PRZESTRZENIE LINIOWE.
W dalszym ciągu symbolem K będziemy oznaczać ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych (K=R lub K=C) i nazywać niekiedy ciałem skalarów, a jego elementy skalarami.
Niech będzie dany niepusty zbiór V w którym określone jest działanie wewnętrzne +:V×V→V zwane dodawaniem oraz działanie zewnętrzne •:K×V→V zwane mnożeniem. Zbiór V z tak określonymi działaniami nazywamy przestrzenia liniową (lub wektorową) nad ciałem K, jeśli spełnione są warunki:
V wraz z działaniem + jest grupa abelową.
(rozdzielność mnożenia względem dodawania elementów).
(rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów).
(łączność mnożenia).
.
Elementy przestrzeni V nazywać będziemy niekiedy wektorami.
Przestrzeń liniową nad ciałem R nazywać będziemy przestrzenią rzeczywistą.
Przestrzeń liniową nad ciałem C nazywać będziemy przestrzenią zespoloną.
Element neutralny grupy V z +, nazywamy zerem przestrzeni liniowej i będziemy oznaczać niekiedy symbolem Θ.
Uwaga. W przypadku, gdy nie będzie to prowadziło do nieporozumienia, będziemy pomijać znak mnożenia skalara przez wektor. Zapis α1x1+...+αkxk będziemy niekiedy zastępować zapisem: .
Sumę y= nazywamy liniową kombinacją elementów x1,...,xk o współczynnikach α1,α2,..., αk (mówimy też, że y jest liniową kombinacją elementów x1,...,xk).
Mówimy, że wektory x1,...,xn∈V są liniowo niezależne, jeśli
Mówimy, że wektory x1,...,xn∈V są liniowo zależne, jeśli nie są liniowo niezależne, tzn.
.
Przykłady.
R jest przestrzenia liniową nad R (ze zwykłymi działaniami). W przestrzeni tej tylko układy jednoelementowe (złożone z wektora różnego od Θ) są liniowo niezależne.
C jest przestrzenią liniową nad R oraz nad C (ze zwykłymi działaniami).
R2 jest przestrzenią liniową nad R, jeśli działania określimy następująco:
(x,y)+(t,z)=(x+t,y+z) α(x,y)=(αx,αy).
Przestrzeń tę można traktować, jako przestrzeń wektorów swobodnych płaszczyzny.
Wektory (1,0) i (0,1) są liniowo niezależne; wektory (1,1) oraz (-1,-1) są liniowo zależne.
Bazą przestrzeni wektorowej V nad ciałem K nazywamy taki układ wektorów x1,...,xn, że:
x1,...,xn są wektorami liniowo niezależnymi;
każdy wektor x∈V jest liniową kombinacją wektorów x1,...,xn, tzn.
.
TWIERDZENIE. Każde dwie bazy dowolnej przestrzeni wektorowej V mają tę samą ilość elementów.
Jeśli V={Θ}, to mówimy, że wymiar tej przestrzeni jest równy 0 i piszemy: dim(V)=0. Załóżmy zatem, że V≠{Θ}. Jeśli w przestrzeni istnieje skończony układ wektorów stanowiący bazę tej przestrzeni, to liczbę elementów tej bazy nazywamy wymiarem tej przestrzeni i oznaczamy dim(V). Jeśli w przestrzeni V taki skończony układ nie istnieje, to mówimy, że przestrzeń ta jest nieskończenie wymiarowa i piszemy: dim(V)=∞.
Przykład. Przestrzeń R nad ciałem R ma wymiar 1, a przestrzeń R2 nad ciałem R ma wymiar 2 (bazą jest np. układ wektorów (1,0) i (0,1) lub (1,5), (0,7)).
UWAGA. Z definicji bazy wynika, że jeśli x1,...,xn jest bazą tej przestrzeni oraz x∈V, to . Liczby αi są wyznaczone jednoznacznie (dla elementu x), tzn. jeśli , to αi=βi (i=1,2,...). Liczby α1,..., αn nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie x1,...,xn.
Podzbiór W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V, jeśli jest zamknięty ze względu na działania określone dla przestrzeni V, tzn.
.
Wówczas W jest przestrzenią liniową ze względu na działania przestrzeni V.
UIWAGA: Jeśli W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V (nad ciałem K), to W jest przestrzenia liniową (ze względu na działania określone w V), a zatem posiada bazę. Załóżmy, że jest to baza skończona w1,w2,...,wn. Wówczas W jest generowana przez wektory w1,w2,...,wn, tzn. W={α1w1+α2w2+...+αnwn: α1,..., αn∈K}. Fakt ten zapisujemy:
W=L(w1,...,wn).
Różnicą wektorów x,y∈V nazywamy sumę wektora x i wektora przeciwnego do y (w grupie V z +), tzn. x-y=x+(-y).
Hiperpłaszczyzną przechodzącą przez punkt xo∈V i równoległą do podprzestrzeni liniowej U przestrzeni V nazywamy zbiór wektorów:
{xo+x: x∈U}.
Wymiarem hiperpłaszyzny nazywamy wymiar podprzestrzeni U.
Hiperpłaszczyznę dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną (liniową), a hiperpłaszczyznę jednowymiarową - prostą (liniową). Prostą jest zatem każdy zbiór postaci: {xo+tx: t∈R}. Uwaga: w przypadku, gdy V jest zbiorem wektorów swobodnych płaszczyzny, przestrzeni Rn, jest to inny zapis parametrycznego równania prostej.
Odcinkiem łączącym punkt x∈V z punktem y∈V nazywamy zbiór
.
Punkty x i y noszą nazwę końców odcinka .
Zbiór A⊂V nazywamy wypukłym, jeżeli:
.
TWIERDZENIE. Iloczyn dwóch zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.
Dowód. Niech A,B⊂V będą zbiorami wypukłymi i niech x,y∈A∩B.
Skoro x,y∈A i A jest zbiorem wypukłym, więc ⊂ A.
Skoro x,y∈B i B jest zbiorem wypukłym, więc ⊂ B.
Tym samym ⊂ A∩B, co kończy dowód.
Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi, nad wspólnym (takim samym dla obu przestrzeni) ciałem K. Funkcję f:U→V posiadającą własności:
(L1) (addytywność);
(L2) (jednorodność),
nazywamy funkcją liniową.
PRZESTRZENIE UNORMOWANE. PRZESTRZENIE BANACHA.
Normą w przestrzeni liniowej X nad ciałem K (=R lub =C) nazywamy funkcję przyporządkowującą każdemu elementowi x∈X liczbę rzeczywistą nieujemną ||x|| (nazywaną normą wektora x) z zachowaniem następujących warunków (aksjomaty normy):
(N1) .
(N2) (jednorodność).
(N3) (subaddytywność).
Liczbę ||x|| nazywamy też długością wektora x.
Przestrzeń liniową X z określoną w niej normą nazywamy przestrzenią unormowaną (nad ciałem K).
Każdą przestrzeń unormowaną X można uważać za przestrzeń metryczną, przyjmując, że ρ(x,y)=||x-y||, dla dowolnych x,y ∈ X. Metrykę ρ nazywamy metryką wyznaczoną przez normę. Zbieżność ciągu {xn} do punktu xo oznacza, że limn→∞||xn-xo||=0.
TWIERDZENIE. Własności normy.
||x-y||=||y-x||; ||x||-||y||≤||x-y||.
Zbieżność xn→xo implikuje ||xn||→||xo|| (ciągłość normy).
Dowód. Udowodnimy (a):
||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| ||y-x||=1 ||y-x||=||y-x||.
Zauważmy, ze x=(x-y)+y, więc ||x||≤||x-y||+||y||+||y||, więc
||x||-||y||≤||x-y||
Zmieniając miejscami x i y mamy:
||y||-||x||≤||x-y||,
czyli: ||x||-||y||≤||x-y||.
Wynika wprost z udowodnionej nierówności: ||x||-||y||≤||x-y||.
TWIERDZENIE. W przestrzeni unormowanej działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi, tzn.
Jeśli αn →αo, xn→xo, yn→yo, to (xn+yn)→(xo+yo) i (αnxn)→( αoxo).
TWIERDZENIE. W przestrzeni unormowanej kula otwarta jest zbiorem wypukłym.
Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna nazywamy przestrzenią Banacha.
Przykłady.
Przestrzenie R i C z normą ||x||=|x| są przestrzeniami Banacha.
FUNKCJE O WARTOŚCIACH W PRZESTRZENIACH UNORMOWANYCH.
Rozważmy zbiór wszystkich funkcji f:X→Y, gdzie X jest przestrzenią metryczną, a Y przestrzenią unormowaną (nad ciałem skalarów K). Przyjmijmy ponadto naturalne definicje sumy oraz iloczynu funkcji przez skalar:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) (αf)(x)= αf(x) ,dla dowolnego x∈X;
utworzyliśmy nową przestrzeń liniową, której elementami są funkcje. W podobny sposób w przestrzeni tej możemy określić mnożenie funkcji i dzielenie funkcji (przez funkcję, która nie przyjmuje wartości 0):
(fg)(x)=f(x)g(x) (f/g)(x)=f(x)/g(x) ,dla dowolnego x∈X.
Jeśli założymy, że X jest przestrzenia zwartą, a rozważane funkcje są ciągłe , to w przestrzeni tej możemy wprowadzić normę:
||f||=supx∈X||f(x)||.
Przestrzeń tę będziemy oznaczać C(X,Y).
TWIERDZENIE. Jeśli Y jest przestrzenia Banacha, to C(X,Y) jest przestrzenią Banacha.
Zauważmy dodatkowo, że dla funkcji f:X→Y, gdzie X jest przestrzenią metryczną, a Y przestrzenią unormowaną zachodzą twierdzenia związane z ciągłością funkcji analogiczne, jak w przypadku funkcji przyjmujących wartości w R lub C.
TWIERDZENIE. Jeśli funkcja f jest ciągła, to funkcja ||f|| też jest ciągła.
TWIERDZENIE.
Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie xo, to funkcje f+g, f-g, fg, f/g (ta ostatnia przy założeniu, że g(x)≠0, dla x∈X) są ciągłe w punkcie xo.
Jeśli funkcje f i g są ciągłe to funkcje f+g, f-g, fg, f/g (ta ostatnia przy założeniu, że g(x)≠0, dla x∈X) również są ciągłe.
TWIERDZENIE. Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi. Funkcja liniowa f:X→Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy:
.
Zbiór ciągłych przekształceń liniowych przestrzeni X w Y będziemy oznaczać symbolem L(X,Y).