Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Mirosław Tomera

1. WPROWADZENIE

Ocena jakości sterowania polega na ocenie dwóch stanów układu regulacji:

•

stanu przejściowego

•

stanu ustalonego

W pierwszym przypadku mówimy o dokładności dynamicznej, w drugim o dokładności statycznej.
Dokładność dynamiczna określa zdolność układu do wiernego i szybkiego śledzenia zmian wartości
zadanej, a dokładność statyczna zdolność układu regulacji do utrzymywania wartości regulowanej jak
najbliżej wartości zadanej w stanie ustalonym, a więc po zakończeniu stanu przejściowego. O ile
uchyb ustalony łatwo zdefiniować i wyznaczyć jego wartość o tyle dokładność dynamiczną można
scharakteryzować różnymi parametrami, a w rezultacie oceniać na podstawie różnych kryteriów.
Kryteria oceny jakości sterowania można podzielić na cztery grupy:

1) Kryteria bezpośrednie (ocena odbywa się na podstawie odpowiedzi skokowej).
2) Kryteria całkowe.
3) Kryteria częstotliwościowe.
4) Kryteria rozkładu pierwiastków (ocena na podstawie rozkładu pierwiastków równania

charakterystycznego).

Chociaż w praktyce układy regulacji drugiego rzędu występują bardzo rzadko to ich analiza daje
podstawy zrozumienia i analizy układów wyższych rzędów, które również mogą być aproksymowane
przez układy drugiego rzędu.

Rozważony zostanie układ regulacji drugiego rzędu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym

reprezentowany przez układ pokazany na rysunku 1. Transmitancja układu z rozwartą pętlą sprzężenia

(

)

n

n

s

s

s

E

s

Y

s

G

ζω

ω

2

)

(

)

(

)

(

2

o

+

=

=

(1)

gdzie

ζ

oraz

n

ω

są stałymi parametrami. Transmitancja układu zamkniętego

)

(s

G

=

2

2

2

2

n

n

n

s

s

ω

ζω

ω

+

+

(2)

Układ z rysunku 1 o transmitancjach opisanych wzorami (1) oraz (2) określany jest jako prototypowy
układ drugiego rzędu.

R(s)

y(t)

ω

n

s(s+2

ζω

n

)

E(s)

e(t)

r(t)

Y(s)

Rys. 1. Prototypowy układ regulacji II rzędu

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

2

2. WSKAŹNIKI JAKOŚCI OKREŚLANE NA PODSTAWIE ODPOWIEDZI

SKOKOWEJ UKŁADU

Charakter przebiegów przejściowych w liniowych układach sterowania bardzo często jest badany po
podaniu funkcji skokowej (jednostkowej) 1(t) na wejście układu. Wówczas odpowiedź układu
sterowania nazywana jest odpowiedzią skokową. Na rysunku 2 przedstawiona została typowa
odpowiedź skokowa liniowego układu II rzędu.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t [s]

y(t)

90%

M

p

10%

50%

R

t

∆ =

1%

o

t

t

p

n

t

Rys. 2. Typowa odpowiedź skokowa układu sterowania

Na podstawie tej odpowiedzi definiowane są następujące wskaźniki jakości charakteryzujące liniowe
układy sterowania w dziedzinie czasu:

1. Maksymalne przeregulowanie

p

M

M

p

= y

max

−

y

u

(3)

gdzie:

y(t)

−

odpowiedź skokowa układu,

y

max

−

maksymalna wartość y(t),

y

u

−

wartość y(t) w stanie ustalonym (y

u

≤

y

max

).

Maksymalne przeregulowanie często określane jest jako procentowy udział końcowej wartości
odpowiedzi skokowej

%

100

%

u

p

p

y

M

M

=

(4)

Maksymalne przeregulowanie bardzo często wykorzystywane jest do pomiaru stabilności
względnej układu sterowania. Układ z bardzo dużym przeregulowanie jest zazwyczaj
niepożądany. Na etapie projektowania układu zazwyczaj określa się wartość tego
przeregulowania. Odpowiedź skokowa układu z rysunku 2 pokazuje, że maksymalne
przeregulowanie pojawia się przy pierwszym przeregulowaniu. W pewnych układach
maksymalne przeregulowanie może pojawiać się w jednym z następnych pików i jest tak
wówczas gdy transmitancja układu posiada nieparzystą liczbę zer w prawej półpłaszczyźnie

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

3

i mogą się wówczas pojawiać pierwsze przeregulowanie przy wartościach ujemnych.

2. Czas opóźnienia t

o

definiowany jako czas po którym odpowiedź skokowa osiąga 50% swojej

wartości końcowej. Pokazane jest to na rysunku 2.

3. Czas narastania t

n

definiowany jest jako czas potrzebny do wzrostu odpowiedzi skokowej

układu od 10% do 90% wartości ustalonej.

4. Czas ustalania (regulacji) t

R

definiowany jako czas potrzebny do tego aby przejściowa

odpowiedź skokowa znalazła się i pozostała w pewnej określonej strefie dokładności (

%

1

±

,

%

2

±

, itd., patrz tabela 1) od wartości ustalonej. Najczęściej jest to 5% wartości ustalonej.

Te cztery powyższe wskaźniki umożliwiają bezpośredni pomiar charakterystyk przejściowych układu
sterowania na podstawie odpowiedzi skokowej. Wskaźniki te są łatwe do określenia na pomierzonej
charakterystyce odpowiedzi skokowej, natomiast trudno jest je wyprowadzić analitycznie za
wyjątkiem układów, których rząd jest mniejszy od trzeciego.

2.1. WZORY APROKSYMUJĄCE CZASOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI
Jednostkowa odpowiedź skokowa wyznaczona z odwrotnej transformaty Laplace'a transmitancji (2)
opisana jest wzorem

)

(t

y

= 1

−









+

−

−

−

ζ

ζ

ω

ζ

ζω

cos

1

sin

1

2

2

arc

t

e

n

t

n

dla t

≥

0

(5)

Na podstawie odpowiednich przekształceń wzoru analitycznego (5) opisującego odpowiedź skokową
układu II rzędu możliwe jest określenie wzorów pozwalających na zaprojektowanie układu II rzędu
spełniającego odpowiednie wymagania. Poniżej znajdują się wzory aproksymujące czasowe wskaźniki
jakości układu II rzędu:

•

amplituda maksymalnego przeregulowania wyrażona procentowo

M

p%

=

%

100

2

1

⋅

−

−

ζ

πζ

e

dla 0 <

ζ

< 1

(6)

•

chwila czasu

p

t w której pojawia się maksymalne przeregulowanie

ω

π

ζ

ω

π

=

−

=

2

1

n

p

t

dla 0 <

ζ

< 1

(7)

•

czas opóźnienia

o

t

n

t

ω

ζ

7

.

0

1

+

=

o

dla 0 <

ζ

< 1

(8)

•

czas narastania

n

t

n

n

t

ω

8

.

1

=

dla 0 <

ζ

< 1

(8)

•

czas ustalania

R

t (regulacji) według tabeli 1

Tabela 1. Typowe wartości czasu ustalania (regulacji)

∆

1%

2%

5%

10%

R

t

σ

6

.

4

σ

4

σ

3

σ

3

.

2

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

4

3. CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI

W projektowaniu liniowych układów sterowania z użyciem metod w dziedzinie częstotliwości,
konieczne jest zdefiniowanie zbioru nowych wskaźników jakości układu. Określenia takie jak
maksymalne przeregulowanie, czas narastania, itd., używane w dziedzinie czasu nie mogą być
zastosowane w sposób bezpośredni w dziedzinie częstotliwości. Poniższe wskaźniki jakości pokazane
również na rysunku 3 są najczęściej używane w dziedzinie częstotliwości.

1. Pik rezonansowy M

r

jest maksymalną wartością charakterystyki amplitudowej

( )

ω

j

M

.

Amplituda M

r

pozwala na określenie stabilności względnej stabilnego układu zamkniętego.

Zazwyczaj duże wartości M

r

odpowiadają dużym wartościom maksymalnego przeregulowania

odpowiedzi skokowej. Dla większości układów, akceptowalnych w praktyce, pożądana wartość M

r

powinna zawierać się pomiędzy 1.1 oraz 1.5.

2. Częstotliwość rezonansowa

ω

r

jest częstotliwością przy której występuje pik rezonansowy.

3. Szerokość pasma BW jest zakresem częstotliwości od zera do częstotliwości przy której
charakterystyka amplitudowa

( )

ω

j

M

spada do 70.7 % lub o 3 dB od jego amplitudy przy zerowej

częstotliwości.

1

0.707

M

r

ω

r

BW

M(j

ω

)

(j

ω

)

φ

M

0

0

ω

ω

Rys. 3. Typowe charakterystyki amplitudy i fazy zamkniętego układu sterowania.

3.1. WZORY APROKSYMUJĄCE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI
Dla prototypowego układu drugiego rzędu (rys.1), pik rezonansowy M

r

, częstotliwość rezonansowa

r

ω

i szerokość pasma BW odnoszą się w sposób unikalny do współczynnika tłumienia

ζ

i częstotliwość drgań własnych

n

ω

. W sinusoidalnym stanie ustalonym, s = j

ω

i wówczas równanie

(2) ma postać

( )

( )

(

) (

)

2

2

2

2

2

1

1

2

)

(

)

(

)

(

n

n

n

n

n

j

j

j

j

R

j

Y

j

G

ω

ω

ζ

ω

ω

ω

ω

ζω

ω

ω

ω

ω

ω

−

+

=

+

+

=

=

(10)

Można uprościć równanie (10) przez podstawienie

n

u

ω

ω

=

. Wówczas równanie (10) staje się

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

5

2

2

1

1

)

(

u

u

j

ju

G

−

+

=

ζ

(11)

Amplituda i faza M(ju) są następujące

(

)

( )

2

2

2

2

1

1

)

(

u

u

ju

G

ζ

+

−

=

(12)

oraz

( )













−

−

=

=

∠

2

1

2

)

(

u

u

j

j

M

m

ζ

ω

φ

ω

arctan

(13)

Na podstawie zależności (12) i (13) wyprowadza się wzory pozwalające na wyznaczenie wartości
częstotliwościowych wskaźników jakości dla układu II rzędu, które są następujące:

•

Pik rezonansowy M

r

2

1

2

1

ζ

ζ

−

=

r

M

, dla

707

.

0

0

≤

<

ζ

(14)

•

Częstotliwość rezonansowa

ω

r

2

2

1

ζ

ω

ω

−

=

n

r

, dla

707

.

0

0

≤

<

ζ

(15)

•

Szerokość pasma BW

(

)

2

4

2

1

2

4

2

+

−

+

−

=

ζ

ζ

ζ

ω

n

BW

(16)

1. Pik rezonansowy M

r

odpowiedzi częstotliwościowej układu zamkniętego zależy tylko od

współczynnika tłumienia

ζ

(14). Kiedy

ζ

jest równe zero, wówczas M

r

ma nieskończoną

wartość. Kiedy

ζ

jest ujemne, wówczas układ jest niestabilny i wartość M

r

nie ma znaczenia.

Kiedy

ζ

zwiększa się to M

r

maleje. Dla

707

.

0

≥

ζ

,

1

=

r

M

oraz

0

=

r

ω

. W porównaniu z

czasową odpowiedzią skokową, maksymalne przeregulowanie

p

M (6) również zależy tylko

od

ζ

i

0

=

p

M

kiedy

1

≥

ζ

.

2. Szerokość pasma BW w sposób proporcjonalny zależy od częstotliwości drgań własnych

n

ω

,

oznacza to że szerokość pasma BW zwiększa się lub zmniejsza liniowo w zależności od

n

ω

.

Szerokość pasma BW również zmniejsza się ze wzrostem

ζ

przy ustalonej wartości

n

ω

. Dla

jednostkowej odpowiedzi skokowej czas narastania

n

t (9) zwiększa się kiedy

n

ω

zmniejsza

się. Okazuje się, że szerokość pasma BW oraz czas narastania

n

t są w stosunku do siebie

odwrotnie proporcjonalne. Dlatego też większa szerokość pasma występuje w układach, które
dają szybszą odpowiedź.

3. Zwiększanie

n

ω

powoduje wzrost BW i zmniejszanie czasu narastania

n

t .

4. Zwiększanie

ζ

zmniejsza BW i zwiększa czas narastania

n

t .

Przykład 1 ilustruje związki pomiędzy czasowymi i częstotliwościowymi wskaźnikami jakości dla
układu II rzędu.

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

6

Przykład 1

Amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa

( )

ω

j

M

prototypowego układu II rzędu

pokazana jest na rysunku 3.1. Wyznacz czasowe wskaźniki jakości odpowiadające tej
charakterystyce.

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10

-1

10

0

10

1

10

2

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Magnitude (dB)

Peak gain (dB): 3.09

At frequency (rad/sec): 3.03

Rys. 1.1. Amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa logarytmiczna.

Rozwiązanie. Odczytane z rysunku 1.1 wartości piku rezonansowego M

r

i częstotliwości

rezonansowej

ω

r

rdB

M

= 3.09 [dB]

(1.1)

ω

r

= 3.03 [rad/s]

(1.2)

Wzór określający pik rezonansowy (14) dla układu II rzędu wyrażony jest w wartościach
bezwzględnych, natomiast odczytany z wykresu w decybelach, dlatego też w pierwszej
kolejności należy go przeliczyć na wartości bezwzględne. Zależność pomiędzy wartością piku
rezonansowego wyrażonego w decybelach

rdB

M

, a wartością bezwzględną piku

rezonansowego M

r

r

rdB

M

M

log

20

=

(1.3)

Po przekształceniu wzoru (1.3) wyznaczona została wartość piku rezonansowego M

r

wyrażona

w wartościach bezwzględnych

20

10

MrdB

r

M

=

=

20

09

.

3

10

= 1.4272

(1.4)

Po podstawieniu uzyskanej wartości piku rezonansowego M

r

do wzoru (15) uzyskuje się

zależność, która pozwala na wyznaczenie wartości współczynnika tłumienia

ζ

dla układu

II rzędu, która najpierw została przekształcona do postaci równania (1.5)

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

7

0

4

1

2

2

4

=

+

−

r

M

ζ

ζ

(1.5)

Rozwiązaniami równania (1.5) są następujące wartości współczynnika

ζ

:

1

ζ

= 0.9256,

2

ζ

=

−

0.9256,

3

ζ

= 0.3785,

4

ζ

=

−

0.3785

(1.6)

Ponieważ wzór (15) jest poprawny dla współczynnika

ζ

z przedziału 707

.

0

0

≤

<

ζ

,

poprawnym rozwiązaniem ze zbioru rozwiązań (1.6) jest

3785

.

0

3

=

=

ζ

ζ

(1.7)

Na podstawie równania (15) wyznaczona została częstotliwość drgań własnych

n

ω

5871

.

3

3785

.

0

2

1

03

.

3

2

1

2

2

=

⋅

−

=

−

=

ζ

ω

ω

r

n

[rad/s]

(1.8)

Mając wyznaczone wartości współczynnika tłumienia

ζ

oraz częstotliwości drgań własnych

n

ω

należy w pierwszej kolejności dokonać sprawdzenia uzyskanych wyników podstawiając je

do równań (14) i (15)

09

.

3

3785

.

0

1

3785

.

0

2

1

log

20

1

2

1

log

20

2

2

=















−

⋅

=

















−

=

ζ

ζ

rdB

M

[dB]

(1.9)

03

.

3

3785

.

0

2

1

5871

.

3

2

1

2

2

=

⋅

−

=

−

=

ζ

ω

ω

n

r

[rad/s]

(1.10)

Wyniki uzyskane w równaniach (1.9) i (1.10) dowodzą, że wyznaczone wartości współczynnika
tłumienia

ζ

oraz częstotliwości drgań własnych

n

ω

są poprawne. Wartości pozostałych

częstotliwościowych i czasowych wskaźników jakości są następujące

•

Szerokość pasma częstotliwości BW (16)

(

)

2

4

2

1

2

4

2

+

−

+

−

=

ζ

ζ

ζ

ω

n

BW

= 4.966 [rad/s]

(1.11)

•

Amplituda maksymalnego przeregulowania (6)

M

p%

=

%

100

2

1

⋅

−

−

ζ

πζ

e

= 27.676 [%]

(1.12)

•

Chwila czasu

p

t w której pojawia się to maksymalne przeregulowanie

=

−

=

2

1

ζ

ω

π

n

p

t

= 0.946 [s]

(1.13)

•

Czas opóźnienia

o

t

n

t

ω

ζ

7

.

0

1

+

=

o

= 0.353 [s]

(1.14)

•

Czas narastania

n

t

n

n

t

ω

8

.

1

=

= 0.502 [s]

(1.15)

•

Czas ustalania

R

t (regulacji), dokładność

∆

= 1 [%].

n

R

t

ζω

σ

6

.

4

6

.

4

=

=

= 3.388 [s]

(1.16)

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

8

Wyniki uzyskane zostały przy wykorzystaniu następującego kodu programu Matlaba

clear

% Wartości zadane

MrdB = 3.09
wr = 3.03

% Wyznaczenie wn i zeta
Mr = 10^(MrdB/20)
r_zeta = roots([4 0 -4 0 (1/Mr^2)])
zeta = r_zeta(3)
wn = wr/sqrt(1-2*zeta^2)

% Sprawdzenie poprawności uzyskanych wyników dla

wn i zeta

% i porównanie ich z wartościami zadanymi

MrdB1 = 20*log10(1/(2*zeta*sqrt(1-zeta^2)))
wr1 = wn*sqrt(1-2*zeta^2)

% Brakujący częstotliwościowy wskaźnik jakości

BW = wn*sqrt(1-2*zeta^2+sqrt(zeta^4-4*zeta^2+2))

% Czasowe wskaźniki jakości

Mp = exp(-pi*zeta/sqrt(1-zeta^2))*100
tp = pi/(wn*sqrt(1-zeta^2))
to = (1+0.7*zeta)/wn
tn = 1.8/wn
tr = 4.6/(zeta*wn)

% Graficzna prezentacja uzyskanych wyników
ltiview( tf( wn^2, [1 2*zeta*wn wn^2]))

Kolejny przykład ilustruje zastosowanie wzorów (6), (7), (8), (9), (14), (15), (16) do projektowania
odpowiedzi skokowej układu II rzędu.

Przykład 2

Dla układu pokazanego na rysunku 2.1, wyznacz takie wartości parametrów K

1

i K

2

aby

spełnione były następujące wymagania dotyczące wybranych częstotliwościowych i czasowych
wskaźników jakości:

•

szerokość pasma częstotliwości BW = 4.58 [rad/s],

•

czas narastania t

n

= 0.5 [s].

Mając wyznaczone wartości parametrów K

1

oraz K

2

, oblicz jakie będzie w tym układzie

maksymalne przeregulowanie M

p

i czas ustalania t

R

(dokładność 2%) jednostkowej odpowiedzi

skokowej.

K

1

1

s+1

1

s

K

2

R(s)

Y(s)

Rys. 2.1. Schemat blokowy układu z poszukiwanymi wartościami parametrów K

1

i K

2

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

9

Rozwiązanie: Transmitancja zastępcza całego układu z rysunku 2.1

( )

(

)

1

2

2

1

1

)

(

)

(

K

s

K

s

K

s

R

s

Y

s

G

+

+

+

=

=

(2.1)

Porównując równanie (2.1) z równaniem (2), uzyskuje się zależności pozwalające na
wyznaczenie poszukiwanych wartości parametrów K

1

oraz K

2

i są one następujące:

2

1

n

K

ω

=

(2.2)

n

K

ζω

2

1

2

=

+

(2.3)

Z zależności (2.2) oraz (2.3) wynika, że do wyznaczenia wartości parametrów K

1

oraz K

2

potrzebna jest znajomość wartości współczynnika tłumienia

ζ

oraz częstotliwości drgań

własnych

n

ω

, które to wartości uzyskane zostaną z wymagań jakie nałożone zostały na

projektowany układ z rysunku 2.1. Szerokość pasma częstotliwości BW opisana jest przez
równanie (16)

(

)

2

4

2

1

2

4

2

+

−

+

−

=

ζ

ζ

ζ

ω

n

BW

= 4.58 [rad/s]

(2.4)

natomiast czas narastania t

n

przez równanie (9)

n

n

t

ω

8

.

1

=

= 0.5 [s]

(2.5)

Z układu tych dwóch równań (2.4) i (2.5) z dwoma niewiadomymi wyznaczona zostanie
w pierwszej kolejności poszukiwana wartość częstotliwości drgań własnych

n

ω

z równania

(2.5)

5

.

0

8

.

1

8

.

1

=

=

n

n

t

ω

= 3.6 [s]

(2.6)

i następnie po podstawieniu do równania (2.4) wyznaczonej wartości

n

ω

i dokonaniu kilku

przekształceń uzyskuje się następujący wielomian

0

1

2

4

3

2

4

2

2

4

=

−









−









+









−

n

n

n

BW

BW

BW

ω

ω

ζ

ω

ζ

(2.7)

Rozwiązaniami równania (2.7) są następujące wartości współczynnika

ζ

:

544

.

1

2

,

1

j

±

=

ζ

3

ζ

= 0.4755,

4

ζ

=

−

0.4755

(2.8)

Poprawnym rozwiązaniem ze zbioru rozwiązań (2.8) jest

4755

.

0

3

=

=

ζ

ζ

(2.9)

gdyż jest wartością rzeczywistą dodatnią. W celu sprawdzenia uzyskanego rozwiązania należy
jeszcze raz wyznaczyć zadaną wartość szerokości pasma, według wzoru (2.4) i uzyskane wyniki
porównać z zadanymi wymaganiami.

Mając wyznaczone wartości współczynnika tłumienia

ζ

i częstotliwości drgań własnych

n

ω

,

poszukiwane wartości parametrów K

1

oraz K

2

z zależności (2.2) i (2.3) są następujące:

960

.

12

2

1

=

=

n

K

ω

(2.10)

1

6

.

3

4755

.

0

2

1

2

2

−

⋅

⋅

=

−

=

n

K

ζω

= 2.424

(2.11)

Amplituda maksymalnego przeregulowania (6)

M

p%

=

%

100

2

1

⋅

−

−

ζ

πζ

e

= 18.3 [%]

(2.12)

Czas ustalania t

R

dla dokładności (

∆

= 2%)

6

.

3

4755

.

0

4

4

4

⋅

=

=

=

n

R

t

ζω

σ

= 2.337 [s]

(2.13)

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

10

Wyniki uzyskane zostały przy użyciu następujących linii kodu programu

% Wymagania nałożone na układ

BW = 4.58;
tn = 0.5;

% Wyznaczenie wn i zeta
wn = 1.8/tn
a = (BW/wn)^2
r_zeta = roots([3 0 4*a 0 (a^2-2*a-1)])
zeta = r_zeta(3)

% Sprawdzenie poprawności wyznaczonych parametrów

wn i zeta

BWs = wn*sqrt(1-2*zeta^2+sqrt(zeta^4-4*zeta^2+2))

% Poszukiwane wartości wzmocnień

K1 = wn^2
K2 = 2*zeta*wn-1

% Wybrane czasowe wskaźniki jakości

Mp = exp(-pi*zeta/sqrt(1-zeta^2))*100
tr = 4/(zeta*wn)

% Graficzna prezentacja uzyskanych wyników
ltiview( tf( K1, [1 (1+K2) K1]))

4. PRZEKSZTAŁCANIE WYMAGAŃ PROJEKTOWYCH NA PŁASZCZYZNĘ S

Przekształcanie wymagań projektowych na płaszczyznę s związane jest z czwartym kryterium oceny
jakości regulacji związanych z oceną jakości na podstawie położeń biegunów transmitancji.

Odpowiedź skokowa układu II rzędu może być kształtowana przez ustalenie odpowiednich

położeń pierwiastków równania charakterystycznego transmitancji II rzędu (2). Pierwiastki te mogą
być wyrażone jako

s

1

, s

2

=

−

ζω

n

±

j

ω

n

2

1

ζ

−

=

−

σ

±

j

ω

(17)

gdzie

σ

=

n

ζω

(18)

ω

=

2

1

ζ

ω

−

n

(19)

charakterystycznego oraz

σ

,

ζ

,

n

ω

oraz

ω

. Dla pierwiastków zespolonych sprzężonych:

Re s

Im s

ω

ω

n

σ =ζω

n

θ

pierwiastek

pierwiastek

płaszczyzna s

Rys.4. Zależność pomiędzy pierwiastkami równania charakterystycznego prototypowego układu II rzędu oraz

σ

,

ζ

,

n

ω

,

ω

, gdzie

2

1

ζ

ω

ω

−

=

n

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

11

•

n

ω −

jest kątową odległością pierwiastka od początku układu (częstotliwością drgań

własnych).

•

σ

−

jest częścią rzeczywistą pierwiastków.

•

ω

−

jest częścią urojoną pierwiastków (częstotliwością drgań tłumionych).

•

ζ

−

(współczynnik tłumienia) jest cosinusem kąta pomiędzy linią kątową pierwiastków

i półosią rzeczywistą ujemną (gdy pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie)

θ

ζ

cos

=

(20)

Na etapie projektowania układu nakłada się pewne wymagania dotyczące czasu narastania

n

t ,

maksymalnego przeregulowania

p

M i czasu ustalania (regulacji)

R

t i zadaje się pytanie: gdzie

powinny znajdować się bieguny, aby uzyskać odpowiedź w której te wielkości będą mniejsze lub
równe zadanym wymaganiom. Dla zadanych wartości

n

t ,

p

M oraz

R

t forma syntezowa tych równań:

n

n

t

8

.

1

≥

ω

(21)

≥

ζ

( )

( )

p

p

M

M

2

2

ln

ln

+

−

π

(22)

R

t

6

.

4

≥

σ

(23)

Zależności te w formie graficznej przedstawione są na rysunku 5 i 6.

Im s

Re s

ω

n

Im s

Re s

arccos

ζ

Im s

Re s

σ

(a)

(b)

(c)

Rys.5. Wymagania projektowe dotyczące układu II rzędu pokazane w formie graficznej (a) czas narastania,

(b) maksymalne przeregulowanie, (c) czas ustalania.

Im s

Re s

Rys.6. Wymagania projektowe z rysunku 5 zebrane na jednym wykresie.

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

12

Przykład 3

Znajdź obszary położeń biegunów transmitancji układu na płaszczyźnie s, jeśli wymagania
nałożone na odpowiedź skokową są następujące:

≤

n

t

0.6 [s],

≤

p

M

10 [%] oraz

≤

R

t

3 [s],

(

∆

= 1 [%]).

Rozwiązanie: Bez wiedzy, czy układ II rzędu posiada zera czy też nie, nie jest możliwe
znalezienie dokładnych obszarów. Można natomiast uzyskać pierwszą aproksymację z użyciem
zależności dla układu II rzędu.
Równanie (21) oznacza, że

n

n

t

8

.

1

≥

ω

= 3 [rad/s]

(3.1)

Z równanie (22) wynika

( )

( )

( )

( )

1

.

0

ln

1

.

0

ln

ln

ln

2

2

2

2

+

−

=

+

−

≥

π

π

ζ

p

p

M

M

= 0.5912

(3.2)

czyli kąt

θ

(

)

o

76

.

53

5912

.

0

cos

=

≤

arc

θ

(3.3)

oraz w oparciu o równanie (23) uzyskuje się

3

6

.

4

≥

σ

= 1.5333 [s]

(3.4)

Wymagania definiowane dla odpowiedzi skokowej przekładają się na następujące obszary
możliwych położeń spełniających te wymagania.

∞

<

≤

n

ω

3

(3.5)

∞

<

≤

ζ

5912

.

0

czyli

o

76

.

53

0

≤

≤

θ

,

(3.6)

∞

<

≤

σ

5333

.

1

(3.7)

Obszar możliwych położeń biegunów na płaszczyźnie s spełniających wymagania z tego
przykładu znajduje się na rysunku 3.1. Zauważ, że pewne wymagania dotyczące

ζ

oraz

n

ω

automatycznie spełniają wymaganiu dotyczącemu

σ

.

j3

Im s

Re s

−

1.5

−

3

Rys.3.1. Fragment obszaru możliwych położeń biegunów na płaszczyźnie s spełniających wymagania z

przykładu 3.

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

13

W Matlabie do wykreślania na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s linii stałych wartości

ζ

oraz

n

ω

służy funkcja

sgrid

. Wyniki w tym przykładzie uzyskane zostały przy użyciu

następujących linii kodu programu.

clear

% Wymagania nałożone na układ
tn_gr = 0.6; % Wartość graniczna czasu narastania
Mp_gr = 10; % Wartość graniczna maksymalnego

przeregulowania

tr_gr = 3; % Wartość graniczna czasu regulacji

% wyznaczenie granicznych wartości parametrów transmitancji

wn_gr = 1.8/tn_gr
zeta_gr = -log(Mp_gr/100)/sqrt(pi^2+log(Mp_gr/100)^2)
theta_gr = acos( zeta_gr)*180/pi
sigma_gr = 4.6/tr_gr
% graficzna prezentacja uzyskanych wyników
sgrid( zeta_gr, wn_gr, 'new')
axis auto
axis equal

ĆWICZENIA W MATLABIE

M1. Dla układu z rysunku M1 dobierz takie wartości parametrów K

1

i K

2

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

czas narastania

n

t

= 1.8 [s]

•

pik rezonansowy

r

M

= 2.7 [dB]

R(s)

Y(s)

K

2

s

10

s(s + 2)

K

1

Rys. M1. Schemat blokowy układu zamkniętego

M2.

Dla układu z rysunku M2, dobierz takie wartości parametrów K

1

i K

2

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

czas (chwila) wystąpienia pierwszego przeregulowania t

p

= 1 [s],

•

częstotliwość rezonansowa

r

ω

= 2 [rad/s]

K

1

K

2

R(s)

Y(s)

1

s

1

s

2

Rys. M2. Schemat blokowy układu zamkniętego

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

14

M3.

Dla układu z rysunku M3, dobierz takie wartości parametrów K

1

i K

2

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

pik rezonansowy M

r

= 1.5 [dB]

•

częstotliwość rezonansowa

r

ω

= 2 [rad/s]

1

s

K

2

R(s)

Y(s)

1

s

K

1

Rys. M3. Schemat blokowy układu zamkniętego

M4.

Dla układu z rysunku M4, dobierz takie wartości parametrów K

1

i

α

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

czas ustalania (regulacji) t

R

= 4 [s], (

∆

= 2 %)

•

częstotliwość rezonansowa

r

ω

= 1 [rad/s]

K

1

s+

α

R(s)

Y(s)

1

s

Rys. M4. Schemat blokowy układu zamkniętego

M5.

Dla układu z rysunku M5, dobierz takie wartości parametrów K

1

i

α

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

czas (chwila) wystąpienia pierwszego przeregulowania t

p

= 1 [s],

•

czas ustalania (regulacji) t

R

= 2 [s], (

∆

= 1 %)

1

s(s+

α )

0.5s

R(s)

Y(s)

K

Rys. M5. Schemat blokowy układu zamkniętego

M6.

Dla układu z rysunku M6, dobierz takie wartości parametrów K oraz

α

aby spełnione były

następujące wymagania dotyczące przejściowej odpowiedzi skokowej:

•

czas narastania M

p

= 14 [%]

•

szerokość pasma BW = 4 [rad/s]

K

1

s(s+

α

)

s

R(s)

Y(s)

Rys.M6. Schemat blokowy układu zamkniętego

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

15

M7.

Dla układu z rysunku M7, dobierz takie wartości parametrów K oraz

α

aby spełnione były

następujące wymagania dotyczące przejściowej odpowiedzi skokowej:

•

czas narastania M

p

= 14 [%]

•

czas opóźnienia t

o

= 0.6 [s]

1

s+

α

R(s)

Y(s)

K

1

s

Rys.M7. Schemat blokowy układu zamkniętego

M8.

Dla układu z rysunku M8, dobierz takie wartości parametrów K

1

i K

2

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

pik rezonansowy M

r

= 1.2 [dB]

•

szerokość pasma BW = 3 [rad/s]

K

1

1

s+1

1

s

K

2

R(s)

Y(s)

Rys. M8. Schemat blokowy układu zamkniętego

M9.

Dla układu z rysunku M9, dobierz takie wartości parametrów K

1

i K

2

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

czas opóźnienia t

o

= 1 [s],

•

pik rezonansowy M

r

= 2 [dB]

1

s

R(s)

Y(s)

K

1

1

s

K

2

Rys. M9. Schemat blokowy układu zamkniętego

M10.

Dla układu z rysunku M10, dobierz takie wartości parametrów K

1

i K

2

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

pik rezonansowy M

r

= 3 [dB]

•

szerokość pasma BW = 5 [rad/s]

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

16

1

s

K

2

R(s)

Y(s)

1

s

K

1

Rys. M10. Schemat blokowy układu zamkniętego

M11.

Dla układu z rysunku M11, dobierz takie wartości parametrów K

1

i

α

aby spełnione były

następujące wymagania:

•

czas (chwila) wystąpienia pierwszego przeregulowania t

p

= 1 [s],

•

czas ustalania (regulacji) t

R

= 2 [s], (

∆

= 1 %)

1

s+1

K

2

R(s)

Y(s)

K

1

1

s

Rys. M11. Schemat blokowy układu zamkniętego

M12.

Dla układu z rysunku M12, dobierz takie wartości parametrów K oraz

α

aby spełnione były

następujące wymagania dotyczące przejściowej odpowiedzi skokowej:

•

częstotliwość rezonansowa

r

ω

= 3 [rad/s]

•

szerokość pasma BW = 6 [rad/s]

K

2

R(s)

Y(s)

1

s

K

1

1

s

Rys.M12. Schemat blokowy układu zamkniętego

M13. Naszkicuj obszar na płaszczyźnie s w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu,

które spełniają poniższe wymagania.

a)

•

czas narastania t

n

≤

0.5 [s]

•

procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie M

p

≤

16.7 [%]

•

czas regulacji t

R

≤

2 [s], (

∆

= 1 [%])

b)

•

czas narastania 0.3

≤

t

n

≤

0.6 [s],

•

maksymalne przeregulowanie 15

≤

M

p

≤

30 [%],

•

czas regulacji

7

10

≤

t

R

≤

3

10

[s], (

∆

= 2 [%])

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

17

c)

•

czas narastania t

n

≤

2 [s]

•

procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 10

≤

M

p

≤

25 [%]

•

czas regulacji t

R

≥

6 [s], (

∆

= 2%)

d)

•

czas narastania t

n

≤

0.6 [s],

•

maksymalne przeregulowanie M

p

≤

20 [%],

•

czas regulacji 1

≤

t

R

≤

2 [s], (

∆

= 2%)

e)

•

czas narastania t

n

≥

0.8 [s],

•

maksymalne przeregulowanie M

p

≤

25 [%],

•

czas regulacji t

R

≥

3.6 [s], (

∆

= 2%)

f)

•

czas narastania 0.6

≤

t

n

≤

1.8 [s],

•

maksymalne przeregulowanie M

p

≤

10 [%],

•

czas regulacji t

R

≥

1.8 [s], (

∆

= 2%)

g)

•

czas narastania t

n

≤

1.5 [s],

•

maksymalne przeregulowanie 15

≤

M

p

≤

50 [%],

•

czas regulacji t

R

≤

8 [s],

∆

= 1 [%]

h)

•

czas narastania t

n

≤

0.3 [s],

•

maksymalne przeregulowanie 5

≤

M

p

≤

25 [%],

•

czas regulacji 1

≤

t

R

≤

7

10

[s], (

∆

= 1 [%])

i)

•

czas narastania t

n

≥

0.45 [s]

•

procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie M

p

≤

14 [%]

•

czas regulacji t

R

≤

4 [s], (

∆

= 1 [%])

j)

•

czas narastania t

n

≤

1.6 [s]

•

procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 12

≤

M

p

≤

18 [%]

•

czas regulacji t

R

≤

8 [s], (

∆

= 2%)

k)

•

czas narastania t

n

≥

0.3 [s],

•

maksymalne przeregulowanie M

p

≤

10.2 [%],

•

czas regulacji t

R

≥

3 [s], (

∆

= 2%)

l)

•

czas narastania t

n

≤

1.2 [s],

•

maksymalne przeregulowanie 12

≤

M

p

≤

24 [%],

•

czas regulacji t

R

≤

7.2 [s], (

∆

= 1 [%])

Teoria sterowania

Analiza układu II rzędu

−

Matlab

Ostatnia aktualizacja: 03-12-04



M. Tomera

18

ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ

M1.

1

.

0

1

=

K

, 12

.

0

2

−

=

K

M2.

935

.

3

1

=

K

, 512

.

1

2

=

K

M3.

402

.

7

1

=

K

, 608

.

2

2

=

K

M4.

3

=

K

, 1

=

α

M5.

897

.

13

=

K

, 1

.

4

=

α

M6.

319

.

11

=

K

, 569

.

2

=

α

M7.

224

.

5

=

K

, 425

.

1

=

α

M8.

941

.

5

1

=

K

, 458

.

1

2

=

K

M9.

716

.

1

1

=

K

, 259

.

1

2

=

K

M10.

132

.

13

1

=

K

, 777

.

2

2

=

K

M11.

509

.

10

1

=

K

, 6

.

0

2

=

K

M12.

633

.

3

1

=

K

, 895

.

2

2

=

K

M13.

a)

∞

<

≤

n

ω

6

.

3

;

∞

<

≤

ζ

495

.

0

;

o

o

3

.

60

0

≤

≤

θ

,

∞

<

≤

σ

3

.

2

b)

6

3

≤

≤

n

ω

;

517

.

0

358

.

0

≤

≤

ζ

;

o

o

0

.

69

9

.

58

≤

≤

θ

,

8

.

3

2

.

1

≤

≤

σ

c)

∞

<

≤

n

ω

9

.

0

;

591

.

0

404

.

0

≤

≤

ζ

;

o

o

2

.

66

8

.

53

≤

≤

θ

,

667

.

0

0

≤

<

σ

d)

∞

<

≤

n

ω

3

,

∞

<

≤

ζ

456

.

0

;

o

o

9

.

62

0

≤

≤

θ

,

4

2

≤

≤

σ

e) 25

.

2

0

≤

<

n

ω

∞

<

≤

ζ

404

.

0

;

o

o

2

.

66

0

≤

≤

θ

,

111

.

1

0

≤

<

σ

f)

3

1

≤

≤

n

ω

∞

<

≤

ζ

591

.

0

;

o

o

8

.

53

0

≤

≤

θ

,

212

.

2

0

≤

<

σ

g)

∞

<

≤

n

ω

2

.

1

517

.

0

215

.

0

≤

≤

ζ

;

o

o

5

.

77

9

.

58

≤

≤

θ

,

∞

<

≤

σ

575

.

0

h)

∞

<

≤

n

ω

6

690

.

0

403

.

0

≤

≤

ζ

;

o

o

2

.

66

4

.

46

≤

≤

θ

,

6

.

4

22

.

3

≤

≤

σ

i)

4

0

≤

<

n

ω

∞

<

≤

ζ

5305

.

0

;

o

o

58

0

≤

≤

θ

,

∞

<

≤

σ

15

.

1

j)

∞

<

≤

n

ω

125

.

1

559

.

0

479

.

0

≤

≤

ζ

;

o

o

4

.

61

0

.

56

≤

≤

θ

,

∞

<

≤

σ

5

.

0

k)

6

0

≤

<

n

ω

,

∞

<

≤

ζ

5878

.

0

,

o

o

9

.

53

0

≤

≤

θ

,

333

.

1

0

≤

<

σ

l)

∞

<

≤

n

ω

5

.

1

,

559

.

0

413

.

0

≤

≤

ζ

,

o

o

6

.

65

0

.

56

≤

≤

θ

,

∞

<

≤

σ

639

.

0

LITERATURA

1. Kuo B.C. Automatic Control System, John Wiley & Sons, Inc, 1995.