Algebra liniowa

Z

4−5

1. Opisać następujące podprzestrzenie:

(a) Lin((−1, 2)) ¬ R

2

; Lin((2, −1), (1, 1)) ¬ R

2

(b) Lin(1, x

2

, x

4

) ¬ R[x]; Lin(x + 1, (x + 1)x, (x + 1)x

2

, (x + 1)x

3

) ¬ R[x].

2. Czy podany układ wielomianów jest liniowo niezależny w przestrzeni R[x]

3

nad R?

(a) {x + 3; (x − 3)

3

;

4
5

; 3x

2

; x

3

− 4}

(b) {x + 1; x

3

+ 2x; x

2

− 5x + 2; 7x

3

+ 2x

2

}

(c) {

1
3

x

2

+ 5x; −x

3

; 2x + 1; 5x}

3. Czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny w przestrzeni R

R

nad R?

(a) {x, sin x, cos x},

(b) {sin x, cos x, sin 2x, cos 2x},

(c) {cos 2x, sin

2

x, cos

2

x}.

4. Znaleźć bazy następujących podprzestrzeni liniowych:

(a) {w ∈ R[x]

2

: w(1) = w

0

(0)}

(b) zbiór wielomianów z R[x]

4

, dla których liczba 1 jest pierwiastkiem co najmniej 2-krotnym.

5. Podać współrzędne wektora 7 sin

2

x w bazie (3, cos 2x).

6. Podać współrzędne wektora v ∈ V w bazie B = (u

1

− 2u

2

, u

1

− 2u

2

+ u

3

, u

2

− u

1

) przestrzeni

liniowej V , jeżeli w bazie C = (u

1

, u

2

, u

3

) tej przestrzeni ma on współrzędne (4, −1, 2).

7. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V = {(x − y, 3y, 2y − x, 2x) :

x, y ∈ R}. Znaleźć bazę tej

przestrzeni, w której wszystkie współrzędne wektora (1, 3, 0, 4) są równe 4.

8. Czy przekształcenie ϕ : R

3

→ R

3

jest liniowe jeśli ϕ((2, 0, 0)) = (2, 2, 2), ϕ((1, 1, 0)) = (0, 1, 0),

ϕ((1, 0, 1)) = (0, 0, −1), ϕ((1, 1, 1)) = (1, 2, −1)?

9. Niech F : C → C, F (z) = z. Czy

(a) F jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej C nad ciałem R?

(b) F jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej C nad ciałem C?

10. Sprawdzić, czy podane odwzorowania są przekształceniami liniowymi. Dla przekształceń liniowych:

znaleźć jądro i obraz (podać wymiar, dla skończenie wymiarowych także bazę); stwierdzić, czy
przekształcenie jest nieosobliwe, czy jest ”na”.

(a) ϕ : R

2

→ R

2

, φ - obrót o kąt

π

4

w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara wokół

punktu (1, 1),

(b) ϕ : R

2

→ R

2

(x, y) 7→ (x − y, 5y − 5x),

(c) ϕ : R

3

→ R

2

, (x, y, z) 7→ (x, y + 2z),

(d) ϕ : R

3

→ R[x]

2

, (a, b, c) 7→ (a − c)x

2

+ (b + 4)x + c − 3a,

(e) ϕ : R[x]

3

→ R

3

, w(x) 7→ (w(1), w

0

(1), w

00

(1)),

(f) ϕ : R[x]

2

→ R[x]

2

, w(x) 7→ x · w

0

(x),

(g) ϕ : C[x] → C, f 7→ f (j),

(h) V - przestrzeń ciągów zbieżnych o wyrazach rzeczywistych, ϕ : V → R, c 7→ lim

n→∞

c

n

,

(i) ϕ : C(R) → C(R), f 7→ f ◦ f , gdzie C(R) - przestrzeń funkcji ciągłych.

11. Dane jest przekształcenie liniowe ϕ : R

3

→ R[x]

2

takie, że ϕ((1, 1, 1)) = 2x

2

− 3x,

ϕ((1, 2, 3)) = −3x, ϕ((1, 2, 4)) = 2x

2

− 4x. Wyznaczyć wzór ogólny ϕ((a, b, c)). Znaleźć jądro,

obraz, wymiar obrazu, wymiar jądra.