*(s) = , zatem h(t)=, więc
2

ëÅ‚ öÅ‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
 + s
íÅ‚ Å‚Å‚
t14 t13
- (t14 -Ä )
1
14
P(t14,t13) = 1- ba xa-1e-bxdx + [e-(t -Ä ) + (t14 -Ä )e ]h(Ä )dÄ
+" +"
“(a)
0 0
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 5
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
" Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, \
e w przedziale czasu (t15,t16) nie będzie
uszkodzeń
ze wzoru
1
" "
1  2 " -t
-t -t
mamy P(t16 - t15 ) =
+"e + te-t dt = 2 +"e dt + 2 +"te dt
¸
t16 -t15 t16 -t15 t16 -t15
Uwaga:
1
7. Pozostały czas zdatności , jeśli od ostatniej odnowy minął czas t
,
,
Dla du\
ych t:
1
2 2
Michał Kapałka
[e-mail]