Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Elementy teorii niezawodności
Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz. 3
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:
Jeśli mamy do czynienia z koniecznością obliczenia prawdopodobieństwa złożonego zdarzenia A (P(A)=?) oraz
istnieją zdarzenia: B1, B2, B3,& , Bn spełniające
B1 )" B2 )" B3 )"...)" Bn = ", B1 *" B2 *" B3 *"...*" Bn = &!
(&! jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych, natomiast zdarzenia: B1, B2, B3,& , Bn nazywamy w takim
przypadku pełną grupą zdarzeń)
to wtedy
P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + P(A/ B3)P(B3) + ...+ P(A/ Bn)P(Bn)
Zadanie 1:
Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w chwili t system jest w stanie zdatności. Elementy systemu są
identyczne, nieodnawialne o czasie poprawnej pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a.
Struktura niezawodnościowa systemu złożonego z 5-ciu elementów ma postać:
2
1
Zatem:
Fi (t) = F(t) = 1- e-at ,t e" 0
5
Ri (t) = R(t) = e-at,t e" 0
3 4
System jest nieodnawialny, ponieważ:
" wszystkie minimalne ciecia systemu złożone są z elementów nieodnawialnych
Szukamy zatem Rs(t).
Podstawową trudność w rozwiązaniu tego zadania stanowi to, że system nie stanowi struktury szeregowo-
równoległej lub równoległo-szeregowej. Element numer 5 nie pozwala na stwierdzenie, czy z punktu widzenia
wejścia-wyjścia na najwyższym poziomie abstrakcji jest to system szeregowy lub równoległy.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym pozwala na dekompozycję obliczeń prawdopodobieństw złożonych
zdarzeń.
W naszym przypadku przyjmijmy, że:
A1={system jest w stanie zdatności w chwili t},
B1={element 5 jest w chwili t w stanie zdatności},
B2={element 5 jest w chwili t w stanie niezdatności}.
Zdarzenia B1 i B2 spełniają warunki: B1*" B2=&! i B1)" B2=", zatem stanowią pełną grupę zdarzeń.
Teraz mamy:
Rs (t) = P(Ts e" t) = P(Ts e" t /T5 e" t)P(T5 e" t) + P(Ts e" t /T5 d" t)P(T5 d" t)
gdzie
Ts  jest czasem do awarii systemu,
Ti  jest czasem do awarii elementu i-tego, i=1,& ,5.
Zauważmy, że jeśli w chwili t element numer 5 jest w stanie zdatności, to w tej chwili stanowi on gwarantowany
przepływ w schemacie przez miejsce, w którym jest umiejscowiony. Możemy zatem w schemacie blokowym
niezawodnościowym zastąpić go (dla rozpatrywanej chwili t i wcześniej, ponieważ mamy do czynienia z elementami
nieodnawialnymi) linią łączącą punkty, z którymi był dotychczas połączony (Rysunek 1).
Zauważmy również, że jeśli w chwili t element numer 5 nie jest w stanie zdatności, to w tej chwili stanowi on przerwę
przepływu w schemacie przez miejsce, w którym jest umiejscowiony. Możemy zatem w schemacie blokowym
niezawodnościowym usunąć go (dla rozpatrywanej chwili t) pozostawiając przerwę miedzy punktami, z którymi był
dotychczas połączony (Rysunek 2).
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 2
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
2
1 1 2
3 4 3 4
Rysunek 1: schemat niezawodnościowy dla systemu Rysunek 2: schemat niezawodnościowy dla systemu
dla chwili t, gdy (T5e"t)
dla chwili t, gdy (T5d"t)
Rozpatrzmy teraz poszczególne elementy wyznaczanej formuły:
Rs (t) = P(Ts e" t) = P(Ts e" t /T5 e" t)P(T5 e" t) + P(Ts e" t /T5 d" t)P(T5 d" t)
Dla systemu z rysunku 1 Dla systemu z rysunku 2
P(T5 e" t) = R5(t) = e-at P(T5 d" t) = F5(t) =1- e-at
1 2
P(Ts e" t /T5 e" t)= Rs (t) P(Ts e" t /T5 d" t)= Rs (t)
1 2
Rs (t) jest funkcją niezawodności systemu: Rs (t) jest funkcją niezawodności systemu:
1 2
1 2
I
I II
II
3 4
3 4
System ma strukturę szeregową złożoną z podsystemu I i System ma strukturę równoległą złożoną z podsystemu I
podsystemu II, więc: i podsystemu II, więc:
1
Rs (t) = RI (t) Å" RII (t) Fs2(t) = FI (t) Å" FII (t)
Z kolei podsystem I ma strukturę równoległą elementów Z kolei podsystem I ma strukturę szeregową elementów
1 i 3, zatem: 1 i 2, zatem:
FI (t) = F1(t)Å" F3(t) = (1- e-at )2 =1- 2e-at + e-2at RI (t) = R1(t) Å" R2(t) = e-at Å"e-at = e-2at
Podsystem II ma strukturę szeregową elementów 3 i 4,
Podsystem II ma strukturę równoległą elementów 2 i 4,
zatem:
zatem:
RII (t) = R3(t) Å" R4(t) = e-at Å" e-at = e-2at
FII (t) = F2(t) Å" F4(t) = (1- e-at )2 =1- 2e-at + e-2at
Otrzymujemy zatem: Więc dalej:
2
1
Fs1(t) = FI (t) Å" FII (t) = (1- e-2at )2 =1- 2e-2at + e-4at
Rs (t) = RI (t) Å" RII (t) = (2e-at - e-2at) = 4e-2at - 4e-3at + e-4at
Otrzymujemy:
2
Rs (t) =1- Fs2(t) = 2e-2at - e-4at
Ostatecznie otrzymujemy:
Rs (t) = P(Ts e" t) = P(Ts e" t /T5 e" t)P(T5 e" t) + P(Ts e" t /T5 d" t)P(T5 d" t) =
Rs (t) = P(Ts e" t) = (2e-2at - e-4at ) Å" e-at + (4e-2at - 4e-3at + e-4at )(1- e-at ) =
Rs (t) = 2e-3at - e-5at + 4e-2at - 4e-3at + e-4at - 4e-3at + 4e-4at - e-5at =
Rs (t) = 4e-2at - 6e-3at + 5e-4at - 2e-5at
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 3
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Można zatem system traktować jako pojedynczy element prosty nieodnawialny o funkcji niezawodności Rs(t).
Można więc, na przykład:
" wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że system (obiekt nieodnawialny prosty) uszkodzi się do chwili t
Fs (t) =1- Rs (t) =1- 4e-2at + 6e-3at - 5e-4at + 2e-5at
" wyznaczyć oczekiwany czas do uszkodzenia systemu
" "
E{Ts}= Rs (t)dt = [4e-2at - 6e-3at + 5e-4at - 2e-5at]dt =
+" +"
0 0
" " " "
-2at -3at -4at -5at
= 4 dt - 6 dt + 5 dt - 2 dt =
+"e +"e +"e +"e
0 0 0 0
pamiętamy, że
"
"
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
-nat
+"e dt = ðÅ‚ na e-nat ûÅ‚0 = 0 - ìÅ‚ - na e0 ÷Å‚ = na
ïÅ‚- śł
íÅ‚ Å‚Å‚
0
wiec otrzymujemy:
" " " "
4 6 5 2
-2at -3at -4at -5at
E{Ts}= 4 dt - 6 dt + 5 dt - 2 dt = - + -
+"e +"e +"e +"e
2a 3a 4a 5a
0 0 0 0
zatem
1 4 6 5 2 1 5 2 1 5 2 1 25 - 8 17 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚2 öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
E{Ts}= - + - ÷Å‚ ìÅ‚ - 2 + - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = = = Å"
ìÅ‚
a 2 3 4 5 a 4 5 a 4 5 a 20 20 a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Można wyliczyć inne charakterystyki typowe dla obiektów prostych nieodnawialnych przyjmując, że jego funkcja
niezawodności jest równa Rs(t).
Zadanie 2:
Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w chwili t system jest w stanie zdatności. Elementy systemu są
identyczne, odnawialne o czasie poprawnej pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a oraz czasie odnowy o
rozkładzie wykładniczym z parametrem b.
Struktura niezawodnościowa systemu złożonego z 5-ciu elementów ma postać:
1 2
Zatem:
Fi (t) = F(t) =1- e-at ,t e" 0
5
Gi (t) = G(t) = 1- e-bt ,t e" 0
System jest odnawialny, ponieważ:
3 4
" wszystkie minimalne ciecia systemu złożone są z elementów
odnawialnych
Szukamy zatem kg (t) .
s
Postępujemy analogicznie jak w zadaniu 1, korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
Teraz mamy:
kg s (t) = P(X (t) = 1) = P(X (t) = 1/ X5 (t) = 1)P(X (t) = 1) + P(X (t) = 1/ X (t) = 0)P(X (t) = 0)
s s 5 s 5 5
gdzie
X (t)  określa stan zdatności systemu, X5(t)  określa stan zdatności elementu 5.
s
Na podstawie wyników z poprzednich ćwiczeń mamy:
b a
P(X (t) = 1) = kg 5(t) = + e-(a+b)t
5
b + a b + a
b a
P(X (t) = 0) = 1- kg 5 (t) = 1- + e-(a+b)t
5
b + a b + a
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 4
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Rozpatrzmy teraz poszczególne elementy wyznaczanej formuły:
kg s (t) = P(X (t) = 1) = P(X (t) = 1/ X5 (t) = 1)P(X (t) = 1) + P(X (t) = 1/ X (t) = 0)P(X (t) = 0)
s s 5 s 5 5
2
1
2
1
I
I II
II
3
4
3 4
Rysunek 1: schemat niezawodnościowy dla systemu dla Rysunek 2: schemat niezawodnościowy dla systemu
chwili t, gdy ( X5(t) =1) dla chwili t, gdy ( X5(t) = 0 )
2
P(Xs (t) =1/ X5(t) =1)= k1 (t) P(Xs (t) =1/ X5(t) = 0)= kg (t)
gs
s
kg1 (t) jest współczynnikiem gotowości systemu kg 2(t) jest współczynnikiem gotowości systemu
s s
System ma strukturę szeregową złożoną z podsystemu I i System ma strukturę równoległą złożoną z
podsystemu II, więc: podsystemu I i podsystemu II, więc:
2
k1 (t) = kg I (t) Å" kg II (t) 1- kg (t) = (1- kg I (t))Å"(1- kg II (t))
gs
s
Z kolei podsystem I ma strukturę równoległą elementów 1 Z kolei podsystem I ma strukturę szeregową
i 3, zatem: elementów 1 i 2, zatem:
2
b a
b a
1- kg I (t) = (1- kg1(t)) Å" (1- kg 3(t)) = (1- + e-(a+b)t )2 ëÅ‚
kg (t) = kg1(t) Å" kg 2(t) = + e-(a+b)t öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a b + a
I
b + a b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
Podsystem II ma strukturę szeregową elementów 3 i 4,
Podsystem II ma strukturę równoległą elementów 2 i 4,
zatem:
zatem:
2
b a
b a
ëÅ‚
1- kg II (t) = (1- kg 2(t)) Å"(1- kg 4(t)) = (1- + e-(a+b)t )2
kg (t) = kg 3(t) Å" kg 4(t) = + e-(a+b)t öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a b + a
II
b + a b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymujemy zatem:
Więc dalej:
2
ëÅ‚1- b a 2
2
k1 (t) = kg I (t) Å" kg II (t) = (1- + e-(a+b)t )2 öÅ‚ 1- kg (t) = (1- kg (t)) Å"(1- kg (t)) = ëÅ‚ ëÅ‚ + e-(a+b)t öÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
gs
ìÅ‚1- ìÅ‚ b a ÷Å‚ ÷Å‚
b + a b + a
íÅ‚ Å‚Å‚ s I II
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymujemy:
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚1- ëÅ‚ b + a e-(a+b)t öÅ‚ ÷Å‚
kg (t) =1- ìÅ‚ ÷Å‚
s
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie:
2
kg s (t) = P(Xs (t) =1) = k1 (t) Å" kg (t) + kg (t) Å" (1- kg (t)) =
gs 5 s
5
b a b a
2
kg s (t) = k1 (t) Å"ëÅ‚ + e-(a+b)t öÅ‚ + kg (t) Å"ëÅ‚1- + e-(a+b)t öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
gs
s
b + a b + a b + a b + a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
b a
ìÅ‚ìÅ‚1- b a
kg s (t) = (1- + e-(a+b)t )2 öÅ‚ ÷Å‚Å"ëÅ‚ + e-(a+b)t öÅ‚ +
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚íÅ‚ b + a b + a ÷Å‚
b + a b + a
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
b a
öÅ‚
ìÅ‚1- ëÅ‚ ìÅ‚ b + a e-(a+b)t ÷Å‚ öÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚1- ëÅ‚ ÷Å‚
+ Å"ëÅ‚1- + e-(a+b)t öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a b + a b + a b + a
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 5
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Zadanie 3:
Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo zdarzenia, że , że system jest w stanie zdatności Kg = limkg (t) .
s s
t"
Elementy systemu są identyczne, odnawialne o czasie poprawnej pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a
oraz czasie odnowy o rozkładzie wykładniczym z parametrem b.
Struktura niezawodnościowa systemu złożonego z 5-ciu elementów ma postać:
1 2
Zatem:
Fi (t) = F(t) =1- e-at ,t e" 0
5
Gi (t) = G(t) = 1- e-bt ,t e" 0
Graniczne współczynniki gotowości dla pojedynczych elementów:
3 4
Kg1, Kg 2, Kg 3, Kg 4, Kg 5
dla elementu odnawialnego mamy:
1 1
Åš1 b
a a
Kg i = = = = , i =1,...,5
Åš1 + Åš2 1 + 1 b + a b + a
a b ab
Postępujemy analogicznie jak w zadaniu 1 i 2, korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
Teraz mamy:
K (t) = P(X (") = 1) = P(X (") = 1/ X (") = 1)P(X (") = 1) + P(X (") = 1/ X (") = 0)P(X (") = 0)
g s s 5 5 s 5 5
s
2
Kg s = P(Xs (") =1) = K1 Å" Kg + Kg Å"(1- Kg )
gs 5 s
5
gdzie:
b a
Kg = , 1 - Kg =
5 5
a + b a + b
Rozpatrzmy teraz poszczególne elementy wyznaczanej formuły:
2
1
1 2
I
I II
II
3
4
3 4
Rysunek 1: schemat niezawodnościowy dla systemu dla Rysunek 2: schemat niezawodnościowy dla systemu
chwili t, gdy ( X5(") =1) dla chwili t, gdy ( X5(") = 0 )
System ma strukturę szeregową złożoną z podsystemu I i System ma strukturę równoległą złożoną z
podsystemu II, więc: podsystemu I i podsystemu II, więc:
2
K1 (t) = Kg I Å" Kg II 1- Kg = (1- Kg I )Å" (1- Kg II )
gs
s
Z kolei podsystem I ma strukturę równoległą elementów 1 Z kolei podsystem I ma strukturę szeregową
i 3, zatem: elementów 1 i 2, zatem:
2
b a
b
ëÅ‚ öÅ‚
1- Kg I = (1- Kg1) Å" (1- Kg 3) = (1- )2 = ( )2
Kg = Kg1 Å" Kg 2 =
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a b + a I
b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
Podsystem II ma strukturę równoległą elementów 2 i 4,
Podsystem II ma strukturę szeregową elementów 3 i 4,
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 6
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
zatem: zatem:
2
b a
1- Kg II = (1- Kg 2) Å" (1- Kg 4) = (1- )2 = ( )2 Kg = Kg Å" Kg = ëÅ‚ b öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a b + a II 3 4
b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymujemy zatem:
Więc dalej:
2
2
ëÅ‚1- a
2
ëÅ‚ öÅ‚
K1 = Kg I Å" Kg II = ( )2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
gs
2
ìÅ‚1- ëÅ‚ b öÅ‚ ÷Å‚
b + a 1- Kg = (1- Kg I ) Å" (1- Kg II ) =
íÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
s
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymujemy:
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚1- ëÅ‚ b öÅ‚ ÷Å‚
Kg = 1- ìÅ‚ ÷Å‚
s
ìÅ‚ ÷Å‚
b + a
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie:
2
Kg s = P(Xs (") =1) = K1 Å" Kg + Kg Å" (1- Kg ) =
gs 5 s
5
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ëÅ‚ a 2 öÅ‚
ìÅ‚1- ëÅ‚ ìÅ‚ b ÷Å‚ öÅ‚ ÷Å‚Å" (1- Kg ) =
ìÅ‚ìÅ‚1- ìÅ‚1- ëÅ‚ öÅ‚ ÷Å‚
= ( )2 öÅ‚ ÷Å‚ Å" Kg +
5 5
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚íÅ‚ b + a ÷Å‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
b + a
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ëÅ‚ a 2 öÅ‚
b
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚1- ëÅ‚ ìÅ‚ b ÷Å‚ öÅ‚ ÷Å‚Å"ìÅ‚ a ÷Å‚
ìÅ‚ìÅ‚1- ìÅ‚1- ëÅ‚ öÅ‚ ÷Å‚
= ( )2 öÅ‚ ÷Å‚Å"ëÅ‚ öÅ‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚íÅ‚ b + a ÷Å‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a + b b + a a + b
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Michał Kapałka
[e-mail]