Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Analiza harmonicznych
W rzeczywistych warunkach przebiegi prądów, napięć i sił
elektromotorycznych często są niesinusoidalne. Niesinusoidalne siły
elektromotoryczne powodują w obwodach przepływ niesinusoidalnych prądów.
Wobec tego prądy i napięcia w liniowych obwodach elektrycznych są zazwyczaj
odkształcone. W obwodach elektrycznych często występują elementy nieliniowe, jak
na przykład cewki mające rdzenie stalowe itp. Cechą charakterystyczną obwodów
nieliniowych jest to, że napięcie sinusoidalne powoduje przepływ prądu
niesinusoidalnego i odwrotnie, przy przepływie prądu sinusoidalnego napięcia są
niesinusoidalne. W związku z tym można powiedzieć, że elementy nieliniowe
powodują odkształcenia wielkości sinusoidalnych. Z tego powodu przy analizie
obwodów nieliniowych mamy zawsze do czynienia z prądami i napięciami
niesinusoidalnymi.
W niektórych przypadkach odkształcenie okresowych wielkości
niesinusoidalnych jest stosunkowo nieznaczne i wówczas można przyjąć, że prądy
i napięcia w obwodach są sinusoidalne.
W innych przypadkach takiego założenia nie można przyjąć i należy
rozpatrywać prądy niesinusoidalne.
Szereg Fouriera
W dalszych rozważaniach rozpatrywać będziemy okresowe funkcje f(t)
o okresie T czyli:
Załóżmy, że okresowe funkcje f(t) spełniają warunki Dirichleta:
- przedział o długości T można podzielić na skończoną liczbę takich części, w których
funkcja f(t) jest monotoniczna, tzn. jest bądź rosnąca, bądź też malejąca,
- funkcja f(t) ma na przedziale o długości T skończoną liczbę punktów nieciągłości,
a ponadto jej wartość bezwzględna jest ograniczona w każdym punkcie tego
przedziału.
Niech ω=2
π /T oznacza pulsację okresowej funkcji f(t). Jeśli funkcja f(t)
spełnia warunki Dirichleta, to można ją przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
1
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
W powyższych wyrażeniach t
0
oznacz dowolną wartość czasu t. Współczynniki B
k
i C
k
nie zależą od wielkości t
0
.
Stałą C
0
w powyższym wzorze obliczamy za pomocą wzoru na C
0
przyjmując k = 0.
Stała C
0
=0 gdy:
Czyli gdy wartość średnia za okres funkcji f(t) równa jest zero. Stwierdzamy zatem,
że w przypadku wielkości przemiennych stała C
0
równa się zeru.
Ogólny wyraz we wzorze można napisać w postaci następującej:
przy czym:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
2
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Oznaczając ponadto A
0
= C
0
/2, możemy przedstawić szereg Fouriera w postaci
następującej:
Wyrażenie to ma szczególnie prostą interpretacje fizyczną: każdą wielkość okresową
spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić w postawić w postaci sumy
wielkości stałej A
0
=C
0
/2 oraz nieskończenie wielu wielkości sinusoidalnych zwanych
harmonicznymi. Wielkość sinusoidalną o najniższej harmonicznej (k = 1) wartości
pulsacji nazywamy harmoniczną podstawową. Harmoniczna podstawowa ma taką
samą pulsację w = 2
π /T, jak funkcja okresowa f(t) o okresie T. Wielkości
sinusoidalne o pulsacji k·ω, przy czym k > 1 nazywamy wyższymi harmonicznymi,
a k oznacza rząd harmonicznej.
Rozwinięcie w szereg Fouriera zawiera teoretycznie nieskończenie wiele
harmonicznych. W zastosowaniach praktycznych amplitudy wyższych harmonicznych,
których rząd jest wyższy od pewnej liczby n, są zazwyczaj pomijanie małe, wobec
czego można je pominąć. W związku z tym w szeregu Fouriera uwzględnia się
jedynie skończoną liczbę początkowych harmonicznych o rzędach od k = 1 to k = n.
Rozwinięcia funkcji
W praktyce często zachodzi potrzeba rozwinięcia funkcji okresowych w szereg
Fouriera, przy czym ich przebieg podany jest w postaci graficznej. Zagadnienie to
nazywa się analizą harmoniczną. Zajmiemy sie tu metodą arytmetyczną Perry´ego,
która wydaje się być najbardziej obrazową.
Okres 2
π funkcji f(α ) dzielimy na n równych części, wobec czego delta(α ) = 2 π /
n. W punktach delta(
α ), 2·delta(α ), 3·delta(α ),..., n·delta(α ) na osi 0-α
wystawiamy rzędne y1, y2, y3,..., yn krzywej f(
α ), jak na rysunku.
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
3
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Wykorzystując wzory na wartość przybliżoną całki, zastępujemy całki we wzorach na
B
k
i B
c
przez sumy skończone; otrzymujemy
Im większe n tym większa dokładność wzorów przybliżonych.
Wartość skuteczna każdej harmonicznej :
k
sk
C
C
k
2
1
=
a całego sygnału to:
( )
2
0
∑
∞
=
=
k
sk
sk
k
C
f
Postać zespolona szeregu Fouriera
t
jk
k
K
e
F
t
f
0
0
)
(
ω
∑
∞
=
=
gdzie:
∫
+
−
=
T
t
t
t
jk
K
dt
e
t
f
T
F
0
0
0
)
(
1
ω
Między wyrazami rozwinięcia funkcji okresowej w szereg Fouriera, a ich
transformacjami Laplace`a zachodzi związek:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
4
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
t
jk
s
T
K
s
F
T
F
0
)
(
1
ω
=
=
F
T
– obraz funkcji f(t) w przekształceniu Laplace`a
Związek ten pozwala na uzyskanie widma amplitudowego sygnału ze współczynników
szeregu Fouriera. Np. dla sygnału wykładniczego:
K
t
jk
s
F
t
jk
F
s
F
β
ω
ω
=
=
=
)
(
)
(
0
0
gdzie
β - stały współczynnik – dla sygnału zanikającego pod koniec okresu β≈T
Przykłady rozwinięć w szereg Fouriera
a) przebieg schodkowy
)]
2
(
2
)
(
1
[
)
(
0
T
t
t
U
t
u
−
⋅
−
⋅
=
dla
0
≤ t ≤ T
jego rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać:
...)
5
sin
5
1
3
sin
3
1
(sin
2
)
(
0
0
0
0
+
+
+
⋅
=
t
t
t
U
t
u
ω
ω
ω
π
T
π
ω
2
0
=
Na wykresie 1 wykreślono sygnał u(t) i jego pierwsze 3 harmoniczne. Wykresy 2-6
przedstawiają porównanie przebiegu sygnału u(t) do sum kolejnych harmonicznych.
b) przebieg piłokształtny
dla
4
0
T
t
≤
≤
dla
4
3
4
T
t
T
≤
≤
dla
T
t
T
≤
≤
4
3
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
−
=
t
T
U
U
t
T
U
U
T
U
t
u
0
0
0
0
0
4
4
4
2
4
jego rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
5
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
( )
( )
(
)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
⋅
=
....
5
sin
5
1
3
sin
3
1
sin
2
0
2
0
2
0
0
t
t
t
U
t
u
ω
ω
ω
π
T
π
ω
2
0
=
Wykres 7 przedstawia sygnał u(t) i jego pierwsze 3 harmoniczne. Wykresy 8 i 9
pokazują różnice pomiędzy sygnałem u(t), a sumami : 1-wszej i 2-giej (Wykres 8),
1-wszej, 2-giej i 3-ciej (Wykres 9) harmonicznej.
Szereg Fouriera stanowi dobra aproksymację sygnału – zwłaszcza przy dużej ilości
zastosowanych harmonicznych. Warto jednak zauważyć że w przypadku sygnału
schodkowego wymagana do uzyskania dopasowania liczba harmonicznych jest
większa niż dla sygnału piłokształtnego – poza tym przebieg powstały dzięki
zastosowaniu rozwinięcia w szereg Fouriera posiada charakterystyczne „rogi” i jest to
niezależne liczby harmonicznych.
Wykonanie ćwiczenia
Badanie odpowiedzi układu na wymuszenie
Jeżeli na układ o transmitancji operatorowej H(s) zadziałamy sygnałem
pobudzającym u(t)=
δ(t) – (deltą Diraca)
- postać czasowa
H(s)
y(t)=h(t)
u(t)=
δ(t)
- transformata Laplace`a
u(s)=1
y(s)=H(s)
to na wyjściu układu powinniśmy otrzymać jego transmitancję H(s) lub H(j
ω) –
widmo układu.
Ponieważ pobudzenie układu impulsem Diraca jest praktycznie niewykonalne to
widmo układu uzyskuje się w inny sposób:
Jeżeli układ pobudzany jest skokiem jednostkowym 1(t) (transformata Laplace’a
s
1 )
to odpowiedz układu ma postać
s
s
H
s
Y
1
)
(
)
(
=
stąd
)
(
)
(
s
sY
s
H
=
. Aby uzyskać widmo
sygnału H(j
ω) należy więc obliczyć pochodną sygnału odpowiedzi na skok
jednostkowy, a następnie dokonać transformaty Laplace`a lub Fouriera.
a) układ pierwszego rzędu
Badamy układ:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
6
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
wejście : u(t)=e(t)=E1(t)
wyjście : y(t)=u
C
(t)
Transmitancja operatorowa:
( )
1
)
(
2
+
=
ωτ
E
s
H
gdzie
τ=RC – stała czasowa obwodu
Wartość skuteczną sygnału otrzymujemy z poniższego wzoru. C
skk
to amplitudy
poszczególnych harmonicznych uzyskane za pomocą próbkowania cyfrowego sygnału
odpowiedzi układu. Odczytujemy je z wydruku z programu MATLAB, do którego
sygnał został przesłany w postaci cyfrowej z urządzenia próbkującego:
∑
=
=
n
k
sk
c
k
sk
C
U
0
2
Parametry transmitancji uzyskujemy przez dopasowywanie przebiegu otrzymanego
i przetworzonego na postać cyfrową z przebiegiem idealizowanym przez program
MATLAB. Odczytujemy wartość
τ i E:
b) układ drugiego rzędu
wejście: u(t)=E1(t)
wyjście: y(t)=u
C
(t)
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
7
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Transmitancja operatorowa:
(
)
2
2
0
2
1
)
(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
ω
ω
ω
RC
E
s
H
Wartość skuteczną, tak jak poprzednio, sygnału otrzymujemy z poniższego wzoru.
C
skk
to amplitudy poszczególnych harmonicznych uzyskane za pomocą próbkowania
cyfrowego sygnału odpowiedzi układu. Odczytujemy je z wydruku z programu
MATLAB, do którego sygnał został przesłany w postaci cyfrowej z urządzenia
próbkującego
∑
=
=
n
k
sk
c
k
sk
C
U
0
2
Parametry transmitancji otrzymujemy analogicznie jak poprzednio: poprzez
dopasowanie wykresu odpowiedzi spróbkowanego a następnie przesłanego do
MATLAB’a z charakterystyką teoretyczną.
Podsumowanie
Problemy związane z identyfikacją parametrów obiektów i sygnałów są kluczowym
zagadnieniem w dziedzinie sterowania i obejmują bardzo szeroki materiał, którego
małą część przedstawiono w niniejszym opracowaniu. Dzięki analizie harmonicznych
możliwe jest dokładne poznanie modelu, z którym mamy do czynienia. Ta wiedza
pozwala nam sterować pracą całego systemu, patrząc na to globalnie. Zatem wiedza
ta jest nam niezbędna do poznania i rozumienia, a także modelowania owych
systemów złożonych z mniej lub bardziej skomplikowanych układów dynamicznych.
Bibliografia
1. Aleksandra Zimmer: Identyfikacja obiektów i sygnałów – teoria i praktyka dla
użytkowników MATLABA, Skrypt Politechniki Krakowskiej, Kraków 1998
2. Stanisław Bolkowski: Elektrotechnika, WSiP, Warszawa 1993
3. Stanisław Bolkowski: Elektrotechnika teoretyczna. T. 1, Teoria obwodów
elektrycznych, WNT, Warszawa 1986
4. Kazimierz Mańczak, Zbigniew Nahorski: Komputerowa identyfikacja obiektów
dynamicznych, PWN, Warszawa 1983
5. Bogusława Mrozek, Zbigniew Mrozek: MATLAB. Uniwersalne środowisko do
obliczeń naukowo-technicznych, Wydawnictwo CCATTE, Kraków 1995
6. MATLAB User’s Guide – toolbox: Control, toolbox: System Identufication. Inc.
Natick 1994
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004
8