Ekonomia matematyczna – egzamin pytania poprawione

Pytanie 1. _____________________________________________________________________________________________________ 1

Podać definicję towaru i opisać założenia go dotyczące. _________________________________________________________________ 1

Pytanie 2. _____________________________________________________________________________________________________ 1

Zdefiniować przestrzeń wektorową R

l

oraz zinterpretować ją jako przestrzeń _________________________________________________ 1

Pytanie 3. _____________________________________________________________________________________________________ 2

Zdefiniować przestrzeń wektorową R

l

oraz zinterpretować ją jako przestrzeń cen. _____________________________________________ 2

Pytanie 4. _____________________________________________________________________________________________________ 2

Podać definicję systemu produkcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia. _______________________________________________ 2

Pytanie 5. _____________________________________________________________________________________________________ 2

Opisać strukturę działania systemu produkcji __________________________________________________________________________ 2

Pytanie 6. _____________________________________________________________________________________________________ 3

Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać przykład zbioru (narysować) w przestrzeni R

2

,

który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności. ________________________________________________________________ 3

1.Domkniętość _________________________________________________________________________________________________ 3

2.Możliwość zaniechania produkcji _________________________________________________________________________________ 3

3.Niemożliwość produkcji wolnej ___________________________________________________________________________________ 3

4.Nieodwracalność procesu produkcji _______________________________________________________________________________ 3

5.Addytywność (dodawanie) _______________________________________________________________________________________ 3

6.Swobodny dostęp do dóbr _______________________________________________________________________________________ 4

7.Korzyści skali, które są związane ze zmianą intensywności procesu produkcji . ______________________________________________ 4

8.Wypukłość ___________________________________________________________________________________________________ 5

Pytanie 12. ____________________________________________________________________________________________________ 5

Zdefiniować ekonomię Debreu z własnością prywatną. __________________________________________________________________ 5

Pytanie 13. ____________________________________________________________________________________________________ 5

Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną. ________________________________________________ 5

Pytanie 14. ____________________________________________________________________________________________________ 5

Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną. _______________________________________________________________ 5

Pytanie 1.

Podać definicję towaru i opisać założenia go dotyczące.

Towar- jest to dobro lub usługa (rzecz lub czynność użyteczna) zaspokajające czyjąś
indywidualną potrzebę wyrażoną przez popyt na ten towar.
Założenia dotyczące towaru:
a). towary różnią się
- cechami fizycznymi
- miejscem i czasem ich dostępności
b). każdy towar ma określoną jednostkę np. szt,kg,litry,cm

3

c). towary są nieskończenie podzielne (przyjmuje się, że ustalona jednostka każdego towaru
jest na tyle duża, że każda liczba rzeczywista określająca liczbę jednostek towaru ma sens,
np. można podzielić 1 kg mąki ale 1 szt. samochodu nie ale 10 samochodów : ½ to 5
samochodów
d). ilość każdego towaru może być liczbą rzeczywistą dodatnią lub ujemną bądź zerem.
Np.
- wejście : to towar zużywany w procesie produkcji lub konsumpcji
- wyjście : to towar, który jest wynikiem procesu produkcji lub konsumpcji, jest
Udostępniany
Producenci mają wejścia(środki produkcji, nakłady, czynniki, surowce, praca) ujemne
a wyjścia (wyroby gotowe) dodatnie. Konsumenci natomiast odwrotnie.

Pytanie 2.

Zdefiniować przestrzeń wektorową R

l

oraz zinterpretować ją jako przestrzeń

1.

towarów.

Definicja:
Niech l € {1,2,…..}

R

l

={(v

1,

v

2,

v

3……..

v

l

) : v

1,

v

2,

v

3….

v

l

€ R} - tj. zbiór ciągów liczb rzeczywistych o długości l

W zbiorze R

l

określa się działania:

Jeżeli v = ( v

1…….

v

l

) € R

l

Jeżeli z = ( z

1,

z

2…….

z

l

) € R

l

Jeżeli alfa € R
Wtedy
v + z = ( v

1

+ z

1, ……

v

l

+ z

l

)

alfa x v = ( alfa * v

1

, alfa * v

2

……alfa * v

i

)

2

Zbiór R

l

z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy l- wymiarową, rzeczywistą przestrzenią wektorową, a jej elementy ( czyli te

ciągi) nazywamy wektorami.

Interpretacja przestrzeni wektorowej jako przestrzeni towarów:

2.

l oznacza liczbę towarów

3.

wektor v € Rl

traktujemy jako plan działania producenta lub konsumenta lub koszyk towarów gdzie k-ta współrzędna wektora v ,

czyli liczba v

k

(k € {1,2,…..l})oznacza liczbę jednostek k-tego towaru w koszyku v , lub planowaną i przeprowadzoną wielkość

produkcji lub konsumpcji

4.

każdemu towarowi przypisana jest cała oś liczbowa, czyli każdy towar ma określone miejsce

5.

wektor v z przestrzeni R

l

v € R

l

jest wektorem typu wejście-wyjście.

Pytanie 3.

Zdefiniować przestrzeń wektorową R

l

oraz zinterpretować ją jako przestrzeń cen.

Definicja przestrzeni:
Niech l € {1,2,…..}

Rl ={(v

1,

v

2,

v

3……..

v

l

) : v

1,

v

2,

v

3….

v

l

€ R} - tj. zbiór ciągów liczb rzeczywistych o długości l

W zbiorze R

l

określa się działania:

Jeżeli v = ( v

1…….

v

l

) € R

l

Jeżeli z = ( z

1,

z

2…….

z

l

) € R

l

Jeżeli alfa € R
Wtedy
v + z = ( v

1

+ z

1, ……

v

l

+ z

l

)

alfa x v = ( alfa * v

1

, alfa * v

2

……alfa * v

l

)

Zbiór R

l

z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy l- wymiarową, rzeczywistą przestrzenią wektorową, a jej elementy ( czyli te ciągi)

nazywamy wektorami.

Interpretacja przestrzeni wektorowej jako przestrzeń cen:

Def: Ceną k-tego towaru p

k

(k € {1,2,…,l}) nazywamy liczbę rzeczywistą przypisaną jednej jednostce tego towaru, która pozwala na

wartościowanie dóbr i usług.

Interpretacja:

1)

p

k

>0 cena dobra rzadkiego

2)

p

k

=0 cena dobra wolnego

3)

p

k

<0 cena dobra niechcianego (szkodliwego)

Def: Ceną ( wartością) koszyka υ=(v

1…

v

l)

€ R

l

względem wektora (systemu) cen p=(p

1

*p

2….

* p

l

) € R

l

nazywamy liczbę:

p◦ v = p

1

*v

1

+p

2

*v

2

+…+p

l

* v

l

Pytanie 4.

Podać definicję systemu produkcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia.

Na system produkcji składa się działalność producenta. Każdy producent wybiera dla siebie możliwy plan działania, aby maksymalizować
zysk.
Def: System produkcji nazywamy układ relacyjny p=(J, R

l

,y, p, n, pi)

gdzie:



J zbiór liczb {1,2,…,n} skończony zbiór producentów (n € {1,2,3,…,})



R

l

przestrzeń towarów i cen



y J З j →Yj C Rl jest korespondencją zbiorów produkcji



p € R

l

wektor cen względem którego każdy producent osiąga max zysków na zbiorze

Y

j



n : J З j → nj (p) C Rl korespondencja podaży n

j

(p)- zbiór planów produkcji max zysk j-tego producenta (j €J) na zbiorze Y

j

względem systemu cen p



pi : J З j → pi

j

(p) € R funkcja zysku maksymalnego, która każdemu producentowi przyporządkowuje jego zysk maksymalny na

zbiorze Y

j

względem systemu cen p.

Pytanie 5.

Opisać strukturę działania systemu produkcji

1.

Wyznaczenie i opisanie zbioru T

j

, czyli zbiorów tych systemów cen, dla których istnieje zysk maksymalny.

2.

Wyznaczenie zbioru

n

j

(p) = { y

j*

: y

j*

maksymalizuje zysk przy danym systemie cen p na zbiorze Y

j*

}

dla wektora p

€

T

j

3.

Obliczenie wartości funkcji zysku maksymalnego

PI

j

(p) = PI

j*

(p) = p

°

y

j*

, gdzie y

j*

€

n

j

(p)

dla każdego p

€

T

j

Uwaga!
Zysk maksymalny względem wektora cen p

€

׀R

l

istnieje na zbiorze y

j

, jeżeli wektor p jest prostopadły do zbioru y

j

w pewnym

punkcie oraz zbiór y

j

leży po drugiej stronie prostej stycznej do y

j

w punkcie prostopadłości, niż wektor cen.

Ceny traktujemy jako dane. Jeśli cena p = (0,0), czyli dobra wolne, to dla każdego wektora y

€

Y

j

, p

°

y = 0 istnieje zysk

maksymalny, zatem dla p = (0,0)

€

T

j

zawsze istnieje zysk maksymalny. Stąd dla każdego j

€ J : T

j

≠ Ø zb. pusty

3

Pytanie 6.

Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać przykład zbioru (narysować) w
przestrzeni R

2

, który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności.

1.Domkniętość

Def.: Y i Y

j

są domknięte  granica każdego ciągu planów produkcji na leży do zbioru.

Interpretacja: Jeżeli wiadomo, że wektory leżące dowolnie blisko pewnego planu (wektora) y są technologicznie możliwe, to y jest
technologicznie możliwy, tzn. (y

€

Y lub Y

j

)

TAK(spełnia)

NIE

2.Możliwość zaniechania produkcji

Def.: 0

€

Y, 0=(0,…0)

€

R

2

(wektor zerowy)

Interpretacja: Możliwy z punktu widzenia dostępnych technologii jest plan produkcji, w którym wszystkie wejścia i wyjścia są równe
zero.(Można nic nie robić).

2

2

1

TAK

NIE

(ma możliwość zaniechania produkcji)

(nie ma możliwości zaniechania produkcji)

3.Niemożliwość produkcji wolnej

Def.: Y∩ R

2

+

= Ø ZB. PUSTY lub Y∩ R

2

+

= {0 }

Interpretacja: Nie można produkować z niczego. Każdy plan produkcji powinien zawierać wejścia. (Nie powinien zawierać elementów z I
ćw.).

I ćw.

I ćw.

TAK

TAK

I ćw.

NIE

4.Nieodwracalność procesu produkcji

Def.: Y∩ (-Y)

= Ø ZB. PUSTY lub Y∩ (-Y)

= {0 }

Interpretacja: Produkcji nie da się odwrócić. Jeżeli możliwy do realizacji jest pewien plan produkcji, w którym nie wszystkie wejścia i
wyjścia są równe zero , to plan przeciwny nie jest możliwy do realizacji.

-Y

-Y

Y

-Y

Y=[-1,2] x[-2,3]

Y

Y -Y=[-2,1] [-3,2]

Y∩ (-Y)

= {0 }

Y∩ (-Y)

= Ø ZB. PUSTY

NIE

TAK

TAK

Y∩ (-Y) ≠Ø ZB.

PUSTY lub Y∩ (-Y)

Produkcja nie jest odwracalna

zawiera więcej elementów niż wektor
zerowy

5.Addytywność (dodawanie)



Y

Def.: Y+Y

Intrpretacja: Każde dwa plany możliwe do realizacji można zrealizować wspólnie ( z punktu widzenia

dostępnych technologii).

4

Y

2,

y

1

Y+Y=Y



Y

Y - TAK

Dla każdego y

1

, y

2

€

Y, ich suma algebraiczna y

1

+ y

2

€

Y, stąd Y+Y



Y

TAK

Y

Y

Y=[-2,3] x[-1,1]

Y+ Y=[-4,6] x[-2,2]

Y+Y



Y

Y+Y

NIE (nie ma właściwości addytywności)

6.Swobodny dostęp do dóbr

Def.: -R

l

+



Y (cała III ćwiartka powinna zawierać się w zbiorze Y)

Interpretacja: Wejścia procesu produkcyjnego nie są niczym ograniczone.

L=2 (płaszczyzna)

TAK

NIE

7.Korzyści skali, które są związane ze zmianą intensywności procesu produkcji .

Trzy typy korzyści skali:



niemalejące

Def.: Dla każdego t>1, y

€

Y wektor t

.

y

€

Y



każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie wydłużyć w tym zbiorze.

Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zwiększona.

TAK

NIE



nierosnące

Def.: Dla każdego t

€

[0,1], y

€

Y wektor t

.

y

€

Y



każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie zmniejszyć w tym zbiorze.

Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zmniejszona.

O,1

.

y Y

TAK

NIE



stałe

Def.: Dla każdego t≥0, y

€

Y wektor t

.

y

€

Y



każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie wydłużyć lub skrócić w tym zbiorze.

Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zwiększona lub zmniejszona.

5

TAK

NIE

8.Wypukłość

Def.: Y jest wypukły  dla każdych dwóch planów y

1

, y

2

€

Y ich plan przeciętny (średnioważony) ỹ należy do Y, gdzie: ỹ = t

.

y

1

+ (1-t)

.

y

2

dla t

€

[0,1]

Interpretacja: Każdy plan średnioważony (przeciętny) planów możliwych do realizacji jest możliwy do realizacji.

ỹ €Y
TAK

NIE

Pytanie 12.

Zdefiniować ekonomię Debreu z własnością prywatną.

Def. Ekonomią Debreu z własnością prywatną nazywamy układ relacyjny

Ep= (K, P w (omega), O TETA)

gdzie:



P- system produkcji +



w (omega) (omega)  Rl -- całkowity zasób ekonomii

w (omega)

i

– zasób i- tego konsumenta, w (omega)= w (omega)

1

+…+ w (omega)

m

- jest własnością prywatną



O TETA (teta) O TETA I x J > (i,j)  O TETAij funkcja udziału

O TETAij –udział i-tego konsumenta w zyskach j- tego producenta

Dla każdego j J, O TETA

1j

+ O TETA

2j

+......+ O TETA

nj

=1  Σ

n

i=1

O TETAij = 1

Zysk j-tego producenta został rozdzielony pomiędzy konsumentów, zgodnie z funkcją O TETA. Producent nic sobie nie zostawia , chyba

że jest również konsumentem .



K – system konsumpcji w którym majątek każdego i- tego konsumenta liczymy według wzoru .

w

i

= p ° w (omega)

i

+ O TETAi

1

x PI

1*

(p)

+ O TETAi

2

x PI

2*

(p)

+ .......+ O TETAi

n

x PI

n*

(p)

= p ° w (omega)

i

+ Σ

n

j=1

O TETAij x

PI

j*

i- konsument

j- producent

Ekonomia z własnością prywatną jest takim połączeniem systemów produkcji i konsumpcji

w którym konsumenci są właścicielami całkowitych zasobów ekonomii oraz uczestniczą

w zyskach producentów.

Pytanie 13.

Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną.

Stanem ogólnej równowagi konkurencyjnej Walrasa w ekonomii E

p

Debreu z własnością prywatną nazywamy ciąg:

(x

1*

, x

2*

, …x

m*

, y

1*

, y

2*

, …y

m*

, p )

€

R

l(m+n+1)

m

n

1

gdzie:

1.

dla każdego i

€

I, x

i*

maksymalizuje użyteczność i-tego konsumenta na zbiorze



(p,w

i

) względem cen p

*

€

p, p=p*

€

R

l

2.

dla każdego i-tego producenta (j

€

J), y

j*

maksymalizuje zysk na zbiorze Y

j

dla p = p

*

3.

zachodzi warunek równowagi x

*

-

y

*

= w (omega)

Wektorem cen p

*

nazywamy wektor cen równowagi

Jest to taka sytuacja, w której żaden podmiot ekonomiczny nie ma motywacji do zmiany swojego planu działania.

Pytanie 14.

Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną.

Dany jest wektor cen p  R

l

.

Etap1.

Każdy j-ty producent (j  J) maksymalizuje swój zysk na zbiorze produkcji Y

j.

Niech Y

j*

będzie planem produkcji maksymalizującym zysk, to znaczy y

j*

jest korespondencją podaży y

j*



j

(p), wówczas zysk max. j-

tego producenta względem danego „p” liczymy ze wzoru i wynosi on:

6

PI

j*

(p) = p ° y

j*

Jest on rozdzielony względem funkcji O TETA pomiędzy konsumentów.

O TETAij x PI

j*

(p) – ta część zysku j-tego producenta, którą otrzymuje i-ty konsument.

(Na poprawionym opracowaniu od Lipiety etap pierwszy został oddzielony od II i III , z adnotacją,że zasada zawiera się tylko w pierwszym,
ale zostawiłam resztę do waszego uznania,choć osobiście uważam ,że lepiej mniej niż więcej mieć do nauki.

Etap2.

Wyznaczamy majątek każdego i-tego konsumenta zgodnie z przepisem:
n

w

i

= p ° w (omega)

i

+ Σ O TETAij x PI

j*

(p)

j=1
Wyznaczamy elementy x

i*



ζ

i

(p, w

i

)

dla każdego i-tego konsumenta na zbiorze jego ograniczeń budżetowych:

γ

i

(p,w

i

) = { x X

i

: p ° x < w

i

}

Etap3.

Niech x

*

= x

1*

+ x

2*

+…….x

n*

będzie wektorem konsumpcji całkowitej oraz y

*

= y

1*

+ y

2*

+ ……y

n*

będzie wektorem

produkcji całkowitej, takiej że :

x

i*

ζ

i

(p, w

i

) oraz y

j*



j

(p), i j J , jeżeli

zachodzi warunek : x

*

– y

*

= w (omega)

to ekonomia Ep jest w stanie równowagi dla ceny równowagi : p

*

= p

Wtedy p

*

= p jest wektorem cen równowagi.