Rozwiązywanie układów liniowych
=
n
n
nn
nj
n
n
n
n
j
n
j
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
1
3
2
1
2
2
23
22
21
1
1
13
12
11
...
...
...
...
...
...
Podstawowe informacje o macierzach
B
AX =
Układ równań liniowych możemy zapisać w postaci macierzowej
W postaci rozwiniętej
równania te mają postać
=
1
...
0
...
0
0
0
1
1
1
...
0
1
0
0
...
0
...
0
1
0
0
...
0
...
0
0
1
I
Macierz jednostkowa
=
nn
ii
a
a
a
a
a
I
...
0
...
0
0
0
...
...
...
0
0
0
...
0
...
0
0
0
...
0
...
0
0
33
22
11
Macierz diagonalna
Rozwiązywanie układów liniowych
nn
jn
n
n
n
n
n
j
n
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
13
2
2
23
22
12
1
1
13
12
11
Macierz symetryczna
ji
ij
a
a =
W postaci rozwiniętej
Macierze symetryczne bardzo często występują w zagadnieniach technicznych tzn.
Macierze sztywności, bezwładności w dynamice konstrukcji, w obliczeniach MES
Rozwiązywanie układów liniowych
Macierz trójkątna górna
=
nn
ii
n
i
n
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
U
...
0
...
0
0
0
...
...
...
0
0
...
...
0
...
...
33
2
2
23
22
1
1
13
12
11
Macierz trójkątna dolna
=
nn
ni
n
n
n
ii
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
...
...
...
...
...
0
0
...
0
...
0
0
...
0
...
0
0
3
2
1
33
31
22
21
11
Niech A będzie macierzą n x n. Niech A
k
oznacza macierz kxk utworzoną z k pierwszych wierszy i kolumn z
A. Jeśli det(A
k
) ≠ 0 (k = 1,2,...,n-1), to istnieje jedyny rozkład A = LU na czynniki takie, że macierz L = (m
ij
)
jest macierzą trójkątna dolną i ma elementy m
ij
równe 1 (i = 1,2, ....,n) a macierz U jest macierzą trójkątną
górną.
Twierdzenie o rozkładzie trójkątnym
Rozwiązywanie układów liniowych
Macierz pasmowa (wstęgowa)
=
nn
ii
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
W
...
0
...
0
0
0
...
...
0
...
0
0
...
...
0
...
0
43
42
41
34
33
32
31
2
23
22
21
14
13
12
11
q
j
i
p
i
j
jeśeś
a
ij
+
>
+
>
=
lub
,
0
Szerokość wstęgi w = p + q + 1
Rozwiązywanie układów liniowych
Macierz pasmowa (wstęgowa) symetryczna
=
nn
ii
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
W
...
0
...
0
0
0
...
...
0
...
0
0
...
...
0
...
0
34
24
14
34
33
23
13
2
23
22
12
14
13
12
11
p
j
i
p
i
j
jeśeś
a
ij
+
>
+
>
=
lub
,
0
Szerokość półpasma m = p - 1
Rozwiązywanie układów liniowych
Macierz pasmowa (wstęgowa)
Zapis tylko pasma
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
,
10
10
,
9
99
10
,
8
89
88
10
,
7
79
78
77
10
,
6
69
69
67
66
59
58
57
56
55
48
47
46
45
44
37
36
35
34
33
26
25
24
23
22
15
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
p
Rozwiązywanie układów liniowych
Macierz pasmowa (wstęgowa)
Zapis profilu macierzy
=
77
67
57
47
27
67
66
47
46
36
57
56
55
45
35
25
47
46
45
44
34
36
35
34
33
23
27
25
23
22
12
12
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
W
Rozwiązywanie układów liniowych
=
K
K
36
46
56
66
25
35
45
55
23
33
21
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
=
17
16
12
8
6
4
2
1
NMAX
Macierz pasmowa (wstęgowa)
Zapis profilu macierzy
Rozwiązywanie układów liniowych
=
−
−
−
−
−
−
0
0
1
0
5
4
1
0
4
6
4
1
1
4
6
4
0
1
4
5
4
3
2
1
U
U
U
U
−
−
=
−
−
0
5
4
5
16
4
)
4
(
*
0
5
1
5
4
1
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
1
5
16
5
14
0
0
1
5
4
4
5
16
6
)
4
(
4
Niech będzie dany układ równań liniowych. Pierwsze równanie zostanie podzielone przez pierwszy
współczynnik (5), następnie przemnożone przez pierwszy współczynnik drugiego równania (-4). Tak
przekształcone pierwsze równanie zostanie odjęte od drugiego. Podobnie pierwsze równanie zostanie
podzielone przez pierwszy współczynnik (5), następnie przemnożone przez pierwszy współczynnik
trzeciego równania (1) i odjęte o trzeciego równania.
Rozwiązywany układ równań
Pierwsze równanie zostanie podzielone
przez pierwszy współczynnik (5),
następnie przemnożone przez pierwszy współczynnik
drugiego równania (-4), i odjęte od drugiego
Przykład przekształcenia macierzy współczynników układu równań liniowych do
macierzy trójkątnej górnej
Rozwiązywanie układów liniowych
=
−
−
−
−
−
0
0
1
0
5
4
1
0
4
5
29
5
16
0
1
5
16
5
14
0
0
1
4
5
4
3
2
1
U
U
U
U
−
=
−
0
5
1
5
4
1
)
1
(
*
0
5
1
5
4
1
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
4
5
29
5
16
0
0
4
5
1
6
5
4
4
1
1
Pierwsze równanie zostanie podzielone
przez pierwszy współczynnik (5),
następnie przemnożone przez pierwszy współczynnik
trzeciego równania (1) o odjęte od trzeciego równania.
Otrzymujemy następujący układ równań
Podobnie postępujemy
−
=
−
−
−
−
−
14
5
7
8
1
0
14
65
7
20
0
0
7
20
7
15
0
0
1
5
16
5
14
0
0
1
4
5
4
3
2
1
U
U
U
U
Rozwiązywanie układów liniowych
Następnie
=
−
−
−
−
6
7
7
8
1
0
6
5
0
0
0
7
20
7
15
0
0
1
5
16
5
14
0
0
1
4
5
4
3
2
1
U
U
U
U
Zastosowaną powyżej metodę nazywamy Metodą Eliminacji Gausa
Następnie możemy obliczyć wartości poszczególnych niewiadomych stosując
postępowanie odwrotne (zastępowanie powrotne)
5
7
5
6
6
7
4
=
=
U
5
12
15
36
15
28
15
8
5
7
7
20
15
7
7
8
15
7
,
7
20
7
8
7
15
3
4
3
=
=
+
=
+
=
⇒
+
=
U
U
U
5
13
2
1
35
96
14
5
5
7
14
5
5
12
5
16
14
5
14
5
,
5
16
1
5
14
2
4
3
2
=
−
−
=
−
+
=
⇒
−
+
=
U
U
U
U
5
8
25
40
25
12
25
52
5
12
5
1
5
13
5
4
,
0
4
0
5
1
3
2
1
=
=
−
=
−
=
⇒
−
−
+
=
U
U
U
U
Rozwiązywanie układów liniowych
Powyższy schemat można zapisać następująco
Oznaczając przekształcone współczynniki jak poniżej
=
)
(
)
(
)
3
(
3
)
2
(
2
)
1
(
1
3
2
1
)
(
)
(
)
3
(
3
)
3
(
3
)
3
(
33
)
(
2
)
2
(
2
)
2
(
23
)
2
(
22
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
13
)
1
(
12
)
1
(
11
...
...
...
0
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
...
0
...
...
n
n
i
i
n
i
n
nn
i
ii
n
i
k
n
i
n
i
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Przyjmując, że
)
1
(
)
(
)
(
1
,
n
i
k
b
a
k
i
k
n
i
≤
≤
≤
=
+
=
Wtedy wzory można określić następująco. Eliminacje wykonuje się w n-1 krokach o numerach
k = 1,2,... ,n-1. W k-tym kroku elementy dla j, j > k przekształca się według wzorów
)
1
,....
2
,
1
;
,...
2
,
1
(
,
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
+
+
+
=
+
+
=
−
=
=
+
n
k
k
j
n
k
k
i
a
m
a
a
a
a
m
k
kj
ik
k
ij
k
ij
k
kk
k
ik
ik
)
(k
ij
a
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklad 4 HP 2008 09
POM wyklad z 03 09 serwerix
Gospodarowanie kapitałem ludzkim wykład 5 18 04 09, UCZELNIA, Gospodarowanie kapitałem ludzkim
NOTATKI WYKLAD2 2013 03 09
kosmetologia wyklad 22 02 09(1)
psychologia społeczna - wykłady 01.03.09, Psychologia
NOTATKI WYKLADI 2013 03 09
wykład III (2 III 09)
003HISTORIA SZTUKI WCZESNOCHRZEŚCIJAŃSKIEJ I BIZANTYJASKIEJ WYKŁAD III 3 11 09 (Automatycznie zapisa
Wyklad - 25.XI.09, Studia, Ogólne, Informatyka
wykład 5, Czwórnik liniowy
Geodezja wykład 5 pomiary liniowe i pomiary kątowe (04 04 2011)
1 wyklad 28 02 09
Wykład 6 Stabilność liniowych układów automatyki (2013)
MOO wyklad Progr Liniowe i Alg Sympleks
Wyklad 7 HP 2008 09
Wyklad 1 HP 2008 09
więcej podobnych podstron