2
Rodzaje napięć i prądów
i i
Podstawy elektrotechniki
t
t
zmienny
stały
i i i
t t
T
t
T 2T
okresowy przemienny sinusoidalny
T
i(t) = i(t + T)
+"i(t)dt = 0 i(t) = Im sin(�t)
0
3 4
Elementy obwodu elektrycznego Elementy obwodu elektrycznego
y
ródła energii (idealne)
Obwód elektryczny
elementy czynne
Zespół elementów przewodzących prąd, zawierający
i i
u u
przynajmniej jedną drogę zamkniętą dla przepływu prądu y
ródło napięcia y
ródło prądu
R "
R = 0 wewn
wewn
gałąz

Odbiorniki energii (idealne)
węzeł
elementy bierne
C
oczko
L
R
Każdy element obwodu elektrycznego charakteryzuje się:
 rezystancją,
di
u = Ri
u = L
dQ d(Cu) du
 indukcyjnością,
1
i = = = C
dt
i = Gu G =
 pojemnością elektryczną, dt dt dt
R
5 6
Praca i moc prądu elektrycznego Praca i moc prądu elektrycznego
Moc w rezystancji
VB
i
R
p = ui
dW = u �" dQ �ł
dQ
Dla u=U=const, i=I=const :
u
VA
żł�! dW = uidt
dQ = i �" dt
�ł
u = Ri p = Ri2 P = RI2
vA - vB = u
u
Dla u=U=const, i=I=const : u2
i =
U2
t p =
P =
R
R
Praca:
W = UIt
W =
R
+"uidt
Energia w rezystancji
0
t t
2 2
dW
E = RI2t - prawo Joule a
E = dt = R dt
Moc:
p = = ui
P = UI
+"Ri +"i
dt
0 0
7 8
Prawa Kirchhoffa Prawa Kirchhoffa
I prawo Kirchhoffa II prawo Kirchhoffa
n
n
= 0
Wersja 1
"Uk
Suma napięć w oczku jest równa zeru
"i = 0
k
k=1
Suma prądów w węz
le jest równa zeru
k=1
i1 + i2 + i3 + i4 + i5 = 0
Wersja 2
Suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów z
niego wypływających
u1 - u2 - u3 + u4 = 0
u4 = u1 + u2 + u3
i1 + i2 + i4 = i3 + i5 i1 + i2 - i3 + i4 - i5 = 0
Rezystancja zastępcza Rezystancja zastępcza
1) połączenie szeregowe 2) połączenie równoległe
Iz - I1 - I2 - I3 = 0
U1
Iz
Uz - U1 - U2 - U3 = 0
Iz
Uz Uz Uz
I1 I2 I3
Iz - - - = 0
Uz - R1Iz - R2Iz - R3Iz = 0
R1
R1 R2 R3
Uz R1 R2 R3
Uz R2 U2
Uz Uz
�ł �ł
1 1 1 Uz
Iz = =
R3
�ł �ł
Iz = Uz �ł + + =
R1 + R2 + R3 Rzast
R1 R2 R3 �ł Rzast
�ł łł
Rzast = R1 + R2 + R3
U3
1 1 1 1
= + +
Rzast R1 R2 R3
Ogólnie dla połączenia szeregowego n rezystancji Ogólnie dla połączenia równoległego n rezystancji
-1
n n
n
�ł �ł
1 1
1
�ł �ł
Rzast = =
Rzast =
"R k "
"
�ł �ł
Rzast k=1 R
R
k
k=1 k
k=1
�ł łł
12
Rezystancja zastępcza
Dzielnik napięcia
2) połączenie równoległe I
U - R1I - R2I = 0
Iz
U
-1
I =
R1 U1
2
�ł �ł
R1 + R2
1 1
�ł �ł
Rzast = =
"
Uz R1 R2
�ł �ł U
1 1
R U
k
k=1
�ł łł
+
U2 = R2I = R2
R1 + R2
R1 R2
R2 U2
R2
U2 = U
R1 �" R2
R1 + R2
Rzast =
R1 + R2
R1
U1 = U
R1 + R2
U1 R1
=
U2 R2
13
Przyrządy pomiarowe
Dzielnik prądu
1) Pomiar napięcia
I
I1 R1
R1R2
I1 I2 U = IRzast = I
Woltomierz idealny Woltomierz rzeczywisty
R1 + R2
R2
V V
U R1 R2
UR
U
U 1 R1R2 V UV
Rwewn" RV
I1 = = I
R1 R1 R1 + R2 I2
IV H" 0
UR = UV
Rozszerzanie zakresu pomiarowego
R2
I1 = I
R1 + R2
R1 Rp
I2 = I U = nUV
R1 + R2
U
RV �! Rp = (n -1)RV
UV = U
I2 R1
RV V UV
RV + R
p
=
I1 R2
16
Przyrządy pomiarowe
Przekształcenie gwiazda-trójkąt
I1
IR
2) Pomiar prądu
R2
Amperomierz idealny Amperomierz rzeczywisty
R1
A A
UA H" 0
Rwewn= 0 RA A
IA
IR = IA
Rozszerzanie zakresu pomiarowego
R1R2
R12 = R1 + R2 +
R3
I
R2R3
I = nIA
R23 = R2 + R3 +
RA
R1
Rb RA
Rb �! Rb =
A
IA = I
(n -1)
R3R1
Rb + RA
R31 = R3 + R1 +
IA
R2
17 18
Zasada superpozycji
Przekształcenie trójkąt-gwiazda
Rozpływ prądów w obwodzie, w którym działa n z
ródeł,
jest sumą n rozpływów wymuszonych przez każde ze
z
ródeł z osobna.
 Usuwanie z
ródeł
R12R31
R1 = Rwewn
R12 + R23 + R31
R23R12
R2 =
R12 + R23 + R31
u i
R31R23
R3 =
R12 + R23 + R31
19 20
Twierdzenie Thevenina Twierdzenie Thevenina
Dwójnik:  część obwodu elektrycznego z wyróżnionymi Określanie parametrów z
ródła zastępczego
dwoma zaciskami
1) napięcie UT
Dwójnik nie zawierający z
ródeł dwójnik pasywny
Dwójnik zawierający z
ródła dwójnik aktywny
Dwójnik aktywny
Tw. Thevenina (o zastępczym z
ródle napięcia)
2) rezystancja RT
Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić z
ródłem napięcia
z rezystancją wewnętrzną
Dwójnik pasywny
Dwójnik aktywny
Dowolnie złożona
UT
RT =
sieć elektryczna Dwójnik aktywny
Iz
21 22
Model z
ródła rzeczywistego Model z
ródła rzeczywistego
y
ródło idealne y
ródło rzeczywiste (np. akumulator)
U U
Ew
Iw =
E Ew
R
w
U U
I I
Iw - - = 0
Ew - RI - RwI = 0
R R
Parametry z
ródła  z tw. Thevenina
w
Ew Ew Ew RwR Ew RwR
z
ródło małej mocy
R = I = U = RI = R U = Iw =
w
Izw Rw + R Rw + R R + R R Rw + R
V A
w w
Charakterystyka zewnętrzna z
ródła
Ew
U = R
E
w
Rw + R
A
Ew - U
U
R =
w
U Ew
I
V
I = =
R Rw + R
z
ródło dużej
I
mocy I
zw
23 24
Metoda praw Kirchhoffa
Metody rozwiązywania obwodów
Przykład:
Wykorzystanie praw Kirchhoffa
M=2 węzły N=4 gałęzie
Obwód zawiera: M węzłów,
LWN=M-1=1
N gałęzi �! N niewiadomych prądów
1 równanie z I p. Kirchhoffa
I II III
Należy sformułować: N równań
LON=N-LWN=3
M-1 równań z I p. Kirchhoffa 3 równania z II p. Kirchhoffa
+ N-M+1 równań z II p. Kirchhoffa
1
Razem: N ńłI +I2 +I3 -I4 =0
1
ńłI +I2 +I3 =I4
�łI2R2 -I1R1 = E2 - E1
�ł
E1 - E2 + I2R2 - I1R1 = 0
M-1 = LWN - liczba węzłów niezależnych
�łE - E3 + I3R - I2R = 0 �łI R - I2R = E3 - E2
2 3 2 3 3 2
- liczba oczek niezależnych
N-LWN = N-M+1=LON �łE - I4R - I3R = 0 �łI R + I3R = E3
3 4 3 4 4 3
ół ół
25 26
Metoda superpozycji Bilans mocy obwodu
ŁPz
ródeł =ŁPodbiorników
I I
I
U U
R
PO = I2R > 0
PZ = U �" I > 0 PZ = -(U �"I)< 0
Przykład:
= U1I1 + U2I2 - U3I3
"PZ
2 2
= I1R1 + I2R2 + I3R3 + I2R4
"PO 2 4
( ( (
I1 = I11) - I12) - I13)
( ( (
=
"PZ "PO
I2 = -I(1) + I(2) - I(3) I3 = -I31) - I32) + I33)
2 2 2
27 28
Metoda potencjałów węzłowych Metoda potencjałów węzłowych
Przykład:
I1 +I2 +I3 -I4 =0
Uz1 - V2 + V1
I1 =
R1
R �" I = V1 - V2 R �" I - Uz = V1 - V2
Uz2 - V2 + V1
I2 =
R2
V1 - V2 Uz + V1 - V2 V1 - V2
I = I = I = Iz +
Uz3 - V2 + V1 V2 - V1
R R R
I3 = I4 =
V1 =0
R3 R4
Obwód zawiera M węzłów
Uz1 - V2 Uz2 - V2 Uz3 - V2 V2
�! M-1 niewiadomych
+ + - = 0
R1 R2 R3 R4
potencjałów węzłowych
Założenie: Vk=0 (1d"kd"M)
Uz1 Uz2 Uz3
+ +
R1 R2 R3 = Uz1G1 + Uz2G2 + Uz3G3
Należy sformułować: M-1 równań z I p. Kirchhoffa
V2 =
1 1 1 1 G1 + G2 + G3 + G4
+ + +
R1 R2 R3 R4
LWN
29 30
Dopasowanie mocowe Dopasowanie mocowe
2 2
PR0 PR0
RT - R0 = 0
R0 R0
R0=? �! PR0= Pmax
R0 = RT R0 = -RT
UT
2
2 2
PR0 = I0R0
I0 =
UT UT
RT + R0
Pmax = RT =
Tw. Thevenina Tw. Thevenina
2 4RT
(RT + RT )2
UT
PR0 = R0
(RT + R0)2
2
UT
UT
RT RT moc z
ródła: PZ = UTI0 = UT RT + R0 =
dPR0 2 + R0)2 R0 �" 2(RT + R0)
RT + R0
(RT -
UT UT R0 UT UT R0
= UT
dR0
(RT + R0)4
2
UT
R0
2
I0 I0 sprawność: PR (RT + R0) R0
2 2
0
RT - R0
=
� = =
2
2
= UT = 0
PZ UT RT + R0
(RT + R0)4
RT + R0
31
Przyrządy pomiarowe
Dopasowanie mocowe
R0
Pomiar mocy
R0
RT ą
Watomierz idealny
� =
= =
RT + R0 1+ R0 1+ ą
RT
*
I U
2
*
UTR0 PW=U�I
W
PR + R0)2 4RTR0 4ą
(RT
0
� = =
= =
2
2 2
Pmax UT
RU" RI= 0
(RT + R0) (1+ ą)
4RT 1
IW *
(ą)
�
W
*
(ą)0.5
�
PW = PR
UW R
U
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ą