1. Modele trendu i sezonowości

,

t

t

t

y

y

y

t

S

P

Y

η

+

+

=

(1)

,

it

it

it

x

x

x

it

S

P

X

η

+

+

=

,

,

,

2

,

1

k

i

K

=

(2)

gdzie:

t

y

P

i

it

x

P

oznaczają wielomianowe funkcje zmiennej

czasowej t,

t

y

S

i

it

x

S

– składniki sezonowe o stałej lub zmiennej

amplitudzie wahań,

t

y

η

i

it

x

η

– stacjonarne procesy autoregresyjne

odpowiednio dla procesu Y

t

i procesów X

it

.

2. Modele autoregresyjne

,

)

(

t

t

y

y

u

B

ε

η

=

(3)

,

)

(

it

it

x

x

i

u

A

ε

η

=

,

,

,

2

,

1

k

i

K

=

(4)

gdzie B(u) i A

i

(u) są autoregresyjnymi operatorami, dla

których wszystkie pierwiastki równań

0

)

(

=

u

B

i

0

)

(

=

u

A

i

leżą poza okręgiem jednostkowym, a

t

y

ε

i

it

x

ε

oznaczają białe szumy dla odpowiednich procesów.

3. Model dla białoszumowych składowych

odpowiednich procesów

∑

=

+

=

K

i

t

x

i

yt

it

1

.

ε

ε

ρ

ε

(5)

4. Model dla rzeczywistych procesów

t

Y

i

it

X

(i=1,2,...K)

.

)

(

)

(

1

∑

=

+

=

k

i

t

X

i

i

y

it

t

u

A

u

B

ε

η

ρ

η

(6)

.

)

)(

(

)

)(

(

1

∑

=

+

−

−

=

−

−

k

i

t

x

x

it

i

i

yt

yt

t

it

it

S

P

X

u

A

S

P

Y

u

B

ε

ρ

(7)

Po dalszych przekształceniach otrzymuje się model:

,

)

(

)

(

1

*

t

t

t

k

i

it

i

t

S

P

X

u

A

Y

u

B

ε

+

+

+

=

∑

=

(8)

gdzie:

),

(

)

(

*

u

A

u

A

i

i

i

ρ

=

,

)

(

)

(

1

*

∑

=

−

=

K

i

x

i

y

t

it

t

P

u

A

P

u

B

P

.

)

(

)

(

1

*

∑

=

−

=

K

i

x

i

y

t

it

t

S

u

A

S

u

B

S

Zgodny dynamiczny model (8) można zapisać w
alternatywnej postaci:

∑ ∑

∑

=

=

−

=

−

+

+

+

+

=

k

i

q
s

t

t

t

s

it

s

q

s

s

t

s

t

xi

y

S

P

X

Y

Y

1

0

*

1

,

ε

α

β

(9)

gdzie q

y

i q

xi

oznaczają rząd autoregresji odpowiednio

procesów Y

t

i X

it

(i = 1, 2, ..., k).

Podejście tradycyjne:

∑

=

+

=

+

+

+

+

=

k

i

t

it

i

t

kt

k

t

t

t

X

X

X

X

Y

1

2

2

1

1

η

α

η

α

α

α

K