Przestrzenie wektorowe K

n

. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014.

Wydział MiNI PW

Zadanie 4.1.

Niech n ∈ N. W przestrzeni wektorowej C

n

nad ciałem C przeprowadzi´c nast˛epuj ˛

ace działa-

nia

(1, 2, 3, . . . , n) + (2i, 4i, . . . , 2n · i)

i · (1 + i, 1 − i, . . . , 1 + (−1)

n+1

· i)

Zadanie 4.2.

Rozstrzygn ˛

a´c, który z podanych zbiorów wektorów jest podprzestrzeni ˛

a odpowiedniej prze-

strzeni wektorowej:

(a) wektory płaszczyzny o pocz ˛

atku w punkcie (0, 0), których ko ´nce le ˙z ˛

a na jednej z dwóch prostych

przecinaj ˛

acych si˛e w (0, 0),

(b) wektory płaszczyzny o pocz ˛

atku w punkcie (0, 0), których ko ´nce le ˙z ˛

a na danej prostej,

(c) wektory płaszczyzny o pocz ˛

atku w punkcie (0, 0), których ko ´nce nie le ˙z ˛

a na danej prostej,

(d) wektory płaszczyzny o pocz ˛

atku w punkcie (0, 0), których ko ´nce le ˙z ˛

a w pierwszej ´cwiartce,

(e) wektory przestrzeni R

n

nad R, których współrz˛edne s ˛

a liczbami całkowitymi,

(f) wektory przestrzeni K

n

nad ciałem K, które s ˛

a rozwi ˛

azaniami ustalonego układu równa ´n liniowych o

n

niewiadomych i współczynnikach z ciała K.

Zadanie 4.3.

Wykaza´c, ˙ze podane zbiory wektorów przestrzeni K

n

nad ciałem K s ˛

a podprzestrzeniami:

(a) wektory, których pierwsza i ostatnia współrz˛edne s ˛

a sobie równe,

(b) wektory, których współrz˛edne o parzystych wska´znikach s ˛

a równe 0,

(c) wektory, których współrz˛edne o parzystych wska´znikach s ˛

a sobie równe,

(d) wektory postaci (x, y, x, y, . . .),

(e) wektory b˛ed ˛

ace rozwi ˛

azaniami jednorodnego układu równa ´n.

Zadanie 4.4.

Wyznaczy´c baz˛e i wymiar powłoki liniowej nast˛epuj ˛

acego układu wektorów S:

(a) S = ((1, 0, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3)) w R

4

nad R,

(b) S = ((1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, −1, −1, −1), (2, 2, 0, 0, −1), (1, 1, 5, 5, 2), (1, −1, −1, 0, 0)) w R

5

nad R.

Zadanie 4.5.

Wyznaczy´c baz˛e i wymiar wszystkich podprzestrzeni rozwa ˙zanych w Zadaniu 4.3.

Zadanie 4.6.

Niech V b˛edzie przestrzeni ˛

a wektorow ˛

a K

n

nad ciałem K oraz niech W

1

i W

2

b˛ed ˛

a jej pod-

przestrzeniami. Zdefiniujmy zbiór W

1

+ W

2

= {w

1

+ w

2

| w

1

∈ W

1

, w

2

∈ W

2

}. Udowodni´c, ˙ze:

(a) zbiór W

1

+ W

2

jest podprzestrzeni ˛

a przestrzeni V ,

(b) je´sli W

1

⊆ W

2

, to dim W

1

≤ dim W

2

, przy czym równo´s´c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy W

1

= W

2

,

(c) je´sli dim(W

1

+ W

2

) = 1 + dim(W

1

∩ W

2

)

, to suma W

1

+ W

2

jest równa jednej z tych podprzestrzeni a

przeci˛ecie W

1

∩ W

2

- drugiej,

(d) je´sli dim W

1

+ dim W

2

> dim V = n

, to W

1

∩ W

2

6= {0}.

Zadanie 4.7.

Niech U, V, W b˛ed ˛

a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej K

n

nad K.

(a) Czy jest prawd ˛

a, ˙ze U ∩ (V + W ) = (U ∩ V ) + (U ∩ W )?

(b) Udowodni´c, ˙ze powy ˙zsza równo´s´c jest spełniona je´sli V ⊆ U .

Zadanie 4.8.

Niech V b˛edzie przestrzeni ˛

a liniow ˛

a R

n

nad ciałem R oraz niech V

1

, V

2

, . . . , V

k

b˛ed ˛

a jej pod-

przestrzeniami takimi, ˙ze

V = V

1

∪ V

2

∪ . . . ∪ V

k

.

Pokaza´c, ˙ze V = V

i

dla pewnego i = 1, . . . , k.

1