Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

Analiza harmonicznych

W rzeczywistych warunkach przebiegi prądów, napięć i sił

elektromotorycznych często są niesinusoidalne. Niesinusoidalne siły

elektromotoryczne powodują w obwodach przepływ niesinusoidalnych prądów.
Wobec tego prądy i napięcia w liniowych obwodach elektrycznych są zazwyczaj

odkształcone. W obwodach elektrycznych często występują elementy nieliniowe, jak
na przykład cewki mające rdzenie stalowe itp. Cechą charakterystyczną obwodów

nieliniowych jest to, że napięcie sinusoidalne powoduje przepływ prądu

niesinusoidalnego i odwrotnie, przy przepływie prądu sinusoidalnego napięcia są
niesinusoidalne. W związku z tym można powiedzieć, że elementy nieliniowe

powodują odkształcenia wielkości sinusoidalnych. Z tego powodu przy analizie
obwodów nieliniowych mamy zawsze do czynienia z prądami i napięciami

niesinusoidalnymi.

W niektórych przypadkach odkształcenie okresowych wielkości

niesinusoidalnych jest stosunkowo nieznaczne i wówczas można przyjąć, że prądy
i napięcia w obwodach są sinusoidalne.

W innych przypadkach takiego założenia nie można przyjąć i należy

rozpatrywać prądy niesinusoidalne.

Szereg Fouriera

W dalszych rozważaniach rozpatrywać będziemy okresowe funkcje f(t)

o okresie T czyli:

Załóżmy, że okresowe funkcje f(t) spełniają warunki Dirichleta:

- przedział o długości T można podzielić na skończoną liczbę takich części, w których

funkcja f(t) jest monotoniczna, tzn. jest bądź rosnąca, bądź też malejąca,
- funkcja f(t) ma na przedziale o długości T skończoną liczbę punktów nieciągłości,

a ponadto jej wartość bezwzględna jest ograniczona w każdym punkcie tego
przedziału.

Niech ω=2

π /T oznacza pulsację okresowej funkcji f(t). Jeśli funkcja f(t)

spełnia warunki Dirichleta, to można ją przedstawić w postaci szeregu Fouriera:

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

1

Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

W powyższych wyrażeniach t

0

oznacz dowolną wartość czasu t. Współczynniki B

k

i C

k

nie zależą od wielkości t

0

.

Stałą C

0

w powyższym wzorze obliczamy za pomocą wzoru na C

0

przyjmując k = 0.

Stała C

0

=0 gdy:

Czyli gdy wartość średnia za okres funkcji f(t) równa jest zero. Stwierdzamy zatem,

że w przypadku wielkości przemiennych stała C

0

równa się zeru.

Ogólny wyraz we wzorze można napisać w postaci następującej:

przy czym:

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

2

Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

Oznaczając ponadto A

0

= C

0

/2, możemy przedstawić szereg Fouriera w postaci

następującej:

Wyrażenie to ma szczególnie prostą interpretacje fizyczną: każdą wielkość okresową
spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić w postawić w postaci sumy

wielkości stałej A

0

=C

0

/2 oraz nieskończenie wielu wielkości sinusoidalnych zwanych

harmonicznymi. Wielkość sinusoidalną o najniższej harmonicznej (k = 1) wartości
pulsacji nazywamy harmoniczną podstawową. Harmoniczna podstawowa ma taką

samą pulsację w = 2

π /T, jak funkcja okresowa f(t) o okresie T. Wielkości

sinusoidalne o pulsacji k·ω, przy czym k > 1 nazywamy wyższymi harmonicznymi,
a k oznacza rząd harmonicznej.

Rozwinięcie w szereg Fouriera zawiera teoretycznie nieskończenie wiele

harmonicznych. W zastosowaniach praktycznych amplitudy wyższych harmonicznych,

których rząd jest wyższy od pewnej liczby n, są zazwyczaj pomijanie małe, wobec

czego można je pominąć. W związku z tym w szeregu Fouriera uwzględnia się
jedynie skończoną liczbę początkowych harmonicznych o rzędach od k = 1 to k = n.

Rozwinięcia funkcji

W praktyce często zachodzi potrzeba rozwinięcia funkcji okresowych w szereg

Fouriera, przy czym ich przebieg podany jest w postaci graficznej. Zagadnienie to

nazywa się analizą harmoniczną. Zajmiemy sie tu metodą arytmetyczną Perry´ego,
która wydaje się być najbardziej obrazową.

Okres 2

π funkcji f(α ) dzielimy na n równych części, wobec czego delta(α ) = 2 π /

n. W punktach delta(

α ), 2·delta(α ), 3·delta(α ),..., n·delta(α ) na osi 0-α

wystawiamy rzędne y1, y2, y3,..., yn krzywej f(

α ), jak na rysunku.

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

3

Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

Wykorzystując wzory na wartość przybliżoną całki, zastępujemy całki we wzorach na

B

k

i B

c

przez sumy skończone; otrzymujemy

Im większe n tym większa dokładność wzorów przybliżonych.

Wartość skuteczna każdej harmonicznej :

k

sk

C

C

k

2

1

=

a całego sygnału to:

( )

2

0

∑

∞

=

=

k

sk

sk

k

C

f

Postać zespolona szeregu Fouriera

t

jk

k

K

e

F

t

f

0

0

)

(

ω

∑

∞

=

=

gdzie:

∫

+

−

=

T

t

t

t

jk

K

dt

e

t

f

T

F

0

0

0

)

(

1

ω

Między wyrazami rozwinięcia funkcji okresowej w szereg Fouriera, a ich
transformacjami Laplace`a zachodzi związek:

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

4

Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

t

jk

s

T

K

s

F

T

F

0

)

(

1

ω

=

=

F

T

– obraz funkcji f(t) w przekształceniu Laplace`a

Związek ten pozwala na uzyskanie widma amplitudowego sygnału ze współczynników

szeregu Fouriera. Np. dla sygnału wykładniczego:

K

t

jk

s

F

t

jk

F

s

F

β

ω

ω

=

=

=

)

(

)

(

0

0

gdzie

β - stały współczynnik – dla sygnału zanikającego pod koniec okresu β≈T

Przykłady rozwinięć w szereg Fouriera

a) przebieg schodkowy

)]

2

(

2

)

(

1

[

)

(

0

T

t

t

U

t

u

−

⋅

−

⋅

=

dla

0

≤ t ≤ T

jego rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać:

...)

5

sin

5

1

3

sin

3

1

(sin

2

)

(

0

0

0

0

+

+

+

⋅

=

t

t

t

U

t

u

ω

ω

ω

π

T

π

ω

2

0

=

Na wykresie 1 wykreślono sygnał u(t) i jego pierwsze 3 harmoniczne. Wykresy 2-6

przedstawiają porównanie przebiegu sygnału u(t) do sum kolejnych harmonicznych.

b) przebieg piłokształtny

dla

4

0

T

t

≤

≤

dla

4

3

4

T

t

T

≤

≤

dla

T

t

T

≤

≤

4

3

( )

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

+

−

−

=

t

T

U

U

t

T

U

U

T

U

t

u

0

0

0

0

0

4

4

4

2

4

jego rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać:

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

5

Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

( )

( )

(

)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

−

⋅

=

....

5

sin

5

1

3

sin

3

1

sin

2

0

2

0

2

0

0

t

t

t

U

t

u

ω

ω

ω

π

T

π

ω

2

0

=

Wykres 7 przedstawia sygnał u(t) i jego pierwsze 3 harmoniczne. Wykresy 8 i 9

pokazują różnice pomiędzy sygnałem u(t), a sumami : 1-wszej i 2-giej (Wykres 8),
1-wszej, 2-giej i 3-ciej (Wykres 9) harmonicznej.

Szereg Fouriera stanowi dobra aproksymację sygnału – zwłaszcza przy dużej ilości
zastosowanych harmonicznych. Warto jednak zauważyć że w przypadku sygnału

schodkowego wymagana do uzyskania dopasowania liczba harmonicznych jest
większa niż dla sygnału piłokształtnego – poza tym przebieg powstały dzięki

zastosowaniu rozwinięcia w szereg Fouriera posiada charakterystyczne „rogi” i jest to

niezależne liczby harmonicznych.

Wykonanie ćwiczenia

Badanie odpowiedzi układu na wymuszenie

Jeżeli na układ o transmitancji operatorowej H(s) zadziałamy sygnałem
pobudzającym u(t)=

δ(t) – (deltą Diraca)

- postać czasowa

H(s)

y(t)=h(t)

u(t)=

δ(t)

- transformata Laplace`a

u(s)=1

y(s)=H(s)

to na wyjściu układu powinniśmy otrzymać jego transmitancję H(s) lub H(j

ω) –

widmo układu.
Ponieważ pobudzenie układu impulsem Diraca jest praktycznie niewykonalne to

widmo układu uzyskuje się w inny sposób:
Jeżeli układ pobudzany jest skokiem jednostkowym 1(t) (transformata Laplace’a

s

1 )

to odpowiedz układu ma postać

s

s

H

s

Y

1

)

(

)

(

=

stąd

)

(

)

(

s

sY

s

H

=

. Aby uzyskać widmo

sygnału H(j

ω) należy więc obliczyć pochodną sygnału odpowiedzi na skok

jednostkowy, a następnie dokonać transformaty Laplace`a lub Fouriera.

a) układ pierwszego rzędu

Badamy układ:

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

6

Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

wejście : u(t)=e(t)=E1(t)
wyjście : y(t)=u

C

(t)

Transmitancja operatorowa:

( )

1

)

(

2

+

=

ωτ

E

s

H

gdzie

τ=RC – stała czasowa obwodu

Wartość skuteczną sygnału otrzymujemy z poniższego wzoru. C

skk

to amplitudy

poszczególnych harmonicznych uzyskane za pomocą próbkowania cyfrowego sygnału

odpowiedzi układu. Odczytujemy je z wydruku z programu MATLAB, do którego
sygnał został przesłany w postaci cyfrowej z urządzenia próbkującego:

∑

=

=

n

k

sk

c

k

sk

C

U

0

2

Parametry transmitancji uzyskujemy przez dopasowywanie przebiegu otrzymanego
i przetworzonego na postać cyfrową z przebiegiem idealizowanym przez program

MATLAB. Odczytujemy wartość

τ i E:

b) układ drugiego rzędu

wejście: u(t)=E1(t)
wyjście: y(t)=u

C

(t)

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

7

Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego

Transmitancja operatorowa:

(

)

2

2

0

2

1

)

(

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

ω

ω

ω

RC

E

s

H

Wartość skuteczną, tak jak poprzednio, sygnału otrzymujemy z poniższego wzoru.
C

skk

to amplitudy poszczególnych harmonicznych uzyskane za pomocą próbkowania

cyfrowego sygnału odpowiedzi układu. Odczytujemy je z wydruku z programu
MATLAB, do którego sygnał został przesłany w postaci cyfrowej z urządzenia

próbkującego

∑

=

=

n

k

sk

c

k

sk

C

U

0

2

Parametry transmitancji otrzymujemy analogicznie jak poprzednio: poprzez

dopasowanie wykresu odpowiedzi spróbkowanego a następnie przesłanego do
MATLAB’a z charakterystyką teoretyczną.

Podsumowanie

Problemy związane z identyfikacją parametrów obiektów i sygnałów są kluczowym

zagadnieniem w dziedzinie sterowania i obejmują bardzo szeroki materiał, którego
małą część przedstawiono w niniejszym opracowaniu. Dzięki analizie harmonicznych

możliwe jest dokładne poznanie modelu, z którym mamy do czynienia. Ta wiedza
pozwala nam sterować pracą całego systemu, patrząc na to globalnie. Zatem wiedza

ta jest nam niezbędna do poznania i rozumienia, a także modelowania owych

systemów złożonych z mniej lub bardziej skomplikowanych układów dynamicznych.

Bibliografia

1. Aleksandra Zimmer: Identyfikacja obiektów i sygnałów – teoria i praktyka dla

użytkowników MATLABA, Skrypt Politechniki Krakowskiej, Kraków 1998

2. Stanisław Bolkowski: Elektrotechnika, WSiP, Warszawa 1993

3. Stanisław Bolkowski: Elektrotechnika teoretyczna. T. 1, Teoria obwodów

elektrycznych, WNT, Warszawa 1986

4. Kazimierz Mańczak, Zbigniew Nahorski: Komputerowa identyfikacja obiektów

dynamicznych, PWN, Warszawa 1983

5. Bogusława Mrozek, Zbigniew Mrozek: MATLAB. Uniwersalne środowisko do

obliczeń naukowo-technicznych, Wydawnictwo CCATTE, Kraków 1995

6. MATLAB User’s Guide – toolbox: Control, toolbox: System Identufication. Inc.

Natick 1994

Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004

8