Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 1
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
Elementy teorii niezawodności
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z
zerowym czasem odnowy
Jedynymi istotnymi zdarzeniami w
eksploatacji obiektu prostego odnawialnego
z zerowa odnową są chwile uszkodzeń, które
przy zerowej odnowie, są jednocześnie
chwilami odnów.
Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem [1/h].
Strumienie odnów
Proste Ogólne
Wszystkie zmienne losowe , , & mają identyczne Wszystkie zmienne losowe oprócz mają identyczne
rozkłady określone: rozkłady jak w strumieniu prostym, ma inny rozkład
" dystrybuantą , określony:
" dystrybuantÄ… ,
" gęstością ,
" gęstością ,
" transformatÄ… Laplace a ,
" transformatÄ… Laplace a ,
" wartością oczekiwaną ,
" wartością oczekiwaną ,
" odchyleniem standardowym .
" odchyleniem standardowym .
Miary niezawodnościowe
1. Czas do r-tej odnowy
- zmienna losowa dla której:
Dystrybuanta:
Transformata Laplace a funkcji :
"
Gęstość :
"
Dla strumienia prostego
Dla strumienia ogólnego
Dla " zmienna losowa dÄ…\
y do rozkÅ‚adu normalnego · , ·
"
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 2
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
" Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e 7-me uszkodzenie wystÄ…pi po chwili
1
1
" Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie co najmniej 5 napraw
1
2. Proces stochastyczny - liczba odnowień do chwili t
1
1
Dla " proces dÄ…\
y do
·
"
,
" Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie dokładnie 8 uszkodzeń
8
1 1
;
3. Funkcja odnowy - oczekiwana liczba odnowień do chwili t
Równanie odnowy: ·
Dla strumienia prostego Dla strumienia ogólnego
1 1
1 1
4. Gęstość odnowy
Dla strumienia prostego Dla strumienia ogólnego
1 1
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 3
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
" Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili
  
*
1 f (s) 1 1 1 1
*
 + s  + s  + s
H (t4) = ?, H (s) = = = = =
*
  + s -   + s - 
s 1- f (s) s s s s2
1-
 + s  + s  + s
n!
Mo\
na pokazać, \
e jeśli , to korzystając z formuły na transformatę Laplace a L(tne-at ) =
n+1
(s + a)
mamy: ,bo n=1 i a=0
" Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu ,
5. Miary graniczne dla "
1
lim ; ż :
Tw. Blackwella
" Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale ,
t8 - t7
lim(H(t8) - H (t7))= = (t8 - t7)
t7"
1

Wynik, jak poprzednio, ale tylko dla rozkładu wykładniczego (ahistorycznego)
" Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili
t
lim H (t) =
t"
Åš
" Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili
t à t
N (t) N (m,à '), gdzie m = , à '= , pamiętamy, \
e dla rozkÅ‚adu wykÅ‚adniczego Ã=1/
3
t"
Åš
Åš2
ëÅ‚ öÅ‚
à t10
t10
ìÅ‚ ÷Å‚
zatem N(t10) dÄ…\
y do rozkładu N , = N(t10, t10 )
3
ìÅ‚ ÷Å‚
Åš
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Åš2 Å‚Å‚
" Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie co najmniej 50
uszkodzeń
P(S50 < t11) = K50 (t11) E" Fnormalny (t11)
ëÅ‚ öÅ‚
50 50
÷Å‚
50 · , · 50 , N(m,à ) = N(50Åš,à 50)= NìÅ‚ ,
"
ìÅ‚ ÷Å‚
 
íÅ‚ Å‚Å‚
" Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, \
e do chwili będzie mniej ni\
100 napraw
P(S100 e" t12 ) = 1- K100 (t12) E" 1- Fnormalny (t12)
100 10
öÅ‚
100 · , · 100 N(m,à ) = N(100Åš,à 100)= NëÅ‚ ,
"
ìÅ‚ ÷Å‚
 
íÅ‚ Å‚Å‚
Michał Kapałka
[e-mail]
Ćwiczenia nr 2: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 4
Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia
6. Prawdopodobieństwo , braku uszkodzenia w przedziale ,
,
Tw. Smitha
Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale ,
, 1
" Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, \
e w przedziale (t13,t14) nie będzie uszkodzeń
t13
P(t13,t14 ) = 1- F(t14 ) + F(t14 -Ä )]h(Ä )dÄ
+"[1-
0
*
f (s) 
h(t) wyznaczamy z formuły h*(s) = = , zatem h(t)=, więc
*
1- f (s) s
t13
t13 14
14 14 14 14
P(t14,t13)= e-t + [e-(t -Ä )]dÄ = e-t + e-t [eÄ )] = e-(t -t13)
0
+"
0
" Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, \
e w przedziale czasu (t15,t16) nie będzie
uszkodzeń
ze wzoru
1
"
1
-t -t15
16
mamy P(t16 - t15 ) =
+"e dt = e-(t )
¸
t16 -t15
7. Pozostały czas zdatności , jeśli od ostatniej odnowy minął czas t
,
,
Dla du\
ych t:
1
2 2
Michał Kapałka
[e-mail]