Zagadnienie brzegowe klasycznej teorii sprężystości

Możliwe sformułowania – ze względu na wielkości zadane na
powierzchni ograniczającej dany obiekt:

1) zadane przemieszczenia – przemieszczeniowe warunki

brzegowe,

2) zadane naprężenia – naprężeniowe warunki brzegowe,
3) zadane przemieszczenia i naprężenia – mieszane warunki

brzegowe.

Przypadek przemieszczeniowych warunków brzegowych – znanych
funkcji

na brzegu danego obiektu

(

1

2

3

, ,

i

i

u

u x x x

=

)

)

Komplet równań podstawowych Teorii Sprężystości sprowadzony
do układu równań z niewiadomymi przemieszczeniowymi

– równaniami Naviera - Cauchy.

(

1

2

3

, ,

i

i

u

u x x x

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 1

Punkt wyjścia: równania konstytutywne liniowosprężyste:

2

ij

ij kk

ij

σ

λδ ε

µε

=

+

Podstawienie: związki geometryczne

(

)

,

,

1
2

ij

i j

j i

u

u

ε

=

+

,

,

kk

k k

u

ε

=

Otrzymujemy:

(

)

,

,

ij

ij k k

i j

j i

u

u

u

σ

λδ

µ

=

+

+

,

Obliczenie:

(

)

(

)

(

)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

ij j

ij k kj

i jj

j ji

k ki

i jj

j ji

i jj

j ji

u

u

u

u

u

u

u

u

σ

λδ

µ

λ

µ

µ

λ µ

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 2

Podstawienie do równania równowagi:

,

0

ij j

i

b

σ

ρ

+

=

daje

(

)

,

,

0

i jj

j ji

i

u

u

b

µ

λ µ

ρ

+

+

+

=

– trzy równania różniczkowe cząstkowe z niewiadomymi funkcjami

(

)

1

2

3

, ,

i

u x x x

Zapis absolutny

(

)

grad div

0

u

u

b

µ

λ µ

ρ

∆ +

+

+

=

2

2

2

2

,

,11

,22

,33

2

2

2

1

2

3

i

i

i

i jj

i

i

i

i

u

u

u

u

u u

u

u

u

a

x

x

x

∂

∂

∂

∆ = ∇ =

=

+

+

=

+

+

=

∂

∂

∂

3,3

gdzie

– wektor

– liczba

,

1,1

2,2

div

j j

u u

u

u

u

=

=

+

+

,

1,1

2,2

3,3

grad div

j ji

i

i

i

i

u u

u

u

u

c

=

=

+

+

=

– wektor

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 3

TEORIA PŁYT CIENKICH

Powierzchnie ograniczające – górna i dolna,
Powierzchnia środkowa – równoległa do obu
Płyta – obciążenie

(

)

1

2

,

q x x

zawsze prostopadłe do powierzchni

środkowej.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 4

Płyta cienka: warunek

(

h

L

5

L

h

<

)

– wysokość płyty

h

– mniejszy wymiar charakterystyczny w planie

L

Założenie małych przemieszczeń

(

)

1

2

3

, ,

,

1,2,3

i

u x x x

h

i

=

Praktycznie spełnione w zagadnieniach inżynierii lądowej
Założenia w teorii płyt cienkich:

1) założenie kinematyczne Kirchhoffa, odpowiednik założenia

Bernoulliego w teorii belek: punkty leżące na prostej
prostopadłej do powierzchni środkowej, po odkształceniu
znajdują się na prostej prostopadłej do ugiętej powierzchni
płyty (ściśle: na prostopadłej do płaszczyzny stycznej)

2) założenie o stanie naprężenia: w równaniach konstytutywnych

materiału płyty przyjmujemy warunki PSN, tj.

3

0

i

σ

=

w

całym obszarze

3

2

2

h

h

x

− ≤

≤

.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 5

Oznaczenia przemieszczeń punktów powierzchni środkowej płyty

(

)

(

)

(

) (

)

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

, ,0

,

, ,0

,

u x x

u x x

u x x

v x x

≡

⎫

⎬

≡

⎭

- stan tarczowy

– przemieszczenia pomijane w teorii płyt

(

)

(

3

1

2

1

2

, ,0

,

u x x

w x x

≡

)

– ugięcie płyty – podstawowa niewiadoma

teorii płyt

Zadaniem jest wyprowadzenie równania różniczkowego płyty z
niewiadomą funkcją ugięcia

(

)

1

2

,

w x x

.

Równanie to ma wiązać ze sobą relacje konstytutywne, związki
geometryczne i równania równowagi.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 6

Składowe wektora przemieszczenia

(

)

1

2

3

, ,

i

u u x x x

≡

dowolnego

punktu płyty:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

1

1

2

3

1

2

3

1

2

1

2

1

2

3

1

2

3

1

2

2

3

1

2

3

1

2

, ,

,

,

, ,

,

,

, ,

,

w

u x x x

u x x

x

x x

x

w

u x x x

v x x

x

x x

x

u x x x

w x x

∂

⎧

=

−

⎪

∂

⎪

∂

⎪

=

−

⎨

∂

⎪

⎪

=

⎪

⎩

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 7

Związki geometryczne w płaskim stanie naprężenia:

(

)

2

1

11

3

,1

3

,11

3

,11

2

1

1

1

2

2

22

3

,2

3

,22

3

,22

2

2

2

2

1

2

12

,2

,1

3

,12

3

,12

2

1

1

1

2

2

u

u

w

x

u

x w

x w

x

x

x

u

v

w

x

v

x w

x w

x

x

x

u

u

u

v

x w

x w

x

x

ε

ε

ε

⎧

∂

∂

∂

=

=

−

=

−

≈ −

⎪

∂

∂

∂

⎪

⎪

∂

∂

∂

⎪

=

=

−

=

−

≈ −

⎨

∂

∂

∂

⎪

⎪

⎛

⎞

∂

∂

⎪

=

+

=

+

−

≈ −

⎜

⎟

∂

∂

⎪

⎝

⎠

⎩

,

(

– przemieszczenia stanu tarczowego)

,

0

i

u

≈

,

0

i

v

≈

,

u v

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 8

Równania konstytutywne – materiał sprężysty, jednorodny,
izotropowy, stałe ,

E

ν

(

)

(

)

(

)

(

)

11

11

22

3

,11

,22

2

2

22

22

11

3

,22

,11

2

2

12

12

3

,12

1

1

1

1

1

1

E

E

x w

w

E

E

x w

w

E

E

x w

σ

ε

νε

ν

ν

ν

σ

ε

νε

ν

ν

ν

σ

ε

ν

ν

⎧

=

+

= −

+

⎪

−

−

⎪

⎪

=

+

= −

+

⎨

−

−

⎪

⎪

=

= −

⎪

+

+

⎩

Równania równowagi

,

0

ij j

i

b

σ

ρ

+

=

jak dla stanu przestrzennego
w płytach wielkości

3

(

1,2,3

i

i

)

σ

=

są o kilka rzędów mniejsze niż

składowe

( ,

1,2)

ij

i j

σ

=

,

pochodne wszystkich składowych są jednak ze sobą porównywalne.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 9

Zestawienie powyższych związków: równanie różniczkowe płyty
(niewiadoma funkcja )

w

(

)

4

4

4

1

2

4

2

2

4

1

1

2

2

,

2

q x x

w

w

w

x

x x

x

D

∂

∂

∂

+

+

=

∂

∂ ∂

∂

(

)

1

2

,1111

,1122

,2222

,

2

q x x

w

w

w

D

+

+

=

(

)

3

2

12 1

Eh

D

ν

=

−

– sztywność płytowa

Zapis operatorowy

( )

4

q

w

w

D

∇ = ∆ ∆

=

inaczej

,

q

G

G

D

∆ =

= ∆w

Definicje sił przekrojowych w płytach (siły wewnętrzne na
jednostkę długości)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 10

• momenty zginające i skręcające

(

)

2

2

11

,11

,22

2

2

1

2

w

w

M

D

D w

x

x

ν

ν

⎛

⎞

∂

∂

= −

+

= −

+

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

w

(

)

2

2

22

,22

,11

2

2

2

1

w

w

M

D

D w

x

x

ν

ν

⎛

⎞

∂

∂

= −

+

= −

+

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

w

(

)

(

)

2

12

21

,12

1

2

1

1

w

M

M

D

x x

ν

ν

∂

=

= − −

= − −

∂ ∂

Dw

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 11

• Siły tnące (poprzeczne)

( )

( )

1

1

2

2

Q

D

w

x

Q

D

x

∂

= −

∆

∂

∂

= −

∆

∂

w

można także zapisać

11

12

1

1

1

M

M

Q

x

x

∂

∂

=

+

∂

∂

, itd.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 12

• Siły normalne i styczne [kN/m]

– charakterystyczne dla stanu tarczowego

Matematyczne definicje sil przekrojowych (jako wypadkowe
naprężeń)

• momenty płytowe – zginające i skręcające – z definicji

(porównanie - zginanie belek

A

M

zdA

σ

=

∫

)

(

)

(

)

/2

1

2

3

3

1

2

/2

,

,

h

h

M

x x

x dx

M

x x

αβ

αβ

βα

σ

−

=

≡

∫

– z symetrii tensora naprężeń (

,

1, 2

α β

=

)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 13

• Siły tnące płytowe

(

)

/2

1

2

3

3

/2

,

h

h

Q x x

dx

α

α

σ

−

=

∫

• Siły normalne i styczne

(

)

(

)

/2

1

2

3

1

2

/2

,

,

h

h

N

x x

dx

N

x x

αβ

αβ

βα

σ

−

=

=

∫

Obciążenie można wyrazić równaniem

(

)

(

)

33

3

33

3

/ 2

/ 2

q

x

h

x

h

σ

σ

=

=

−

= −

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 14

Paraboliczny przebieg naprężeń stycznych

(

)

3

1,2

α

σ

α

=

:

1

2

13

23

3

3

max

,

max

2

2

Q

Q

h

h

σ

σ

=

=

– równanie równowagi:

11,1

21,1

31,3

0

σ

σ

σ

+

+

=

(brak sił masowych)

stąd

31,3

11,1

21,1

σ

σ

σ

= −

−

(prawa strona jest liniowa funkcją zmiennej ),

3

x

Przez całkowanie

31

σ

→

jako funkcja zmiennej stopnia

drugiego

3

x

Zachodzi zależność:

3

,

1,2,3,

1,2

i

i

αβ

σ

σ

α

=

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 15

Warunki brzegowe:

Siły brzegowe:
moment zginający

nn

M

moment skręcający

ns

M

siła poprzeczna

n

Q

przemieszczenia brzegowe:
ugięcie

w

kąt obrotu

n

ϕ

Pięć niewidomych równania płyt,
rząd równania różniczkowego – czwarty

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 16

Warunki brzegowe mogą zawierać cztery niezależne wielkości –
dwie geometryczne, dwie statyczne.
Redukcja sił brzegowych do dwóch – zastępcza siła poprzeczna
na brzegu

ns

n

n

M

V

Q

s

∂

=

+

∂

Uzasadnienie (brzeg prostoliniowy).

Siła poprzeczna, równoważna działaniu momentu skręcającego

12

M

obliczona na jednostkę długości brzegu wynosi

12

2

/

M

x

∂

∂

.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 17

Stąd całkowita zastępcza siła poprzeczna
(łączne działanie siły

i momentu skręcającego

1

Q

12

M

)

12

1

1

2

M

V

Q

x

∂

=

+

∂

Uwaga: w narożu prostokątnym występuje reakcja

12

2

[kN /

R

M

=

m]

(płyty żelbetowe krzyżowo zbrojone – dodatkowe zbrojenie
dwukierunkowe w narożu)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 18

Sposób podparcia płyt (warunki brzegowe) – układ kartezjański

Swobodne podparcie

1

11

,11

0

0 :

0

0

w

x

M

w

=

⎧

=

⎨

= ⇒

=

⎩

2

22

,22

0

0 :

0

0

w

x

M

w

=

⎧

=

⎨

= ⇒

=

⎩

Utwierdzenie

1

,1

0

0 :

0

w

x

w

=

⎧

=

⎨

=

⎩

2

,2

0

0 :

0

w

x

w

=

⎧

=

⎨

=

⎩

Swobodny brzeg

11

1

1

0

0 :

0

M

x

v

=

⎧

=

⎨ =

⎩

22

1

2

0

0 :

0

M

x

v

=

⎧

=

⎨

=

⎩

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 19

RÓWNANIA TEORII PŁYT W UKŁADZIE BIEGUNOWYM

Siły wewnętrzne płytowe w układzie biegunowym są
wypadkowymi naprężeń:

3

3

,

,

,

,

rr

r

r

r

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

σ σ

σ

σ σ σ

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 20

Siły wewnętrzne w układzie biegunowym:

rr

M

– moment zginający radialny (promieniowy)

M

ϕϕ

– moment zginający obwodowy

r

r

M

M

ϕ

ϕ

=

– momenty skręcające

,

r

Q Q

ϕ

– siły tnące (poprzeczne)

Siły wewnętrzne wyrażone poprzez ugięcie:

(

)

(

) (

)

1

2

1

2

,

,

,

w r

w r x x

x x

ϕ

ϕ

= ⎡

⎤

⎣

⎦

,

Przyjmując kierunek radialny

(

)

0

ϕ

=

pokrywający się z osią ,

mamy

1

x

(

)

2

2

11

0

,11

,22

0

2

2

1

1

1

rr

w

w

w

M

M

D w

w

D

r

r r

r

ϕ

ϕ

ν

ν

ϕ

=

=

2

⎡

⎤

⎛

⎞

∂

∂

∂

=

= −

+

= −

+

+

⎢

⎥

⎜

⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎣

⎦

(

)

2

2

22

0

,22

,11

0

2

2

2

1

1

w

w

M

M

D w

w

D

r r

r

r

ϕϕ

ϕ

ϕ

ν

ν

ϕ

=

=

w

⎡

⎤

∂

∂

∂

=

= −

+

= −

+

+

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎣

⎦

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 21

(

)

(

)

12

0

,12

0

1

1

1

r

r

w

M

M

M

D

w

D

r r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ν

ν

ϕ

=

=

⎛

⎞

∂

∂

=

=

= −

−

= −

−

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

(

r

Q

D

w

r

∂

= −

∆

∂

)

gdzie

2

2

2

2

1

1

w

w

w

r

r r

r

2

w

ϕ

∂

∂

∂

∆ =

+

+

∂

∂

∂

( )

1

Q

D

r

ϕ

ϕ

∂

= −

∆

∂

w

Równanie płyty

(

)

(

)

(

)

,

,

q r

w r

D

ϕ

ϕ

∆ ∆

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 22

PŁYTY – PRZYPADEK OBROTOWOSYMETRYCZNY

Gdy własności geometryczne, obciążenie i warunki brzegowe płyty
spełniają warunek obrotowej symetrii, równanie różniczkowe płyty
staje się równaniem różniczkowym zwyczajnym względem
zmiennej

r

( )

( )

(

)

( )

4

q r

w r

w r

D

∇

= ∆ ∆

=

2

2

1

1

w

w

w

w

r

r

r r

r r

r

∂

∂

∂

∂

⎛

⎞

∆ =

+

=

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

Siły wewnętrzne:

2

2

1

rr

w

w

M

D

r

r r

ν

⎛

⎞

∂

∂

= −

+

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

2

2

1 w

w

M

D

r r

r

ϕϕ

ν

⎛

⎞

∂

∂

= −

+

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 23

0

r

r

M

M

ϕ

ϕ

=

=

( )

2

2

1

r

w

w

Q

D

w

D

r

r

r

⎛

⎞

∂

∂ ∂

= −

∆

= −

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

r r

∂

∂

0

Q

ϕ

=

Zastępcza siła poprzeczna jest zawsze równa sile

r

V

r

Q

Przekształcenie równania różniczkowego płyty:

( )

(

)

( )

q r

w r

D

∆ ∆

=

,

( )

1

r

r r

r

∂

∂

⎛

⎞

∆

=

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

i

i

( )

1

1

q r

w

r

r

r r

r r r

r

D

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

⎡

⎤

⎛

⎞ =

⎜

⎟

⎜

⎟

⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎣

⎦

⎝

⎠

Inna forma

, gdzie

0

G

∆ =

1

w

G

w

r

r r

r

∂

∂

⎛

⎞

= ∆ =

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 24