Ekonomia matematyczna – egzamin pytania poprawione
Pytanie 1. _____________________________________________________________________________________________________ 1
Podać definicję towaru i opisać założenia go dotyczące. _________________________________________________________________ 1
Pytanie 2. _____________________________________________________________________________________________________ 1
Zdefiniować przestrzeń wektorową R
l
oraz zinterpretować ją jako przestrzeń _________________________________________________ 1
Pytanie 3. _____________________________________________________________________________________________________ 2
Zdefiniować przestrzeń wektorową R
l
oraz zinterpretować ją jako przestrzeń cen. _____________________________________________ 2
Pytanie 4. _____________________________________________________________________________________________________ 2
Podać definicję systemu produkcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia. _______________________________________________ 2
Pytanie 5. _____________________________________________________________________________________________________ 2
Opisać strukturę działania systemu produkcji __________________________________________________________________________ 2
Pytanie 6. _____________________________________________________________________________________________________ 3
Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać przykład zbioru (narysować) w przestrzeni R
2
,
który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności. ________________________________________________________________ 3
1.Domkniętość _________________________________________________________________________________________________ 3
2.Możliwość zaniechania produkcji _________________________________________________________________________________ 3
3.Niemożliwość produkcji wolnej ___________________________________________________________________________________ 3
4.Nieodwracalność procesu produkcji _______________________________________________________________________________ 3
5.Addytywność (dodawanie) _______________________________________________________________________________________ 3
6.Swobodny dostęp do dóbr _______________________________________________________________________________________ 4
7.Korzyści skali, które są związane ze zmianą intensywności procesu produkcji . ______________________________________________ 4
8.Wypukłość ___________________________________________________________________________________________________ 5
Pytanie 12. ____________________________________________________________________________________________________ 5
Zdefiniować ekonomię Debreu z własnością prywatną. __________________________________________________________________ 5
Pytanie 13. ____________________________________________________________________________________________________ 5
Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną. ________________________________________________ 5
Pytanie 14. ____________________________________________________________________________________________________ 5
Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną. _______________________________________________________________ 5
Pytanie 1.
Podać definicję towaru i opisać założenia go dotyczące.
Towar- jest to dobro lub usługa (rzecz lub czynność użyteczna) zaspokajające czyjąś
indywidualną potrzebę wyrażoną przez popyt na ten towar.
Założenia dotyczące towaru:
a). towary różnią się
- cechami fizycznymi
- miejscem i czasem ich dostępności
b). każdy towar ma określoną jednostkę np. szt,kg,litry,cm
3
c). towary są nieskończenie podzielne (przyjmuje się, że ustalona jednostka każdego towaru
jest na tyle duża, że każda liczba rzeczywista określająca liczbę jednostek towaru ma sens,
np. można podzielić 1 kg mąki ale 1 szt. samochodu nie ale 10 samochodów : ½ to 5
samochodów
d). ilość każdego towaru może być liczbą rzeczywistą dodatnią lub ujemną bądź zerem.
Np.
- wejście : to towar zużywany w procesie produkcji lub konsumpcji
- wyjście : to towar, który jest wynikiem procesu produkcji lub konsumpcji, jest
Udostępniany
Producenci mają wejścia(środki produkcji, nakłady, czynniki, surowce, praca) ujemne
a wyjścia (wyroby gotowe) dodatnie. Konsumenci natomiast odwrotnie.
Pytanie 2.
Zdefiniować przestrzeń wektorową R
l
oraz zinterpretować ją jako przestrzeń
1.
towarów.
Definicja:
Niech l € {1,2,…..}
R
l
={(v
1,
v
2,
v
3……..
v
l
) : v
1,
v
2,
v
3….
v
l
€ R} - tj. zbiór ciągów liczb rzeczywistych o długości l
W zbiorze R
l
określa się działania:
Jeżeli v = ( v
1…….
v
l
) € R
l
Jeżeli z = ( z
1,
z
2…….
z
l
) € R
l
Jeżeli alfa € R
Wtedy
v + z = ( v
1
+ z
1, ……
v
l
+ z
l
)
alfa x v = ( alfa * v
1
, alfa * v
2
……alfa * v
i
)
2
Zbiór R
l
z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy l- wymiarową, rzeczywistą przestrzenią wektorową, a jej elementy ( czyli te
ciągi) nazywamy wektorami.
Interpretacja przestrzeni wektorowej jako przestrzeni towarów:
2.
l oznacza liczbę towarów
3.
wektor v € Rl
traktujemy jako plan działania producenta lub konsumenta lub koszyk towarów gdzie k-ta współrzędna wektora v ,
czyli liczba v
k
(k € {1,2,…..l})oznacza liczbę jednostek k-tego towaru w koszyku v , lub planowaną i przeprowadzoną wielkość
produkcji lub konsumpcji
4.
każdemu towarowi przypisana jest cała oś liczbowa, czyli każdy towar ma określone miejsce
5.
wektor v z przestrzeni R
l
v € R
l
jest wektorem typu wejście-wyjście.
Pytanie 3.
Zdefiniować przestrzeń wektorową R
l
oraz zinterpretować ją jako przestrzeń cen.
Definicja przestrzeni:
Niech l € {1,2,…..}
Rl ={(v
1,
v
2,
v
3……..
v
l
) : v
1,
v
2,
v
3….
v
l
€ R} - tj. zbiór ciągów liczb rzeczywistych o długości l
W zbiorze R
l
określa się działania:
Jeżeli v = ( v
1…….
v
l
) € R
l
Jeżeli z = ( z
1,
z
2…….
z
l
) € R
l
Jeżeli alfa € R
Wtedy
v + z = ( v
1
+ z
1, ……
v
l
+ z
l
)
alfa x v = ( alfa * v
1
, alfa * v
2
……alfa * v
l
)
Zbiór R
l
z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy l- wymiarową, rzeczywistą przestrzenią wektorową, a jej elementy ( czyli te ciągi)
nazywamy wektorami.
Interpretacja przestrzeni wektorowej jako przestrzeń cen:
Def: Ceną k-tego towaru p
k
(k € {1,2,…,l}) nazywamy liczbę rzeczywistą przypisaną jednej jednostce tego towaru, która pozwala na
wartościowanie dóbr i usług.
Interpretacja:
1)
p
k
>0 cena dobra rzadkiego
2)
p
k
=0 cena dobra wolnego
3)
p
k
<0 cena dobra niechcianego (szkodliwego)
Def: Ceną ( wartością) koszyka υ=(v
1…
v
l)
€ R
l
względem wektora (systemu) cen p=(p
1
*p
2….
* p
l
) € R
l
nazywamy liczbę:
p◦ v = p
1
*v
1
+p
2
*v
2
+…+p
l
* v
l
Pytanie 4.
Podać definicję systemu produkcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia.
Na system produkcji składa się działalność producenta. Każdy producent wybiera dla siebie możliwy plan działania, aby maksymalizować
zysk.
Def: System produkcji nazywamy układ relacyjny p=(J, R
l
,y, p, n, pi)
gdzie:
J zbiór liczb {1,2,…,n} skończony zbiór producentów (n € {1,2,3,…,})
R
l
przestrzeń towarów i cen
y J З j →Yj C Rl jest korespondencją zbiorów produkcji
p € R
l
wektor cen względem którego każdy producent osiąga max zysków na zbiorze
Y
j
n : J З j → nj (p) C Rl korespondencja podaży n
j
(p)- zbiór planów produkcji max zysk j-tego producenta (j €J) na zbiorze Y
j
względem systemu cen p
pi : J З j → pi
j
(p) € R funkcja zysku maksymalnego, która każdemu producentowi przyporządkowuje jego zysk maksymalny na
zbiorze Y
j
względem systemu cen p.
Pytanie 5.
Opisać strukturę działania systemu produkcji
1.
Wyznaczenie i opisanie zbioru T
j
, czyli zbiorów tych systemów cen, dla których istnieje zysk maksymalny.
2.
Wyznaczenie zbioru
n
j
(p) = { y
j*
: y
j*
maksymalizuje zysk przy danym systemie cen p na zbiorze Y
j*
}
dla wektora p
€
T
j
3.
Obliczenie wartości funkcji zysku maksymalnego
PI
j
(p) = PI
j*
(p) = p
°
y
j*
, gdzie y
j*
€
n
j
(p)
dla każdego p
€
T
j
Uwaga!
Zysk maksymalny względem wektora cen p
€
׀R
l
istnieje na zbiorze y
j
, jeżeli wektor p jest prostopadły do zbioru y
j
w pewnym
punkcie oraz zbiór y
j
leży po drugiej stronie prostej stycznej do y
j
w punkcie prostopadłości, niż wektor cen.
Ceny traktujemy jako dane. Jeśli cena p = (0,0), czyli dobra wolne, to dla każdego wektora y
€
Y
j
, p
°
y = 0 istnieje zysk
maksymalny, zatem dla p = (0,0)
€
T
j
zawsze istnieje zysk maksymalny. Stąd dla każdego j
€ J : T
j
≠ Ø zb. pusty
3
Pytanie 6.
Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać przykład zbioru (narysować) w
przestrzeni R
2
, który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności.
1.Domkniętość
Def.: Y i Y
j
są domknięte granica każdego ciągu planów produkcji na leży do zbioru.
Interpretacja: Jeżeli wiadomo, że wektory leżące dowolnie blisko pewnego planu (wektora) y są technologicznie możliwe, to y jest
technologicznie możliwy, tzn. (y
€
Y lub Y
j
)
TAK(spełnia)
NIE
2.Możliwość zaniechania produkcji
Def.: 0
€
Y, 0=(0,…0)
€
R
2
(wektor zerowy)
Interpretacja: Możliwy z punktu widzenia dostępnych technologii jest plan produkcji, w którym wszystkie wejścia i wyjścia są równe
zero.(Można nic nie robić).
2
2
1
TAK
NIE
(ma możliwość zaniechania produkcji)
(nie ma możliwości zaniechania produkcji)
3.Niemożliwość produkcji wolnej
Def.: Y∩ R
2
+
= Ø ZB. PUSTY lub Y∩ R
2
+
= {0 }
Interpretacja: Nie można produkować z niczego. Każdy plan produkcji powinien zawierać wejścia. (Nie powinien zawierać elementów z I
ćw.).
I ćw.
I ćw.
TAK
TAK
I ćw.
NIE
4.Nieodwracalność procesu produkcji
Def.: Y∩ (-Y)
= Ø ZB. PUSTY lub Y∩ (-Y)
= {0 }
Interpretacja: Produkcji nie da się odwrócić. Jeżeli możliwy do realizacji jest pewien plan produkcji, w którym nie wszystkie wejścia i
wyjścia są równe zero , to plan przeciwny nie jest możliwy do realizacji.
-Y
-Y
Y
-Y
Y=[-1,2] x[-2,3]
Y
Y -Y=[-2,1] [-3,2]
Y∩ (-Y)
= {0 }
Y∩ (-Y)
= Ø ZB. PUSTY
NIE
TAK
TAK
Y∩ (-Y) ≠Ø ZB.
PUSTY lub Y∩ (-Y)
Produkcja nie jest odwracalna
zawiera więcej elementów niż wektor
zerowy
5.Addytywność (dodawanie)
Y
Def.: Y+Y
Intrpretacja: Każde dwa plany możliwe do realizacji można zrealizować wspólnie ( z punktu widzenia
dostępnych technologii).
4
Y
2,
y
1
Y+Y=Y
Y
Y - TAK
Dla każdego y
1
, y
2
€
Y, ich suma algebraiczna y
1
+ y
2
€
Y, stąd Y+Y
Y
TAK
Y
Y
Y=[-2,3] x[-1,1]
Y+ Y=[-4,6] x[-2,2]
Y+Y
Y
Y+Y
NIE (nie ma właściwości addytywności)
6.Swobodny dostęp do dóbr
Def.: -R
l
+
Y (cała III ćwiartka powinna zawierać się w zbiorze Y)
Interpretacja: Wejścia procesu produkcyjnego nie są niczym ograniczone.
L=2 (płaszczyzna)
TAK
NIE
7.Korzyści skali, które są związane ze zmianą intensywności procesu produkcji .
Trzy typy korzyści skali:
niemalejące
Def.: Dla każdego t>1, y
€
Y wektor t
.
y
€
Y
każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie wydłużyć w tym zbiorze.
Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zwiększona.
TAK
NIE
nierosnące
Def.: Dla każdego t
€
[0,1], y
€
Y wektor t
.
y
€
Y
każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie zmniejszyć w tym zbiorze.
Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zmniejszona.
O,1
.
y Y
TAK
NIE
stałe
Def.: Dla każdego t≥0, y
€
Y wektor t
.
y
€
Y
każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie wydłużyć lub skrócić w tym zbiorze.
Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zwiększona lub zmniejszona.
5
TAK
NIE
8.Wypukłość
Def.: Y jest wypukły dla każdych dwóch planów y
1
, y
2
€
Y ich plan przeciętny (średnioważony) ỹ należy do Y, gdzie: ỹ = t
.
y
1
+ (1-t)
.
y
2
dla t
€
[0,1]
Interpretacja: Każdy plan średnioważony (przeciętny) planów możliwych do realizacji jest możliwy do realizacji.
ỹ €Y
TAK
NIE
Pytanie 12.
Zdefiniować ekonomię Debreu z własnością prywatną.
Def. Ekonomią Debreu z własnością prywatną nazywamy układ relacyjny
Ep= (K, P w (omega), O TETA)
gdzie:
P- system produkcji +
w (omega) (omega) Rl -- całkowity zasób ekonomii
w (omega)
i
– zasób i- tego konsumenta, w (omega)= w (omega)
1
+…+ w (omega)
m
- jest własnością prywatną
O TETA (teta) O TETA I x J > (i,j) O TETAij funkcja udziału
O TETAij –udział i-tego konsumenta w zyskach j- tego producenta
Dla każdego j J, O TETA
1j
+ O TETA
2j
+......+ O TETA
nj
=1 Σ
n
i=1
O TETAij = 1
Zysk j-tego producenta został rozdzielony pomiędzy konsumentów, zgodnie z funkcją O TETA. Producent nic sobie nie zostawia , chyba
że jest również konsumentem .
K – system konsumpcji w którym majątek każdego i- tego konsumenta liczymy według wzoru .
w
i
= p ° w (omega)
i
+ O TETAi
1
x PI
1*
(p)
+ O TETAi
2
x PI
2*
(p)
+ .......+ O TETAi
n
x PI
n*
(p)
= p ° w (omega)
i
+ Σ
n
j=1
O TETAij x
PI
j*
i- konsument
j- producent
Ekonomia z własnością prywatną jest takim połączeniem systemów produkcji i konsumpcji
w którym konsumenci są właścicielami całkowitych zasobów ekonomii oraz uczestniczą
w zyskach producentów.
Pytanie 13.
Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną.
Stanem ogólnej równowagi konkurencyjnej Walrasa w ekonomii E
p
Debreu z własnością prywatną nazywamy ciąg:
(x
1*
, x
2*
, …x
m*
, y
1*
, y
2*
, …y
m*
, p )
€
R
l(m+n+1)
m
n
1
gdzie:
1.
dla każdego i
€
I, x
i*
maksymalizuje użyteczność i-tego konsumenta na zbiorze
(p,w
i
) względem cen p
*
€
p, p=p*
€
R
l
2.
dla każdego i-tego producenta (j
€
J), y
j*
maksymalizuje zysk na zbiorze Y
j
dla p = p
*
3.
zachodzi warunek równowagi x
*
-
y
*
= w (omega)
Wektorem cen p
*
nazywamy wektor cen równowagi
Jest to taka sytuacja, w której żaden podmiot ekonomiczny nie ma motywacji do zmiany swojego planu działania.
Pytanie 14.
Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną.
Dany jest wektor cen p R
l
.
Etap1.
Każdy j-ty producent (j J) maksymalizuje swój zysk na zbiorze produkcji Y
j.
Niech Y
j*
będzie planem produkcji maksymalizującym zysk, to znaczy y
j*
jest korespondencją podaży y
j*
j
(p), wówczas zysk max. j-
tego producenta względem danego „p” liczymy ze wzoru i wynosi on:
6
PI
j*
(p) = p ° y
j*
Jest on rozdzielony względem funkcji O TETA pomiędzy konsumentów.
O TETAij x PI
j*
(p) – ta część zysku j-tego producenta, którą otrzymuje i-ty konsument.
(Na poprawionym opracowaniu od Lipiety etap pierwszy został oddzielony od II i III , z adnotacją,że zasada zawiera się tylko w pierwszym,
ale zostawiłam resztę do waszego uznania,choć osobiście uważam ,że lepiej mniej niż więcej mieć do nauki.
Etap2.
Wyznaczamy majątek każdego i-tego konsumenta zgodnie z przepisem:
n
w
i
= p ° w (omega)
i
+ Σ O TETAij x PI
j*
(p)
j=1
Wyznaczamy elementy x
i*
ζ
i
(p, w
i
)
dla każdego i-tego konsumenta na zbiorze jego ograniczeń budżetowych:
γ
i
(p,w
i
) = { x X
i
: p ° x < w
i
}
Etap3.
Niech x
*
= x
1*
+ x
2*
+…….x
n*
będzie wektorem konsumpcji całkowitej oraz y
*
= y
1*
+ y
2*
+ ……y
n*
będzie wektorem
produkcji całkowitej, takiej że :
x
i*
ζ
i
(p, w
i
) oraz y
j*
j
(p), i j J , jeżeli
zachodzi warunek : x
*
– y
*
= w (omega)
to ekonomia Ep jest w stanie równowagi dla ceny równowagi : p
*
= p
Wtedy p
*
= p jest wektorem cen równowagi.