Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

1

CZĘŚĆ 1

UWAGI WSTĘPNE

Przemianą gazu zawartego w układzie nazywa się ciągłą zmianę jego stanu

termodynamicznego

(określanego przez parametry stanu gazu, którymi są: ciśnienie,

temperatura, objętość właściwa). Do bliższego określenia przemiany nie wystarczy znajomość

stanu początkowego i końcowego. Należy również podać, w jaki sposób ta przemiana dokonuje

się. Sposób zmiany stanu termodynamicznego odwzorowany w odpowiednim układzie

parametrów stanu wyznacza krzywą, którą nazywa się drogą przemiany.

Przemia

ny mogą odbywać się w układach zamkniętych i w układach otwartych. Za

układ zamknięty uznaje się układ o stałej ilości substancji (czynnika termodynamicznego) w nim

zawartej, przy czym substancja do niego nie dopływa ani z niego nie odpływa. Układ, przez

k

tóry przepływa substancja jest otwarty. Przykładem przemiany w układzie zamkniętym może

być ogrzewanie gazu w zamkniętym zbiorniku lub rozprężanie gazu w cylindrze maszyny

tłokowej z zamkniętymi zaworami. Przemianę w układzie otwartym stanowi przepływ gazu

w

rurociągu.

Przemiany mogą być odwracalne i nieodwracalne. W przemianie odwracalnej po

dokonaniu przemiany jest możliwy powrót do stanu wyjściowego układu i otoczenia. Jeśli

powrót układu do stanu wyjściowego jest związany ze skończonymi zmianami w stanie

otoczenia to układ podlega przemianie nieodwracalnej.

Rozważane będą przemiany gazów doskonałych odbywające się w układach

zamkniętych, odwracalne, charakteryzujące się stałym ciepłem właściwym (przemiany

politropowe).

Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki stan termodynamiczny czynnika w układzie

zamkniętym można zmienić przez wymianę z otoczeniem energii w postaci pracy lub ciepła.

Pomiędzy dwoma stanami czynnika termodynamicznego można zrealizować

nieskończenie wiele przemian termodynamicznych. Zmiana sposobu przejścia pomiędzy

obydwoma stanami powoduje zmianę ilości wykonanej pracy oraz zmianę ilości pochłoniętego

ciepła. Jeżeli rozpatrywana przemiana przebiega w układzie zamkniętym, to różnica wykonanej

pracy i ciepła pochłoniętego przez czynnik jest niezależna od drogi przemiany, gdyż zgodnie

z

równaniem pierwszej zasady termodynamiki, wyraża ona spadek energii wewnętrznej.

Praca wymieniana z otoczeniem jest przedstawiana w układzie współrzędnych p – v

zwanym wykresem pracy

a ciepło wymieniane z otoczeniem jest przedstawiane w układzie

współrzędnych T – s zwanym wykresem ciepła (gdzie s jest oznaczeniem entropii).

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

2

ENTROPIA

Entropia jest kolejną, oprócz energii wewnętrznej i entalpii, funkcją stanu

termodynamicznego. Będzie wykorzystana do wprowadzenia wykresu przemiany w układzie

współrzędnych temperatura bezwzględna – entropia, zwanego wykresem ciepła. Entropia jest

określana zależnością:

T

dQ

dS

i ma wymiar [J/K].

W odniesieniu do 1 kg czynnika jest zapisywana następująco:

T

dq

ds

i ma wymiar [J/(kg∙K)].

W powyższym wyrażeniu dq przedstawia pewną skończoną porcję ciepła, a T średnią

temperaturą tego ciepła.

W obliczeniach przyjmuje się zwykle, że entropia ciała jest równa zeru wtedy, gdy ciało

ma temperaturę 273 K i znajduje się pod ciśnieniem 101325 Pa.

Wykres ciepła – układ współrzędnych T-s

Krzywa A -

B przedstawia dowolną zmianę stanu układu w układzie współrzędnych T – s.

Jeśli wyodrębnić elementarne pole o podstawie ds i średniej rzędnej T, to elementarny przyrost

ciepła dq będzie reprezentować pole stanowiące iloczyn T∙ds:

ds

T

dq

Wtedy

przyrost energii układu dostarczonej za pośrednictwem ciepła z otoczenia po drodze A-B

będzie równy:

B

A

AB

ds

T

q

Ten przyrost energii przedstawi

a pole zakreskowane pod krzywą A-B. W przypadku

dodatniego przyrostu entropii pole pod krzywą przedstawia ciepło dostarczone do

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

3

układu, a w przypadku ujemnego przyrostu entropii pole pod krzywą A-B przedstawia

ciepło oddane przez układ do jego otoczenia.

Pojęcie entropii jest trudne do prostego zdefiniowania. Względnie łatwo jest obliczyć jej

zmiany. Treść fizyczna entropii w termodynamice fenomenologicznej

1

(tutaj rozpatrywanej)

sprowadza się do takiej funkcji stanu, która w procesie termodynamicznym (quasistatycznym)

równa się stosunkowi ciepła pobranego przez układ w temperaturze bezwzględnej, do tej

temperatury, czyli:

T

dq

ds

Zakładając, że dq przedstawia skończoną porcję ciepła otrzymuje się:

T

q

s

Jeśli Δq będzie dzielić się przez niewielką liczbę stopni temperatury T, to przyrost Δs będzie

duży; natomiast gdy liczba stopni jest duża, to przyrost Δs jest mały. A zatem, przyrost entropii

Δs jest miarą jakości wkładu ciepła:

Δs duże – zła lokata ciepła, marnowanie jakości energii cieplnej,

Δs małe – ciepło ulokowane korzystnie.

A zatem, ciepło należy doprowadzać przy jak najwyższej temperaturze.

PRZEMIANA POLITROPOWA

WYPROWADZE

NIE RÓWNANIA PRZEMIANY POLITROPOWEJ

Przemiana politropowa charaktery

zuje się tym, że ciepło właściwe podczas przemiany jest

stałe:

.

const

dT

dq

c

Równanie przemiany politropowej we współrzędnych p-v można wyprowadzić

z I zasady termodynamiki:

dv

p

dT

c

dq

v

Ponieważ dla politropy:

dT

c

dq

,

więc:

0

dv

p

dT

c

dT

c

v

1

Termodynamika fenomenologiczna

– metoda badań zjawisk termodynamicznych polegająca na badaniu związków

między wielkościami makroskopowymi badanego układu termodynamicznego: temperaturą, ciśnieniem, energią, nie
wnikając w mikrostrukturę czynnika.

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

4

lub:

0

)

(

dv

p

dT

c

c

v

(1)

Z równania stanu:

R

pv

d

dT

)

(

Po podstawieniu do (1) otrzymuje się:

0

)

(

)

(

dv

p

R

pv

d

c

c

v

lub:

dv

p

pv

d

R

c

c

v

(2)

Ponieważ:

v

p

c

c

R

to wyrażenie :

R

c

c

v

można przekształcić do postaci

v

p

v

p

c

v

v

v

p

v

v

p

v

p

v

v

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

R

c

c

1

1

1

1

1

Oznaczając:

n

c

c

c

c

v

p

(3)

gdyż jest to wielkość stała dla danej przemiany, otrzymuje się:

n

R

c

c

v

1

1

Stąd po podstawieniu do (2) i dokonaniu przekształceń:

p

v

dv

p

n

dp

v

dv

p

n

dp

v

n

n

dv

p

n

dp

v

n

n

dv

p

dp

v

n

dv

p

dv

p

dp

v

n

dv

p

pv

d

n

/

0

/

0

)

1

(

/

0

)

1

1

(

1

1

1

1

0

)

1

1

1

(

1

1

0

)

(

1

1

0

)

(

1

1

otrzymuje się równanie różniczkowe politropy:

0

v

dv

n

p

dp

(4)

Po scałkowaniu równania (4) otrzymuje się:

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

5

0

ln

ln

1

2

1

2

p

p

v

v

n

lub:

n

n

v

p

v

p

2

2

1

1

(5)

Wykorzystując równanie stanu gazu można otrzymać inną postać tego równania. Podstawiając
do równania (5):

v

T

R

p

i dokonując przekształceń:

n

n

v

v

T

R

v

v

T

R

2

2

2

1

1

1

otrzymuje się:

)

1

(

2

2

)

1

(

1

1

n

n

v

T

v

T

(6)

Podstawiając do równania (5):

p

T

R

v

i dokonując przekształceń:

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

p

T

p

T

T

p

T

p

p

T

R

p

p

T

R

p

1

2

2

1

1

1

2

)

1

(

2

1

)

1

(

1

2

2

2

1

1

1

/

otrzymuje się

n

n

n

n

p

T

p

T

1

2

2

1

1

1

(7)

CIEPŁO WŁAŚCIWE PRZEMIANY POLITROPOWEJ

Wykorzystując definicję wykładnika politropy (3) można otrzymać zależność pozwalającą

obliczyć wartość ciepła właściwego przemiany, jeśli jest znany wykładnik politropy n:

)

(

)

(

)

1

(

)

(

/

k

n

c

c

c

n

c

c

c

n

n

c

c

c

c

n

c

n

c

c

c

c

c

c

n

v

v

p

v

p

v

p

v

v

v

p

Stąd:

1

)

(

n

k

n

c

c

v

Ciepło właściwe c może mieć wartość ujemną. Czynnik termodynamiczny ma ujemną

pojemność cieplną (ciepło właściwe) wówczas, gdy mimo doprowadzenia ciepła temperatura

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

6

czynnika obniża się lub mimo odprowadzenia ciepła temperatura podwyższa się. Taka sytuacja

ma miejsce w sprężarkach – mimo odbierania ciepła temperatura gazu przy rozprężaniu

podwyższa się. W chłodzonych sprężarkach występuje więc przemiana o ujemnej pojemności

cieplnej.

CIEPŁO PRZEMIANY POLITROPOWEJ

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

q

ENERGIA WEWNĘTRZNA

Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

u

v

ENTALPIA
Zgodnie z definicją:

)

(

1

2

2

,

1

T

T

c

i

p

Uwzględniając, że:

v

p

c

k

c

otrzymuje się:

2

,

1

1

2

2

,

1

u

k

T

T

c

k

i

v

ENTROPIA

Z definicji entropii:

T

dq

ds

Po scałkowaniu:

2

1

1

2

2

1

1

2

ln

T

T

c

T

dT

c

T

dq

s

s

1

2

1

2

ln

T

T

c

s

s

lub po podstawieniu:

1

)

(

n

k

n

c

c

v

o

trzymuje się:

1

2

1

2

ln

1

T

T

n

k

n

c

s

s

v

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

7

PRACA W PRZEMIANIE POLITROPOWEJ

UMOWA DOTYCZĄCA ZNAKU PRACY

wg: Bogumił Staniszewski „Termodynamika”, Stefan Wiśniewski „Termodynamika techniczna”,

Jan Szargut „Termodynamika”

Praca wykonana przez układ ma znak dodatni, wykonana zaś przez otoczenie nad

układem jest ujemna.

Praca absolutna

(praca zmiany objętości)

Praca zmiany objętości jest dodatnia podczas ekspansji

(zwiększania objętości) dv>0, a ujemna podczas kompresji

(zmniejszania objętości) dv<0.

2

1

2

,

1

dv

p

l

a

Praca techniczna

Pr

aca techniczna jest dodatnia przy rozprężaniu dp<0,

a

ujemna przy sprężaniu dp>0 (dlatego znak minus przed

całką).

2

1

dp

v

l

t

PRACA ABSOLUTNA

Równanie politropy:

....

2

2

1

1

n

n

n

v

p

v

p

v

p

stąd:

1

1

p

v

v

p

n

n

Praca absolutna:

lub po podstawieniu:

1

1

2

2

)

1

(

1

1

)

1

(

2

2

1

1

1

1

1
2

2

2

1

1

1

1

1
2

1

1

1

1

1
2

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

v

p

v

p

n

v

p

v

p

n

v

v

p

v

v

p

n

v

v

p

v

v

p

n

v

v

n

v

p

dv

v

v

p

dv

v

v

p

dv

p

l

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

8

T

R

v

p

otrzym

uje się:

)

(

1

1

2

T

T

n

R

l

a

A zatem:

)

(

1

1

1

1

2

1

1

2

2

T

T

n

R

v

p

v

p

n

l

a

PRACA TECHNICZNA

Równanie politropy:

....

2

2

1

1

n

n

n

v

p

v

p

v

p

stąd:

1

1

1

1

v

p

p

v

n

n

Praca techniczna:

lub po podstawieniu:

T

R

v

p

otrzym

uje się:

)

(

1

1

2

T

T

n

R

n

l

t

A zatem:

a

t

l

n

T

T

n

R

n

v

p

v

p

n

n

l

)

(

1

1

1

2

1

1

2

2

I. ZASADA TERMODYNAMIKI

-

dla układów zamkniętych:

2

,

1

1

2

2

,

1

A

L

U

U

Q

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

v

p

v

p

n

n

v

p

v

p

n

n

p

v

p

p

v

p

n

n

p

p

n

n

v

p

p

p

n

n

v

p

p

p

n

v

p

n

p

v

p

dp

p

v

p

p

dp

v

p

dp

v

l

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

p

p

n

n

n

n

n

n

t

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

9

albo:

2

,

1

2

,

1

2

,

1

A

L

Q

U

- dla

układów otwartych:

2

,

1

1

2

2

,

1

t

L

I

I

Q

albo:

2

,

1

2

,

1

2

,

1

t

L

Q

I

Wykres przemiany politropowej

(przykładowy)

Na rysunku poniżej jest przedstawiona przemiana politropowa o wykładniku 1<n<k

w

układzie współrzędnych p - v i T – s.

Przebieg przemiany politropowej

o wykładniku 1<n<k w układach: a) p – v, b) T – s

Na wykresie p

–v są oznaczone pola pracy absolutnej l

a1,2

(dodatniej, wykonanej przez gaz)

i pracy technicznej l

t1,2

(dodatniej), a na wykresie T

– s jest oznaczone pole ciepła przemiany

q

1,2

(dodatnie

– dostarczone z zewnątrz).

Na wykresie T

– s można również znaleźć:

- pole przyrostu

energii wewnętrznej – jest to pole pod logarytmiką v=const. przechodzącą

przez punkt

o wyższej energii wewnętrznej (w tym przykładzie jest to punkt 1 i logarytmika v

1

)

i

przecinającą izotermę przechodzącą przez punkt o niższej energii wewnętrznej (punkt 2

i izoterma T

2

)

– pole b,d,1,s

1

(w tym przykładzie – ujemny przyrost energii wewnętrznej),

- pole przyrostu entalpii -

jest to pole pod logarytmiką p=const. przechodzącą przez punkt

o

wyższej entalpii (w tym przykładzie jest to punkt 1 i logarytmika p

1

) i

przecinającą izotermę

przechodzącą przez punkt o niższej entalpii (punkt 2 i izoterma T

2

)

– pole a,c,1,s

1

(w tym

przykładzie – ujemny przyrost entalpii),

- po

le pracy absolutnej (w tym przykładzie wykonanej przez gaz – dodatniej) – pole b,d,1,2,s

2

),

- pole pracy technicznej (dodatniej)

– pole a,c,1,2,s

2

),

-

pole energii umieszczenia (energii przetłaczania) – pole a,c,1,d,b.

Przemiany gazu doskonałego

Opracowanie: Ewa Fudalej-Kostrzewa

10

Przebieg przemiany politropowej na wykresach p

– v i T – s zależy od wykładnika

politropy.

Przemiany politropowe na wykresie p

– v

Przemiany politropowe na wykresie T

– s

ZADANIA

ZADANIE 1
Powietrze o masie M=1,5 kg, ciśnieniu p

1

=0,9 bar, temperaturze t

1

=18 C zostało sprężone do

ciśnienia p

2

=10 bar, przy czym temperatura wzrosła do t

2

=125 C. Obliczyć wykładnik politropy,

objętość końcową, pracę absolutną i techniczną, ciepło przemiany oraz zmianę energii
wewnętrznej i entalpii. Stała gazowa powietrza: R=287 J/kg*K, k=c

p

/c

v

=14

Odp.: n=1,148, V

2

=0,171 m

3

, L

a

=-311 kJ, L

t

=-357 kJ, Q=-196 kJ, U=115 kJ, I=161,2 kJ

ZADANIE 2
Powietrze o temperaturze t

1

=20 C jest sprężane w sprężarce według politropy o wykładniku

n=1,2 od ciśnienia p

1

=0,1 MPa do ciśnienia p

2

=1 MPa. Obliczyć parametry końcowe przemiany,

pracę absolutną, pracę techniczną, ciepło właściwe, ciepło przemiany, zmianę entropii.
R=287 J/kg*K, k= c

p

/c

v

=1,4.

Odp.: T

2

=430 K, v

2

=0,123 m

3

/kg, l

a

=-196,6 kJ/kg, l

t

=-236 kJ/kg, c=-717,5 j/kg*K,

q=-98,3 kJ/kg, s=-275 J/kg*K