Niniejsza książka jest podręcznikiem do przedmiotu Algebra liniowa
I wykładanego w Instytucie Matematyki Uniwersytetu w Białymstoku
w oparciu o następujący program:

Aksjomaty ciała. Pojęcie ciała liczbowego. Konstrukcja ciała
liczb zespolonych, ciało liczb zespolonych. Geometryczna inter-
pretacja liczb zespolonych, trygonometryczna postać liczb zespo-
lonych, twierdzenie de Moivre’a, pierwiastkowanie liczb zespolo-
nych. Pojęcie układu równań liniowych, układ równań jednorod-
nych, rozwi

azanie układu, metoda Gaussa rozwi

azywania ukła-

dów równań liniowych. Wyznacznik i jego własności, twierdze-
nie Laplace’a. Twierdzenie Cramera. Rz

ad macierzy i operacje

na macierzach nie zmieniaj

ace rzędu. Twierdzenie Kroneckera-

Capelli’ego. Mnożenie macierzy. Twierdzenie Cauchy’ego i jego
zastosowania. Pojęcie przestrzeni liniowej. Podprzestrzenie prze-
strzeni liniowej. Kombinacja liniowa wektorów. Liniowa niezależ-
ność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, współrzędne.
Lemat Steinitza. Wymiar przestrzeni i podprzestrzeni. Suma i
przecięcie podprzestrzeni, ich wymiary. Przestrzeń ilorazowa i
jej wymiar. Przekształcenia liniowe przestrzeni liniowych. J

adro

i obraz przekształcenia liniowego. Monomorfizm, endomorfizm,
epimorfizm, izomorfizm. Zasadnicze twierdzenie o izomorfizmach
przestrzeni liniowych.

Wieloletnie doświadczenia autora związane z wykładaniem algebry

liniowej pokazały, że przedmiot ten sprawia spore trudności studen-
tom. Okazało się, że powyższy program nie jest łatwo zrealizować

Wstęp

w trakcie piętnastu wykładów w sposób przystępny dla słuchaczy bez
dysponowania dobrymi materiałami dydaktycznymi. Okazało się też,
że odsyłanie studentów do literatury nie jest (z wielu powodów) sku-
tecznym rozwiązaniem problemu. Właśnie dlatego powstał ten skrypt.
W oparciu o materiał tu umieszczony można sprawnie prowadzić wy-
kłady ubogacając je dodatkowymi przykładami, uwagami dydaktycz-
nymi, informacjami historycznymi, ciekawostkami, zadaniami, proble-
mami, itp.

W podręczniku liczbami naturalnymi będziemy nazywali dodatnie

liczby całkowite, zaś sam zbiór wszystkich liczb naturalnych będziemy
oznaczali przez N. Zatem N = {1, 2, . . .}. Ponadto N

= {0, 1, 2, . . .}.

Koniec dowodu oznaczamy symbolem

Autor dziękuje mgr Magdalenie Sobolewskiej za pomoc w składzie

komputerowym tego podręcznika.

Autor

Rozdział 1

Pojęcie ciała

1.1

Działanie w zbiorze

Definicja 1.1.

Działaniem w niepustym zbiorze A nazywamy

każde odwzorowanie zbioru A × A w zbiór A. Jeżeli ◦ jest działaniem
w zbiorze A i a, b ∈ A, to ◦((a, b)) oznaczamy przez a ◦ b i nazywamy
wynikiem działania ◦ na parze (a, b).

Działania będziemy oznaczali symbolami: ◦, ·, +, ⊕, itd.

Przykład 1.1. Niech m > 1 b

edzie liczb

a naturaln

a oraz niech

= {0, 1, . . . , m − 1}. W zbiorze Z

określamy dodawanie modulo

m oznaczane przez ⊕

i mnożenie modulo m oznaczane przez

ten sposób, że dla dowolnych a, b ∈ Z

a ⊕

b = reszta z dzielenia a + b przez m,

(1.1)

b = reszta z dzielenia a · b przez m.

(1.2)

Np. 2

2 = 0, 2 ⊕

4 = 1, itd.

1.2

Określenie ciała; przykłady ciał

Niech K b

edzie zbiorem posiadaj

acym co najmniej dwa elementy. Niech

+ i · b

a działaniami w zbiorze K zwanymi odpowiednio dodawaniem

Pojęcie ciała

i mnożeniem oraz niech b

a wyróżnione w zbiorze K dwa elementy

nazywane zerem i jedynk

a i oznaczane symbolami 0 i 1 odpowiednio.

Powiemy, że K z tymi działaniami i wyróżnionymi elementami 0, 1 jest
ciałem, jeżeli spełnione s

a nast

epuj

ace warunki (aksjomaty ciała):

A1. ∀

a,b∈K

a + b = b + a.

A2. ∀

a,b,c∈K

(a + b) + c = a + (b + c) .

A3. ∀

a∈K

a + 0 = a.

A4. ∀

a∈K

∃

x∈K

a + x = 0.

A5. ∀

a,b∈K

a · b = b · a.

A6. ∀

a,b,c∈K

(a · b) · c = a · (b · c).

A7. ∀

a∈K

a · 1 = a.

A8. ∀

a,b,c∈K

a · (b + c) = a · b + a · c.

A9. ∀

a∈K\{0}

∃

y∈K

a · y = 1.

Podstawowym przykładem ciała jest ciało liczb wymiernych (ze

zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb). Oznaczamy je przez Q.

Zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłymi działaniami dodawania i mno-

żenia tworzy ciało. Oznaczamy je przez R i nazywamy ciałem liczb
rzeczywistych.

Definicja 1.2. Każdy podzbiór K ciała R zawieraj

acy liczby 0, 1,

który jest ciałem ze wzgl

edu na zwykłe dodawanie i zwykłe mnożenie

liczb rzeczywistych (obci

ete do K) nazywamy ciałem liczbowym.

Stwierdzenie 1.1. Podzbiór K ⊆ R jest ciałem liczbowym wtedy

i tylko wtedy, gdy 0, 1 ∈ K oraz dla dowolnych a, b ∈ K: a − b ∈ K
i dla dowolnych a ∈ K, b ∈ K \ {0}:

∈ K.

Dowód ⇒. Z założenia 0, 1 ∈ K. Weźmy dowolne b ∈ K. Wtedy

istnieje x ∈ K takie, że b + x = 0, sk

ad −b ∈ K dla każdego b ∈ K.

Niech a, b ∈ K. Wtedy −b ∈ K, wi

ec a − b = a + (−b) ∈ K. Weźmy

dowolne b ∈ K \ {0}. Wtedy istnieje y ∈ K takie, że b · y = 1,
sk

∈ K dla każdego b ∈ K \ {0}. Zatem dla dowolnych a ∈ K,

b ∈ K \ {0} mamy, że

= a ·

∈ K, bo a,

∈ K.

⇐. Z założenia mamy, że 0, 1 ∈ K. Weźmy dowolne a, b ∈ K.

Wtedy −b = 0 − b ∈ K, wi

ec aksjomat A4 jest spełniony w K oraz

a + b = a − (−b) ∈ K, czyli dodawanie jest wykonalne w K. Ponieważ

Wykłady z algebry liniowej I

aksjomaty A1-A3 s

a spełnione w R, wi

ec tym bardziej s

a one spełnione

w K. Niech b ∈ K \ {0}. Wtedy

∈ K, bo 1 ∈ K. Wynika st

ad, że

aksjomat A9 jest spełniony w K. Weźmy dowolne a ∈ K, b ∈ K \ {0}.
Wtedy a · b = a ·

1
b

∈ K, gdyż

∈ K. Ponadto dla a ∈ K jest

a · 0 = 0 ∈ K, wi

ec mnożenie jest wykonalne w K. St

ad aksjomaty

A5-A8 też s

a spełnione w K i ostatecznie K jest ciałem.

Przykład 1.2. Niech d > 1 b

edzie liczb

a naturaln

a, która nie

jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej (np. 2,3,5,6,7,10, itd.).
Wówczas zbiór Q(

√

d) = {x + y

√

d : x, y ∈ Q} jest ciałem liczbowym,

bo 0 = 0 + 0 ·

√

d, 1 = 1 + 0 ·

√

d oraz dla x

, x

, y

∈ Q:

+ y

√

d) − (x

+ y

√

d) = (x

− x

) + (y

− y

)

√

d ∈ Q(

√

d),

bo x

− x

, y

− y

∈ Q. Zauważmy też, że dla dowolnych x, y ∈ Q:

x + y

√

d = 0 ⇔ x = y = 0.

(1.3)

Rzeczywiście, jeśli x + y

√

d = 0, to dla y 6= 0,

√

d = −

x
y

∈ Q, wi

istniej

a wzgl

ednie pierwsze liczby naturalne a, b takie, że

√

d =

, sk

d = a

. Ale d > 1, wi

ec a > 1 i istnieje liczba pierwsza p taka, że p|a.

Zatem p

d oraz p nie dzieli b, gdyż liczby a i b s

a wzgl

ednie pierwsze,

czyli st

ad p

|d i mamy sprzeczność z określeniem liczby d. Zatem y = 0

i w konsekwencji x = 0. Jeśli zaś x = y = 0, to oczywiście x+y

√

d = 0.

Niech teraz x

, x

, y

∈ Q b

a takie, że x

+ y

√

d 6= 0. Wtedy

z (1.3) mamy, że x

− y

√

d 6= 0, wi

√

d)(x

−y

√

d)(x

−y

√

−y

d)+(y

−x

)

√

−dy

−y

−dy

−x

−dy

√

d ∈ Q(

√

d). Zatem

na mocy stwierdzenia 1.1, Q(

√

d) jest ciałem liczbowym.

Przykład 1.3. Zbiór {x + y

√

2 : x, y ∈ Q} nie jest ciałem liczbo-

wym, gdyż można pokazać, że

√

4 =

√

2 ·

√

2 nie należy do tego zbioru.

Przykład 1.4. Niech p b

edzie dowoln

a liczb

a pierwsz

a. Wów-

czas zbiór Z

z działaniami ⊕

określonymi w przykładzie 1.1

i z wyróżnionymi elementami 0, 1 tworzy ciało, które ma dokładnie p-
elementów. W dowodzie tego faktu wykorzystuje si

e tzw. twierdzenie

Pojęcie ciała

o dzieleniu z reszt

a, z którego wynika, że dla dowolnej liczby całko-

witej a istnieje dokładnie jedna para (q, r) liczb całkowitych taka, że
a = q · p + r i r ∈ Z

. Weźmy dowolne a, b ∈ Z

. Z przemienności do-

dawania i z przemienności mnożenia liczb całkowitych od razu wynika,
że a ⊕

b = b ⊕

a i a

b = b

a. Ponadto

a ⊕

0 = [reszta z dzielenia a + 0 = a przez p] = a,

1 = [reszta z dzielenia a · 1 = a przez p] = a.

Jeżeli a 6= 0, to a > 0, wi

ec p − a ∈ Z

oraz

a ⊕

(p − a) = [ reszta z dzielenia a + (p − a) = p przez p] = 0

i 0 ⊕

0 = 0, wi

ec aksjomat A4 jest spełniony. Weźmy dowolne a, b, c ∈

. Wtedy istnieje q

∈ Z takie, że a + b = q

p + a ⊕

b. Ponadto

istnieje q

∈ Z takie, że (a ⊕

b) + c = q

p + [(a ⊕

b) ⊕

c], wi

a + b + c = (q

+ q

)p + [(a ⊕

b) ⊕

c], czyli

(a ⊕

b) ⊕

c = reszta z dzielenia a + b + c przez p.

Podobnie pokazujemy, że a ⊕

(b ⊕

c) = reszta z dzielenia a + b + c

przez p, wi

ec (a ⊕

b) ⊕

c = a ⊕

(b ⊕

c). Zupełnie analogicznie

dowodzimy, że (a

c = a

c) oraz a

(b ⊕

c) = a

b ⊕

c. Weźmy teraz dowolne a ∈ Z

\ {0}. Zauważmy, że elementy

0, a

1, . . . , a

(p−1) s

a parami różne, gdyż inaczej istniej

a liczby

całkowite x, y ∈ {0, 1, . . . , p − 1} takie, że x > y oraz a

x = a

ad p|ax − ay, czyli p|a(x − y). Ale p nie dzieli a, wi

ec p|x − y. Lecz

x−y jest liczb

a naturaln

a mniejsz

a od p, wi

ec mamy sprzeczność. St

wynika, że {a

0, a

1, . . . , a

(−1)} = {0, 1, . . . , p − 1}, wi

ec dla

pewnego t ∈ Z

jest a

t = 1. Zatem aksjomat A9 też jest spełniony

i ostatecznie Z

jest ciałem.

Przykład 1.5. Nie istnieje ciało, które ma 6 elementów, ale ist-

niej

a ciała 4-ro i 8-mio elementowe.

Wykłady z algebry liniowej I

1.3

Własności działań w ciele

Niech (K, +, ·, 0, 1) b

edzie dowolnym ciałem. Wówczas zachodz

nast

epuj

ace własności:

Własność 1.1. Prawa skracania równości:
(a) jeśli a + c = b + c, to a = b,
(b) jeśli a · c = b · c i c 6= 0, to a = b.
Dowód.

(a).

Z A4 istnieje t ∈ K takie, że c + t = 0, wi

(a + b) + t = (b + c) + t, sk

ad z A2: a + (c + t) = b + (c + t), czyli

a + 0 = b + 0 i z A3: a = b.
(b). Z A9 istnieje y ∈ K takie, że c · y = 1, wi

ec (a · c) · y = (b · c) · y,

ad z A6, a · (c · y) = b · (c · y), czyli a · 1 = b · 1, a wi

ec z A7, a = b.

Własność 1.2. Element x z A4 jest wyznaczony jednoznacznie

przez element a.

Dowód. Niech y ∈ K b

edzie takie, że a + y = 0. Wtedy a + y =

a + x, sk

ad z A1 i własności 1.1(a) mamy, że y = x.

Uwaga 1.1. Ten jedyny element x z A4 nazywamy elementem

przeciwnym do a i oznaczamy przez (−a). Ponieważ z A1: (−a) + a =
0, wi

ec a jest elementem przeciwnym do (−a) i mamy wzór:

−(−a) = a.

Własność 1.3. a · 0 = 0.
Dowód. Z A3: 0 = 0 + 0, wi

ec a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, na

mocy A8. St

ad z A3 i A1: 0 + a · 0 = a · 0 + a · 0 i z własności 1.1(a),

a · 0 = 0.

Własność 1.4. 0 6= 1.
Dowód. Ponieważ zbiór K ma co najmniej dwa elementy, wi

istnieje a ∈ K takie, że a 6= 0 i wtedy z A7: a = a · 1 oraz z własności
1.3: a · 0 = 0 6= a, wi

ec 0 6= 1.

Własność 1.5. Element y z A9 jest wyznaczony jednoznacznie

przez element a.

Pojęcie ciała

Dowód. Niech z ∈ K b

edzie taki, że a · z = 1. Wtedy na mocy

A5, z · a = y · a i a 6= 0, wi

ec na mocy własności 1.1(b), z = y.

Uwaga 1.2. Ten jedyny element y z A9 nazywamy elementem

odwrotnym do elementu a 6= 0 i oznaczamy przez a

−1

lub

1
a

. Jeśli

−1

= 0, to 1 = a · a

−1

= a · 0 = 0, na mocy własności 1.3 i 0 = 1

wbrew własności 1.4. Zatem a

−1

6= 0 oraz z A5, a

−1

· a = 1, czyli a jest

elementem odwrotnym do elementu a

−1

i dla dowolnego a 6= 0 mamy

wzór:

−1

)

−1

= a.

Własność 1.6. (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) oraz (−a) · (−b) = a · b.
Dowód. Na mocy A8 i własności 1.3 mamy, że a · (−b) + a · b =

a · (b + (−b)) = a · 0 = 0, wi

ec a · (−b) jest elementem przeciwnym do

a · b, czyli a · (−b) = −(a · b). St

ad i z A5 mamy, że (−a) · b = b · (−a) =

−(b · a) = −(a · b) oraz (−a) · (−b) = −[(−a) · b] = −[−(a · b)] = a · b.

Odejmowanie w ciele K określamy nast

epuj

aco:

a − b

def

= a + (−b).

(1.4)

Własność 1.7. a · (b − c) = a · b − a · c.
Dowód. Z (1.4), A8 i z własności 1.6 mamy, że a · (b − c) =

a · (b + (−c)) = a · b + a · (−c) = a · b + [−(a · c)] = a · b − a · c.

Dzielenie przez niezerowe elementy b w ciele określamy nast

epuj

aco:

def

= a · b

−1

(1.5)

Własność 1.8. Jeżeli a 6= 0 i b 6= 0, to a · b 6= 0.
Dowód. Weźmy dowolne a, b ∈ K \ {0}. Jeżeli a · b = 0, to na

mocy A5 i własności 1.3, a · b = 0 · b, sk

ad a = 0 na mocy własności

1.1(b) i mamy sprzeczność. Zatem a · b 6= 0.

Uwaga 1.3. Niech a, b ∈ K \ {0}. Wtedy z własności 1.8 jest

a · b 6= 0 oraz (a · b) · (

1
a

) = (a ·

1
a

) · (b ·

) = 1 · 1 = 1, wi

ec mamy

wzór:

Wykłady z algebry liniowej I

a·b

1
a

W ciele K możemy określić iloczyn elementu a ∈ K przez dowoln

liczb

e całkowit

a n w nast

epuj

acy sposób:

n·a

def











a + a + . . . + a
|

}

, gdy n jest liczb

a naturaln

, gdy n = 0

(−a) + (−a) + . . . + (−a)
|

}

|n|

, gdy n < 0

(1.6)

Można wykazać (jest to żmudne), że dla dowolnych liczb całkowi-

tych m, n i dla dowolnych a, b ∈ K zachodz

a własności:

Własność 1.9. na + ma = (n + m)a oraz na − ma = (n − m)a.

Własność 1.10. n(ma) = (nm)a.

Własność 1.11. (na) · (mb) = (nm)(a · b).

Własność 1.12. na + nb = n(a + b).

W ciele K możemy też określić całkowit

a nieujemn

a pot

e dowol-

nego elementu a ∈ K przyjmuj

ac, że

= 1

(1.7)

= a · a · . . . · a

}

dla naturalnych n.

(1.8)

Przez prost

a indukcj

e można wykazać, że wówczas dla dowolnych

m, n ∈ N

oraz dla dowolnych a, b ∈ K zachodz

a wzory:

Własność 1.13. a

· a

= a

n+m

Własność 1.14. (a

)

= a

Własność 1.15. (a · b)

= a

· b

Własność 1.16. (a + b)

k=0

n−k

· b

Pojęcie ciała

Dla niezerowych elementów a ciała K możemy rozszerzyć definicj

(1.7)-(1.8) na wszystkie liczby całkowite n w ten sposób, że dla n < 0:

−n

(1.9)

Można wykazać, że wówczas własności 1.13-1.15 s

a prawdziwe dla do-

wolnych liczb całkowitych m, n i dla dowolnych a, b ∈ K \ {0}.

Rozdział 2

Ciało liczb zespolonych I

2.1

Konstrukcja ciała liczb zespolonych

W zbiorze R × R wprowadzamy działania + i · przy pomocy wzorów:

, b

) + (a

, b

) = (a

+ a

, b

+ b

(2.1)

, b

) · (a

, b

) = (a

· a

− b

· b

, a

· b

+ a

· b

(2.2)

dla dowolnych a

, a

, b

∈ R.

Twierdzenie 2.1. Struktura algebraiczna (C, +, ·, (0, 0), (1, 0)) two-

rzy ciało.

Dowód. Sprawdzamy kolejno prawdziwość wszystkich aksjomatów

ciała. Niech a, b, a

, a

, b

a dowolnymi liczbami rzeczywi-

stymi.

A1. Na mocy wzoru (2.1) i przemienności dodawania liczb rzeczy-

wistych
(a

, b

)+(a

, b

) = (a

, b

) = (a

, b

) = (a

, b

)+(a

, b

A2. Na mocy wzoru (2.1) i ł

aczności dodawania liczb rzeczywistych

[(a

, b

) + (a

, b

)] + (a

, b

) = (a

+ a

, b

+ b

) + (a

, b

) =

([a

+ a

] + a

, [b

+ b

] + b

) = (a

+ [a

+ a

], b

+ [b

+ b

]) = (a

, b

) +

+ a

, b

+ b

) = (a

, b

) + [(a

, b

) + (a

, b

)].

A3. Na mocy wzoru (2.1) i tego, że 0 jest elementem neutralnym

dodawania liczb rzeczywistych (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).

Ciało liczb zespolonych I

A4. Na mocy wzoru (2.1) (a, b) + (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) =

(0, 0).

A5. Na mocy wzoru (2.2) i przemienności mnożenia liczb rzeczy-

wistych (a

, b

) · (a

, b

) = (a

· a

− b

· b

, a

· b

+ a

· b

) =

· a

− b

· b

, a

· b

+ a

· b

) = (a

, b

) · (a

, b

A6. Na mocy wzoru (2.2), ł

aczności i przemienności mnożenia

liczb rzeczywistych, a także rozdzielności mnożenia liczb rzeczywistych
wzgl

edem dodawania (odejmowania) liczb rzeczywistych

[(a

, b

) · (a

, b

)] · (a

, b

) = (a

− b

, a

+ a

) · (a

, b

) =

([a

− b

] · a

− [a

+ a

] · b

, [a

− b

] · b

+ a

· [a

+ a

]) =

− b

− a

, a

− b

+ a

) oraz

, b

) · [(a

, b

) · (a

, b

)] = (a

, b

) · (a

− b

, a

+ a

) =

· [a

− b

] − b

· [a

+ a

], a

· [a

+ a

] + [a

− b

] · b

) =

− a

− b

, a

+ a

− b

Zatem (a

, b

) · [(a

, b

) · (a

, b

)] = [(a

, b

) · (a

, b

)] · (a

, b

A7. Na mocy wzoru (2.2) i różnych praw działań na liczbach rze-

czywistych (jakich?) (a

, b

) · (a, 0) = (a

· a − b

· 0, a

· 0 + a · b

) =

(a · a

, a · b

), wi

ec w szczególności dla a = 1: (a

, b

) · (1, 0) = (a

, b

gdyż 1 jest elementem neutralnym mnożenia liczb rzeczywistych.

A8. Na mocy wzorów (2.1) i (2.2) oraz różnych praw działań aryt-

metycznych na liczbach rzeczywistych (jakich?)
(a

, b

) · [(a

, b

) + (a

, b

)] = (a

, b

) · (a

+ a

, b

+ b

) =

· [a

+ a

] − b

· [b

+ b

], a

· [b

+ b

] + [a

+ a

] · b

) =

+ a

− b

, a

+ a

) =

− b

, a

+ a

) + (a

− b

, a

+ a

) = (a

, b

) · (a

, b

) +

, b

) · (a

, b

A9. Niech (a, b) 6= (0, 0). Wtedy a 6= 0 lub b 6= 0, sk

ad a

+ b

> 0.

Zatem liczby

−b

a dobrze określone oraz ze wzoru (2.2)

(a, b)·(

−b

) = (a·

−b·

(−b)

, a

(−b)

·b) = (

, 0) =

(1, 0).

Otrzymane w ten sposób ciało oznaczamy przez C i nazywamy

ciałem liczb zespolonych. Elementy ciała C nazywamy liczbami
zespolonymi i oznaczamy literami: z, w, z

, z

itd. Geometrycznie

liczby zespolone można wi

ec traktować jako punkty na płaszczyźnie.

Wykłady z algebry liniowej I

Ze wzoru (2.1) wynika, że liczby zespolone dodajemy analogicznie jak
wektory na płaszczyźnie zaczepione w pocz

atku układu współrz

ednych.

Z tego powodu liczb

e zespolon

a (a, b) możemy utożsamić z wektorem

o pocz

atku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie (a, b). Interpretacja geo-

metryczna mnożenia liczb zespolonych jest bardziej złożona (podamy
j

a później).

Z określeń (2.1) i (2.2) i z dowodu twierdzenia 2.1 wynika od razu,

że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b

(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b,

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),

(a, 0) · (b, 0) = (a · b, 0),

−(a, 0) = (−a, 0),

(a, 0)

−1

= (

1
a

, 0) dla a 6= 0.

Z tego powodu dla liczb rzeczywistych a można dokonać utożsa-

mienia:

(a, 0) ≡ a.

(2.3)

Przy takim utożsamieniu R ⊆ C.
Liczb

e zespolon

i = (0, 1)

(2.4)

nazywamy jednostk

a urojon

a. Zachodzi dla niej bardzo ważny wzór:

= −1.

(2.5)

Rzeczywiście, na mocy wzoru (2.2):

= (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) ≡ −1.

Z dowodu twierdzenia 2.1 dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b

mamy, że (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) ≡ a + bi. Zatem
dla a, b ∈ R można dokonać utożsamienia:

(a, b) ≡ a + bi.

(2.6)

Otrzymujemy w ten sposób postać algebraiczn

a a + bi liczby zespolonej

(a, b).

Ciało liczb zespolonych I

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych zapisanych

w postaci algebraicznej wykonuje si

e zatem tak samo jak dodawanie,

odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i, przy czym należy
pami

etać o tym, że w miejsce i

należy zawsze podstawić (−1). Np.

(1+2i)·(3−i) = 3−i+6i−2i

= 3+5i+2 = 5+5i, (1+2i)+(3−i) = 4+i,

(1 + 2i) − (3 − i) = −2 + 3i.

Natomiast przy dzieleniu liczb zepolonych wygodnie jest wykorzy-

stywać tzw. liczby sprz

eżone. Jeżeli a i b s

a liczbami rzeczywistymi, to

liczb

a sprz

eżon

a do liczby z = a + bi nazywamy liczb

e z = a − bi. Wów-

czas z · z = (a + bi) · (a − bi) = a

− b

= a

− b

· (−1) = a

+ b

∈ R.

Zatem aby podzielić liczb

e zespolon

a w przez liczb

e zespolon

z 6= 0 należy licznik i mianownik ułamka

pomnożyć przez

liczb

e sprz

eżon

a z mianownikiem tego ułamka, czyli

w·z

z·z

w·z

. Np.

2+3i

1+i

(2+3i)·(1−i)

(1+i)·(1−i)

2−2i+3i−3i

2+i+3

5
2

1
2

Przykład 2.1. Wyznaczymy wszystkie liczby zespolone z speł-

niaj

ace równanie:

(1 + 2i) · (z − i) + (4i − 3) · (1 − i · z) + 1 + 7i = 0.

Mamy, że (1 + 2i) · (−i) = −i − 2 · (−1) = 2 − i oraz (4i − 3) · (−i) =
−4 · (−1) + 3i = 4 + 3i. Zatem nasze równanie przybiera postać:

(1 + 2i) · z + 2 − i + 4i − 3 + (4 + 3i) · z + 1 + 7i = 0,

czyli

(5 + 5i) · z = −10i.

Zatem z =

−10i
5+5i

−2i
1+i

−2i·(1−i)

−2i−2

= −1 − i. St

ad jedynym

rozwi

azaniem naszego równania w liczbach zespolonych jest z = −1−i.

Jeżeli a, b s

a liczbami rzeczywistymi oraz z = a + bi, to cz

eści

a rze-

czywist

a liczby zespolonej z nazywamy liczb

e re(z) = a, zaś cz

eści

urojon

a liczby z nazywamy liczb

e (rzeczywist

a!)

im(z) = b.

Np.

re(i) = 0 oraz im(i) = 1. Łatwo zauważyć, że re(z+w) = re(z)+re(w)

Wykłady z algebry liniowej I

dla dowolnych liczb zespolonych z, w. Ponadto z tych oznaczeń wy-
nika natychmiast, że dwie liczby zespolone zapisane w postaci
algebraicznej s

a równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich cz

eści

rzeczywiste s

a równe i ich cz

eści urojone s

a równe.

Przykład 2.2. Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste x, y

takie, że

x · (1 − i) · (2 + i) + 2y · (2 − i)

= −6 + 8i.

W tym celu obliczamy najpierw (1−i)·(2+i) = 2+i−2i−(−1) = 3−i
oraz (2 − i)

= 4 − 4i + (−1) = 3 − 4i. Zatem nasze równanie przybiera

postać:

x · (3 − i) + y · (6 − 8i) = −6 + 8i,

czyli

(3x + 6y) + (−x − 8y) · i = −6 + 8i.

Zatem z porównania cz

eści rzeczywistych i urojonych uzyskujemy, że

liczby x, y musz

a spełniać układ równań:

3x+ 6y = −6

−x− 8y = 8

Z drugiego równania wyliczamy x = −8y − 8 i podstawiamy do rów-
nania pierwszego. W ten sposób uzyskamy, że y = −1 oraz x = 0.

Modułem liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R nazywamy

liczb

e rzeczywist

a nieujemn

|z| =

√

+ b

(2.7)

Z tych określeń mamy od razu, że

re(z) ≤ |z| oraz im(z) ≤ |z|,

(2.8)

z · z = |z|

(2.9)

Ciało liczb zespolonych I

2.2

Własności sprz

egania liczb zespolonych

Własność 2.1. z

+ z

+ . . . + z

= z

+ z

+ . . . + z

Dowód. Istniej

a liczby rzeczywiste a

, . . . , a

, b

, . . . , b

takie, że

= a

+ b

i dla k = 1, . . . , n. Zatem z

+ . . . + z

= (a

+ b

i) +

. . . + (a

+ b

i) = (a

+ . . . + a

) + (b

+ . . . + b

)i, sk

ad z

+ . . . + z

+ . . . + a

) − (b

+ . . . + b

)i oraz z

+ . . . + z

= (a

− b

i) + . . . +

− b

i) = (a

+ . . . + a

) − (b

+ . . . + b

)i, sk

ad mamy tez

Własność 2.2. z

· z

· . . . · z

= z

· z

· . . . · z

Dowód. Dla n = 2 istniej

a liczby rzeczywiste a

, a

, b

takie, że

= a

i oraz z

= a

i. St

ad z

·z

= (a

−b

)+(a

)i,

czyli z

· z

= (a

− b

) − (a

+ a

)i oraz z

· z

= (a

− b

i) ·

− b

i) = (a

− b

) − (a

+ a

)i, czyli teza zachodzi dla n = 2.

Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego n. Wówczas
dla liczb zespolonych z

, . . . , z

, z

n+1

na mocy pierwszej cz

eści dowodu

mamy, że z

· . . . · z

· z

n+1

= (z

· . . . · z

) · z

n+1

= z

· . . . · z

· z

n+1

ec na mocy założenia indukcyjnego z

· . . . · z

· z

n+1

= z

· . . . · z

n+1

. St

ad na mocy zasady indukcji mamy tez

Własność 2.3. z

= (z)

Dowód. Wystarczy w poprzednim wzorze podstawić

z = z

= . . . = z

Własność 2.4.

, w 6= 0.

Dowód. Ponieważ w 6= 0, wi

ec też w 6= 0 (dlaczego?). Z własności

2.2 mamy, że z = w ·

= w ·

, sk

ad po podzieleniu obu stron przez

w uzyskamy tez

2.3

Własności modułu liczb zespolonych

Własność 2.5. |z

· z

· . . . · z

| = |z

| · |z

| · . . . · |z

Dowód. Na mocy (2.9) i własności 2.2: |z

· . . . · z

= (z

· . . . · z

) ·

· . . . · z

) = z

·. . .·z

·z

·. . .·z

= (z

·z

)·. . .·(z

·z

) = |z

·. . .·|z

ad po spierwiastkowaniu obu stron uzyskamy tez

Wykłady z algebry liniowej I

Własność 2.6.

|z|

|w|

, w 6= 0.

Dowód. Ponieważ w 6= 0, wi

ec też |w| 6= 0 (dlaczego?). Na mocy

własności 2.5 |z| =

w ·

= |w| ·

, wi

ec po podzieleniu obu stron

przez |w| uzyskamy tez

Własność 2.7. |z

| = |z|

Dowód. Wystarczy podstawić z = z

= . . . = z

w własności

2.5.

Własność 2.8. |z

+ z

+ . . . + z

| ≤ |z

| + |z

| + . . . + |z

Dowód. Stosujemy indukcj

e wzgl

edem n. Niech n = 2. Jeśli

+ z

= 0, to nasz wzór zachodzi. Załóżmy dalej, że z

+ z

6= 0.

Wtedy |z

+ z

| > 0. Ponadto 1 = re

= re

≤

, sk

ad po pomnożeniu

obu stron przez |z

+ z

| uzyskamy tez

e dla n = 2.

Załóżmy teraz, że nasza nierówność zachodzi dla pewnej liczby na-

turalnej n i niech z

, . . . , z

n+1

a dowolnymi liczbami zespolonymi.

Wówczas z pierwszej cz

eści dowodu i z założenia indukcyjnego mamy,

że |z

+ . . . + z

n+1

| = |(z

+ . . . + z

) + z

n+1

| ≤ |z

+ . . . + z

| + |z

n+1

| ≤

|+. . .+|z

|+|z

n+1

|, czyli nasza nierówność zachodzi dla liczby n+1.

ad na mocy zasady indukcji mamy tez

Własność 2.9. |z − w| = odległość punktu z od punktu w.

Dowód. Istniej

a liczby rzeczywiste a

, a

, b

takie, że z = a

i ≡ (a

, b

) oraz w = a

+ b

i ≡ (a

, b

). Ponadto z − w = (a

− a

) +

− b

)i, wi

ec |z − w| =

p(a

− a

)

+ (b

− b

)

. Zatem z geometrii

analitycznej mamy tez

Ciało liczb zespolonych I

2.4

Pierwiastek kwadratowy z liczb
zespolonych

Funkcj

e znak liczby rzeczywistej x określamy nast

epuj

aco:

sgn(x) =







1 je´sli x > 0
0 je´sli x = 0

−1 je´sli x < 0

(2.10)

Łatwo zauważyć, że |x| = sgn(x)·x dla każdego x ∈ R oraz (sgn(x))

= 1

dla x 6= 0.

Niech ω = x + yi, gdzie x, y ∈ R. Wtedy ω

= (x + yi)

+ 2xyi + y

· (−1) = (x

− y

) + 2xyi. Zatem dla a, b ∈ R:

= a + bi ⇔

− y

= a

2xy = b

(2.11)

Twierdzenie 2.2. Niech a, b ∈ R oraz

ω =











√

je´sli b = 0 i a ≥ 0

√

−a · i

je´sli b = 0 i a < 0

√

+ sgn(b) ·

√

−a

· i je´sli b 6= 0

(2.12)

Wtedy ω

= a + bi. Ponadto {z ∈ C : z

= a + bi} = {ω, −ω}.

Dowód. Dla a ≥ 0 i b = 0 mamy, że (

√

= a = a + bi. Dla

a < 0 i b = 0 jest −a > 0 oraz (

√

−a · i)

= (−a) · (−1) = a = a + bi.

Dla b 6= 0 mamy, że

√

+ b

± a > 0. Oznaczmy x =

√

y = sgn(b) ·

√

−a

. Wtedy x

− y

√

−

√

−a

= a oraz

2xy = 2sgn(b) ·

√

−a

= 2sgn(b) ·

√

= sgn(b) · |b| = b.

Zatem z (2.11) mamy, że (x + yi)

= a + bi. Kończy to dowód pierwszej

eści twierdzenia.

Zauważmy, że (−ω)

= ω

= a + bi. Jeśli zaś z ∈ C jest takie, że

= a + bi, to z

= ω

, sk

ad 0 = z

− ω

= (z − ω) · (z + ω), wi

z = ω lub z = −ω. Zatem twierdzenie jest udowodnione.

Wykłady z algebry liniowej I

Liczb

e zespolon

a ω nazywamy pierwiastkiem kwadratowym z liczby

zespolonej z, jeżeli ω

= z. Twierdzenie 2.2 mówi zatem, że z każdej

liczby zespolonej można wyci

agn

ać pierwiastek kwadratowy i podaje

wzory na te pierwiastki. Czasami pierwiastek kwadratowy z liczby
zespolonej z oznaczamy przez

√

z, ale należy być bardzo ostrożnym

przy stosowaniu tego oznaczenia.

Z twierdzenia 2.2 wynika też, że dowolne równanie kwadratowe

+ bz + c = 0,

(2.13)

o współczynnikach zespolonych a, b, c, a 6= 0 posiada pierwiastek ze-
spolony. Mianowicie oznaczmy ∆ = b

− 4ac. Wtedy istnieje liczba

zespolona ω taka, że ω

= ∆. Ponadto az

+ bz + c = a · [z

z +

] =

a · [(z +

)

−

4ac
4a

] = a · [(z +

)

−

−4ac

] = a · [(z +

)

−

] =

a · (z +

) · (z +

−

), sk

ad wynika, że wszystkimi pierwiastkami

zespolonymi równania (2.13) s

−b−ω

oraz z

−b+ω

Rozdział 3

Ciało liczb zespolonych II

3.1

Postać trygonometryczna liczby
zespolonej

Niech z b

edzie niezerow

a liczb

a zespolon

a. Wówczas istniej

a liczby

rzeczywiste a, b, takie, że

z = a + bi

(3.1)

oraz a 6= 0 lub b 6= 0.

Liczb

e z możemy traktować jako punkt

(a, b) płaszczyzny, którego odległość od punktu (0, 0) jest równa |z| =

√

+ b

Oznaczmy przez φ miar

e k

ata skierowanego jaki tworzy

wektor ~

Oz z osi

a OX w orientacji płaszczyzny przeciwnej do ruchów

wskazówek zegara. Wtedy mamy, że φ ∈ [0, 2π) oraz

cos φ =

√

sin φ =

√

(3.2)

Otrzymujemy st

ad wzór

z = |z|(cos φ + i sin φ),

(3.3)

który nazywamy postaci

a trygonometryczn

a liczby zespolonej z. Liczb

φ nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy przez Arg(z).

Wykłady z algebry liniowej I

Natomiast każd

a liczb

e rzeczywist

a α = φ + 2kπ dla całkowitych k

nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy przez arg(z). Oczywiście
dla takich α mamy, że z = |z|(cos α + i sin α). Możemy wi

ec napisać

wzór

z = |z|[cos arg(z) + i sin arg(z)].

(3.4)

Na odwrót, niech r b

edzie dodatni

a liczb

a rzeczywist

a i niech β b

edzie

liczb

a rzeczywist

a tak

a, że z = r(cos β + i sin β). Wówczas |z| = |r| ·

| cos β + i sin β| = r ·

sin

β + cos

β = r, sk

ad cos β = cos φ oraz

sin β = sin φ, wi

ec z trygonometrii mamy, że istnieje liczba całkowita

k taka, że β = φ + 2kπ.

Dla niezerowych liczb zespolonych z, w równość arg(z) = arg(w)

edziemy dalej rozumieli w ten sposób, że liczby arg(z) i arg(w) różni

e jedynie o całkowit

a wielokrotność liczby 2π.

3.2

Własności argumentu liczby
zespolonej

Własność 3.1. Dla dowolnych niezerowych liczb zespolonych

, z

, . . . , z

zachodzi wzór:

arg(z

· z

· . . . · z

) = arg(z

) + arg(z

) + . . . + arg(z

(3.5)

Dowód. Stosujemy indukcj

e wzgl

edem n. Dla n = 2 oznaczmy

arg(z

) = α, arg(z

) = β. Wtedy z

= |z

|(cos α + i sin α) oraz z

|(cos β +i sin β). Zatem z

·z

= |z

|·|z

|((cos α·cos β −sin α·sin β)+

i(cos α·sin β +cos β ·sin α)) = |z

|·|z

|[cos(α+β)+i sin(α+β)], na mocy

znanych wzorów trygonometrycznych. St

ad rzeczywiście arg(z

· z

) =

arg(z

) + arg(z

) i wzór (3.5) zachodzi dla n = 2.

Niech teraz wzór (3.5) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej n ≥ 2.

Weźmy dowolne niezerowe liczby zespolone z

, . . . , z

, z

n+1

. Wówczas

z pierwszej cz

eści dowodu i z założenia indukcyjnego otrzymamy, że

arg(z

· . . . · z

· z

n+1

) = arg((z

· . . . · z

) · z

n+1

) = arg(z

· . . . · z

) +

arg(z

n+1

) = arg(z

)+. . .+arg(z

)+arg(z

n+1

), czyli wzór (3.5) zachodzi

dla n + 1.

Ciało liczb zespolonych II

Zatem na mocy zasady indukcji wzór (3.5) zachodzi dla dowolnego

naturalnego n ≥ 2.

Własność 3.2. Podstawiaj

ac z

= z

= . . . = z

= cos α + i sin α

we wzorze (3.5) i wykorzystuj

ac (3.4) uzyskujemy natychmiast tzw.

wzór de Moivre’a:

(cos α + i sin α)

= cos nα + i sin nα dla n = 1, 2, 3, . . . .

(3.6)

Własność 3.3. Dla dowolnych niezerowych liczb zespolonych z,

w zachodzi wzór:

arg

= arg(z) − arg(w).

(3.7)

Dowód. Ponieważ z = w ·

, wi

ec ze wzoru (3.5) (dla n = 2)

uzyskujemy, że arg(z) = arg(w) + arg

, sk

ad mamy tez

Własność 3.4. Dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej z mamy,

że

arg(z) = arg

= − arg(z).

(3.8)

Dowód.

Zauważmy, że 0 jest argumentem dowolnej dodatniej

liczby rzeczywistej. Ponadto z · z = |z|

, wi

ec ze wzoru (3.5):

0 = arg(z · z) = arg(z) + arg(z), sk

ad arg(z) = − arg(z). Ponadto ze

wzoru (3.7): arg

1
z

= arg(1) − arg(z) = 0 − arg(z) = − arg(z). Zatem

wzór (3.8) jest udowodniony.

Własność 3.5. Dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej z zacho-

dzi wzór:

arg(−z) = π + arg(z).

(3.9)

Dowód. Zauważmy, że π jest argumentem liczby (-1), wi

ec ze

wzoru (3.5) arg(−z) = arg(−1) + arg(z) = π + arg(z).

Zadanie 3.1. Pokazać, że dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej

(a) arg(−

z) = π − arg(z), (b) arg(iz) =

+ arg(z).

Wykłady z algebry liniowej I

3.3

Interpretacja geometryczna mnożenia
liczb zespolonych

Ze wzoru (3.5) otrzymujemy natychmiast, że aby pomnożyć niezerowe
liczby zespolone należy pomnożyć ich moduły i dodać ich argumenty.
Niech z

edzie ustalon

a niezerow

a liczb

a zespolon

Wówczas ze

wzoru (3.5) dla n = 2 wynika, że przekształcenie z 7→ z

· z dla zespo-

lonych z jest złożeniem obrotu o k

at o mierze Arg(z

) i jednokładności

o środku O i skali |z

3.4

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Niech n b

edzie dowoln

a liczb

a naturaln

a. Pierwiastkiem n-tego stop-

nia z liczby zespolonej z nazywamy każd

a tak

a liczb

e zespolon

a ω,

że ω

= z. Łatwo zauważyć, że jedynym pierwiastkiem n-tego stopnia

z liczby 0 jest 0. Dla niezerowych liczb zespolonych zachodzi natomiast
nast

epuj

ace

Twierdzenie 3.1. Jeśli z jest niezerow

a liczb

a zespolon

a oraz z =

|z|(cos φ + i sin φ), to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego
stopnia z liczby z i wszystkie te pierwiastki daj

a si

e uj

ać wzorem

p|z|

cos

φ + 2kπ

+ i sin

φ + 2kπ

, k = 0, 1, . . . , n − 1.

(3.10)

Dowód. Ze wzoru de Moivre’a dla k = 0, 1, . . . , n − 1 mamy, że

= |z|[cos(φ + 2kπ) + i sin(φ + 2kπ)] = |z|(cos φ + i sin φ) = z, wi

liczby (3.10) s

a pierwiastkami n-tego stopnia z liczby z. Niech teraz

k, l ∈ {0, 1, . . . , n − 1} b

a takie, że ω

= ω

. Wówczas istnieje liczba

całkowita t taka, że

φ+2kπ

−

φ+2lπ

= 2tπ, sk

ad k − l = t · n. Ale

−n < k − l < n, wi

ec t = 0 i k = l. Zatem liczby (3.10) s

a parami

różne.

Niech teraz ω b

edzie pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z. Po-

nieważ z 6= 0, wi

ec też ω 6= 0. Zatem istnieje liczba rzeczywista α

Ciało liczb zespolonych II

taka, że ω = |ω|(cos α + i sin α). St

ad ze wzoru de Moivre’a mamy, że

z = ω

= |ω|

(cos nα + i sin nα). Zatem |ω|

= |z| oraz nα = φ + 2sπ

dla pewnego całkowitego s. Dziel

ac s przez n z reszt

a uzyskamy, że

istnieje liczba całkowita q i istnieje k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} takie, że
s = qn + k. Zatem α =

φ+2kπ

+ 2qπ, sk

ad wynika, że ω = ω

Kończy to dowód naszego twierdzenia.

3.5

Pierwiastki pierwotne z jedności

Niech n b

edzie ustalon

a liczb

a naturaln

a. Ponieważ 1 = cos 0 + i sin 0,

ec ze wzoru (3.10) otrzymujemy n różnych pierwiastków n-tego stop-

nia z 1:

= cos

2kπ

+ i sin

2kπ

dla k = 0, 1, . . . , n − 1.

(3.11)

Zatem zbiór C

= {z ∈ C : z

= 1} posiada dokładnie n elementów

oraz

= {cos

2kπ

+ i sin

2kπ

k = 0, 1, . . . , n − 1}.

(3.12)

Liczb

e zespolon

a ω nazywamy pierwiastkiem pierwotnym n-tego stop-

nia z jedności, jeżeli ω

= 1 oraz nie istnieje liczba naturalna m < n

taka, że ω

= 1.

Twierdzenie 3.2. Dla liczby zespolonej ω nast

epuj

ace warunki s

równoważne:

(i) ω jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedności;
(ii) ω =

dla pewnego k wzgl

ednie pierwszego z liczb

a n;

(iii) C

= {1, ω, ω

, . . . , ω

n−1

Dowód. (i)⇒(ii). Załóżmy, że ω jest pierwiastkiem pierwotnym

n-tego stopnia z jedności. Zatem ω

= 1 oraz ω

6= 1 dla wszystkich

liczb naturalnych s < n. Ponadto istnieje k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} takie,
że ω =

. Załóżmy, że liczby k i n nie s

a wzgl

ednie pierwsze. Wówczas

istnieje liczba naturalna d > 1 oraz istniej

a liczby całkowite l i m > 0

takie, że k = dl oraz n = dm. St

ad m jest liczb

a naturaln

a mniejsz

a od

Wykłady z algebry liniowej I

n oraz ze wzoru de Moivre’a ω

= cos

2kmπ

+ i sin

2kmπ

= cos

2ldmπ

i sin

2ldmπ

= cos(2lπ) + i sin(2lπ) = 1 i mamy sprzeczność.

(ii)⇒(iii). Załóżmy, że ω =

dla pewnego k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}

wzgl

ednie pierwszego z liczb

a n. Wtedy ω

= 1, sk

ad dla całkowitych t:

(ω

)

= (ω

)

= 1

= 1. Zatem {1, ω, ω

, . . . , ω

n−1

} ⊆ C

. Wystarczy

zatem wykazać, że liczby 1, ω, ω

, . . . , ω

n−1

a parami różne. Załóżmy,

że tak nie jest. Wówczas istniej

a p, q ∈ {0, 1, . . . , n − 1} takie, że p > q

oraz ω

= ω

. St

ad 1 = ω

p−q

p−q
k

= cos

2k(p−q)π

+ i sin

2k(p−q)π

mocy wzoru de Moivre’a. Zatem istnieje liczba całkowita s taka, że

2k(p−q)π

= 2sπ, sk

ad n|k(p − q). Ale liczby n i k s

a wzgl

ednie pierwsze,

ec z zasadniczego twierdzenia arytmetyki n|p − q. Ponadto p − q jest

liczb

a naturaln

a mniejsz

a od n, wi

ec mamy sprzeczność.

(iii)⇒(i). Załóżmy, że C

= {1, ω, ω

, . . . , ω

n−1

}. Ponieważ zbiór

ma dokładnie n elementów, wi

ec liczby 1, ω, ω

, . . . , ω

n−1

a parami

różne, sk

ad ω

6= 1 dla liczb naturalnych m < n oraz ω

= 1. Zatem

ω jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedności.

Z powyższego twierdzenia wynika od razu nast

epuj

acy

Wniosek 3.1. Dla k ∈ {0, 1, . . . , n−1} liczba

jest pierwiastkiem

pierwotnym n-tego stopnia z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy liczby k
i n s

a wzgl

ednie pierwsze.

Twierdzenie 3.3 (Zasadnicze Twierdzenie Algebry). Dla do-

wolnej liczby naturalnej n i dla dowolnych liczb zespolonych a

, a

, . . . ,

takich, że a

6= 0 równanie algebraiczne

+ a

n−1

+ . . . + a

z + a

= 0

posiada pierwiastek zespolony.

Dowód tego twierdzenia jest długi (zostanie podany dopiero na dru-

gim roku).

Rozdział 4

Układy równań liniowych

4.1

Podstawowe pojęcia zwi

azane z ukła-

dami równań liniowych

Układem m równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . ., x

nad cia-

łem K nazywamy układ równań postaci:











+ . . . +

. . . . .

. . .

. . . . . .

. .

+ a

+ . . . + a

= b

(4.1)

gdzie współczynniki a

(dla i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) oraz elementy

(dla i = 1, . . . , m) należ

a do ciała K. Układ ten nazywamy jedno-

rodnym, gdy b

= b

= . . . = b

= 0.

Definicja 4.1. Powiemy, że równanie

+ a

+ . . . + a

= b

(4.2)

jest kombinacj

a liniow

a równań układu (4.1), jeżeli istniej

a c

, c

, . . . ,

∈ K (zwane współczynnikami tej kombinacji) takie, że po pomno-

żeniu stronami i-tego równania przez c

dla i = 1, . . . , m i dodaniu

Wykłady z algebry liniowej I

stronami otrzymanych równań uzyskamy równanie (4.2), tzn.

b =

i=1

oraz a

i=1

dla j = 1, 2, . . . , n.

(4.3)

Uwaga 4.1. Zauważmy, że jeśli równanie (4.2) jest kombinacj

liniow

a pewnych równań układu (4.1), to jest ono także kombinacj

liniow

a wszystkich równań tego układu (brakuj

ace współczynniki s

równe 0).

Definicja 4.2. Rozwi

azaniem układu (4.1) nazywamy każdy taki

ag (p

, p

, . . . , p

) elementów ciała K, że po zast

apieniu w równaniach

tego układu niewiadomych x

, x

, . . . , x

elementami p

, p

, . . . , p

otrzymamy równości prawdziwe w ciele K (tj. gdy a

+ a

+ . . . +

= b

dla i = 1, 2, . . . , m).

Twierdzenie 4.1. Każde rozwi

azanie układu (4.1) jest rozwi

azaniem

każdego równania b

acego kombinacj

a liniow

a równań układu (4.1).

Dowód. Załóżmy, że równanie (4.2) jest kombinacj

a liniow

a o współ-

czynnikach c

, c

, . . . , c

równań układu (4.1) i niech (p

, p

, . . . , p

)

edzie rozwi

azaniem układu (4.1). Wtedy











+ . . . +

. . . . .

. . .

. . . . .

. .

+ a

+ . . . + a

= b

ec po pomnożeniu obu stron i-tej równości przez c

dla i = 1, . . . , m

i dodaniu stronami otrzymanych równości uzyskamy na mocy wzorów
(4.3), że

+ a

+ . . . + a

= b,

czyli (p

, p

, . . . , p

) jest rozwi

azaniem równania (4.2).

Definicja 4.3.

Dwa układy równań liniowych (U

) i (U

) z n

niewiadomymi x

, . . . , x

nad ciałem K nazywamy równoważnymi, gdy

każde równanie układu (U

) jest kombinacj

a liniow

a równań układu

) i odwrotnie. Piszemy wtedy (U

) ≡ (U

Układy równań liniowych

Z twierdzenia 4.1 wynika od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 4.2. Równoważne układy równań liniowych posia-

daj

a identyczne zbiory rozwi

azań.

Definicja 4.4. Układ równań liniowych z n niewiadomymi x

, x

. . . , x

nazywamy sprzecznym, gdy równanie 0·x

+0·x

+. . .+0·x

= 1

jest kombinacj

a liniow

a równań tego układu.

Ponieważ równanie 0 · x

+ 0 · x

+ . . . + 0 · x

= 1 nie posiada

rozwi

azania, wi

ec z powyższej definicji oraz z twierdzenia 4.1 wynika

od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 4.3. Sprzeczny układ równań liniowych nie posiada

rozwi

azania.

Lemat 4.1. Załóżmy, że i-te równanie dla i = 1, . . . , k układu

równań











0
11

+ a

0
12

+ . . . + a

0
1n

= b

0
1

0
21

+ a

0
22

+ . . . + a

0
2n

= b

0
2

. . . . .

. . .

. . . . .

0
k1

+ a

0
k2

+ . . . + a

0
kn

= b

0
k

(4.4)

jest kombinacj

a liniow

a równań układu (4.1) o współczynnikach c

, c

. . . , c

. Jeżeli równanie (4.2) jest kombinacj

a liniow

a równań układu

(4.4) o współczynnikach c

, c

, . . . , c

. Wówczas równanie (4.2) jest

kombinacj

a liniow

a równań układu (4.1) o współczynnikach

i=1

, . . . ,

i=1

Dowód.

Na mocy (4.3) mamy, że dla i = 1, 2, . . . , k: a

0
ij

t=1

dla j = 1, 2, . . . , n oraz b

0
i

t=1

. Ponadto a

i=1

0
ij

dla j = 1, 2, . . . , n oraz b =

i=1

0
i

. Zatem dla j = 1, 2, . . . , n:

Wykłady z algebry liniowej I

i=1

t=1

i=1

t=1

i=1

t=1

i=1

oraz b =

i=1

t=1

i=1

t=1

i=1

t=1

i=1

, sk

ad na mocy (4.3) mamy tez

Z lematu wynika od razu, że jeśli równanie 0·x

+0·x

+. . .+0·x

a, gdzie a 6= 0 jest kombinacj

a liniow

a równań układu (4.1), to układ

ten jest sprzeczny. Ponadto z lematu wynikaj

a od razu nast

epuj

ace

twierdzenia:

Twierdzenie 4.4.

Załóżmy, że układy równań liniowych (U

)

i (U

) z n niewiadomymi x

, x

, . . . , x

a równoważne. Wówczas układ

) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy układ (U

) jest sprzeczny.

Twierdzenie 4.5. Niech (U

), (U

) b

a układami równań

liniowych z n niewiadomymi x

, x

, . . . , x

nad ciałem K. Wówczas:

(i) (U

) ≡ (U

);

(ii) jeżeli (U

) ≡ (U

), to (U

) ≡ (U

);

(iii) jeżeli (U

) ≡ (U

) i (U

) ≡ (U

), to (U

) ≡ (U

Problem rozwi

azania układu równań liniowych polega na znale-

zieniu wszystkich rozwi

azań tego układu.

Bardzo użyteczne przy

rozwi

azywaniu tego problemu s

a tzw. operacje elementarne.

4.2

Operacje elementarne nad układem
równań liniowych

(i). Zamiana miejscami równania i-tego z równaniem j-tym (i 6= j)
oznaczana przez r

↔ r

. Operacja odwrotna: r

↔ r

(ii). Pomnożenie i-tego równania przez niezerowy skalar a oznaczana
przez a · r

. Operacja odwrotna:

1
a

· r

(iii). Dodanie do i-tego równania równania j-tego (i 6= j) pomnożo-
nego przez dowolny skalar a oznaczana przez r

+a·r

. Przy tej operacji

Układy równań liniowych

zmieniamy tylko równanie i-te! Operacja odwrotna: r

+ (−a) · r

(iv). Wykreślenie powtarzaj

acych si

e kopii pewnego równania.

(v). Wykreślenie równań postaci 0 · x

+ 0 · x

+ . . . + 0 · x

= 0 (gdy

liczba równań jest wi

eksza od 1).

(vi).

Zamiana kolejności niewiadomych x

oraz x

(i 6= j) w każ-

dym równaniu oznaczana przez x

↔ x

. W wyniku zastosowania tej

operacji równanie

+ . . . + a

= b

przechodzi na równanie

+ . . . + a

= b.

Z definicji układów równoważnych mamy zatem, że jeśli układ (U

)

powstaje z układu (U

) przez wykonanie operacji elementarnej, to

układy (U

) i (U

) s

a równoważne. Zatem z twierdzeń 4.2, 4.4 i 4.5

przez prost

a indukcj

e otrzymujemy st

ad od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 4.6. Załóżmy, że układ (U

) równań liniowych po-

wstaje z układu (U ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby opera-
cji elementarnych. Wówczas układy te s

a równoważne, maj

a te same

zbiory rozwi

azań i układ (U ) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy

układ (U

) jest sprzeczny.

Na twierdzeniu 4.6 opiera si

e metoda rozwi

azywania układów rów-

nań liniowych zwana metod

a eliminacji Gaussa.

4.3

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego układu
(4.1), (w którym a

6= 0 dla pewnych i, j) przy pomocy operacji

elementarnych równoważnego mu układu (4.5), który po ewentualnej

Wykłady z algebry liniowej I

permutacji niewiadomych x

, . . . , x

ma postać:











+ c

1 k+1

k+1

+ . . . + c

= d

+ c

2 k+1

k+1

+ . . . + c

= d

+ c

3 k+1

k+1

+ . . . + c

= d

. ..

+ c

k k+1

k+1

+ . . . + c

= d

0 = d

k+1

(4.5)

Jeżeli d

k+1

6= 0, to układ (4.5) jest sprzeczny (i z twierdzenia 4.3 nie

ma rozwi

azania), a wi

ec na mocy twierdzenia 4.6, układ (4.1) też jest

sprzeczny i nie ma rozwi

azania.

Jeżeli d

k+1

= 0 i k = n, to układ (4.1) posiada dokładnie jedno

rozwi

azanie:

= d

, x

= d

, . . . , x

= d

(4.6)

Jeżeli d

k+1

= 0 oraz k < n, to x

k+1

, x

k+2

, . . . , x

a dowolnymi

skalarami (nazywamy je parametrami), zaś pozostałe niewiadome wy-
liczamy z równań układu (4.5), tzn.

= d

− c

i k+1

k+1

− . . . − c

dla i = 1, 2, . . . , k.

(4.7)

Aby sprowadzić układ (4.1) do postaci (4.5) należy najpierw przy

pomocy operacji elementarnych przekształcić go do układu postaci:











0
12

. . . +

0
1n

= b

0
1

0
21

0
22

. . . +

0
2n

= b

0
2

. ..

0
m1

+ a

0
m2

+ . . . + a

0
mn

= b

0
m

(4.8)

Robimy to np. w ten sposób, że najpierw znajdujemy element a

6= 0,

a nast

epnie przez operacje: x

↔ x

, r

↔ r

· r

doprowadzamy

układ (4.1) do postaci (4.8).

Nast

epnie przy pomocy równania pierwszego eliminujemy zmienn

z pozostałych równań układu (4.8) przez wykonanie operacji:

Układy równań liniowych

− a

0
21

· r

, r

− a

0
31

· r

, . . ., r

− a

0
m1

· r

. Otrzymamy wówczas układ

postaci:











a”

. . . +

a”

= b”

a”

. . . +

a”

= b”

. ..

a”

+ . . . + a”

= b”

(4.9)

Nast

epnie stosujemy nasz algorytm do układu:











a”

. . . +

a”

= b”

a”

. . . +

a”

= b”

. ..

a”

+ . . . + a”

= b”

(4.10)

nie ruszaj

ac pierwszego równania układu (4.9). Po skończonej liczbie

kroków uzyskamy układ postaci:











+ e

+ . . . + e

+ e

1 k+1

k+1

+ . . . + e

= f

+ e

+ . . . + e

+ e

2 k+1

k+1

+ . . . + e

= f

+ . . . + e

+ e

3 k+1

k+1

+ . . . + e

= f

. ..

+ e

k k+1

k+1

+ . . . + e

= f

0 = f

k+1

Jeżeli f

k+1

6= 0, to otrzymany układ jest sprzeczny, a wi

ec też układ

(4.1) jest sprzeczny. Jeżeli zaś f

k+1

= 0, to przy pomocy operacji:

− e

· r

, r

− e

· r

,...,r

k−1

− e

k−1 k

· r

eliminujemy zmienn

z pocz

atkowych k − 1 równań. Później eliminujemy zmienn

a x

k−1

z wcześniejszych równań przy pomocy k − 1-szego równania, itd.
W końcu, po skończonej liczbie kroków, uzyskamy w ten sposób układ
(4.5).

Zauważmy jeszcze, że przy stosowaniu metody eliminacji Gaussa

liczba równań układu nie zwi

eksza si

e. Oznacza to, że jeśli w ukła-

dzie (4.1) liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych,
to układ ten nie może mieć dokładnie jednego rozwi

azania!

Wykłady z algebry liniowej I

Ponadto, jeśli układ (4.1) nie ma rozwi

azania, to na mocy twier-

dzenia 4.6, układ (4.5) też nie posiada rozwi

azania, a wi

ec d

k+1

6= 0.

ad układ (4.5) jest sprzeczny i na mocy twierdzenia 4.6 układ (4.1)

też jest sprzeczny. Uwzgl

edniaj

ac twierdzenie 4.3 udowodniliśmy w ten

sposób nast

epuj

ace

Twierdzenie 4.7. Układ równań liniowych jest sprzeczny wtedy

i tylko wtedy, gdy nie posiada rozwi

azania.

Rozdział 5

Wyznaczniki I

5.1

Permutacje

Niech n b

edzie ustalon

a liczb

a naturaln

a. Niech X

= {1, 2, . . . , n}.

Każd

a bijekcj

e f : X

−→ X

nazywamy permutacj

a zbioru X

. Po-

nieważ zbiór X

jest skończony, wi

ec funkcja f : X

−→ X

jest

permutacj

a wtedy i tylko wtedy, gdy f jest różnowartościowa (lub rów-

noważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ”na”).

Zbiór wszystkich permutacji zbioru X

oznaczamy przez S

. Jak

wiadomo ze szkoły średniej S

posiada dokładnie n! = 1 · 2 · . . . · n

elementów. Ze wst

epu do matematyki wynika, że złożenie permuta-

cji zbioru X

jest permutacj

a tego zbioru, składanie permutacji jest

aczne, posiada element neutralny e, którym jest przekształcenie toż-

samościowe zbioru X

w siebie i ponadto każda permutacja f ∈ S

po-

siada przekształcenie odwrotne f

−1

, które też jest permutacj

a zbioru

(oczywiście f ◦ f

−1

= f

−1

◦ f = e).

Permutacj

e f ∈ S

wygodnie jest zapisywać w postaci dwuwierszo-

wej tablicy

f =

. . .

f (1) f (2) . . . f (i) . . . f (n)

(5.1)

w której w pierwszym wierszu umieszczone s

a wszystkie elementy zbioru

(najcz

eściej w porz

adku rosn

acym), zaś w drugim wierszu umiesz-

Wykłady z algebry liniowej I

czone s

a kolejne obrazy tych elementów przy odwzorowaniu f . Zatem

na przykład

e =

1 2 . . . i . . . n

(5.2)

Inwersj

a permutacji f ∈ S

nazywamy taki podzbiór dwuelemen-

towy {i, j} zbioru X

, że i < j oraz f (i) > f (j). Zbiór wszystkich

inwersji permutacji f ∈ S

oznaczamy przez I

. Np. I

= ∅, wi

| = 0, czyli permutacja tożsamościowa nie posiada inwersji.

Przykład 5.1. Niech i, j ∈ X

, i < j. Oznaczmy przez (i, j)

permutacj

e zbioru X

, która zamienia miejscami elementy i, j oraz

nie zmienia pozostałych elementów zbioru X

(takie permutacje nazy-

wamy transpozycjami). Zatem

(i, j) =

1 2 . . . i − 1 i i + 1 . . . j − 1 j j + 1 . . . n

1 2 . . . i − 1 j

i + 1 . . . j − 1

j + 1 . . . n

(5.3)

ad I

(i,j)

= {{i, i + 1}, {i, i + 2}, {i, i + 3}, . . . , {i, j − 1}, {i, j}

}

j−i

{i + 1, j}, {i + 2, j}, {i + 3, j}, . . . , {j − 1, j}
|

}

(j−1)−i

Zatem |I

(i,j)

| = (j − i) + (j − 1) − i = 2(j − i) − 1. Uzyskaliśmy wi

ec,

że każda transpozycja posiada nieparzyst

a liczb

e wszystkich

inwersji.

Znakiem permutacji f ∈ S

nazywamy liczb

e sgn(f ) określon

a wzo-

rem:

sgn(f ) = (−1)

(5.4)

Powiemy, że permutacja f ∈ S

jest parzysta, jeśli sgn(f ) = 1 oraz że

f jest nieparzysta, jeśli sgn(f ) = −1. Zatem z przykładu 5.1 mamy, że
dowolna transpozycja jest permutacj

a nieparzyst

a. Ponieważ

sgn(e) = (−1)

= 1, wi

ec permutacja tożsamościowa jest parzysta.

Zbiór wszystkich permutacji parzystych f ∈ S

edziemy oznaczali

przez A

Wyznaczniki I

Twierdzenie 5.1. Dla dowolnych permutacji f, g ∈ S

zachodzi

wzór:

sgn(f ◦ g) = sgn(f ) · sgn(g).

(5.5)

W szczególności sgn(f

−1

) = sgn(f ).

Dowód. Oznaczmy przez P

rodzin

e wszystkich podzbiorów dwu-

elementowych zbioru X

. Niech h ∈ S

. Weźmy dowolne A ∈ P

Wtedy A = {i, j} dla pewnych i, j ∈ X

, i 6= j. Oznaczmy sgn

(A) =

sgn

h(i)−h(j)

i−j

. Określenie to jest poprawne, bo

h(j)−h(i)

j−i

−(h(i)−h(j))

−(i−j)

h(i)−h(j)

i−j

. Ponadto A ∈ I

⇔ sgn

(A) = −1. Wynika st

ad wzór:

sgn(h) =

A∈P

sgn

(A).

(5.6)

Łatwo zauważyć, że dowolna permutacja g ∈ S

wyznacza bijekcj

G : P

−→ P

przy pomocy wzoru G(A) = {g(i), g(j)} dla A = {i, j}.

Wynika st

ad, że dla dowolnych f, g ∈ S

zachodzi wzór:

sgn(f ) =

A∈P

sgn

(G(A)).

(5.7)

Ponadto dla A ∈ P

mamy, że

sgn

(G(A)) · sgn

(A) = sgn

f ◦g

(A).

(5.8)

Rzeczywiście, A = {i, j} dla pewnych i, j ∈ X

, i 6= j oraz

sgn

(G(A)) = sgn

({g(i), g(j)}) = sgn

f (g(i))−f (g(j))

g(i)−g(j)

oraz sgn

(A) =

sgn

g(i)−g(j)

i−j

. Ale sgn(x) · sgn(y) = sgn(x · y) dla dowolnych liczb

rzeczywistych x, y, wi

sgn

(G(A)) · sgn

(A) = sgn

f (g(i)) − f (g(j))

g(i) − g(j)

i − j

sgn

(f ◦ g)(i) − (f ◦ g)(j)

i − j

= sgn

f ◦g

(A).

Wykłady z algebry liniowej I

Zatem na mocy (5.6), (5.8) i (5.7) mamy, że sgn(f ◦ g) =

A∈P

sgn

f ◦g

(A) =

A∈P

[sgn

(G(A)) · sgn

(A)] =

A∈P

sgn

(G(A))·

A∈P

sgn

(A) =

A∈P

sgn

(A) ·

A∈P

sgn

(A) = sgn(f ) · sgn(g).

W szczególności mamy st

ad, że 1 = sgn(e) = sgn(f ◦ f

−1

) =

sgn(f ) · sgn(f

−1

), czyli sgn(f

−1

) = sgn(f ). Kończy to dowód naszego

twierdzenia.

5.2

Określenie macierzy

Niech K b

edzie dowolnym ciałem oraz niech n i m b

a dowolnymi

liczbami naturalnymi. Prostok

atn

a tablic








. . .

. ..

. . . a








(5.9)

utworzon

a z elementów a

(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) ciała K

nazywamy m × n-macierz

a nad ciałem K. Elementy a

nazywamy

wyrazami macierzy. Rz

edy pionowe nazywamy kolumnami, a poziome

- wierszami tej macierzy. Zatem element a

stoi w i-tym wierszu i j-tej

kolumnie rozpatrywanej macierzy.
n × n-macierze, nazywamy macierzami kwadratowymi stopnia n.
Dwie macierze nazywamy równymi, jeżeli jako tablice s

a identyczne.

Oznaczenia macierzy: A, B, C, itd.
Dla macierzy (5.9) piszemy też:

A = [a

]

i=1,...,m

j=1,...,n

(5.10)

Macierz

a transponowan

a A

m×n-macierzy A postaci (5.9) nazywamy

tak

a n × m-macierz, która jako sw

a i-t

a kolumn

e, dla i = 1, 2, . . . , m,

Wyznaczniki I

ma i-ty wiersz macierzy A. Zatem








. . . a

. ..

. . . a








(5.11)

5.3

Określenie wyznacznika

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a

]

i=1,...,n

j=1,...,n

stopnia n nad

ciałem K nazywamy nast

epuj

acy element ciała K:

det(A) =

f ∈S

sgn(f ) · a

1f (1)

· a

2f (2)

· . . . · a

nf (n)

(5.12)

Wyznacznik macierzy A = [a

]

i=1,...,n

j=1,...,n

edziemy też oznaczali symbo-

lem:

. . . a

. ..

. . . a

(5.13)

Stopień macierzy kwadratowej A nazywa si

e również stopniem wy-

znacznika tej macierzy, zaś wiersze (kolumny) macierzy A nazywamy
wierszami (kolumnami) wyznacznika tej macierzy.

Przykład 5.2. Udowodnimy, że dla dowolnych elementów a, b, c, d

ciała K zachodzi wzór:

a b

c d

= a · d − b · c.

(5.14)

Zauważmy, że S

= {e, g}, gdzie g = (1, 2) jest transpozycj

a. Zatem

sgn(e) = 1 i sgn(g) = −1. Ponadto a

= a, a

= b, a

= c, a

= d,

ec na mocy definicji wyznacznika

a b

c d

f ∈S

sgn(f ) · a

1f (1)

· a

2f (2)

= sgn(e) · a

· a

+ sgn(g) · a

· a

= a · d − b · c.

Wykłady z algebry liniowej I

Przykład 5.3. Udowodnimy, że nad dowolnym ciałem K zachodzi

wzór:

= a

+ a

−

−a

− a

Mamy tutaj n = 3 oraz S

składa si

e z nast

epuj

acych elemen-

tów: e, f

1 2 3

1 3 2

, f

1 2 3

2 1 3

, f

1 2 3

2 3 1

1 2 3

3 2 1

, f

1 2 3

3 1 2

. Ponadto sgn(e) = 1, f

, f

a transpozycjami, wi

ec sgn(f

) = sgn(f

) = −1 oraz

| = 2 i |I

| = 2, czyli sgn(f

) = sgn(f

) = 1. Zatem z definicji wy-

znacznika mamy, że

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

2f (2)

3f (3)

sgn(e)a

+sgn(f

sgn(f

+sgn(f

= a

−a

− a

+ a

, sk

ad z własności dodawania w ciele

wynika nasz wzór. Jednak podany wyżej wzór na wyznacznik stopnia
3 jest zbyt skomplikowany do zapami

etania. W zwi

azku z tym do obli-

czania wyznaczników stopnia 3 stosuje si

e tzw. reguł

e Sarrusa. Polega

ona na dopisaniu z prawej strony wyznacznika dwóch jego pierwszych
kolumn i nast

epnie wymnożeniu prawoskośnie wyrazów ze znakiem +

oraz lewoskośnie ze znakiem - i dodaniu otrzymanych wyników. Istot-

nie:

= a

+ a

−

− a

Można sprawdzić, że do tego samego rezultatu prowadzi też dopi-

sywanie u dołu wyznacznika dwóch jego pierwszych wierszy.

Przykład 5.4. Udowodnimy, że zachodzi wzór:

Wyznaczniki I

. . . a

. ..

. . . a

= a

. . . a

Niech f ∈ S

oraz f 6= e. Wtedy istnieje najwi

eksza liczba naturalna k

taka, że f (k) 6= k. Zatem f (k + 1) = k + 1, f (k + 2) = k + 2, . . . , f (n) =
n, sk

ad wynika, że f (k) < k, czyli a

kf (k)

= 0.

Zatem z definicji

wyznacznika mamy, że det(A) =

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

2f (2)

. . . a

nf (n)

sgn(e)a

. . . a

= a

. . . a

Rozdział 6

Wyznaczniki II

6.1

Własności wyznaczników

Wszystkie macierze wyst

epuj

ace w podanych niżej własnościach s

a ma-

cierzami kwadratowymi nad ustalonym ciałem K, którego elementy
b

edziemy nazywali skalarami.

Uwaga 6.1. Niech I oraz J b

a niepustymi skończonymi zbio-

rami, niech φ : I −→ J b

edzie bijekcj

a i niech a

∈ K dla j ∈ J.

Wtedy

i∈I

φ(i)

j∈J

, gdyż sumujemy te same elementy, lecz być

może w innym porz

adku.

Własność 6.1. Wyznacznik macierzy kwadratowej A jest równy

wyznacznikowi jej macierzy transponowanej A

det(A) = det(A

Dowód. Niech A = [a

]

i,j=1,...,n

i A

= [b

]

i,j=1,...,n

. Wtedy b

dla i, j = 1, . . . , n. Zatem z definicji wyznacznika:

det(A

) =

f ∈S

sgn(f )b

1f (1)

2f (2)

. . . b

nf (n)

f ∈S

sgn(f )a

f (1)1

f (2)2

. . . a

f (n)n

Wyznaczniki II

Zauważmy, że dla f ∈ S

zachodzi równość

{(f (i), i) : i = 1, 2, . . . , n} = {(j, f

−1

(j)) : j = 1, 2, . . . , n}.

Ale sgn(f ) = sgn(f

−1

) na mocy twierdzenia 5.1 oraz z przemienności

i ł

aczności mnożenia w ciele mamy, że

det(A

) =

f ∈S

sgn(f

−1

(1)

−1

(2)

. . . a

−1

(n)

Ponadto przekształcenie f 7→ f

−1

dla f ∈ S

jest bijekcj

a zbioru S

na zbiór S

, wi

ec z uwagi 6.1:

det(A

) =

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

2f (2)

. . . a

nf (n)

= det(A)

Uwaga 6.2. Z własności 6.1 wynika, że każda własność wy-

znacznika sformułowana w j

ezyku wierszy (kolumn) jest praw-

dziwa w przetłumaczeniu na j

ezyk kolumn (wierszy). Z tego

powodu wsz

edzie dalej b

edziemy dowodzili tylko jednej wersji takich

własności.

Własność 6.2. Jeżeli macierz kwadratowa B powstaje z macierzy

kwadratowej A przez pomnożenie wszystkich elementów pewnego jej
wiersza (kolumny) przez ustalony skalar a, to

det(B) = a · det(A).

Dowód.

Niech A = [a

]

i,j=1,...,n

, a ∈ K i złóżmy, że macierz

B = [b

]

i,j=1,...,n

powstaje z A przez pomnożenie k-tego wiersza przez

a. Wtedy b

= aa

dla j = 1, 2, . . . , n oraz b

= a

dla i 6= k oraz

j = 1, 2, . . . , n. Zatem z definicji wyznacznika
det(B) =

f ∈S

sgn(f )b

1f (1)

. . . b

kf (k)

. . . b

nf (n)

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

. . . (aa

kf (k)

) . . . a

nf (n)

= a ·

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

. . . a

kf (k)

. . . a

nf (n)

= a · det(A).

Wykłady z algebry liniowej I

Uwaga 6.3. Podstawiaj

ac a = 0 w własności 6.2 uzyskamy, że je-

żeli pewien wiersz (kolumna) macierzy kwadratowej A składa si

e z sa-

mych zer, to det(A) = 0.

Własność 6.3. Niech g ∈ S

i niech macierz B powstaje z macie-

rzy kwadratowej A stopnia n w ten sposób, że i-ty wiersz (kolumn

macierzy A przestawiamy na miejsce o numerze g(i) dla i = 1, 2, . . . , n.
Wówczas

det(B) = sgn(g) · det(A).

Dowód. Niech A = [a

]

i,j=1,...,n

oraz B = [b

]

i,j=1,...,n

. Wtedy

z założenia wynika, że b

= a

f (i)j

dla i, j = 1, 2, . . . , n. Z określe-

nia wyznacznika mamy, że det(B) =

f ∈S

sgn(f )b

1f (1)

2f (2)

. . . b

nf (n)

f ∈S

sgn(f )a

g(1)f (1)

g(2)f (2)

. . . a

g(n)f (n)

. Ale {(g(i), f (i)) : i = 1, 2, . . . , n}

= {(j, (g

−1

◦ f )(j)) : j = 1, 2, . . . , n}, wi

ec z przemienności i ł

aczności

mnożenia w ciele mamy, że

g(1)f (1)

g(2)f (2)

. . . a

g(n)f (n)

= a

1(g

−1

◦f )(1)

2(g

−1

◦f )(2)

. . . a

n(g

−1

◦f )(n)

dla f ∈ S

. Ponadto z twierdzenia 5.1 wynika, że sgn(f ) = sgn(g) ·

sgn(g

−1

◦ f ) dla f ∈ S

, wi

det(B) = sgn(g) ·

f ∈S

sgn(g

−1

◦ f )a

1(g

−1

◦f )(1)

2(g

−1

◦f )(2)

. . . a

n(g

−1

◦f )(n)

Ale przekształcenie f 7→ g

−1

◦ f dla f ∈ S

jest bijekcj

a zbioru S

, wi

ec z uwagi 6.1

det(B) = sgn(g) ·

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

2f (2)

. . . a

nf (n)

= sgn(g) · det(A).

Uwaga 6.4. Jak wiemy sgn(g) = −1 dla dowolnej transpozycji

g. Zatem z własności 6.3 wynika, że jeżeli macierz B powstaje z ma-
cierzy kwadratowej A stopnia n ≥ 2 przez zamian

e miejscami dwóch

Wyznaczniki II

jej wierszy (kolumn), to det(B) = − det(A) (czyli wyznacznik zmienia
znak!).

Własność 6.4. Niech elementy l-tego wiersza (kolumny) wyznacz-

nika b

a sumami k-składników:

= x

+ x

+ . . . + x

dla j = 1, 2, . . . , n.

Wówczas wyznacznik jest sum

a k wyznaczników, które maj

a prócz

l-tego wiersza (kolumny) te same wiersze (kolumny) co pierwotny wy-
znacznik.

Natomiast l-ty wiersz (kolumna) i-tego wyznacznika dla

i = 1, 2, . . . , k ma postać:

. . . x

Dowód. Oznaczmy pierwotny wyznacznik przez W , zaś pozostałe

wyznaczniki przez W

, W

, . . . , W

odpowiednio. Wówczas z definicji

wyznacznika mamy, że
W =

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

. . . (x

1f (l)

+ x

2f (l)

+ . . . + x

kf (l)

) . . . a

nf (n)

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

. . . x

1f (l)

. . . a

nf (n)

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

. . . x

2f (l)

. . . a

nf (n)

+ . . . +

f ∈S

sgn(f )a

1f (1)

. . . x

kf (l)

. . . a

nf (n)

= W

+ W

+ . . . + W

Własność 6.5. Jeśli w macierzy kwadratowej dwa wiersze lub

dwie kolumny s

a identyczne, to jej wyznacznik jest równy 0.

Dowód. Załóżmy, że i-ty wiersz macierzy A = [a

]

i,j=1,...,n

jest

identyczny z k-tym (i < k) wierszem tej macierzy. Wtedy

= a

dla j = 1, 2, . . . , n.

(6.1)

Ale (i, k) ◦ (i, k) = e i sgn((i, k)) = −1, wi

ec na mocy twierdzenia 5.1

przekształcenie f 7→ f ◦ (i, k) dla f ∈ A

jest bijekcj

a zbioru A

zbiór S

\ A

. Zatem z uwagi 6.1 mamy, że

g∈S

sgn(g)a

1g(1)

2g(2)

. . . a

ng(n)

−

f ∈A

1(f ◦(i,k))(1)

2(f ◦(i,k))(2)

. . . a

n(f ◦(i,k))(n)

Wykłady z algebry liniowej I

gdyż sgn(g) = −1 dla g ∈ S

\ A

Ale dla f ∈ A

mamy, że

f ((i, k)(i)) = f (k), f ((i, k)(k)) = f (i) oraz dla t 6= i, k jest f ((i, k)(t)) =
f (t), wi

ec na mocy (6.1)

1(f ◦(i,k))(1)

. . . a

i(f ◦(i,k))(i)

. . . a

k(f ◦(i,k))(k)

. . . a

n(f ◦(i,k))(n)

1f (1)

. . . a

if (k)

. . . a

kf (i)

. . . a

nf (n)

= a

1f (1)

. . . a

if (i)

. . . a

kf (k)

. . . a

nf (n)

ad det(A) =

g∈S

sgn(g)a

1g(1)

2g(2)

. . . a

ng(n)

g∈A

sgn(g)a

1g(1)

2g(2)

. . . a

ng(n)

g∈S

sgn(g)a

1g(1)

2g(2)

. . . a

ng(n)

f ∈A

1f (1)

2f (2)

. . . a

nf (n)

−

f ∈A

1f (1)

2f (2)

. . . a

nf (n)

= 0.

Własność 6.6. Wyznacznik nie zmienia wartości, gdy do elemen-

tów jednego wiersza (kolumny) dodać odpowiednie elementy innego
wiersza (kolumny) pomnożone przez ustalony skalar.

Dowód. Niech macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A

przez dodanie do l-tego wiersza wiersza k-tego (l 6= k) pomnożonego
przez skalar a. Oznaczmy przez C macierz, która powstaje z macierzy
A przez zast

apienie jej l-tego wiersza wierszem k-tym. Wtedy na mocy

własności 6.5 mamy, że det(C) = 0. Ponadto z własności 6.4 i 6.2
mamy, że det(B) = det(A) + a · det(C) = det(A) + a · 0 = det(A).

6.2

Operacje elementarne na macierzy

Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaj

a tzw. operacje

elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy. Niech A = [a

]

edzie m × n-macierz

a nad ciałem K.

1. Operacje elementarne na wierszach macierzy A:
(i) Pomnożenie i-tego wiersza macierzy A przez niezerowy skalar a.

Przy tej operacji nie zmieniamy wierszy o numerach różnych od i, zaś
każdy wyraz i-tego wiersza mnożymy przez a. Operacj

e t

e oznaczamy

symbolem a · w

(ii) Zamiana miejscami i-tego wiersza macierzy A z wierszem j-tym

(i 6= j) macierzy A. Przy tej operacji nie zmieniamy wierszy o nume-

Wyznaczniki II

rach różnych od i oraz j. Operacj

e t

e oznaczamy symbolem w

↔ w

(iii) Dodanie do j-tego wiersza macierzy A i-tego (i 6= j) wiersza

tej macierzy pomnożonego przez dowolny skalar a. Przy tej operacji nie
zmieniamy wierszy o numerach różnych od j. Operacj

e t

e oznaczamy

przez w

+ a · w

2. Operacje elementarne na kolumnach macierzy A:
(i) Pomnożenie i-tej kolumny macierzy A przez niezerowy skalar a.

Przy tej operacji nie zmieniamy kolumn o numerach różnych od i, zaś
każdy wyraz i-tej kolumny mnożymy przez a. Operacj

e t

e oznaczamy

symbolem a · k

(ii) Zamiana miejscami i-tej kolumny macierzy A z kolumn

a j-t

(i 6= j) macierzy A. Przy tej operacji nie zmieniamy kolumn o nume-
rach różnych od i oraz j. Operacj

e t

e oznaczamy symbolem k

↔ k

(iii) Dodanie do j-tej kolumny macierzy A i-tej (i 6= j) kolumny tej

macierzy pomnożonego przez dowolny skalar a. Przy tej operacji nie
zmieniamy kolumn o numerach różnych od j. Operacj

e t

e oznaczamy

symbolem k

+ a · k

6.3

Obliczanie wyznacznika za pomoc

operacji elementarnych

Stosuj

ac algorytm podobny do eliminacji Gaussa możemy każd

a ma-

cierz kwadratow

a A stopnia n nad ciałem K sprowadzić do tzw. postaci

trójk

atnej górnej:

B =










. . . a

. . . b

. ..

. . . b










Wówczas z przykładu 5.4 mamy, że det(B) = b

. . . b

. Ponadto

z własności wyznacznika podanych w rozdziale 5 wynika, że

det(A) 6= 0 ⇔ det(B) 6= 0.

Wykłady z algebry liniowej I

Przykład 6.1.

1 −1

−2

3 −1

−1 −1

−3

0 −8 −13

−w

1 −1

−2

4 −2

−1 −1

−3

0 −8 −13

1 −1

−2

4 −2

0 −2

−3

0 −8 −13

+3·w

1 −1

−2

4 −2

0 −2

0 −3 −5 −19

1 −1

−2

1 −7 −14

0 −2

0 −3 −5 −19

+2·w

1 −1

−2

1 −7 −14

0 −9 −27

0 −3 −5 −19

+3·w

1 −1

−2

−7 −14

−9 −27

0 −26 −61

= (−9) ·

1 −1

−2

−7 −14

0 −26 −61

+26·w

(−9) ·

1 −1

−2

1 −7 −14

= (−9) · 1 · 1 · 1 · 17 = −153.

Rozdział 7

Rozwinięcie Laplace’a
i wzory Cramera

7.1

Rozwini

ecie Laplace’a

Rozważmy macierz kwadratow

a A stopnia n ≥ 2 nad ciałem K:

A =










. . . a

. ..

. . .

. ..

. . . a










(7.1)

Dla i, j = 1, 2, . . . , n oznaczmy przez A

macierz kwadratow

a stopnia

n − 1, która powstaje z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza
oraz j-tej kolumny. Zatem












. . .

1j−1

1j+1

. . .

. ..

i−11

. . . a

i−1j−1

i−1j+1

. . . a

i−1n

i+11

. . . a

i+1j−1

i+1j+1

. . . a

i+1n

. ..

. . .

nj−1

nj+1

. . .












(7.2)

Wykłady z algebry liniowej I

Zauważmy, że jeśli w macierzy

A[i, j] =
















. . .

1j−1

1j+1

. . .

2j−1

2j+1

. . .

. ..

i−11

. . . a

i−1j−1

i−1j+1

. . . a

i−1n

. . .

ij−1

ij+1

. . .

i+11

. . . a

i+1j−1

i+1j+1

. . . a

i+1n

. ..

. . .

nj−1

nj+1

. . .
















(7.3)

zamienimy miejscami j-t

a kolumn

e z kolumn

a j + 1-sz

a, nast

epnie

j + 1-sz

a a j + 2-g

a itd., w końcu zamienimy n − 1-sz

a kolumn

e z n-t

kolumn

a (wykonamy wi

ec n − j zamian), to otrzymamy macierz:

[i, j] =
















. . .

1j−1

1j+1

. . .

2j−1

2j+1

. . .

. ..

i−11

. . . a

i−1j−1

i−1j+1

. . . a

i−1n

. . .

ij−1

ij+1

. . .

i+11

. . . a

i+1j−1

i+1j+1

. . . a

i+1n

. ..

. . .

nj−1

nj+1

. . .
















(7.4)

Ponadto z uwagi 6.4 mamy, że

det(A

[i, j]) = (−1)

n−j

· det(A[i, j]).

(7.5)

Nast

epnie w macierzy (7.4) zamieńmy miejscami i-ty wiersz z i + 1-

szym, i + 1-szy wiersz z i + 2-gim itd. , w końcu zamieńmy miejscami
n − 1-szy wiersz z n-tym (wykonamy wi

ec n − i zamian). Otrzymamy

Rozwinięcie Laplace’a i wzory Cramera

wtedy macierz

[i, j] =
















. . .

1j−1

1j+1

. . .

2j−1

2j+1

. . .

. ..

i−11

. . . a

i−1j−1

i−1j+1

. . . a

i−1n

i+11

. . . a

i+1j−1

i+1j+1

. . . a

i+1n

. ..

. . .

nj−1

nj+1

. . .

ij−1

ij+1

. . .
















(7.6)

Z uwagi 6.4 oraz z (7.5) mamy, że det(A

[i, j]) = (−1)

n−i

·det(A

[i, j]) =

(−1)

n−i

· (−1)

n−j

· det(A[i, j]) = (−1)

−i−j

· det(A[i, j]), wi

det(A[i, j]) = (−1)

i+j

· det(A

[i, j]).

(7.7)

Ponadto z (7.2) i (7.6) mamy, że

[i, j])

= A

(7.8)

Lemat 7.1. Niech b

dla i, j = 1, 2, . . . , n b

a elementami ciała

K takimi, że b

= 0 dla i = 1, 2, . . . , n − 1. Niech

B =








. . .

1n−1

. . .

2n−1

. ..

. . . b

nn−1








. Wtedy det(B) = b

· det(B

Dowód. Z definicji wyznacznika mamy, że

det(B) =

f ∈S

sgn(f )b

1f (1)

2f (2)

. . . b

nf (n)

Niech T

= {f ∈ S

: f (n) = n}. Jeśli f ∈ S

\ T

, to f (n) 6= n,

ec istnieje i < n takie, że f (i) = n, sk

ad a

if (i)

= 0. Zatem det(B) =

f ∈T

sgn(f )b

1f (1)

. . . b

n−1f (n−1)

= b

f ∈T

sgn(f )b

1f (1)

. . . b

n−1f (n−1)

Ale przekształcenie g 7→ ¯

g dla g ∈ S

n−1

dane wzorem

Wykłady z algebry liniowej I

. . .

n − 1

g(1) g(2) . . . g(n − 1)

7→

. . .

n − 1

g(1) g(2) . . . g(n − 1) n

jest bijekcj

a zbioru S

n−1

na zbiór T

, przy czym I

= I

, wi

ec sgn(g) =

sgn(¯

g) dla g ∈ S

n−1

. Zatem z uwagi 6.1 mamy, że

det(B) = b

g∈S

n−1

sgn(g)b

1g(1)

2g(2)

. . . b

n−1g(n−1)

= b

· det(B

Z (7.8),(7.7) oraz z lematu 7.1 mamy, że

det(A[i, j]) = (−1)

i+j

· a

· det(A

(7.9)

Ponadto a

= 0 + . . . + 0

}

k−1

+ 0 + . . . + 0

}

n−k

dla k = 1, 2, . . . , n, wi

z własności 6.4 wyznacznika w wersji dla kolumn mamy, że

det(A) = det(A[1, j]) + det(A[2, j]) + . . . + det(A[n, j]).

(7.10)

Zatem z (7.10) oraz z (7.9) uzyskujemy nast

epuj

ace

Twierdzenie 7.1 (Laplace’a dla kolumn). Dla dowolnej ma-

cierzy kwadratowej A = [a

]

i,j=1,...,n

stopnia n ≥ 2 nad ciałem K i dla

każdego j = 1, 2, . . . , n zachodzi wzór:

det(A) =

(−1)

1+j

det(A

) + (−1)

2+j

det(A

) + . . . + (−1)

n+j

det(A

Z własności 6.1 wyznacznika otrzymujemy st

ad też nast

epuj

ace

Twierdzenie 7.2 (Laplace’a dla wierszy). Dla dowolnej ma-

cierzy kwadratowej A = [a

]

i,j=1,...,n

stopnia n ≥ 2 nad ciałem K i dla

każdego i = 1, 2, . . . , n zachodzi wzór:

det(A) =

(−1)

i+1

det(A

) + (−1)

i+2

det(A

) + . . . + (−1)

i+n

det(A

Wniosek 7.1. Niech A = [a

]

i,j=1,...,n

edzie macierz

a kwadra-

tow

a stopnia n ≥ 2 nad ciałem K. Wówczas dla dowolnych i, j ∈

{1, 2, . . . , n}, i 6= j:

Rozwinięcie Laplace’a i wzory Cramera

(i) a

(−1)

j+1

det(A

)+a

(−1)

j+2

det(A

)+. . .+a

(−1)

j+n

det(A

)

= 0 oraz
(ii) a

(−1)

1+j

det(A

)+a

(−1)

2+j

det(A

)+. . .+a

(−1)

n+j

det(A

)

= 0.

Dowód.

Zast

apmy w macierzy A wiersz j-ty wierszem i-tym.

Wówczas otrzymana macierz A

ma dwa wiersze równe, wi

ec z wła-

sności 6.5 wyznacznika mamy, że det(A

) = 0. Ale A

0
ij

= A

dla

j = 1, 2, . . . , n, wi

ec stosuj

ac rozwini

ecie Laplace’a wzgl

edem j-tego

wiersza macierzy A

uzyskamy, że 0 = det(A

) = a

(−1)

j+1

det(A

) +

(−1)

j+2

det(A

) + . . . + a

(−1)

j+n

det(A

), co kończy dowód (i).

Dowód (ii) jest analogiczny.

Uwaga 7.1. Niech A = [a

]

i,j=1,...,n

edzie macierz

a kwadratow

stopnia n ≥ 2 nad ciałem K. Wówczas skalar

(−1)

i+j

det(A

)

(7.11)

nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a

w macierzy A.

Wniosek 7.1 możemy zatem wypowiedzieć nast

epuj

aco: Suma ele-

mentów jakiejś kolumny (wiersza) pomnożonych przez odpo-
wiednie dopełnienia algebraiczne elementów innej kolumny
(wiersza) jest równa 0.

7.2

Wzory Cramera

Niech dany b

edzie układ n równań liniowych z n niewiadomymi x

, x

..., x

nad ciałem K:











+ a

+ . . . + a

= b

+ a

+ . . . + a

= b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ a

+ . . . + a

= b

(7.12)

Oznaczmy przez A

(dla i = 1, 2, . . . , n) macierz powstaj

a z macie-

rzy A tego układu przez zast

apienie i-tej kolumny macierzy A kolumn

Wykłady z algebry liniowej I

wyrazów wolnych















. Zatem








. . . a

. ..

. . . a








, . . . , A








. . . b

. .. ...

. . . b








W = det(A) nazywamy wyznacznikiem głównym układu (7.12). Po-
nadto oznaczmy W

= det(A

) dla i = 1, . . . , n. Wówczas zachodzi

nast

epuj

ace

Twierdzenie 7.3 (Cramera). Jeżeli wyznacznik główny układu

(7.12) jest różny od zera, to układ ten posiada dokładnie jedno rozwi

azanie

dane wzorami Cramera:

, x

, . . . , x

(7.13)

Jeżeli zaś W = 0, ale W

6= 0 dla pewnego i = 1, . . . , n, to układ (7.12)

nie posiada rozwi

azania.

Dowód. Załóżmy, że (p

, p

, . . . , p

) ∈ K

jest rozwi

azaniem układu

(7.12). Weźmy dowole i = 1, 2, . . . , n i pomnóżmy j-te równanie przez
(−1)

j+i

det(A

) dla j = 1, 2, . . . , n, a nast

epnie dodajmy stronami.

Wówczas z wniosku 7.1(ii) i z twierdzenia Laplace’a dla kolumn uzy-
skamy, że det(A) · p

= b

(−1)

1+i

det(A

) + b

(−1)

2+i

det(A

) + . . . +

(−1)

n+i

det(A

). Ale stosuj

ac rozwini

ecie Laplace’a wzgl

edem i-tej

kolumny uzyskamy, że

= b

(−1)

1+i

det(A

) + . . . + b

(−1)

n+i

det(A

(7.14)

W · p

= W

dla i = 1, 2, . . . , n.

(7.15)

Jeżeli zatem W = 0 oraz W

6= 0 dla pewnego i, to na mocy (7.15)

mamy sprzeczność, czyli w tym przypadku układ (7.12) nie posiada
rozwi

azania. Jeżeli zaś W 6= 0, to p

dla i = 1, 2, . . . , n.

Rozwinięcie Laplace’a i wzory Cramera

Pozostaje zatem wykazać, że dla W 6= 0 ci

ag (x

, x

, . . . , x

) dany

wzorami (7.13) jest rozwi

azaniem układu (7.12). Dla i = 1, 2, . . . , n na

mocy (7.14) mamy, że a

+ a

+ . . . + a

j=1

k=1

(−1)

k+j

det(A

)

j=1

k=1

(−1)

k+j

det(A

) =

k=1

j=1

(−1)

k+j

det(A

) =

k=1

j=1

(−1)

k+j

det(A

)

. Ale na mocy wniosku 7.1(i) dla

k 6= i b

edzie

j=1

(−1)

k+j

det(A

) = 0 oraz

j=1

(−1)

i+j

det(A

) =

det(A) = W na mocy twierdzenia Laplace’a, wi

ec a

+ a

+ . . . +

W = b

dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem ci

ag (x

, x

, . . . , x

)

dany wzorami (7.13) jest rozwi

azaniem układu (7.12).

Uwaga 7.2. Zauważmy, że twierdzenie Cramera nic nie mówi o

przypadku, gdy W = W

= W

= . . . = W

= 0. W takim przypadku

układ (7.12) może nie mieć rozwi

azania albo może mieć wi

ecej niż jedno

rozwi

azanie. Należy wówczas zastosować inn

a metod

e, np. eliminacj

Gaussa.

Uwaga 7.3. Układ równań (7.12), w którym det(A) 6= 0 nazywa

e układem Cramera.

Z uwagi 6.3 oraz z twierdzenia Cramera mamy natychmiast nast

epuj

acy

Wniosek 7.2. Jednorodny układ Cramera posiada dokładnie jedno

rozwi

azanie: x

= x

= . . . = x

= 0.

Przykład 7.1. Stosuj

ac wzory Cramera rozwi

ażemy nad ciałem

R układ równań:

Wykłady z algebry liniowej I











+ 2x

−

= −2

− 3x

−

+ 2x

− 5x

+ 2x

+ 3x

−

= −2

Obliczamy najpierw wyznacznik główny naszego układu. Stosu-

jemy kolejno: operacje k

+ k

, k

+ k

, k

+ k

, rozwini

ecie Laplace’a

wzgl

edem czwartego wiersza, rozwini

ecie Laplace’a wzgl

edem pierw-

szego wiersza:

2 −1 −1

2 −3 −1

4 −5

1 −1 −1 −1

3 0 0

2 −1 1 4
4 −1 6 7
1

0 0 0

= (−1)

4+1

·1·

3 0 0

−1 1 4
−1 6 7

(−1) · 3 · (−1)

1+1

1 4
6 7

= (−3) · (7 − 24) = (−3) · (−17) = 51. St

W = 51 6= 0, wi

ec z twierdzenia Cramera układ nasz posiada dokładnie

jedno rozwi

azanie. Obliczamy teraz wyznacznik W

stosuj

ac kolejno:

operacje k

+ k

, k

− k

, k

+ 2 · k

, rozwini

ecie Laplace’a wzgl

edem

pierwszego wiersza, operacj

e k

+ k

, rozwini

ecie Laplace’a wzgl

edem

drugiego wiersza:

−2

2 −1 −1

1 −3 −1

5 −5

−2 −1 −1 −1

0 −1

−2 −3 −3

0 −5 −1

−3 −1

0 −1

−2

1 −3

1 −1

−3 −3

0 −1

= (−1)

1+4

· (−1) ·

−2

1 −3

1 −1

−3 −3

−2 −2 −3

0 −1

−3 −3

= 0, bo w ostatnim wyznaczniku mamy dwie iden-

tyczne kolumny. Post

epuj

ac podobnie obliczamy: W

= 0 i W

= 51.

Zatem ze wzorów Cramera: x

= 0, x

= 0 oraz x

= 1. Wyznacznika W

nie musimy już obliczać, bo z pierwszego

równania x

= x

+ 2x

− x

+ 2 = 0 + 0 − 1 + 2 = 1.

Rozdział 8

Algebra macierzy

8.1

Podstawowe operacje na macierzach

Oznaczmy przez M

m×n

(K) zbiór wszystkich m × n macierzy nad cia-

łem K. Jeżeli A ∈ M

m×n

(K), to przez [A]

edziemy oznaczali wyraz

stoj

acy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy A. Przypomnijmy

też, że elementy ciała K nazywamy skalarami.

1. Mnożenie macierzy przez skalar. Iloczynem macierzy A ∈

m×n

(K) przez skalar a ∈ K nazywamy macierz a · A ∈ M

m×n

(K)

tak

a, że

[a · A]

= a · [A]

dla wszystkich i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. (8.1)

Zatem aby pomnożyć macierz A przez skalar a należy wszystkie
jej wyrazy pomnożyć przez ten skalar.

Zauważmy, że z tego

określenia wynikaj

a od razu wzory:

(a · b) · A = a · (b · A) dla dowolnych a, b ∈ K, A ∈ M

m×n

(K). (8.2)

1 · A = A dla każdego A ∈ M

m×n

(K).

(8.3)

Dodawanie macierzy.

Sum

a macierzy A, B ∈ M

m×n

(K)

nazywamy macierz A + B ∈ M

m×n

(K) tak

a, że

[A + B]

= [A]

+ [B]

dla wszystkich i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.

(8.4)

Wykłady z algebry liniowej I

Z tego określenia dla dowolnych A, B, C ∈ M

m×n

(K), a, b ∈ K wyni-

kaj

a od razu wzory:

A + B = B + A.

(8.5)

A + (B + C) = (A + B) + C.

(8.6)

(a + b) · A = a · A + b · B.

(8.7)

a · (A + B) = a · A + a · B.

(8.8)

Oznaczmy przez 0

m×n

tak

a m×n-macierz, której wszystkie współrz

edne

a równe 0, czyli [0

m×n

]

= 0 dla wszystkich i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.

Macierz t

e nazywamy macierz

a zerow

Z określenia dodawania macierzy wynika, że dla dowolej macierzy

A ∈ M

m×n

(K):

A + 0

m×n

= 0

m×n

+ A = A.

(8.9)

Macierz

a przeciwn

a do macierzy A ∈ M

m×n

(K) nazywamy macierz

−A ∈ M

m×n

(K) tak

a, że

[−A]

= −[A]

dla wszystkich i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.

(8.10)

Z tego określenia oraz z definicji dodawania macierzy wynika od razu,
że dla dowolnej macierzy A ∈ M

m×n

(K):

A + (−A) = (−A) + A = 0

m×n

(8.11)

(−1) · A = −A.

(8.12)

3. Odejmowanie macierzy. Różnic

a macierzy A, B ∈ M

m×n

(K)

nazywamy macierz A − B ∈ M

m×n

(K) tak

a, że

[A − B]

= [A]

− [B]

dla i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.

(8.13)

Zatem dla dowolnych macierzy A, B ∈ M

m×n

(K):

A − B = A + (−B).

(8.14)

4. Mnożenie macierzy. Iloczyn A·B macierzy A i B o współczynni-
kach z ciała K określamy jedynie wówczas, gdy liczba kolumn macie-
rzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Niech A ∈ M

m×n

(K)

Algebra macierzy

i B ∈ M

n×k

(K).

Iloczynem macierzy A i B

nazywamy macierz

A · B ∈ M

m×k

(K) tak

a, że

[A · B]

t=1

[A]

· [B]

dla i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , k.

(8.15)

Zatem aby pomnożyć macierz A ∈ M

m×n

(K) przez macierz B ∈

n×k

(K) należy pierwszy wiersz macierzy A pomnożyć (skalarnie)

przez pierwsz

a kolumn

e macierzy B, nast

epnie należy pomnożyć pierw-

szy wiersz macierzy A przez drug

a kolumn

e macierzy B, itd. W ten

sposób uzyskamy kolejne wyrazy pierwszego wiersza macierzy A · B.
Aby otrzymać drugi wiersz macierzy A · B należy pomnożyć drugi
wiersz macierzy A przez kolejne kolumny macierzy B. W końcu należy
pomnożyć ostatni wiersz macierzy A kolejno przez wszystkie kolumny
macierzy B.

Przykład 8.1. Niech A =

1 0 2

3 1 0

i B =





2 1 1
3 1 0
0 1 4





. Wów-

czas B · A nie ma sensu (gdyż ilość kolumn macierzy B nie jest równa

ilości wierszy macierzy A) oraz A · B =

2 3 9

9 4 3

, bo

1 · 2 + 0 · 3 + 2 · 0 = 2 3 · 2 + 1 · 3 + 0 · 0 = 9
1 · 1 + 0 · 1 + 2 · 1 = 3 3 · 1 + 1 · 1 + 0 · 1 = 4
1 · 1 + 0 · 0 + 2 · 4 = 9 3 · 1 + 1 · 0 + 0 · 4 = 3

Wynika st

ad, że mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne.

Twierdzenie 8.1. Dla dowolnych macierzy A ∈ M

m×n

(K), B ∈

n×k

(K) zachodzi wzór:

(A · B)

= B

· A

Dowód. Z określenia macierzy transponowanej wynika, że A

∈

n×m

(K), B

∈ M

k×n

(K) oraz [A

]

= [A]

dla i = 1, . . . , n, j =

1, . . . , m i [B

]

= [B]

dla i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. Zatem

· A

∈ M

k×m

(K), (A · B)

∈ M

k×m

(K). Ponadto dla wszystkich

możliwych i,j:

Wykłady z algebry liniowej I

[(A · B)

]

= [A · B]

t=1

[A]

· [B]

t=1

]

· [B

]

t=1

]

· [A

]

= [B

· A

]

Twierdzenie 8.2. Mnożenie macierzy jest ł

aczne tzn. dla dowol-

nych macierzy A ∈ M

m×n

(K), B ∈ M

n×r

(K), C ∈ M

r×s

(K):

(A · B) · C = A · (B · C).

Dowód. Mamy, że A·B ∈ M

m×r

(K), B·C ∈ M

n×s

(K), (A·B)·C ∈

m×s

(K), A·(B ·C) ∈ M

m×s

(K). Zatem macierze A·(B ·C) i (A·B)·C

maj

a te same wymiary. Ponadto dla wszystkich możliwych i, j:

[(A · B) · C]

t=1

[A · B]

· [C]

t=1

l=1

[A]

· [B]

· [C]

t=1

l=1

([A]

· [B]

) · [C]

t=1

l=1

[A]

· ([B]

· [C]

) =

l=1

t=1

[A]

· ([B]

· [C]

) =

l=1

[A]

t=1

[B]

· [C]

l=1

[A]

· [B · C]

= [A · (B · C)]

Twierdzenie 8.3. Dla każdego a ∈ K i dla dowolnych macierzy

A ∈ M

m×n

(K), B ∈ M

n×k

(K):

a · (A · B) = (a · A) · B = A · (a · B).

Dowód. Dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k: [(a · A) · B]

t=1

[a · A]

· [B]

t=1

(a · [A]

) · [B]

= a ·

t=1

[A]

· [B]

= a · [A · B]

= [a · (A · B)]

oraz [A · (a · B)]

t=1

[A]

· [a · B]

t=1

[A]

· (a · [B]

) = a ·

t=1

[A]

· [B]

= a · [A · B]

= [a · (A · B)]

Algebra macierzy

Twierdzenie 8.4. Mnożenie macierzy jest rozdzielne wzgl

edem

dodawania macierzy tzn.

(i) A·(B +C) = A·B +A·C dla dowolnych A ∈ M

m×n

(K), B, C ∈

n×k

(K) oraz

(ii) (B +C)·A = B ·A+C ·A dla dowolnych B, C ∈ M

m×n

(K), A ∈

n×k

(K).

Dowód. (i). Wystarczy wykazać, że dla wszystkich możliwych i, j:

[A·(B+C)]

= [A·B+A·C]

. Ale [A·(B+C)]

t=1

[A]

[B + C]

t=1

[A]

· ([B]

+ [C]

) =

t=1

([A]

· [B]

+ [A]

· [C]

) =

t=1

[A]

· [B]

t=1

[A]

· [C]

= [A · B]

+ [A · C]

= [A · B + A · C]

(ii) można udowodnić podobnie jak (i).

8.2

Algebra macierzy kwadratowych

edziemy dalej pisali M

(K) zamiast M

n×n

(K) oraz 0

zamiast 0

n×n

Dla dowolnych A, B ∈ M

(K) mamy, że A + B, A · B ∈ M

(K). Po-

nadto mnożenie macierzy kwadratowych jest ł

aczne i rozdzielne wzgl

dem dodawania macierzy.

Przykład 8.2. Niech n ≥ 2 oraz niech A, B ∈ M

(K) b

a takimi

macierzami, że [A]

= 1 i [A]

= 0 dla pozostałych i, j oraz [B]

= 1

i [B]

= 0 dla pozostałych i, j. Wtedy B · A = 0

oraz A · B = B.

Zatem A · B 6= B · A, czyli mnożenie macierzy kwadratowych stopnia
wi

ekszego od 1 nie jest przemienne!.

Macierz

a jednostkow

a stopnia n nazywamy macierz I

∈ M

(K),

która ma na głównej przek

atnej same jedynki, zaś na pozostałych miej-

scach same zera tzn. [I

]

= 1 dla i = 1, 2, . . . , n oraz [I

]

= 0 dla

wszystkich i 6= j.

Twierdzenie 8.5. Macierz jednostkowa stopnia n jest elementem

neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M

(K) tzn.

Wykłady z algebry liniowej I

· A = A · I

= A

dla dowolnej macierzy A ∈ M

(K).

Dowód. Dla wszystkich i, j = 1, 2, . . . , n mamy, że [I

· A]

t=1

]

· [A]

= [I

]

· [A]

= 1 · [A]

= [A]

oraz [A · I

]

t=1

[A]

· [I

]

= [A]

·[I

]

= [A]

·1 = [A]

. Zatem I

·A = A·I

= A

dla każdego A ∈ M

(K).

Macierz

a skalarn

a stopnia n nazywamy macierz postaci:

a · I

dla dowolnego a ∈ K.

Zatem macierz skalarna ma na głównej przek

atnej wspólny skalar a, zaś

na pozostałych miejscach same zera. Z poznanych własności mnożenia
macierzy mamy, że dla dowolnej macierzy A ∈ M

(K) i dla dowolnego

a ∈ K jest (a·I

)·A = a·(I

·A) = a·A oraz A·(a·I

) = a·(A·I

) = a·A.

Twierdzenie 8.6 (Cauchy’ego). Dla dowolnych macierzy kwa-

dratowych A i B tego samego stopnia nad ciałem K zachodzi wzór:

det(A · B) = det(A) · det(B).

Dowód. Niech A, B ∈ M

(K). Wówczas [A · B] =

s=1

[A]

· [B]

dla i, j = 1, 2, . . . , n. Zatem każdy wyraz i-tego wiersza macierzy A · B
jest sum

a n składników postaci [A]

· [B]

. Oznaczmy przez H

j-t

kolumn

e macierzy A·B oraz przez A

j-t

a kolumn

e macierzy A. Wtedy

edziemy mieli, że

Algebra macierzy
















s=1

[A]

[B]

s=1

[A]

[B]

s=1

[A]

[B]
















s=1

[B]

· A

Zatem A·B =

[B]

· A

[B]

· A

, . . . ,

[B]

· A

ad z własności 6.4 stosowanej n-krotnie b

edziemy mieli, że

det(A · B) =

. . .

[B]

. . . [B]

det([A

, A

, . . . , A

]).

Ale jeżeli dwie kolumny macierzy s

a identyczne, to jej wyznacznik jest

równy 0, wi

ec tylko te składniki naszej sumy mog

a być niezerowe,

dla których s

i s

a różne dla j 6= k, czyli tylko te, dla których

, s

, . . . , s

jest permutacj

a liczb 1, 2, . . . , n. Ale dla f ∈ S

na mocy

własności 6.3:
det([A

f (1)

, A

f (2)

, . . . , A

f (n)

]) = sgn(f ) · det([A

, A

, . . . , A

]) = sgn(f ) ·

det(A), wi

ec det(A · B) = det(A) ·

f ∈S

sgn(f )[B]

f (1)1

[B]

f (2)2

. . . [B]

f (n)n

= det(A) · det(B

) = det(A) · det(B).

Definicja 8.1. Macierz

a dopełnień macierzy A ∈ M

(K) nazy-

wamy macierz postaci

D(A) =

(−1)

i+j

det(A

)

i,j=1,2,...,n

(8.16)

Wykłady z algebry liniowej I

Twierdzenie 8.7. Dla dowolnej macierzy A ∈ M

(K) zachodzi

wzór:

A · D(A) = D(A) · A = det(A) · I

Dowód. Dla dowolnych i, j ∈ {1, 2, . . . , n}:

[A · D(A)]

t=1

[A]

[D(A)]

t=1

[A]

(−1)

t+j

det(A

Zatem z twierdzenia Laplace’a oraz z wniosku 7.1: [A·D(A)]

= det(A)

dla i = 1, 2, . . . , n oraz dla i 6= j: [A · D(A)]

= 0. St

ad A · D(A) =

det(A) · I

Podobnie dla i, j ∈ {1, 2, . . . , n}:

[A · D(A)]

t=1

[D(A)]

[A]

t=1

(−1)

i+t

det(A

)[A]

ec z twierdzenia Laplace’a i z wniosku 7.1, [D(A) · A]

= det(A)

dla i = 1, 2, . . . , n oraz dla i 6= j mamy, że [D(A) · A]

= 0. Zatem

D(A) · A = det(A) · I

8.3

Odwracanie macierzy

Definicja 8.2. Powiemy, że macierz A ∈ M

(K) jest odwracalna,

jeżeli istnieje taka macierz B ∈ M

(K), że

A · B = B · A = I

(8.17)

Uwaga 8.1. Macierz B we wzorze (8.17) jest wyznaczona jed-

noznacznie (przez macierz A). Rzeczywiście, niech dodatkowo C ∈
M

(K) b

edzie takie, że A · C = C · A = I

. Wtedy C = C · I

C · (A · B) = (C · A) · B = I

· B = B, czyli C = B. W zwi

azku z tym

macierz B nazywamy macierz

a odwrotn

a do macierzy A i oznaczamy

przez A

−1

Algebra macierzy

Twierdzenie 8.8. Macierz A ∈ M

(K) jest odwracalna wtedy

i tylko wtedy, gdy det(A) 6= 0. Jeżeli det(A) 6= 0, to zachodzi wzór:

−1

det(A)

· D(A)

(8.18)

Dowód.

Załóżmy, że macierz A jest odwracalna.

Wtedy ist-

nieje macierz B ∈ M

(K) taka, że A · B = I

. Zatem z twierdze-

nia Cauchy’ego det(A) · det(B) = det(I

Ale det(I

) = 1, wi

det(A) · det(B) = 1, sk

ad det(A) 6= 0.

Na odwrót, załóżmy, że det(A) 6= 0. Wówczas z twierdzenia 8.7:

A ·

det(A)

· D(A)

det(A)

· A · D(A)

det(A)

· (det(A) · I

) = I

i podobnie

det(A)

· D(A)

·A = I

. Zatem macierz A jest odwracalna

i zachodzi wzór (8.18).

Uwaga 8.2. Macierze A ∈ M

(K) o wyznaczniku różnym od zera

nazywamy macierzami nieosobliwymi.

Twierdzenie 8.9. Dla dowolnych macierzy A, B ∈ M

(K) nast

puj

ace warunki s

a równoważne:

(i) B = A

−1

(ii) A · B = I

(iii) B · A = I

Dowód. Implikacja (i) ⇒ (ii) jest oczywista.
(ii) ⇒ (iii). Niech A · B = I

. Wtedy z twierdzenia Cauchy’ego

det(A) · det(B) = det(I

) = 1, sk

ad det(A) 6= 0 i na mocy twierdzenia

8.8 istnieje A

−1

. St

ad A

−1

· (A · B) = A

−1

· I

, czyli (A

−1

· A) · B = A

−1

a wi

ec I

· B = A

−1

, czyli B = A

−1

. Zatem z określenia macierzy

odwrotnej B · A = I

(iii) ⇒ (i). Załóżmy, że B · A = I

. Wtedy z twierdzenia Cau-

chy’ego: det(B) · det(A) = det(I

) = 1, czyli det(A) 6= 0. Zatem

z twierdzenia 8.8 istnieje A

−1

oraz (B · A) · A

−1

= I

· A

−1

, wi

B · (A · A

−1

) = A

−1

, sk

ad B · I

= A

−1

, a zatem B = A

−1

Wykłady z algebry liniowej I

Twierdzenie 8.10. Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierz

odwracaln

a. Dokładniej, jeżeli macierze A

, A

, . . . , A

∈ M

(K) s

odwracalne, to zachodzi wzór:

· A

· . . . · A

)

−1

= A

−1
m

· A

−1
m−1

· . . . · A

−1
2

· A

−1
1

(8.19)

Dowód. Zauważmy, że (A

· A

) · (A

−1
m

· A

−1
m−1

· . . . · A

−1
1

) =

· . . . · A

m−1

) · (A

−1
m−1

· . . . · A

−1
1

) = . . . = A

· A

−1
1

= I

. Zatem na

mocy twierdzenia 8.9 mamy tez

8.4

Odwracanie macierzy przy pomocy
operacji elementarnych

Z definicji mnożenia macierzy wynika, że dla dowolnej macierzy

A ∈ M

(K) operacji elementarnej na wierszach macierzy A odpowiada

pomnożenie macierzy A z lewej strony przez macierz, która powstaje
z macierzy jednostkowej I

przez wykonanie na niej tej samej operacji.

Stosuj

ac operacje elementarne na wierszach nieosobliwej macierzy

A możemy j

a przekształcić przy pomocy algorytmu Gaussa do macie-

rzy jednostkowej I

. Wynika st

ad, że istniej

a macierze B

, B

, . . . , B

takie, że

· . . . · B

· B

· A = I

(8.20)

Zatem A

−1

= B

· . . . · B

· B

, czyli A

−1

= B

· . . . · B

· B

· I

. St

macierz A

−1

powstaje z macierzy I

przez wykonanie na niej

tych samych operacji elementarnych, co na macierzy A.

W praktyce przy obliczaniu macierzy odwrotnej do macierzy nie-

osobliwej A przy pomocy operacji elementarnych na wierszach
post

epujemy w sposób nast

epuj

acy. Z prawej strony macierzy A do-

pisujemy macierz jednostkow

a I

tego samego stopnia. Na wierszach

otrzymanej w ten sposób macierzy blokowej [A|I

] wykonujemy ope-

racje elementarne aż do uzyskania macierzy blokowej postaci [I

|B].

Macierz B jest wtedy macierz

a odwrotn

a do macierzy A, tj. B = A

−1

Rozdział 9

Przestrzenie liniowe

9.1

Określenie przestrzeni liniowej

Niech K b

edzie dowolnym ciałem, V -niepustym zbiorem, w którym

określone jest działanie dodawania + i operacja ◦ : K × V −→ V
mnożenia przez elementy z ciała K (przy czym dla a ∈ K oraz α ∈ V
b

edziemy pisali a ◦ α zamiast ◦((a, α))) oraz wyróżniony jest element

Θ ∈ V .

Elementy zbioru V b

edziemy nazywali wektorami, wektor Θ wekto-

rem zerowym, a elementy ciała K skalarami. Używać b

edziemy grec-

kich liter do oznaczania wektorów, a łacińskich do oznaczania skalarów.

Zbiór V (z działaniem +, operacj

a ◦ mnożenia przez skalary z ciała

K oraz wyróżnionym elementem Θ) nazywamy przestrzeni

a liniow

nad ciałem K, jeśli spełnione s

a nast

epuj

ace warunki (aksjomaty prze-

strzeni liniowych):

A1. ∀

α,β∈V

α + β = β + α, tj. działanie + jest przemienne;

A2. ∀

α,β,γ∈V

α + (β + γ) = (α + β) + γ, tj. działanie + jest ł

aczne;

A3. ∀

α∈V

α + Θ = α, tj. wektor Θ jest elementem neutralnym

działania +;

A4. ∀

α∈V

∃

δ∈V

α + δ = Θ;

A5. ∀

α,β∈V

∀

a∈K

a ◦ (α + β) = a ◦ α + a ◦ β;

A6. ∀

α∈V

∀

a,b∈K

(a + b) ◦ α = a ◦ α + b ◦ α;

Wykłady z algebry liniowej I

A7. ∀

α∈V

∀

a,b∈K

(a · b) ◦ α = a ◦ (b ◦ α);

A8. ∀

α∈V

1 ◦ α = α.

9.2

Przykłady przestrzeni liniowych

Przykład 9.1. Zbiór jednoelementowy V = {α} z działaniem +

takim, że α + α = α oraz wyróżnionym elementem Θ = α jest prze-
strzeni

a liniow

a nad dowolnym ciałem K, jeżeli mnożenie ◦ określimy

wzorem: a ◦ α = α dla każdego a ∈ K. Przestrzenie takiej postaci
nazywamy zerowymi.

Przykład 9.2. Niech n b

edzie ustalon

a liczb

a naturaln

a, a K do-

wolnym ciałem. Niech K

edzie zbiorem wszystkich ci

agów postaci

, a

, . . . , a

], gdzie a

, . . . , a

∈ K. Sum

e dwu ci

agów

α = [a

, a

, . . . , a

], β = [b

, b

, . . . , b

] określamy jako

+ b

, a

+ b

, . . . , a

+ b

]; iloczyn a ◦ α dla a ∈ K określamy jako

[aa

, aa

, . . . , aa

]. Niech ponadto Θ = [0, 0, . . . , 0

}

]. Łatwo sprawdzić,

że aksjomaty A1-A8 s

a w tym przypadku spełnione, a wi

ec zbiór K

z tak określonym dodawaniem i mnożeniem przez skalary oraz z wy-
różnionym wektorem Θ jest przestrzeni

a liniow

a nad ciałem K. Prze-

strzeń t

e oznacza si

e przez K

i nazywa n-wymiarow

a przestrzeni

a li-

niow

a współrz

ednych nad ciałem K. Dla wektora [a

, a

, . . . , a

] ∈ K

element a

dla i = 1, 2, . . . , n nazywamy i-t

a współrz

edn

a lub i-t

a skła-

dow

a tego wektora.

Przykład 9.3. Dla dowolnego ciała K oznaczmy przez K

∞

zbiór

wszystkich ci

agów nieskończonych [a

, a

, . . .] o wyrazach z tego ciała.

Dodawanie takich ci

agów i mnożenie przez skalary określamy nast

epuj

co:

, a

, . . .] + [b

, b

, . . .] = [a

+ b

, a

+ b

, . . .],

a ◦ [a

, a

, . . .] = [aa

, aa

, . . .].

Natomiast wektor zerowy określamy jako Θ = [0, 0, . . .]. Łatwo spraw-
dzić, że wówczas aksjomaty A1-A8 też s

a spełnione. Otrzyman

a w ten

sposób przestrzeń liniow

a oznaczamy przez K

∞

Przestrzenie liniowe

Przykład 9.4. Niech L b

edzie dowolnym ciałem. Wówczas pod-

zbiór K ⊆ L zawieraj

acy 0 i 1, który jest ciałem ze wzgl

edu na wszyst-

kie działania określone w ciele L nazywamy podciałem ciała L. W tej
sytuacji L z działaniem dodawania + ciała, operacj

a mnożenia przez

elementy z ciała K i wyróżnionym elementem Θ = 0 jest przestrzeni

liniow

a nad ciałem K. Oznaczamy j

a przez L

. W szczególności ciało

K jest przestrzeni

a liniow

a nad K oraz R jest w naturalny sposób

przestrzeni

a liniow

a nad ciałem liczb wymiernych Q oraz C jest prze-

strzeni

a liniow

a nad ciałem liczb rzeczywistych.

Przykład 9.5. Zbiór R[x] wszystkich wielomianów zmiennej x

o współczynnikach rzeczywistych ze zwykłym dodawaniem wielomia-
nów i z naturalnym mnożeniem wielomianów przez liczby rzeczywiste
oraz z wyróżnionym elementem Θ = 0 jest przestrzeni

a liniow

a nad

ciałem R. Oznaczamy j

a przez R[x].

Przykład 9.6. Niech m i n b

a ustalonymi liczbami natural-

nymi i niech K b

edzie ciałem. Wówczas zbiór M

m×n

(K) wszystkich

m × n-macierzy o wyrazach z ciała K z naturalnym dodawaniem ma-
cierzy i mnożeniem przez skalary oraz z wyróżnionym elementem Θ =
0

m×n

tworzy przestrzeń liniow

a nad ciałem K. Oznaczamy j

a przez

m×n

(K).

Przykład 9.7. Zbiór wszystkich równań liniowych z n niewiado-

mymi x

, x

, . . . , x

o współczynnikach z ciała K, z naturalnym doda-

waniem równań stronami i naturaln

a operacj

a mnożenia równań przez

skalary oraz z wektorem Θ rozumianym jako równanie 0 · x

+ 0 · x

. . . + 0 · x

= 0 jest przestrzeni

a liniow

Przykład 9.8.

Niech X b

edzie dowolnym niepustym zbiorem

i niech K b

edzie ciałem. Oznaczmy przez K

zbiór wszystkich funkcji

f : X → K. Dodawanie funkcji z tego zbioru określamy wzorem:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) dla x ∈ X.

Natomiast mnożenie przez skalary określamy wzorem:

(a ◦ f )(x) = a · f (x) dla x ∈ X.

Wykłady z algebry liniowej I

Łatwo sprawdzić, że w ten sposób otrzymujemy przestrzeń liniow

a nad

ciałem K, któr

a oznaczamy przez K

9.3

Własności działań na wektorach

Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad ciałem K. Wówczas

Własność 9.1. Prawo skracania równości:

∀

α,β,γ∈V

[α + β = α + γ ⇒ β = γ].

Dowód. Załóżmy, że α + β = α + γ. Z A4 i z A1 istnieje δ ∈ V

takie, że δ + α = Θ. Zatem z A2 mamy, że (δ + α) + β = (δ + α) + γ,
czyli Θ + β = Θ + γ, a wi

ec z A3 i A1 β = γ.

Własność 9.2. Dla każdego wektora α ∈ V istnieje dokładnie

jeden wektor δ ∈ V taki, że α + δ = Θ.

Dowód. Istnienie takiego wektora δ wynika z A4. Jeśli zaś δ

∈ V

jest takie, że α + δ

= Θ, to α + δ

= α + δ, wi

ec z własności 9.1 mamy,

że δ

= δ.

Uwaga 9.1. Wektor δ ∈ V taki, że α + δ = Θ nazywamy wekto-

rem przeciwnym do wektora α i oznaczamy przez −α. Ponieważ z A1
(−α) + α = Θ, wi

ec α jest wektorem przeciwnym do wektora (−α),

czyli mamy wzór:

− (−α) = α dla każdego α ∈ V.

(9.1)

Uwaga 9.2. Można udowodnić, że suma n wektorów z przestrzeni

V nie zależy od sposobu rozstawienia nawiasów. Ponadto z przemien-
ności dodawania wektorów wynika, że suma n wektorów nie zależy też
od kolejności składników.

Własność 9.3. Dla dowolnych wektorów α

, α

, . . . , α

∈ V za-

chodzi wzór:

− (α

+ α

+ . . . + α

) = (−α

) + (−α

) + . . . + (−α

(9.2)

Przestrzenie liniowe

Dowód. Mamy, że (α

+ . . . + α

) + [(−α

) + . . . + (−α

)] =

(α

+ (−α

)) + . . . + (α

+ (−α

)) = Θ + . . . + Θ = Θ. Zatem wektor

(−α

)+. . .+(−α

) jest wektorem przeciwnym do wektora α

+. . .+α

ad mamy nasz wzór.

Własność 9.4. Dla dowolnych wektorów α, β ∈ V istnieje dokład-

nie jeden wektor γ ∈ V taki, że α + γ = β. Mianowicie γ = β + (−α).
B

edziemy go nazywali różnic

a wektorów α i β i oznaczali przez β − α.

Dowód. Mamy, że α + [β + (−α)] = [α + (−α)] + β = Θ + β = β.

Jeżeli ponadto γ

∈ V jest takie, że α + γ

= β, to α + γ

= α + γ,

ec z własności 9.1 mamy, że γ

= γ.

Uwaga 9.3. Oczywiście dla dowolnego wektora α ∈ V : α −α = Θ,

bo α − α = α + (−α) = Θ.

Własność 9.5. 0 ◦ α = Θ dla dowolnego wektora α ∈ V .
Dowód. Ponieważ 0 = 0+0, wi

ec na mocy A6: 0◦α = (0+0)◦α =

0 ◦ α + 0 ◦ α. Zatem z A3 0 ◦ α + Θ = 0 ◦ α + 0 ◦ α i z własności 9.1
Θ = 0 ◦ α.

Własność 9.6. −α = (−1) ◦ α dla dowolnego wektora α ∈ V .
Dowód. Ponieważ α = 1◦α na mocy A8, wi

ec z A6 α+(−1)◦α =

1 ◦ α + (−1) ◦ α = (1 + (−1)) ◦ α = 0 ◦ α = Θ na mocy własności 9.5.

Własność 9.7. a ◦ Θ = Θ dla każdego a ∈ K.
Dowód. Z A3 mamy, że Θ = Θ + Θ, wi

ec na mocy A5: a ◦ Θ =

a ◦ (Θ + Θ) = a ◦ Θ + a ◦ Θ, czyli na mocy A3, a ◦ Θ + Θ = a ◦ Θ + a ◦ Θ,
wi

ec z własności 9.1, Θ = a ◦ Θ.

Własność 9.8. a ◦ α 6= Θ dla dowolnych 0 6= a ∈ K, Θ 6= α ∈ V .
Dowód. Załóżmy, że 0 6= a ∈ K, Θ 6= α ∈ V i a ◦ α = Θ. Wtedy

z własności 9.7 mamy, że Θ = a

−1

◦ (a ◦ α) = (a

−1

· a) ◦ α = 1 ◦ α = α

na mocy A7 i A8, sk

ad α = Θ i mamy sprzeczność.

Uwaga 9.4. Z własności 9.5, 9.7 i 9.8 wynika od razu, że dla

dowolnych a ∈ K, α ∈ V :

a ◦ α = Θ ⇔ [a = 0 lub α = Θ].

Wykłady z algebry liniowej I

Własność 9.9. (−a) ◦ α = a ◦ (−α) = −(a ◦ α) dla dowolnych

a ∈ K, α ∈ V .

Dowód. Na mocy A6 i własności 9.5 mamy, że (−a) ◦ α + a ◦ α =

((−a) + a) ◦ α = 0 ◦ α = Θ, sk

ad (−a) ◦ α = −(a ◦ α). Ponadto z A5

i własności 9.7 a ◦ (−α) + a ◦ α = a ◦ (α + (−α)) = a ◦ Θ = Θ, wi

a ◦ (−α) = −(a ◦ α).

Własność 9.10. Dla dowolnego a ∈ K i dla dowolnych wektorów

, α

, . . . , α

∈ V :

a ◦ (α

+ α

+ . . . + α

) = a ◦ α

+ a ◦ α

+ . . . + a ◦ α

Dowód. Indukcja wzgl

edem n. Dla n = 2 teza wynika z A5.

Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla pewnej liczby naturalnej n ≥ 2
i niech α

, . . . , α

, α

n+1

∈ V . Wtedy z założenia indukcyjnego

a ◦ (α

+ . . . + α

) = a ◦ α

+ . . . + a ◦ α

Zatem na mocy A5 a ◦ (α

+ . . . + α

+ α

n+1

) = a ◦ ((α

+ . . . + α

) +

n+1

) = a ◦ (α

+ . . . + α

) + a ◦ α

n+1

= a ◦ α

+ . . . + a ◦ α

+ a ◦ α

n+1

czyli teza zachodzi dla liczby n + 1.

Z własności 9.10 i z A7 wynika od razu

Własność 9.11. Dla dowolnych a, a

, . . . , a

∈ K, α

, . . . , α

∈ V :

a ◦ (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) = (a · a

) ◦ α

+ . . . + (a · a

) ◦ α

Uwaga 9.5. Z udowodnionych własności działań na wektorach

można łatwo wyprowadzić nast

epuj

ace prawa rachunkowe dotycz

ace

odejmowania wektorów:

α − (β + γ) = (α − β) − γ, α − (β − γ) = (α − β) + γ,

−(α + β) = (−α) − β, −(α − β) = (−α) + β,

a ◦ (α − β) = a ◦ α − a ◦ β, (a − b) ◦ α = a ◦ α − b ◦ β,

(−a) ◦ (−α) = a ◦ α.

Rozdział 10

Podprzestrzenie przestrzeni
liniowych

10.1

Określenie podprzestrzeni

Definicja 10.1. Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad ciałem

Niepusty podzbiór V

przestrzeni V nazywamy podprzestrzeni

przestrzeni V , jeśli ma on nast

epuj

ace własności:

(I) suma dowolnych dwu wektorów należ

acych do V

należy do V

(II) jeśli α ∈ V

i a ∈ K, to a ◦ α ∈ V

Uwaga 10.1. Wektor zerowy Θ należy do każdej podprze-

strzeni V

przestrzeni V .

Rzeczywiście, ponieważ V

6= ∅, wi

istnieje α ∈ V

i wówczas z (II) mamy, że 0 ◦ α ∈ V

, sk

ad z własności

9.5 jest Θ ∈ V

Uwaga 10.2. Podprzestrzeń V

przestrzeni liniowej V nad ciałem

K jest przestrzeni

a liniow

a nad ciałem K wzgl

edem dodawania wek-

torów zredukowanego do V

i mnożenia przez skalary zredukowanego

do V

. Sprawdzenie prawdziwości aksjomatów A1-A8 nie przedstawia

trudności. Np. z (II) oraz z własności 9.6 wynika, że −α ∈ V

dla

każdego α ∈ V

Każda przestrzeń liniowa V zawiera co najmniej dwie podprzestrze-

nie: zbiór V oraz podprzestrzeń złożon

a tylko z wektora Θ. Pierwsz

Wykłady z algebry liniowej I

z tych podprzestrzeni nazywamy niewłaściw

a, a drug

a zerow

Twierdzenie 10.1. Cz

eść wspólna dowolnej niepustej rodziny pod-

przestrzeni danej przestrzeni liniowej V nad ciałem K jest podprze-
strzeni

a przestrzeni V .

Dowód. Niech W b

edzie dowoln

a niepust

a rodzin

a podprzestrzeni

przestrzeni liniowej V nad ciałem K i niech W

W ∈W

W . Z uwagi

10.1 mamy, że Θ ∈ W dla każdego W ∈ W. Zatem Θ ∈ W

. Niech

α, β ∈ W

. Wtedy α, β ∈ W dla każdego W ∈ W, sk

ad α + β ∈ W

dla każdego W ∈ W, wi

ec α + β ∈ W

. Jeśli a ∈ K oraz α ∈ W

, to

α ∈ W dla każdego W ∈ W, sk

ad a ◦ α ∈ W dla każdego W ∈ W,

ec a ◦ α ∈ W

. Zatem W

jest podprzestrzeni

a przestrzeni V .

10.2

Podprzestrzenie generowane i ich
własności

Twierdzenie 10.2. Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad cia-

łem K i niech A b

edzie dowolnym podzbiorem przestrzeni V . Istnieje

najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V zawieraj

aca

Dowód. Oznaczmy przez W rodzin

e wszystkich podprzestrzeni W

przestrzeni V takich, że A ⊆ W . Rodzina W jest niepusta, bo np. V ∈
W. Z twierdzenia 10.1 mamy, że W

W ∈W

W jest podprzestrzeni

przestrzeni V , a ponieważ A ⊆ W dla każdego W ∈ W, wi

ec A ⊆ W

Niech teraz V

edzie podprzestrzeni

a przestrzeni V tak

a, że A ⊆ V

Wtedy V

∈ W, sk

ad W

⊆ V

. Zatem W

jest najmniejsz

a w sensie

inkluzji podprzestrzeni

a przestrzeni V zawieraj

a zbiór A.

Uwaga 10.3. Najmniejsz

a podprzestrzeń przestrzeni liniowej V

zawieraj

a zbiór A ⊆ V nazywamy podprzestrzeni

a rozpi

a na pod-

zbiorze A lub generowan

a przez podzbiór A i oznaczamy przez lin(A).

Z tego określenia wynika od razu, że lin(∅) = {Θ}.
Jeśli zbiór A jest skończony i A = {α

, α

, . . . , α

}, to zamiast

Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

lin({α

, α

, . . . , α

}) b

edziemy pisali lin(α

, α

, . . . , α

Zauważmy, że dla każdego α ∈ V jest lin(α) = {a ◦ α : a ∈ K}.

Rzeczywiście, α = 1 ◦ α ∈ {a ◦ α : a ∈ K} oraz dla dowolnych a, b ∈ K
mamy, że a ◦ α + b ◦ α = (a + b) ◦ α i a ◦ (b ◦ α) = (ab) ◦ α, wi

{a ◦ α : a ∈ K} jest podprzestrzeni

a przestrzeni V zawieraj

a α.

Jeżeli zaś W jest podprzestrzeni

a przestrzeni V tak

a, że α ∈ W , to dla

dowolnego a ∈ K jest a ◦ α ∈ W , sk

ad {a ◦ α : a ∈ K} ⊆ W . Zatem

lin(α) = {a ◦ α : a ∈ K}.

Ponadto z definicji podprzestrzeni generowanej wynika od razu, że

jeżeli A i B s

a podzbiorami przestrzeni liniowej V takimi, że A ⊆ B,

to lin(A) ⊆ lin(B).

Twierdzenie 10.3. Niech V

, V

, . . . , V

a podprzestrzeniami

przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas zbiór

+ V

+ . . . + V

= {α

+ α

+ . . . + α

: α

∈ V

dla i = 1, 2, . . . , n}

jest podprzestrzeni

a przestrzeni V . Ponadto

+ V

+ . . . + V

= lin(V

∪ V

∪ . . . ∪ V

Dowód. Niech α

∈ V

dla i = 1, 2, . . . , n. Wtedy α

= Θ + . . . + Θ

}

i−1

+ α

+ Θ + . . . + Θ

}

n−i

, sk

ad α

∈ V

+ . . . + V

dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem

∪ . . . ∪ V

⊆ V

+ . . . + V

. Niech α, β ∈ V

+ . . . + V

. Wtedy

istniej

a α

, β

∈ V

dla i = 1, 2, . . . , n takie, że α = α

+ . . . + α

i β = β

+ . . . + β

, sk

ad α + β = (α

+ β

) + . . . + (α

+ β

) ∈

+ . . . + V

, bo α

+ β

∈ V

dla i = 1, 2, . . . , n.

Ponadto dla

a ∈ K mamy, że a ◦ α

∈ V

dla i = 1, 2, . . . , n, sk

ad z własności

9.10 a ◦ α = a ◦ α

+ . . . + a ◦ α

∈ V

+ . . . + V

. Zatem V

+ . . . + V

jest podprzestrzeni

a przestrzeni V zawieraj

a zbiór V

∪ . . . ∪ V

Niech teraz W b

edzie dowoln

a podprzestrzeni

a przestrzeni V tak

że V

∪ . . . ∪ V

⊆ W . Weźmy dowolne α ∈ V

+ . . . + V

. Wtedy

istniej

a α

∈ V

dla i = 1, 2, . . . , n takie, że α = α

+ . . . + α

. Ale

, . . . , α

∈ W , wi

ec α ∈ W . Zatem V

+ . . . + V

⊆ W . St

+ . . . + V

⊆ lin(V

∪ . . . ∪ V

). Ale lin(V

∪ . . . ∪ V

) jest najmniejsz

Wykłady z algebry liniowej I

podprzestrzeni

a przestrzeni V zawieraj

a zbiór V

∪. . .∪V

, wi

ec st

+ . . . + V

= lin(V

∪ . . . ∪ V

Twierdzenie 10.4. Dla dowolnych wektorów α

, . . . , α

przestrzeni

liniowej V nad ciałem K zachodzi wzór:

lin(α

, . . . , α

) = {a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

: a

, . . . , a

∈ K}.

Dowód. Ponieważ α

∈ lin(α

) dla i = 1, 2, . . . , n, wi

{α

, . . . , α

} ⊆ lin(α

) ∪ . . . ∪ lin(α

), sk

ad lin(α

, . . . , α

) ⊆

lin(lin(α

)∪. . .∪lin(α

)). Ponadto {α

} ⊆ {α

, . . . , α

}, wi

ec lin(α

) ⊆

lin(α

, . . . , α

) dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem lin(lin(α

) ∪ . . . ∪ lin(α

)) ⊆

lin(α

, . . . , α

ad lin(α

, . . . , α

) = lin(lin(α

), . . . , lin(α

)) =

lin(α

) + . . . + lin(α

) = {a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

: a

, . . . , a

∈ K} na

mocy twierdzenia 10.3 i uwagi 10.3.

Twierdzenie 10.5. Dla dowolnych podzbiorów X i Y przestrzeni

liniowej V nad ciałem K zachodzi wzór:

lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ).

Dowód. Mamy, że X ⊆ lin(X) ⊆ lin(X ∪ Y ) i Y ⊆ lin(Y ) ⊆

lin(X ∪ Y ), wi

ec X ∪ Y ⊆ lin(X ∪ Y ). Ale lin(X ∪ Y ) jest najmniejsz

podprzestrzeni

a zawieraj

a zbiór X ∪ Y , wi

ec st

ad lin(X ∪ Y ) ⊆

lin(X) + lin(Y ). Dalej, jeżeli W jest podprzestrzeni

a przestrzeni V

zawieraj

a X ∪ Y , to X ⊆ W , sk

ad lin(X) ⊆ W oraz analogicznie

lin(Y ) ⊆ W . Zatem lin(X)∪lin(Y ) ⊆ W i z twierdzenia 10.3 mamy, że
lin(X) + lin(Y ) ⊆ W . Ale W jest dowoln

a podprzestrzeni

a przestrzeni

V zawieraj

a zbiór X ∪ Y , wi

ec st

ad lin(X) + lin(Y ) ⊆ lin(X ∪ Y ).

ad ostatecznie lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ).

Z twierdzenia 10.5 mamy natychmiast nast

epuj

acy

Wniosek 10.1.

Dla dowolnych wektorów α

, . . . , α

, β

, . . . , β

przestrzeni liniowej V zachodzi wzór:

lin(α

, . . . , α

, β

, . . . , β

) = lin(α

, . . . , α

) + lin(β

, . . . , β

Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Twierdzenie 10.6. Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni linio-

wej V nad ciałem K i dla każdego wektora α ∈ V :

α ∈ lin(X) ⇔ lin(X ∪ {α}) = lin(X).

Dowód. Załóżmy, że lin(X ∪ {α}) = lin(X). Ponieważ X ∪ {α} ⊆

lin(X ∪ {α}), wi

ec st

ad X ∪ {α} ⊆ lin(X), sk

ad α ∈ lin(X). Na

odwrót, niech teraz α ∈ lin(X). Weźmy dowoln

a podprzestrzeń W

przestrzeni V tak

a, że X ⊆ W . Wtedy lin(X) ⊆ W i α ∈ lin(X), wi

X ∪ {α} ⊆ W , sk

ad lin(X ∪ {α}) ⊆ W . Ale W jest dowoln

a podprze-

strzeni

a przestrzeni V zawieraj

a X, wi

ec st

ad lin(X ∪{α}) ⊆ lin(X).

Ponadto X ⊆ X ∪ {α}, wi

ec lin(X) ⊆ lin(X ∪ {α}) i ostatecznie

lin(X ∪ {α}) = lin(X).

10.3

Kombinacja liniowa wektorów

Definicja 10.2. Niech α

, α

, . . . , α

a wektorami przestrzeni

liniowej V nad ciałem K. Powiemy, że wektor α ∈ V jest kombinacj

liniow

a wektorów α

, α

, . . . , α

, jeżeli istniej

a skalary a

, a

, . . . , a

∈

K (zwane współczynnikami tej kombinacji) takie, że

α = a

◦ α

+ a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

(10.1)

Uwaga 10.4. Twierdzenie 10.4 możemy wypowiedzieć nast

epuj

aco:

lin(α

, . . . , α

) składa si

e ze wszystkich kombinacji liniowych wektorów

, . . . , α

Twierdzenie 10.7. Niech X b

edzie dowolnym niepustym podzbio-

rem przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas lin(X) jest zbio-
rem wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbio-
rów zbioru X.

Dowód. Oznaczmy przez V

zbiór wszystkich kombinacji liniowych

wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X. Dla α ∈ X mamy, że
α = 1 ◦ α ∈ V

, wi

ec X ⊆ V

. Ponieważ X 6= ∅, wi

ec V

6= ∅. Niech

a ∈ K oraz α, β ∈ V

. Wtedy istniej

a α

, . . . , α

, β

, . . . , β

∈ X takie,

że α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

oraz β = b

◦ β

+ . . . + b

◦ β

. Zatem

Wykłady z algebry liniowej I

a ◦ α = (aa

) ◦ α

+ . . . + (aa

)α

∈ V

oraz α ∈ lin(α

, . . . , α

) i β ∈

lin(β

, . . . , β

), wi

ec z wniosku 10.1 α+β ∈ lin(α

, . . . , α

, β

, . . . , β

czyli na mocy uwagi 10.4 α+β ∈ V

. St

ad V

jest podprzestrzeni

a prze-

strzeni V zawieraj

a X. Niech W b

edzie dowoln

a podprzestrzeni

przestrzeni V zawieraj

a X. Wtedy dla dowolnych α

, . . . , α

∈ X

mamy, że α

, . . . , α

∈ W , sk

ad dla dowolnych a

, . . . , a

∈ K jest

◦ α

+ . . . + a

◦ α

∈ W . Zatem V

⊆ W , czyli V

jest naj-

mniejsz

a podprzestrzeni

a przestrzeni X zawieraj

a zbiór X. Zatem

= lin(X).

Twierdzenie 10.8.

Niech α, α

, . . . , α

, β

, . . . , β

a wekto-

rami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Jeżeli wektor α jest kom-
binacj

a liniow

a wektorów β

, . . . , β

oraz dla i = 1, 2, . . . , m wektor β

jest kombinacj

a liniow

a wektorów α

, . . . , α

, to wektor α jest kombi-

nacj

a liniow

a wektorów α

, . . . , α

Dowód. Z uwagi 10.4 mamy, że β

, . . . , β

∈ lin(α

, . . . , α

). Za-

tem lin(β

, . . . , β

) ⊆ lin(α

, . . . , α

). Ale z uwagi 10.4

α ∈ lin(β

, . . . , β

), wi

ec st

ad α ∈ lin(α

, . . . , α

), czyli z uwagi 10.4

wektor α jest kombinacj

a liniow

a wektorów α

, . . . , α

Przykład 10.1. Niech K b

edzie ciałem i niech n ∈ N. W prze-

strzeni K

określamy wektory

= [1, 0, 0, . . . , 0], ε

= [0, 1, 0, . . . , 0], ε

= [0, 0, 1, . . . , 0], . . . ,

= [0, 0, 0, . . . , 1]

Dla dowolnych skalarów a

, . . . , a

∈ K

◦ ε

= [a

, 0, 0, . . . , 0]

◦ ε

= [0, a

, 0, . . . , 0]

◦ ε

= [0, 0, a

, . . . , 0]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◦ ε

= [0, 0, 0, . . . , a

]

ec po dodaniu stronami tych równości uzyskamy wzór:

, a

, . . . , a

] = a

◦ ε

+ a

◦ ε

+ . . . + a

◦ ε

(10.2)

Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Z tego wzoru wynika zatem, że każdy wektor przestrzeni K

jest kombi-

nacj

a liniow

a wektorów ε

, . . . , ε

, czyli K

= lin(ε

, . . . , ε

). Mówimy

też, że wektory ε

, . . . , ε

generuj

a przestrzeń K

10.4

Operacje elementarne na układach
wektorów

Niech α

, . . . , α

a dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad

ciałem K. Wyróżniamy nast

epuj

ace operacje elementarne nad ukła-

dem wektorów (α

, . . . , α

O1. Zamiana miejscami wektorów α

z α

(dla i 6= j) oznaczana

przez w

↔ w

. Oczywiście operacja ta jest do siebie odwrotna.

O2. Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a ∈ K,

oznaczenie: a · w

. Ponieważ dla a 6= 0 jest a

−1

◦ (a ◦ α

) = (a

−1

a) ◦ α

1 ◦ α

= α

, wi

ec operacj

a odwrotn

a do a · w

jest operacja a

−1

· w

O3. Dodanie do wektora α

wektora α

(dla i 6= j) pomnożonego

przez dowolny skalar a ∈ K, oznaczenie: w

+ a · w

. Ponieważ (α

a ◦ α

) + (−a) ◦ α

= α

+ a ◦ α

+ (−(a ◦ α

)) = α

, wi

ec operacj

odwrotn

a do operacji w

+ a · w

jest operacja w

+ (−a) · w

Twierdzenie 10.9. Jeżeli układ wektorów (β

, . . . , β

) przestrzeni

liniowej V nad ciałem K powstaje z układu wektorów (α

, . . . , α

) przez

kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to

lin(β

, . . . , β

) = lin(α

, . . . , α

Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć si

e do jednej opera-

cji. Ponadto operacje elementarne s

a odwracalne, wi

ec wystarczy wy-

kazać, że lin(β

, . . . , β

) ⊆ lin(α

, . . . , α

), czyli, że {β

, . . . , β

} ⊆

lin(α

, . . . , α

). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2

mamy, że β

= α

dla j 6= i oraz β

= a ◦ α

∈ lin(α

, . . . , α

). Dla

operacji O3 β

= α

dla k 6= i oraz β

= α

+ a ◦ α

∈ lin(α

, . . . , α

Wykłady z algebry liniowej I

Przykład 10.2. Sprawdzimy, czy wektor [1, 2, 3] należy do pod-

przestrzeni W = lin([1, 3, 2], [1, 2, 1], [2, 5, 3]) przestrzeni liniowej R

Po wykonaniu operacji w

− w

, w

− 2w

uzyskamy na mocy twier-

dzenia 10.9, że W = lin([1, 3, 2], [0, −1, −1], [0, −1, −1]) =
lin([1, 3, 2], [0, −1, −1]) = {x ◦ [1, 3, 2] + y ◦ [0, −1, −1] : x, y ∈ R} =
{[x, 3x−y, 2x−y] : x, y ∈ R}. Zatem [1, 2, 3] ∈ W wtedy i tylko wtedy,
gdy istniej

a x, y ∈ R takie, że [1, 2, 3] = [x, 3x − y, 2x − y], czyli gdy

x = 1 oraz 3x − y = 2x − y = −1, a wi

ec gdy x = 1 i x = 0. Uzyskana

sprzeczność pokazuje, że [1, 2, 3] 6∈ W .

Rozdział 11

Baza i wymiar przestrzeni
liniowej

11.1

Liniowa niezależność wektorów

Niech α

, . . . , α

a dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad

ciałem K. Powiemy, że układ wektorów (α

, . . . , α

) jest liniowo za-

leżny, jeżeli istniej

a skalary a

, . . . , a

∈ K nie wszystkie równe 0 i ta-

kie, że a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ.

Przykład 11.1. Wektory Θ, α

, . . . , α

∈ V s

a liniowo zależne, bo

np. 1 ◦ Θ + 0 ◦ α

+ . . . + 0 ◦ α

= Θ oraz 1 6= 0.

Uwaga 11.1. Jeżeli układ wektorów (α

, . . . , α

) jest liniowo za-

leżny, to dla dowolnej permutacji f ∈ S

układ (α

f (1)

, . . . , α

f (n)

) też

jest liniowo zależny.

Przykład 11.2. Wektory α, α, α

, . . . , α

a liniowo zależne, bo

1 ◦ α + (−1) ◦ α + 0 ◦ α

+ . . . + 0 ◦ α

= Θ i 1 6= 0.

Definicja 11.1. Powiemy, że układ wektorów (α

, . . . , α

) prze-

strzeni liniowej V nad ciałem K jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest
on liniowo zależny, tzn.

∀

,...,a

∈K

◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ ⇒ a

= . . . = a

= 0].

Wykłady z algebry liniowej I

Przykład 11.3. Ze wzoru (10.2) wynika od razu, że układ wekto-

rów (ε

, . . . , ε

) przestrzeni K

jest liniowo niezależny.

Uwaga 11.2. Z uwagi 11.1 wynika, że jeśli układ wektorów

(α

, . . . , α

) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie

lnz), to dla dowolnej permutacji f ∈ S

układ (α

f (1)

, . . . , α

f (n)

) też

jest liniowo niezależny. Ponadto z przykładu 11.2 wynika, że wtedy
α

6= α

dla i 6= j. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór wektorów

{α

, . . . , α

} jest liniowo niezależny. Dalej, z przykładu 11.1 wynika, że

Θ 6∈ {α

, . . . , α

}. Jeżeli X = {β

, . . . , β

} jest niepustym podzbiorem

zbioru {α

, . . . , α

}, to zbiór X też jest liniowo niezależny, gdyż w

przeciwnym wypadku istniałyby skalary b

, . . . , b

nie wszystkie równe

0 i takie, że b

◦ β

+ . . . + b

◦ β

= Θ i wówczas uzupełniaj

ac ci

, . . . , b

) zerami uzyskamy ci

ag (a

, . . . , a

) taki, że a

◦ α

+ . . . +

◦ α

= Θ, wbrew liniowej niezależności zbioru {α

, . . . , α

Z uwagi 11.2 wynika zatem, że definicj

e liniowej niezależności można

rozszerzyć na dowolne podzbiory przestrzeni liniowej.

Definicja 11.2. Powiemy, że podzbiór X przestrzeni liniowej V

nad ciałem K jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), jeżeli każdy skoń-
czony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny. Zbiór pusty wektorów
uważamy za liniowo niezależny.

Z uwagi 11.2 oraz z tej definicji mamy od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 11.1. Dowolny podzbiór liniowo niezależnego zbioru

wektorów przestrzeni liniowej jest zbiorem liniowo niezależnym.

Przykład 11.4. W przestrzeni V = R[x] nad ciałem R zbiór

{1, x, x

, . . .} jest liniowo niezależny.

Zadanie 11.1. Pokazać, że w przestrzeni R

zbiór

{log p : p jest liczb

a pierwsz

a} jest liniowo niezależny.

Przykład 11.5. Jeżeli α jest niezerowym wektorem przestrzeni

liniowej V nad ciałem K, to zbiór {α} jest liniowo niezależny. Rzeczy-
wiście, niech a ∈ K b

edzie takie, że a ◦ α = Θ. Wtedy z uwagi 9.4

mamy, że a = 0, czyli zbiór {α} jest lnz.

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Twierdzenie 11.2. Jeżeli układ wektorów (β

, . . . , β

) przestrzeni

liniowej V nad ciałem K powstaje z układu (α

, . . . , α

) przez kolejne

wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to układ
(β

, . . . , β

) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy układ

(α

, . . . , α

) jest liniowo niezależny.

Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć si

e do jednej operacji

elementarnej. Ponadto operacje elementarne s

a odwracalne, wi

ec wy-

starczy wykazać, że jeżeli układ (α

, . . . , α

) jest lnz, to układ

(β

, . . . , β

) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji

O2 mamy, że β

= α

dla j 6= i oraz β

= a ◦ α

dla pewnego a 6= 0.

Weźmy dowolne a

, . . . , a

∈ K takie, że a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

= Θ.

Wtedy a

◦ α

+ . . . + (a

a) ◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ. St

ad z liniowej

niezależności układu (α

, . . . , α

) mamy, że a

= a

= . . . = a

a =

. . . = a

= 0. Ale a 6= 0, wi

ec st

ad a

= . . . = a

= 0, czyli

układ (β

, . . . , β

) jest lnz.

Dla operacji O3 bez zmniejszania ogólności możemy zakładać, że

= α

+ a ◦ α

oraz β

= α

dla j = 2, . . . , n. Weźmy dowolne

, . . . , a

∈ K takie, że a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

= Θ. Wtedy

◦ (α

+ a ◦ α

) + a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ, czyli a

◦ α

+ (a

a +

) ◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ, sk

ad z lnz układu (α

, . . . , α

) mamy, że

= a

a + a

= a

= . . . = a

= 0, czyli a

= a

= . . . = a

= 0, a

ec układ (β

, . . . , β

) jest lnz.

Twierdzenie 11.3. Niech X b

edzie zbiorem liniowo niezależnym

wektorów przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas dla każdego
wektora α ∈ V :

α ∈ lin(X) ⇔ [α ∈ X lub zbiór X ∪ {α} jest liniowo zależny].

Dowód.

⇐. Załóżmy, że α 6∈ lin(X). Wtedy α 6∈ X, gdyż

X ⊆ lin(X). Zatem zbiór X ∪ {α} jest liniowo zależny. Ale zbiór X
jest liniowo niezależny, wi

ec istniej

a parami różne wektory α

, . . . , α

∈

X takie, że zbiór {α, α

, . . . , α

} jest liniowo zależny. Zatem istniej

skalary a, a

, . . . , a

∈ K nie wszystkie równe 0 i takie, że a ◦ α + a

◦

+. . .+a

◦α

= Θ. St

ad z liniowej niezależności wektorów α

, . . . , α

wynika, że a 6= 0. Zatem α = (−

) ◦ α

+ . . . + (−

) ◦ α

∈ lin(X),

czyli α ∈ lin(X) na mocy twierdzenia 10.7 i mamy sprzeczność.

Wykłady z algebry liniowej I

⇒. Na mocy twierdzenia 10.7 istniej

a α

, . . . , α

∈ X oraz a

, . . . ,

∈ K takie, że α = a

◦α

+. . .+a

◦α

. Zatem 1◦α+(−a

) ◦ α

+ . . .+

(−a

) ◦ α

= Θ, sk

ad wynika, że α ∈ X albo α 6∈ X i zbiór X ∪ {α}

jest liniowo zależny.

11.2

Baza przestrzeni liniowej

Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad ciałem K. Powiemy, że pod-

zbiór X ⊆ V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli
X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz dla każdego zbioru liniowo
niezależnego Y ⊆ V takiego, że X ⊆ Y jest X = Y .

Definicja 11.3. Każdy maksymalny liniowo niezależny podzbiór

X wektorów przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy baz

a tej

przestrzeni.

Twierdzenie 11.4. Każdy liniowo niezależny zbiór wektorów X

przestrzeni liniowej V nad ciałem K można rozszerzyć do bazy X ⊇ X

tej przestrzeni.

Dowód. Niech A b

edzie rodzin

a wszystkich podzbiorów liniowo

niezależnych przestrzeni V zawieraj

acych zbiór X

. Wtedy A 6= ∅, bo

∈ A. Ponadto zbiór A jest cz

eściowo uporz

adkowany przez inkluzj

zbiorów. Jeżeli B jest łańcuchem w A, tzn. dla dowolnych Y, Z ∈ B
jest Y ⊆ Z lub Z ⊆ Y , to Y

Y ∈B

Y też jest zbiorem liniowo nie-

zależnym, gdyż dla dowolnych α

, . . . , α

∈ Y

istniej

a Y

, . . . , Y

∈ B

takie, że α

∈ Y

dla i = 1, . . . , n. Wtedy istnieje k ≤ n takie, że

⊆ Y

dla każdego i = 1, . . . , n, sk

ad α

, . . . , α

∈ Y

. Ale zbiór Y

jest liniowo niezależny, wi

ec zbiór {α

, . . . , α

} też jest liniowo nieza-

leżny. Zatem w A każdy łańcuch ma ograniczenie górne, wi

ec z lematu

Kuratowskiego-Zorna istnieje w A element maksymalny X, który jest
szukan

a baz

a przestrzeni V zawieraj

a X

Ponieważ zbiór pusty jest liniowo niezależny, wi

ec z twierdzenia

11.4 mamy natychmiast nast

epuj

ace

Twierdzenie 11.5. Każda przestrzeń liniowa posiada baz

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Twierdzenie 11.6. Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad cia-

łem K. Zbiór X ⊆ V jest baz

a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy

X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz V = lin(X) (tzn. X generuje
V ).

Dowód.

Załóżmy, że X jest baz

a przestrzeni V .

Wówczas X

jest zbiorem liniowo niezależnym. Weźmy dowolne α ∈ V i załóżmy,
że α 6∈ lin(X). Wtedy z twierdzenia 11.3 wynika, że α 6∈ X oraz
zbiór X ∪ {α} jest liniowo niezależny. Zatem X nie jest maksymalnym
zbiorem liniowo niezależnym i mamy sprzeczność.

Na odwrót, załóżmy, że zbiór X jest liniowo niezależny oraz V =

lin(X). Weźmy dowolny liniowo niezależny zbiór Y ⊆ V taki, że X ⊆
Y . Gdyby X 6= Y , to dla pewnego α ∈ Y byłoby, że α 6∈ X i zbiór X ∪
{α} ⊆ Y jest liniowo niezależny. Zatem z twierdzenia 11.3 mielibyśmy,
że α 6∈ lin(X) = V , co prowadzi do sprzeczności. Zatem X = Y i zbiór
X jest baz

a przestrzeni V .

Przykład 11.6. Ponieważ zbiór {1, x, x

, . . .} generuje przestrzeń

R[x] i jest liniowo niezależny, wi

ec na mocy twierdzenia 11.6 jest on

baz

a tej przestrzeni.

Przykład 11.7. Niech K b

edzie dowolnym ciałem i niech n ∈ N.

Wówczas z twierdzenia 11.6 oraz z przykładów 10.1 i 11.3 wynika od
razu, że zbiór {ε

, . . . , ε

} jest baz

a przestrzeni K

. Nazywamy j

a baz

kanoniczn

Z twierdzeń 10.9, 11.2 i 11.6 wynika od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 11.7. Niech α

, . . . , α

a parami różnymi wekto-

rami i niech beta

, . . . , β

a parami różnymi wektorami przestrzeni

liniowej V . Załóżmy, że układ wektorów (β

, . . . , β

) powstaje z układu

(α

, . . . , α

) przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji ele-

mentarnych. Wówczas zbiór {β

, . . . , β

} jest baz

a przestrzeni V wtedy

i tylko wtedy, gdy zbiór {α

, . . . , α

} jest baz

a tej przestrzeni.

Twierdzenie 11.8. Niech α

, . . . , α

a wektorami przestrzeni

liniowej V nad ciałem K.

Wówczas każdy maksymalny (wzgl

edem

liczby elementów) podzbiór liniowo niezależny A ⊆ {α

, . . . , α

} jest

baz

a podprzestrzeni lin(α

, . . . , α

Wykłady z algebry liniowej I

Dowód. Niech A ⊆ {α

, . . . , α

} b

edzie maksymalnym (wzgl

edem

liczby elementów) podzbiorem liniowo niezależnym. Wówczas oczy-
wiście lin(A) ⊆ lin(α

, . . . , α

) = W .

Niech i = 1, . . . , n.

Jeśli

∈ A, to α

∈ lin(A); jeśli zaś α

6∈ A, to z maksymalności A

wynika, że zbiór A ∪ {α

} jest liniowo zależny. Zatem z twierdzenia

11.3 α

∈ lin(A). St

ad {α

, . . . , α

} ⊆ lin(A), czyli W ⊆ lin(A)

i ostatecznie lin(A) = W . Zatem z twierdzenia 11.6 zbiór A jest baz

podprzestrzeni W .

Twierdzenie 11.9. Niech α

, . . . , α

a parami różnymi wekto-

rami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas zbiór {α

, . . . , α

}

jest baz

a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor α ∈ V

można jednoznacznie zapisać w postaci

α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

dla pewnych a

, . . . , a

∈ K.

Dowód. Załóżmy, że zbiór {α

, . . . , α

} jest baz

a przestrzeni V .

Wówczas z twierdzenia 11.6 mamy, że V = lin(α

, . . . , α

) oraz zbiór

{α

, . . . , α

} jest liniowo niezależny. Zatem dla dowolnego α ∈ V ist-

niej

a a

, . . . , a

∈ K takie, że α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

Jeśli

, . . . , b

∈ K s

a takie, że α = b

◦ α

+ . . . + b

◦ α

, to a

◦ α

+ . . . +

◦α

= b

◦α

+. . .+b

◦α

, czyli (a

−b

)◦α

+. . .+(a

−b

)◦α

= Θ,

ec z liniowej niezależności zbioru {α

, . . . , α

} mamy, że a

− b

= 0,

czyli a

= b

dla i = 1, . . . , n.

Na odwrót, jeżeli a

, . . . , a

∈ K s

a takie, że a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ, to a

◦α

+. . .+a

◦α

= 0◦α

+. . .+0◦α

, sk

ad z jednoznaczności

zapisu wektora a

= 0 dla i = 1, . . . , n, czyli zbiór {α

, . . . , α

} jest

liniowo niezależny.

Ponadto z założenia V = lin(α

, . . . , α

), wi

z twierdzenia 11.6 zbiór {α

, . . . , α

} jest baz

a przestrzeni V .

Definicja 11.4. Niech {α

, . . . , α

} b

edzie baz

a przestrzeni linio-

wej V nad ciałem K. Wówczas ci

ag (α

, . . . , α

) nazywamy baz

uporz

adkowan

a przestrzeni V . Niech α ∈ V . Wtedy na mocy twier-

dzenia 11.9 istnieje dokładnie jeden ci

ag (a

, . . . , a

) ∈ K

taki, że

α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

ag (a

, . . . , a

) nazywamy ci

agiem

współrz

ednych wektora α w bazie (α

, . . . , α

), a element a

, dla każ-

dego i = 1, . . . , n, nazywa si

e i-t

a współrz

edn

a wektora α w tej bazie.

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wniosek 11.1. Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad ciałem

K i niech, dla pewnej liczby naturalnej n, (α

, . . . , α

) b

edzie baz

uporz

adkowan

a tej przestrzeni. Przyporz

adkujmy każdemu wektorowi

α ∈ V , ci

ag jego współrz

ednych w bazie (α

, . . . , α

). Otrzymane w ten

sposób odwzorowanie φ jest bijekcj

a zbioru V na zbiór K

. Przy tym

φ(α

) = ε

dla i = 1, . . . , n.

Definicja 11.5. Odwzorowanie φ określone w powyższym wniosku

nazywamy układem współrz

ednych wyznaczonym przez baz

(α

, . . . , α

11.3

Wymiar przestrzeni liniowej

Lemat 11.1. Niech wektory α

, . . . , α

tworz

a baz

e przestrzeni V

i niech α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

, przy czym a

6= 0. Wówczas wektory

, . . . , α

j−1

, α, α

j+1

, . . . , α

(11.1)

też tworz

a baz

e przestrzeni V .

Dowód. Zauważmy, że wektory (11.1) powstaj

a z wektorów α

, . . . ,

przez kolejne wykonanie nast

epuj

acych operacji elementarnych:

·w

, w

·w

, . . . , w

j−1

·w

j−1

, w

j+1

·w

j+1

, . . . , w

·w

. Za-

tem na mocy twierdzenia 11.7, wektory (11.1) tworz

a baz

e przestrzeni

V .

Twierdzenie 11.10 (Steinitza o wymianie). Jeśli wektory

, . . . , α

tworz

a baz

e przestrzeni liniowej V nad ciałem K, a wektory

, . . . , β

a liniowo niezależne, to

(i) s ≤ n oraz
(ii) spośród wektorów α

, . . . , α

można wybrać n − s wektorów,

które ł

acznie z wektorami β

, . . . , β

tworz

a baz

e przestrzeni V .

Dowód. Zastosujemy indukcj

e wzgl

edem s. Dla s = 0 teza jest

oczywista. Załóżmy, że teza zachodzi dla liczb mniejszych od pew-
nej liczby naturalnej s i rozpatrzmy s wektorów liniowo niezależnych

Wykłady z algebry liniowej I

, . . . , β

. Wektory β

, . . . , β

s−1

a liniowo niezależne, a wi

ec z założe-

nia indukcyjnego s − 1 ≤ n i istnieje n − s + 1 = n − (s − 1) wektorów
spośród wektorów α

, . . . , α

, które ł

acznie z β

, . . . , β

s−1

tworz

a baz

przestrzeni V . Dla uproszczenia znakowania przyjmiemy, że tymi wek-
torami s

a α

, . . . , α

n−s+1

Wykażemy najpierw, że s−1 < n. W przeciwnym razie byłoby n =

s − 1 (bo s − 1 ≤ n), a zatem już wektory β

, . . . , β

s−1

tworzyłyby baz

przestrzeni V , a st

ad wynikałoby, że β

∈ lin(β

, . . . , β

s−1

), co na mocy

twierdzenia 11.3 prowadzi do sprzeczności (gdyż wektory β

, . . . , β

liniowo niezależne). Wobec tego s − 1 < n, a st

ad s ≤ n. To dowodzi

(i).

Ponieważ wektory β

, . . . , β

s−1

, α

, . . . , α

n−s+1

tworz

a baz

e przestrzeni

V , wi

ec β

jest ich kombinacj

a liniow

a. Wobec liniowej niezależności

wektorów β

, . . . , β

i twierdzenia 11.3, w kombinacji liniowej przed-

stawiaj

acej β

, co najmniej jeden z wektorów α

, . . . , α

n−s+1

wyst

epuje

ze współczynnikiem różnym od zera. Bez zmniejszania ogólności roz-
ważań możemy przyj

ać, że a

n−s+1

6= 0. Wtedy z lematu 11.1 wektory

, . . . , β

s−1

, α

, . . . , α

n−s

, β

tworz

a baz

e przestrzeni V , czyli wektory

, . . . , β

, α

, . . . , α

n−s

tworz

a baz

e przestrzeni V , co kończy dowód

twierdzenia.

Wniosek 11.2. Jeśli n-elementowy zbiór jest baz

a przestrzeni li-

niowej V nad ciałem K, to każda baza tej przestrzeni składa si

e z do-

kładnie n wektorów.

Dowód. Niech wektory α

, . . . , α

tworz

a baz

e przestrzeni liniowej

V nad ciałem K. Niech X b

edzie inn

a baz

a tej przestrzeni. Gdyby

zbiór X miał wi

ecej niż n elementów, to byłyby one liniowo niezależne

i otrzymalibyśmy sprzeczność z twierdzeniem Steinitza o wymianie.
Zatem |X| ≤ n. Ale wektory α

, . . . , α

a liniowo niezależne i zbiór

skończony X jest baz

a przestrzeni V , wi

ec znowu z twierdzenia Ste-

initza o wymianie n ≤ |X|, czyli ostatecznie |X| = n.

Definicja 11.6. Liczb

e elementów dowolnej skończonej bazy prze-

strzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy wymiarem przestrzeni V
i oznaczamy przez dim

V lub dim V , jeśli wiadomo nad jakim ciałem

rozpatrujemy przestrzeń V .

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

W ten sposób wymiar jest określony dla wszystkich takich prze-

strzeni, które maj

a skończon

a baz

e. Jeśli dana przestrzeń liniowa V

nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jej wymiar jest nieskończony
i piszemy dim V = ∞. Można udowodnić, że wszystkie bazy dowolnej
przestrzeni liniowej V maj

a t

e sam

a moc. Wobec tego można okre-

ślić wymiar dowolnej przestrzeni liniowej V jako moc dowolnej bazy
przestrzeni V .

Przykład 11.8. Ponieważ dla dowolnego ciała K przestrzeń K

posiada baz

e n-elementow

a (np. baz

e kanoniczn

a), wi

ec dim

= n.

Przykład 11.9. Ponieważ dla dowolnego ciała K zbiór {1} jest

baz

a przestrzeni liniowej K

, wi

ec dim

K = 1.

W szczególności

dim

C = 1 oraz dim

C = 2, gdyż zbiór {1, i} jest baz

a przestrzeni

Przykład 11.10. Ponieważ zbiór pusty jest baz

a przestrzeni ze-

rowej {Θ}, wi

ec dim{Θ} = 0.

Przykład 11.11.

Ponieważ zbiór {1, x, x

, . . .} jest baz

a prze-

strzeni R[x], wi

ec dim R[x] = ∞.

Przykład 11.12. Dla dowolnego ciała K w przestrzeni liniowej

∞

wektory

= [1, 0, 0, . . .],

= [0, 1, 0, . . .], . . . s

a liniowo niezależne.

Zatem z twierdzenia Steinitza o wymianie dim K

∞

= ∞.

Twierdzenie 11.11. Jeśli przestrzeń liniowa V ma wymiar n, to

każda jej podprzestrzeń W ma wymiar nie wi

ekszy niż n.

Dowód. Niech X b

edzie baz

a podprzestrzeni W . Wtedy zbiór X

jest liniowo niezależny, wi

ec na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie

|X| ≤ n.

Twierdzenie 11.12. Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni

liniowej V wymiaru skończonego równoważne s

a warunki:

(i) dim W = dim V , (ii) W = V .
Dowód. (ii)⇒(i). Oczywiste. (i)⇒(ii). Oznaczmy n = dim V .

Wtedy istnieje baza {α

, . . . , α

} przestrzeni V . Ale dim W = n, wi

istnieje baza {β

, . . . , β

} podprzestrzeni W . Zatem wektory β

, . . . , β

Wykłady z algebry liniowej I

a liniowo niezależne i na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie można

je uzupełnić do bazy przestrzeni V , n − n = 0 wektorami wybranymi
spośród wektorów α

, . . . , α

. Zatem wektory β

, . . . , β

tworz

a baz

przestrzeni V , sk

ad V = lin(β

, . . . , β

) = W .

Z twierdzenia 11.8 wynika od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 11.13. Niech α

, . . . , α

a wektorami przestrzeni

liniowej V . Wówczas dim lin(α

, . . . , α

) ≤ n. Ponadto

dim lin(α

, . . . , α

) = n wtedy i tylko wtedy, gdy wektory α

, . . . , α

liniowo niezależne.

Twierdzenie 11.14. Niech α

, . . . , α

a wektorami przestrzeni

liniowej V wymiaru n. Wówczas równoważne s

a warunki:

(i) zbiór {α

, . . . , α

} jest baz

a przestrzeni V ,

(ii) zbiór {α

, . . . , α

} jest liniowo niezależny,

(iii) zbiór {α

, . . . , α

} generuje przestrzeń V .

Dowód. (i)⇒(ii). Oczywiste. (ii)⇒(iii). Wynika od razu z twier-

dzenia Steinitza o wymianie. (iii)⇒(i). Z założenia wynika, że V =
lin(α

, . . . , α

). Zatem dim lin(α

, . . . , α

) = n i na mocy twierdzenia

11.13 zbiór {α

, . . . , α

} jest liniowo niezależny. Zatem ostatecznie ten

zbiór jest baz

a przestrzeni V .

Twierdzenie 11.15. Niech V

i V

a skończenie wymiarowymi

podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wówczas pod-
przestrzenie V

∩ V

i V

+ V

a również skończenie wymiarowe i za-

chodzi wzór:

dim(V

+ V

) = dim V

+ dim V

− dim(V

∩ V

(11.2)

Dowód. Ponieważ V

∩V

jest podprzestrzeni

a przestrzeni skończe-

nie wymiarowej V

, wi

ec z twierdzenia 11.11 przestrzeń V

∩V

jest skoń-

czenie wymiarowa. Niech {α

, . . . , α

} b

edzie baz

a przestrzeni V

∩ V

Wtedy z twierdzenia Steinitza o wymianie ten zbiór można uzupełnić
do bazy {α

, . . . , α

, β

, . . . , β

} przestrzeni V

i można go też uzupeł-

nić do bazy {α

, . . . , α

, γ

, . . . , γ

} przestrzeni V

. Wtedy

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

dim(V

∩V

) = k, dim V

= k +s i dim V

= k +r, wi

ec pozostaje wyka-

zać, że dim(V

) = k+s+r. Ale V

= lin(α

, . . . , α

, β

, . . . , β

)

+lin(α

, . . . , α

, γ

, . . . , γ

) = lin(α

, . . . , α

, β

, . . . , β

, γ

, . . . , γ

), wi

wystarczy wykazać, że wektory α

, . . . , α

, β

, . . . , β

, γ

, . . . , γ

a li-

niowo niezależne. W tym celu weźmy dowolne skalary a

, . . . , a

, b

. . . , b

, c

, . . . , c

∈ K takie, że

◦ α

+ . . . + a

◦ α

+ b

◦ β

+ . . . + b

◦ β

+ c

◦ γ

+ . . . + c

◦ γ

= Θ.

Oznaczmy: α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

, β = b

◦ β

+ . . . + b

◦ β

γ = c

◦ γ

+ . . . + c

◦ γ

. Wtedy γ = −(α + β) ∈ V

∩ V

. Za-

tem istniej

a d

, . . . , d

∈ K takie, że γ = d

◦ α

+ . . . + d

◦ α

ad c

◦ γ

+ . . . + c

◦ γ

+ (−d

) ◦ α

+ . . . + (−d

) ◦ α

= Θ. Za-

tem z liniowej niezależności wektorów α

, . . . , α

, γ

, . . . , γ

mamy, że

= . . . = c

= −d

= . . . = −d

= 0, czyli γ = Θ oraz Θ = α + γ.

Zatem z liniowej niezależności wektorów α

, . . . , α

, β

, . . . , β

otrzy-

mamy, że a

= . . . = a

= b

= . . . = b

= 0 i ostatecznie wektory

, . . . , α

, β

, . . . , β

, γ

, . . . , γ

a liniowo niezależne.

Wniosek 11.3. Niech V

, V

a podprzestrzeniami przestrzeni

liniowej V wymiaru n. Wtedy dim(V

∩ V

) ≥ dim V

+ dim V

− n.

Dowód. Ponieważ dim(V

+ V

) ≤ n, wi

ec z twierdzenia 11.15

uzyskujemy, że dim V

+ dim V

− dim(V

∩ V

) ≤ n, sk

ad mamy tez

Rozdział 12

Izomorfizmy. Sumy proste.
Hiperpłaszczyzny

12.1

Izomorfizmy przestrzeni liniowych

Definicja 12.1. Niech V i W b

a przestrzeniami liniowymi nad

ciałem K. Powiemy, że przestrzenie V i W s

a izomorficzne i piszemy

V ∼

= W , jeżeli istnieje bijekcja f : V −→ W spełniaj

aca warunki:

(1) ∀

α,β∈V

f (α + β) = f (α) + f (β) i (2) ∀

a∈K

∀

α∈V

f (a ◦ α) = a ◦ f (α).

Takie przekształcenia f nazywamy izomorfizmami liniowymi.

Twierdzenie 12.1. Niech V i W b

a przestrzeniami liniowymi

wymiaru n nad ciałem K. Wtedy V ∼

= W . Jeśli wektory α

, . . . , α

tworz

a baz

e przestrzeni V , zaś wektory β

, . . . , β

tworz

a baz

e prze-

strzeni W , to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm f : V −→ W ,
że f (α

) = β

dla i = 1, . . . , n. W szczególności każda n-wymiarowa

przestrzeń liniowa nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzeni

a K

Dowód. Z założenia oraz z twierdzenia 11.9 wynika, że f : V → W

dane wzorem

f (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) = a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

dla a

, . . . , a

∈ K

(12.1)

jest dobrze określon

a bijekcj

a oraz f (α

) = β

dla i = 1, . . . , n.

Ponadto dla dowolnych a, a

, . . . , a

, b

, . . . , b

∈ K oraz dla

Izomorfizmy, sumy proste, hiperpłaszczyzny

α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

i β = b

◦ α

+ . . . + b

◦ α

mamy, że

α + β = (a

+ b

) ◦ α

+ . . . + (a

+ b

) ◦ α

, a ◦ α = (aa

) ◦ α

. . . + (aa

) ◦ α

, wi

ec f (α + β) = (a

+ b

) ◦ β

+ . . . + (a

+ b

) ◦ β

◦ β

+ . . . + a

◦ β

] + [b

◦ β

+ . . . + b

◦ β

] = f (α) + f (β)

oraz f (a ◦ α) = (aa

) ◦ β

+ . . . + (aa

) ◦ β

= a ◦ (a

◦ β

+ . . . +

◦ β

) = a ◦ f (α). Zatem f jest izomorfizmem liniowym takim, że

f (α

) = β

dla i = 1, . . . , n. W szczególności mamy st

ad, że V ∼

= W

oraz V ∼

= K

. Niech teraz g : V −→ W b

edzie izomorfizmem liniowym

takim, że g(α

) = β

dla i = 1, . . . , n. Wtedy przez prost

a indukcj

wzgl

edem k można wykazać, że g(γ

+ . . . + γ

) = g(γ

) + . . . + g(γ

)

dla dowolnych γ

, . . . , γ

∈ V . Zatem dla dowolnych a

, . . . , a

∈ K

mamy, że g(a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) = g(a

◦ α

) + . . . + g(a

◦ α

) =

◦ g(α

) + . . . + a

◦ g(α

) = a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

, czyli g = f .

Wniosek 12.1. Jeśli α, β s

a niezerowymi wektorami przestrzeni li-

niowej V o skończonym wymiarze, to istnieje izomorfizm f przestrzeni
V na siebie taki, że f (α) = β.

Dowód. Ponieważ α 6= Θ i β 6= Θ, wi

ec zbiory {α} i {β} s

a li-

niowo niezależne. Z twierdzenia Steinitza o wymianie wynika zatem, że
można te zbiory uzupełnić do baz {α, α

, . . . , α

n−1

}, {β, β

, . . . , β

n−1

}

przestrzeni V . Wtedy z twierdzenia 12.1 wynika istnienie ż

adanego

izomorfizmu f .

Niech f : V −→ W b

edzie izomorfizmem liniowym. Wtedy z (12.1)

mamy, że f (Θ) = f (0 ◦ Θ) = 0 ◦ f (Θ) = Θ. Zatem

f (Θ) = Θ.

ad dla α ∈ V mamy, że f (α) + f (−α) = f (α + (−α)) = f (Θ) = Θ,

czyli

f (−α) = −f (α) dla każdego α ∈ V .

Zatem izomorfizm liniowy zachowuje działania dodawania wektorów,
mnożenia przez skalary, branie wektora przeciwnego i wektor zerowy.
St

ad izomorfizm liniowy zachowuje wszystkie własności algebraiczne

100

Wykłady z algebry liniowej I

(poj

ecie własności algebraicznej rozumiemy tutaj w intuicyjnym sen-

sie) przestrzeni liniowych i układów wektorów. Uwaga ta może po-
służyć do wprowadzenia ścisłej definicji własności algebraicznej prze-
strzeni liniowych jako własności zachowywanej przez wszystkie izomor-
fizmy liniowe. Można wykazać, że dla izomorfizmu liniowego f :

(I) jeśli podzbiór X ⊆ V jest liniowo niezależny (zależny lub jest

baz

a), to f (X) jest liniowo niezależny (odpowiednio zależny, jest baz

a),

(II) jeśli β, α

, . . . , α

∈ V i β jest kombinacj

a liniow

a wektorów

, . . . , α

, to f (β) jest kombinacj

a liniow

a wektorów f (α

), . . . , f (α

(III) jeśli dim V = n, to dim W = n.
W algebrze liniowej utożsamia si

e izomorficzne przestrzenie liniowe.

12.2

Suma prosta podprzestrzeni

Twierdzenie 12.2. Niech n ≥ 2 b

edzie liczb

a naturaln

a i niech

, . . . , V

a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Nast

epuj

ace

warunki s

a równoważne:

(i) V

∩ (V

+ . . . + V

i−1

+ V

i+1

+ . . . + V

) = {Θ} dla i = 1, . . . , n;

(ii) jeśli α

+ . . . + α

= Θ, gdzie α

∈ V

dla i = 1, . . . , n, to

= . . . = α

= Θ.

Dowód. (i)⇒(ii). Weźmy dowolne α

∈ V

dla i = 1, . . . , n takie,

że α

+ . . . + α

= Θ. Wtedy dla i = 1, . . . , n: α

= (−α

) + . . . +

(−α

i−1

)+(−α

i+1

)+. . .+(−α

) ∈ V

∩(V

+. . .+V

i−1

i+1

+. . .+V

) =

{Θ}, czyli α

= Θ dla i = 1, . . . , n.

(ii)⇒(i). Weźmy dowolne i = 1, . . . , n i niech

α ∈ V

∩ (V

+ . . . + V

i−1

+ V

i+1

+ . . . + V

). Wtedy istniej

a α

∈ V

dla

k = 1, . . . , i−1, i+1, . . . , n takie, że α = α

+. . .+α

i−1

+α

i+1

+. . .+α

ad α

+ . . . + α

i−1

+ (−α) + α

i+1

+ . . . + α

= Θ. Zatem α

. . . = α

i−1

= −α = α

i+1

= . . . = α

= Θ, sk

ad α = Θ. Zatem

∩ (V

+ . . . + V

i−1

+ V

i+1

+ . . . + V

) = {Θ}.

Definicja 12.2. Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest sum

a prost

swoich podprzestrzeni V

, . . . , V

, gdy V = V

+ . . . + V

oraz spełniony

jest którykolwiek warunek (a wi

ec oba warunki) powyższego twierdze-

nia. Piszemy wtedy V = V

⊕ . . . ⊕ V

. Jeśli V = V

⊕ V

, to mó-

Izomorfizmy, sumy proste, hiperpłaszczyzny

101

wimy, że podprzestrzeń V

jest dopełnieniem liniowym podprzestrzeni

(w przestrzeni V ).

Twierdzenie 12.3. Dla dowolnej podprzestrzeni V

przestrzeni

liniowej V istnieje podprzestrzeń W ⊆ V taka, że V = V

⊕ W .

Dowód. Z twierdzenia 11.5 podprzestrzeń V

posiada baz

e X.

Zatem z twierdzenia 11.4 istnieje podzbiór Y ⊆ V rozł

aczny z X i taki,

że zbiór X ∪ Y jest baz

a przestrzeni V . Ponadto V

= lin(X) oraz

V = lin(X ∪ Y ). Niech W = lin(Y ). Wtedy z twierdzenia 10.5 mamy,
że lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ), czyli V = V

+ W . Niech α ∈ V

∩ W .

Wtedy istniej

a α

, . . . , α

∈ X, β

, . . . , β

∈ Y , a

, . . . , a

, b

, . . . , b

∈

K takie, że α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

= b

◦ β

+ . . . + b

◦ β

, sk

◦ α

+ . . . + a

◦ α

+ (−b

) ◦ β

+ . . . + (−b

) ◦ β

= Θ. Zatem z

liniowej niezależności zbioru X ∪ Y mamy, że a

= . . . = a

= −b

. . . = −b

= 0, czyli α = Θ i V

∩ W = {Θ}. Zatem V = V

⊕ W .

12.3

Hiperpłaszczyzny liniowe

Definicja 12.3.

Niech V b

edzie n-wymiarow

a przestrzeni

a li-

niow

a. Hiperpłaszczyzn

a liniow

a przestrzeni V nazywamy każd

a pod-

przestrzeń przestrzeni V o wymiarze n − 1.

Twierdzenie 12.4. Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad cia-

łem K wymiaru n i niech V

edzie podprzestrzeni

a wymiaru k. Wów-

czas V

jest cz

eści

a wspóln

a n−k hiperpłaszczyzn liniowych przestrzeni

V .

Dowód. Niech {α

, . . . , α

} b

edzie baz

a podprzestrzeni V

. Z twier-

dzenia Steinitza o wymianie możemy j

a uzupełnić do bazy {α

, . . . , α

k+1

, . . . , α

} przestrzeni V . Niech W

= lin(α

, . . . , α

k+i−1

k+i+1

, . . . , α

) dla i = 1, . . . , n − k. Wówczas W

, . . . , W

n−k

a hiper-

płaszczyznami zawieraj

acymi V

, sk

ad V

⊆ W

∩ . . . ∩ W

n−k

. Niech

α ∈ W

∩ . . . ∩ W

n−k

. Wtedy istniej

a a

, . . . , a

∈ K takie, że α =

◦ α

+ . . . + a

◦ α

. Dla liczb naturalnych i ≤ n − k mamy, że

α ∈ W

, wi

ec wektor α można przedstawić w postaci α = a

◦ α

. . . + a

i k+i−1

◦ α

k+i−1

+ a

i k+i+1

◦ α

k+i+1

+ . . . + a

◦ α

. Z jednoznaczno-

102

Wykłady z algebry liniowej I

ści przedstawienia wektora α w postaci kombinacji liniowej wektorów
bazy (α

, . . . , α

) wynika, że a

k+i

= 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n − k.

Wobec tego α = a

◦α

+. . .+a

◦α

∈ V

. Zatem W

∩. . .∩W

n−k

⊆ V

i ostatecznie V

= W

∩ . . . ∩ W

n−k

Twierdzenie 12.5. Niech l b

edzie liczb

a naturaln

a. Niech V

, . . . ,

a hiperpłaszczyznami n-wymiarowej przestrzeni liniowej V . Wów-

czas dim(V

∩ . . . ∩ V

) ≥ n − l.

Dowód. Dla l = 1 teza jest oczywiście prawdziwa. Załóżmy, że

teza zachodzi dla pewnego naturalnego l = k i niech V

, . . . , V

k+1

hiperpłaszczyznami przestrzeni V . Z założenia indukcyjnego wynika,
że dim(V

∩ . . . ∩ V

) ≥ n − k, a z wniosku 11.3 otrzymujemy

dim(V

∩ . . . ∩ V

∩ V

k+1

) ≥ dim(V

∩ . . . ∩ V

) + n − 1 − n. Zatem

dim(V

∩ . . . ∩ V

∩ V

k+1

) ≥ n − k + n − 1 − n = n − (k + 1). Z zasady

indukcji wynika zatem, że nasze twierdzenie jest prawdziwe dla każdej
liczby naturalnej l.

Z twierdzeń 12.4 i 12.5 wynika od razu nast

epuj

acy

Wniosek 12.2. Każda k-wymiarowa podprzestrzeń W n-wymiarowej

przestrzeni liniowej V daje si

e przedstawić jako przeci

ecie n − k, ale

nie mniejszej liczby hiperpłaszczyzn liniowych.

12.4

Podprzestrzenie przestrzeni
współrz

ednych

Twierdzenie 12.6. Podprzestrzeń W przestrzeni K

wyznaczona

przez równanie a

+. . .+a

= 0, gdzie a

, . . . , a

∈ K i co najmniej

jeden ze współczynników a

, . . . , a

jest różny od zera, jest hiperpłasz-

czyzn

a liniow

Dowód.

Załóżmy, że współczynnik a

6= 0 dla pewnego i =

1, . . . , n. Podprzestrzeń W jest różna od K

, gdyż wektor ε

nie jest

rozwi

azaniem rozpatrywanego równania, a st

ad dim W ≤ n−1. Dla do-

wodu równości dim W = n−1 wystarczy wi

ec wskazać n−1 liniowo nie-

zależnych rozwi

azań równania a

+ . . . + a

= 0. Łatwo sprawdzić,

Izomorfizmy, sumy proste, hiperpłaszczyzny

103

że wektory ε

−

◦ ε

, . . . , ε

i−1

−

i−1

◦ ε

, ε

i+1

−

i+1

◦ ε

, . . . , ε

−

◦ ε

czyni

a zadość temu ż

adaniu.

Z twierdzeń 12.5 i 12.6 wynika od razu nast

epuj

acy

Wniosek 12.3. Podprzestrzeń przestrzeni K

wyznaczona przez

układ m równań jednorodnych liniowych ma wymiar nie mniejszy niż
n − m.

Twierdzenie 12.7. Każda hiperpłaszczyzna liniowa W przestrzeni

liniowej K

jest wyznaczona przez pewne równanie a

+ . . . + a

0, gdzie a

, . . . , a

∈ K.

Dowód. Niech wektory α

= [a

, . . . , a

] dla i = 1, . . . , n − 1

tworz

a baz

e hiperpłaszczyzny W i niech V b

edzie podprzestrzeni

a opi-

san

a przez układ równań











+ . . . +

= 0

+ . . . +

= 0

. .. ...

n−1 1

+ . . . + a

n−1 n

= 0

(12.2)

Z wniosku 12.3 wynika, że dim V ≥ n − (n − 1) = 1, a wi

ec podprze-

strzeń V zawiera niezerowy wektor. Niech [b

, . . . , b

] b

edzie nieze-

rowym wektorem podprzestrzeni V . Przestrzeń V

wyznaczona przez

równanie b

+ . . . + b

= 0 jest na mocy twierdzenia 12.6 hiper-

płaszczyzn

a liniow

a. Ponadto z określenia wektora [b

, . . . , b

] wynika,

że wektory α

dla j = 1, . . . , n − 1 należ

a do hiperpłaszczyzny V

, a za-

tem W = lin(α

, . . . , α

n−1

) ⊆ V

. Ponieważ dim W = dim V

= n − 1,

ec z twierdzenia 11.12, W = V

Z twierdzenia 12.7 i z wniosku 12.2 mamy natychmiast nast

epuj

acy

Wniosek 12.4. Każda k-wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni li-

niowej K

jest wyznaczona przez układ złożony z n − k, ale nie mniej,

równań liniowych jednorodnych.

Rozdział 13

ad macierzy

13.1

Określenie rz

edu macierzy

Niech A b

edzie m×n - macierz

a nad ciałem K. Wówczas wiersze macie-

rzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
K

, zaś kolumny macierzy A możemy traktować jako wektory prze-

strzeni K

. Rz

edem wierszowym macierzy A nazywamy maksymaln

ilość jej liniowo niezależnych wierszy. Natomiast rz

edem kolumnowym

macierzy A nazywamy maksymaln

a ilość jej liniowo niezależnych ko-

lumn. Rz

ad wierszowy i rz

ad kolumnowy macierzy A oznaczamy od-

powiednio symbolami: r

(A) i r

(A).

Z tego określenia wynika od razu, że dla dowolnej macierzy A:

(A) = r

) oraz r

(A) = r

(13.1)

Ponadto z określenia rz

edu macierzy mamy natychmiast, że

m×n

) = r

m×n

) = 0.

(13.2)

Z twierdzenia 11.8 wynika od razu, że rz

ad wierszowy macierzy

A jest równy wymiarowi podprzestrzeni generowanej przez
jej wektory wierszowe, zaś rz

ad kolumnowy macierzy A jest

równy wymiarowi podprzestrzeni generowanej przez wektory
kolumnowe macierzy A.

104

ad macierzy

105

Ponadto z własności operacji elementarnych rz

ad wierszowy ma-

cierzy A nie zmienia si

e przy stosowaniu operacji elementar-

nych na wierszach tej macierzy oraz rz

ad kolumnowy macie-

rzy A nie zmienia si

e przy stosowaniu operacji elementarnych

na kolumnach tej macierzy.

Lemat 13.1. Jeżeli do pewnego wiersza macierzy dodamy inny jej

wiersz pomnożony przez dowolny skalar, to rz

ad kolumnowy tej macie-

rzy nie ulegnie zmianie.

Dowód. Niech A = [a

] b

edzie m × n-macierz

a nad ciałem K.

Dla uproszczenia znakowania założymy, że do pierwszego wiersza ma-
cierzy A dodano drugi jej wiersz pomnożony przez skalar a ∈ K
i oznaczmy przez B = [b

] macierz uzyskan

a w wyniku tej opera-

cji. Niech r = r

(A). Oznacza to, że pewne r-kolumn macierzy A s

liniowo niezależne. Dla uproszczenia znakowania załóżmy, że pierwsze
r-kolumny macierzy A s

a liniowo niezależne. Udowodnimy, że wówczas

pierwsze r-kolumny macierzy B też s

a liniowo niezależne. Niech A

oraz B

oznaczaj

a j-t

a kolumn

e macierzy A i B odpowiednio. Weźmy

dowolne x

, . . . , x

∈ K takie, że x

◦ B

+ . . . + x

◦ B

= Θ. Wtedy

◦








+ aa








+ . . . + x

◦








+ aa








= 0

m×1











+ aa

+ . . . + (a

+ aa

= 0

+ . . . +

= 0

. .. ...

+ . . . +

= 0

ad po odj

eciu od pierwszej równości równości drugiej pomnożonej

przez a uzyskamy, że x

◦ A

+ . . . + x

◦ A

= Θ. Zatem z liniowej nie-

zależności kolumn A

, . . . , A

wynika, że x

= . . . = x

= 0 i kolumny

, . . . , B

a liniowo niezależne. Zatem r

(B) ≥ r

(A). Ale macierz

106

Wykłady z algebry liniowej I

A powstaje z macierzy B przez dodanie do pierwszego wiersza dru-
giego wiersza pomnożonego przez skalar (−a), wi

ec z pierwszej cz

eści

dowodu r

(A) ≥ r

(B) i ostatecznie r

(A) = r

(B).

Z (13.1) i z lematu 13.1 wynika od razu, że prawdziwy jest też

nast

epuj

acy

Lemat 13.2. Jeżeli do pewnej kolumny macierzy dodamy inn

jej kolumn

e pomnożon

a przez dowolny skalar, to rz

ad wierszowy tej

macierzy nie ulegnie zmianie.

Lemat 13.3. Niech m, n ≥ 2 i niech A = [a

] b

edzie m × n-

macierz

a nad ciałem K tak

a, że dla pewnych s, t jest a

6= 0 oraz

= 0 dla wszystkich i 6= s i a

= 0 dla wszystkich j 6= t. Wówczas

oraz r

(A) = 1 + r

) oraz r

(A) = 1 + r

Dowód. Niech r = r

). Istniej

a wówczas kolumny B

, . . . , B

macierzy A

, które s

a liniowo niezależne i takie, że każda kolumna

macierzy A

jest ich kombinacj

a liniow

a. Oznaczmy przez A

kolumn

macierzy A powstaj

a przez dopisanie 0 w s-tym wierszu macierzy B

dla j = 1, . . . , r. Niech A

r+1

oznacza t-t

a kolumn

e macierzy A. Weźmy

dowolne x

, . . . , x

r+1

∈ K takie, że x

◦ A

+ . . . + x

r+1

◦ A

r+1

= Θ.

Wtedy x

r+1

= 0, sk

ad x

r+1

= 0 oraz x

◦ B

+ . . . + x

◦ B

= Θ.

Zatem z liniowej niezależności B

, . . . , B

jest x

= . . . = x

= 0. St

kolumny A

, . . . , A

r+1

a liniowo niezależne. Niech X b

edzie dowoln

kolumn

a macierzy A o numerze różnym od t. Niech Y b

edzie kolumn

macierzy A

powstaj

a z X przez wykreślenie s-tego wiersza (który

składa si

e z jednego zera!). Wtedy istniej

a a

, . . . , a

∈ K takie, że

Y = a

◦ B

+ . . . + a

◦ B

, sk

ad X = a

◦ A

+ . . . + a

◦ A

. Wynika

ad, że wszystkie kolumny macierzy A s

a kombinacjami liniowymi

kolumn A

, . . . , A

, A

r+1

. Oznacza to, że r

(A) = r + 1 = 1 + r

Dowód drugiej cz

eści lematu wynika natychmiast z (13.1) i z pierw-

szej jego cz

eści.

Twierdzenie 13.1. Rz

ad kolumnowy dowolnej macierzy równy

jest jej rz

edowi wierszowemu.

Dowód. Indukcja wzgl

edem liczby m wierszy macierzy. Jeżeli

m = 1, to A = [a

. . .

] dla pewnych skalarów a

, . . . , a

ad macierzy

107

Jeżeli a

= . . . = a

= 0, to r

(A) = 0 = r

(A). Jeżeli zaś a

6= 0 dla

pewnego j = 1, . . . , n, to r

(A) = 1 = r

(A). Zatem teza zachodzi dla

m = 1.

Niech teraz m b

edzie liczb

a naturaln

a wi

eksz

a od 1 i tak

a, że teza

zachodzi dla wszystkich macierzy nad ciałem K, które maj

a mniej niż

m wierszy. Weźmy dowoln

a m × n-macierz A = [a

] nad ciałem K.

Jeśli A = 0

m×n

, to r

(A) = 0 = r

(A). Niech zatem A 6= 0

m×n

. Wtedy

istniej

a k, l takie, że a

6= 0. Jeśli n = 1, to r

(A) = r

), wi

ec z za-

łożenia indukcyjnego r

) = r

(A), czyli r

(A) = r

(A).

Niech dalej n > 1. Niech B = [b

] b

edzie macierz

a powstaj

a z macie-

rzy A przez wykonanie operacji elementarnych: w

−

·w

dla wszyst-

kich i 6= k. Wtedy r

(B) = r

(A) oraz z lematu 13.1, r

(B) = r

(A).

Niech dalej C b

edzie macierz

a powstaj

a z macierzy B przez wyko-

nanie operacji elementarnych: k

−

· k

dla wszystkich j 6= l. Wtedy

(B) oraz z lematu 13.2, r

(B). Ale z lematu 13.3

mamy, że r

) oraz r

). Z założenia

indukcyjnego r

) = r

). Zatem r

(A) = 1 + r

) = r

(A).

13.2

Metody obliczania rz

edu macierzy

Wspóln

a wartość rz

edu kolumnowego i wierszowego macierzy A nazy-

wamy rz

edem macierzy A i oznaczamy przez r(A). Z twierdzenia 13.1

oraz z pocz

atkowej cz

eści tego rozdziału mamy od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 13.2. Operacje elementarne wykonywane na wier-

szach lub kolumnach macierzy nie zmieniaj

a jej rz

edu.

Z twierdzenia 13.1 oraz ze wzoru (13.1) wynika od razu nast

epuj

ace

Twierdzenie 13.3. Dla dowolnej macierzy A: r(A) = r(A

Twierdzenie 13.4. Niech A = [a

] b

edzie tak

a m × n-macierz

nad ciałem K, że a

6= 0 dla pewnych k, l oraz a

= 0 dla wszystkich

108

Wykłady z algebry liniowej I

i 6= k. Wtedy r(A) = 1 + r(A

Dowód.

Oznaczmy przez B macierz powstaj

a z macierzy A

przez wykonanie operacji elementarnych: k

−

· k

dla wszystkich

j 6= l. Wtedy B

= A

oraz na mocy twierdzenia 13.2, r(A) = r(B).

Ponadto z twierdzenia 13.1 i z lematu 13.3, r(B) = 1 + r(B

). Zatem

r(A) = 1 + r(A

Twierdzenie 13.5. Niech A = [a

] b

edzie macierz

a kwadratow

stopnia n nad ciałem K. Wówczas równoważne s

a warunki:

(i) r(A) = n,

(ii) det(A) 6= 0.

Dowód. (i)⇒(ii). Ponieważ wszystkie kolumny A

, . . . , A

macie-

rzy A s

a liniowo niezależne i jest ich n, wi

ec tworz

a one baz

e prze-

strzeni K

. Wynika st

ad, że dla każdego i = 1, . . . , n istniej

a ska-

lary x

, . . . , x

∈ K takie, że x

◦ A

+ . . . + x

◦ A

= ε

. Niech

X = [x

]

i,j=1,...,n

. Wtedy A · X = I

, sk

ad z twierdzenia Cauchy’ego

det(A) 6= 0.

(ii)⇒(i). Ponieważ det(A) 6= 0, wi

ec istnieje macierz X = [x

] ∈

(K) taka, że A · X = I

. Wtedy dla każdego i = 1, . . . , n mamy,

że ε

= x

◦ A

+ . . . + x

◦ A

, wi

ec kolumny macierzy A generuj

przestrzeń K

. St

ad na mocy twierdzenia 11.14 te kolumny s

a liniowo

niezależne, czyli r(A) = n.

Definicja 13.1. Niech A b

edzie m×n-macierz

a nad ciałem K oraz

niech k b

edzie liczb

a naturaln

a tak

a, że k ≤ min{m, n}. Minorem

stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej
stopnia k, która powstaje z macierzy A przez wykreślenie m−k wierszy
oraz n − k kolumn.

Twierdzenie 13.6. Rz

ad niezerowej macierzy jest równy maksy-

malnemu stopniowi jej niezerowego minora.

Dowód. Niech A b

edzie niezerow

a m × n-macierz

a nad ciałem K.

Oznaczmy przez k maksymalny stopień niezerowego minora macierzy
A oraz przez r rz

ad tej macierzy. Wtedy pewne r wierszy macierzy

A jest liniowo niezależnych. Wykreślaj

ac pozostałe wiersze uzyskamy

k × n-macierz B o rz

edzie r. Zatem z twierdzenia 13.1 pewne r kolumn

ad macierzy

109

macierzy B s

a liniowo niezależne. Wykreślaj

ac w macierzy B pozostałe

kolumny uzyskamy macierz kwadratow

a C stopnia r o rz

edzie r. Zatem

z twierdzenia 13.4, det(C) 6= 0. Ale det(C) jest minorem stopnia r
macierzy A, wi

ec r ≤ k.

Niech teraz D b

edzie macierz

a kwadratow

a stopnia k powstaj

a z

macierzy A przez wykreślenie pewnych m − k wierszy i n − k kolumn
tak

a, że det(D) 6= 0. Wtedy z twierdzenia 13.4 mamy, że r(D) = k.

Niech X b

edzie macierz

a powstaj

a z macierzy A przez wykreśle-

nie tych samych wierszy, co dla macierzy D. Wtedy r(X) ≤ k oraz
wszystkie kolumny macierzy D s

a liniowo niezależne, wi

ec r(X) ≥ k

i ostatecznie r(X) = k. St

ad z definicji rz

edu wierszowego macierzy

k ≤ r i ostatecznie r = k.

13.3

Twierdzenie Kroneckera-Capellie’go

Niech dany b

edzie teraz dowolny układ m-równań liniowych z n-

niewiadomymi x

, . . . , x

nad ciałem K:











. . . +

= b

. . . +

= b

. ..

+ a

+ . . . + a

= b

(13.3)

Macierz

a współczynników układu (13.3) nazywamy macierz:

A =








. . .

. ..

. . . a








(13.4)

zaś macierz

a uzupełnion

a układu (13.3) nazywamy macierz:








. . .

. ..

. . . a








(13.5)

110

Wykłady z algebry liniowej I

Twierdzenie 13.7 (Kroneckera-Capellie’go). Układ (13.3) ma

rozwi

azanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(A

). Ponadto układ

(13.3) ma dokładnie jedno rozwi

azanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) =

r(A

) = n.

Dowód.

Oznaczmy przez α

j-t

a kolumn

e macierzy A i niech

β = [b

, . . . , b

]. Układ (13.3) można wtedy zapisać jako równanie

wektorowe:

◦ α

+ . . . + x

◦ α

= β.

(13.6)

Jeżeli (a

, . . . , a

) jest rozwi

azaniem układu (13.3), to a

◦ α

+ . . . +

◦α

= β, sk

ad na mocy twierdzenia 10.4 i twierdzenia 10.6 mamy, że

lin(α

, . . . , α

, β) = lin(α

, . . . , α

), czyli r(A

) = r(A). Na odwrót,

załóżmy, że r(A

) = r(A). Wtedy

dim lin(α

, . . . , α

) = dim lin(α

, . . . , α

, β),

ec z twierdzenia 11.12 mamy, że lin(α

, . . . , α

, β) = lin(α

, . . . , α

ad β ∈ lin(α

, . . . , α

), czyli istniej

a a

, . . . , a

∈ K takie, że β =

◦ α

+ . . . + a

◦ α

i wówczas (a

, . . . , a

) jest rozwi

azaniem układu

(13.3).

Pozostaje udowodnić drug

a cz

eść twierdzenia. Załóżmy najpierw,

że r(A

) = r(A) = n. Wówczas kolumny α

, . . . , α

a liniowo nie-

zależne, wi

ec tworz

a baz

e podprzestrzeni lin(α

, . . . , α

). Ale wtedy

dim lin(α

, . . . , α

) = dim lin(α

, . . . , α

, β), sk

ad lin(α

, . . . , α

) =

lin(α

, . . . , α

, β), czyli β ∈ lin(α

, . . . , α

). Zatem z twierdzenia 11.9

istnieje dokładnie jeden ci

ag (a

, . . . , a

) ∈ K

taki, że β = a

◦ α

. . . + a

◦ α

, wi

ec układ (13.3) ma dokładnie jedno rozwi

azanie. Na

odwrót, załóżmy, że układ (13.3) posiada dokładnie jedno rozwi

azanie

, . . . , a

). Wówczas z pierwszej cz

eści dowodu r(A

) = r(A). Wy-

starczy zatem wykazać, że wektory α

, . . . , α

a liniowo niezależne.

Ale jeżeli b

, . . . , b

∈ K s

a takie, że b

◦ α

+ . . . + b

◦ α

= Θ, to

+ b

) ◦ α

+ . . . + (a

+ b

) ◦ α

= a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

+ Θ = β, wi

+ b

, . . . , a

+ b

) jest rozwi

azaniem układu (13.3), sk

ad a

+ b

= a

czyli b

= 0 dla i = 1, . . . , n, a wi

ec wektory α

, . . . , α

a liniowo nie-

zależne.

ad macierzy

111

Z rezultatów uzyskanych dotychczas wynika, że można stosować

nast

epuj

acy schemat post

epowania dla znalezienia wszystkich rozwi

zań układu (13.3). Najpierw obliczamy r(A) i r(A

). Jeżeli r(A) 6=

r(A

), to układ (13.3) nie ma rozwi

azania. Jeśli zaś r = r(A) = r(A

to układ posiada rozwi

azanie. Wyznaczamy wówczas r liniowo nieza-

leżnych wierszy w macierzy A

i wykreślamy wszystkie pozostałe jej

wiersze. W otrzymanej macierzy znajdujemy k liniowo niezależnych
kolumn. Nast

epnie w przekształconym układzie równań przenosimy

na praw

a stron

e wszystkie niewiadome o numerach pozostałych n − k

kolumn i stosujemy wzory Cramera dla obliczenia pozostałych nie-
wiadomych (natomiast niewiadome przenoszone na drugie strony s

dowolnymi elementami ciała K).

Rozdział 14

Przestrzenie ilorazowe

14.1

Konstrukcja przestrzeni ilorazowej

Niech W b

edzie podprzestrzeni

a przestrzeni liniowej V nad ciałem K.

W zbiorze V określamy relacj

e ∼ przyjmuj

ac, że dla dowolnych α, β ∈

V :

α ∼ β ⇔ α − β ∈ W

(14.1)

Ponieważ Θ ∈ W , wi

ec dla każdego α ∈ V , jest α − α ∈ W , sk

α ∼ α i relacja ∼ jest zwrotna.

Weźmy dowolne α, β ∈ V takie, że α ∼ β. Wtedy α − β ∈ W , sk

β − α = −(α − β) ∈ W , czyli β ∼ α i relacja ∼ jest symetryczna.

Weźmy dowolne α, β, γ ∈ V takie, że α ∼ β i β ∼ γ. Wtedy

α − β, β − γ ∈ W , sk

ad α − γ = (α − β) + (β − γ) ∈ W , czyli α ∼ γ

i relacja ∼ jest przechodnia.

W ten sposób pokazaliśmy, że ∼ jest relacj

a równoważności w zbio-

rze V . Dla α ∈ V przez α + W oznaczmy klas

e abstrakcji relacji ∼

o reprezentancie α. Pokażemy, że

α + W = {α + β : β ∈ W }

(14.2)

Rzeczywiście, jeżeli γ ∈ α + W , to γ ∼ α, sk

ad γ − α = β ∈ W oraz

γ = α + β. Na odwrót, jeżeli γ = α + β dla pewnego β ∈ W , to
γ − α = β ∈ W , sk

ad γ ∼ α i γ ∈ α + W .

112

Przestrzenie ilorazowe

113

Dla α ∈ V zbiór α + W b

edziemy dalej nazywali warstw

a o repre-

zentancie α wzgl

edem podprzestrzeni W . Z własności klas abstrakcji

relacji równoważności wynika, że dowolne dwie warstwy wzgl

edem pod-

przestrzeni W s

a albo równe albo rozł

aczne oraz przestrzeń V jest sum

rozł

aczn

a pewnych swoich warstw wzgl

edem W .

Zauważmy, że dla dowolnych α, β ∈ V :

α + W = β + W ⇔ α − β ∈ W.

(14.3)

Rzeczywiście, α + W = β + W ⇔ α ∼ β ⇔ α − β ∈ W .

Ponadto

Θ + W = W,

(14.4)

bo Θ + W = {Θ + β : β ∈ W } = {β : β ∈ W } = W .

Ze wzorów (14.3) i (14.4) wynika od razu, że dla każdego α ∈ V :

α + W = W ⇔ α ∈ W.

(14.5)

Zatem jedna warstwa może mieć wiele reprezentantów! Warstw

e W

edziemy nazywali warstw

a zerow

a. Zbiór wszystkich warstw prze-

strzeni V wzgl

edem podprzestrzeni W b

edziemy oznaczali przez V /W .

Zatem

V /W = {α + W : α ∈ V }.

(14.6)

Dla dowolnych α, β ∈ V określamy sum

e warstw α + W i β + W przy

pomocy wzoru:

(α + W ) + (β + W ) = (α + β) + W.

(14.7)

Sprawdzimy, że wzór (14.7) nie zależy od wyboru reprezentantów warstw.
W tym celu weźmy dowolne α

, β

∈ V takie, że α

∼ α i β

∼ β.

Wtedy α

−α, β

−β ∈ W , sk

ad (α

+β

)−(α+β) = (α

−α)+(β

−β) ∈

W , czyli (α

+ β

) + W = (α + β) + W na mocy wzoru (14.3).

Teraz określimy iloczyn warstwy α + W przez skalar a ∈ K:

a ◦ (α + W ) = a ◦ α + W.

(14.8)

114

Wykłady z algebry liniowej I

Sprawdzimy, że to określenie nie zależy od wyboru reprezentantów
warstw. W tym celu weźmy dowolne α

∈ V takie, że α

∼ α. Wtedy

− α ∈ W , sk

ad a ◦ (α

− α) ∈ W , czyli a ◦ α

− a ◦ α ∈ W , wi

a ◦ α

+ W = a ◦ α + W na mocy (14.3).

Twierdzenie 14.1. Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni li-

niowej V nad ciałem K zbiór V /W z dodawaniem warstw określonym
wzorem (14.7) i mnożeniem warstw przez skalary określonym wzorem
(14.8) oraz z warstw

a zerow

a W tworzy przestrzeń liniow

a nad cia-

łem K (nazywamy j

a przestrzeni

a ilorazow

a przestrzeni V wzgl

edem

podprzestrzeni W ).

Dowód. Weźmy dowolne α, β, γ ∈ V . A1. Ponieważ α + β =

β + α, wi

ec (β + W ) + (α + W ) = (β + α) + W = (α + β) + W =

(α + W ) + (β + W ). A2. Ponieważ (α + β) + γ = α + (β + γ),
wi

ec [(α + W ) + (β + W )] + (γ + W ) = [(α + β) + W ] + (γ + W ) =

[(α + β) + γ] + W = [α + (β + γ)] + W = (α + W ) + [(β + γ) + W ] =
(α + W ) + [(β + W ) + (γ + W )]. A3. Ponieważ α + Θ = α, wi

(α + W ) + W = (α + W ) + (Θ + W ) = (α + Θ) + W = α + W . A4.
Ponieważ α+(−α) = Θ, wi

ec (α+W )+((−α)+W ) = [α+(−α)]+W =

Θ + W = W . St

ad dla α ∈ V mamy wzór:

− (α + W ) = (−α) + W.

(14.9)

A5. Ponieważ dla a ∈ K jest a ◦ (α + β) = a ◦ α + a ◦ β, wi

a ◦ [(α + W ) + (β + W )] = a ◦ [(α + β) + W ] = a ◦ (α + β) + W =
(a◦α+a◦β)+W = (a◦α+W )+(a◦β +W ) = a◦(α+W )+a◦(β +W ).
A6. Ponieważ dla a, b ∈ K jest (a + b) ◦ α = a ◦ α + b ◦ α, wi

(a + b) ◦ (α + W ) = (a + b) ◦ α + W = (a ◦ α + b ◦ α) + W = (a ◦ α + W ) +
(b ◦ α + W ) = a ◦ (α + W ) + b ◦ (α + W ). A7. Ponieważ dla dowolnych
a, b ∈ K jest (ab) ◦ α = a ◦ (b ◦ α), wi

ec (ab) ◦ (α + W ) = (ab) ◦ α + W =

a ◦ (b ◦ α) + W = a ◦ (b ◦ α + W ) = a ◦ [b ◦ (α + W )]. A8. Ponieważ
1 ◦ α = α, wi

ec 1 ◦ (α + W ) = 1 ◦ α + W = α + W .

Przestrzenie ilorazowe

115

14.2

Baza i wymiar przestrzeni ilorazowej

Twierdzenie 14.2. Niech W i U b

a podprzestrzeniami prze-

strzeni liniowej V nad ciałem K takimi, że V = W ⊕ U . Wówczas
przekształcenie f : U −→ V /W dane wzorem f (α) = α + W dla α ∈ U
jest izomorfizmem liniowym. W szczególności

V /W ∼

= U .

Dowód. Z określenia f mamy, że dla dowolnych α, β ∈ U , a ∈ K

jest f (α + β) = (α + β) + W = (α + W ) + (β + W ) = f (α) + f (β)
oraz f (a ◦ α) = a ◦ α + W = a ◦ (α + W ) = a ◦ f (α). Jeżeli zaś
f (α) = f (β), to α + W = β + W , sk

ad α − β ∈ W . Ale α, β ∈ U ,

ec α − β ∈ W ∩ U = {Θ}, czyli α − β = Θ i α = β. Zatem f

jest różnowartościowe. Dowolna warstwa przestrzeni V /W ma postać
α + W dla pewnego α ∈ V . Ale V = W + U , wi

ec istniej

a β ∈ W i

γ ∈ U takie, że α = β+γ. St

ad α−γ ∈ W , wi

ec α+W = γ+W = f (γ).

Zatem f jest ”na”i ostatecznie f jest izomorfizmem liniowym.

Ponieważ izomorfizm liniowy przekształca baz

e na baz

e, wi

ec z twier-

dzenia 14.2 oraz z dowodu twierdzenia 12.3 mamy natychmiast nast

epu-

ace

Twierdzenie 14.3. Niech X b

edzie baz

a podprzestrzeni W prze-

strzeni liniowej V i niech Y ⊆ V b

edzie zbiorem liniowo niezależnym

rozł

acznym z X takim, że X ∪ Y jest baz

a przestrzeni V . Wtedy dla

dowolnych α, β ∈ Y mamy, że α + W = β + W wtedy i tylko wtedy,
gdy α = β oraz zbiór {α + W : α ∈ Y } jest baz

a przestrzeni ilorazowej

V /W .

Twierdzenie 14.4. Niech W b

edzie podprzestrzeni

a skończenie

wymiarowej przestrzeni liniowej V . Wówczas zachodzi wzór:

dim(V /W ) = dim V − dim W .

Dowód. Z twierdzenia 12.3 istnieje podprzestrzeń przestrzeni V

taka, że V = W ⊕ U . Zatem W ∩ U = {Θ}, wi

ec na mocy twierdzenia

11.15 mamy, że dim V = dim W + dim U . Ale na mocy twierdzenia
14.2 jest V /W ∼

= U , wi

ec dim(V /W ) = dim U = dim V − dim W .

116

Wykłady z algebry liniowej I

Przykład 14.1. Wyznaczymy baz

e i wymiar przestrzeni ilorazowej

/W dla W = lin([1, 1, 1, 1], [1, 2, 3, 4]). W tym celu najpierw za po-

moc

a operacji elementarnych wyznaczamy baz

e podprzestrzeni W . Po

wykonaniu operacji w

−w

uzyskamy, że W = lin([1, 1, 1, 1], [0, 1, 2, 3])

oraz wektory [1, 1, 1, 1], [0, 1, 2, 3] tworz

a baz

e podprzestrzeni W , gdyż

wektory [1, 1, 1, 1], [0, 1, 2, 3], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1] tworz

a baz

e prze-

strzeni R

. Zatem z twierdzenia 14.3 wektory [0, 0, 1, 0]+W , [0, 0, 0, 1]+

W tworz

a baz

e przestrzeni ilorazowej R

, sk

ad dim(R

/W ) = 2.

Przykład 14.2. Niech W b

edzie podprzestrzeni

a przestrzeni Q

generowan

a przez wektory [1, 2, 3] i [0, 1, 0]. Sprawdzimy, czy zachodzi

równość warstw [1, 0, 1] + W oraz [2, 4, 5] + W . Na mocy (14.3) mamy,
że [2, 4, 5] + W = [1, 0, 1] + W ⇔ [2, 4, 5] − [1, 0, 1] ∈ W ⇔ [1, 4, 4] ∈ W .
Ale wektory [1, 2, 3] i [0, 1, 0] tworz

a baz

e podprzestrzeni W , wi

[1, 4, 4] ∈ W ⇔ (wektory [1, 2, 3], [0, 1, 0], [1, 4, 4] s

a liniowo zależne).

Lecz po wykonaniu operacji w

− w

, w

− 2w

uzyskamy z tych wekto-

rów baz

e {[1, 2, 3], [0, 1, 0], [0, 0, 1]} przestrzeni Q

, wi

ec wektory [1, 2, 3],

[01, 0], [1, 4, 4] s

a liniowo niezależne i wobec tego [1, 0, 1]+W 6= [2, 4, 5]+

W .

Przykład 14.3. Niech K = Z

, V = K

oraz W b

edzie podprze-

strzeni

a przestrzeni V generowan

a przez wektory [1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 1],

[0, 1, 1, 0]. Wypiszemy wszystkie elementy przestrzeni ilorazowej V /W .
Po wykonaniu operacji w

− w

uzyskamy, że

W = lin([1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 0]) oraz wektory [1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 0] tworz

baz

e podprzestrzeni W , gdyż wektory [1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0],

[0, 0, 0, 1] tworz

a baz

e przestrzeni V . Zatem z twierdzenia 14.3 wek-

tory [0, 0, 1, 0] + W i [0, 0, 0, 1] + W tworz

a baz

e przestrzeni ilorazowej

V /W . Ponieważ K = {0, 1}, wi

ec st

ad przestrzeń ilorazowa V /W

ma dokładnie 4 elementy: W , [0, 0, 1, 0] + W , [0, 0, 0, 1] + W oraz
([0, 0, 1, 0] + W ) + ([0, 0, 0, 1] + W ) = [0, 0, 1, 1] + W .

Ponadto W = {[0, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 1], [0, 1, 1.0], [1, 1, 0, 1]}, wi

ec na

przykład [0, 0, 1, 0] + W = {[0, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1], [[0, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 1]}.

Rozdział 15

Przekształcenia liniowe i ich
zastosowania

15.1

Przekształcenia liniowe i ich
własności

Definicja 15.1. Niech V i W b

a przestrzeniami liniowymi nad

ciałem K. Przekształcenie f : V −→ W spełniaj

ace warunki:

(I) ∀

α,β∈V

f (α+β) = f (α)+f (β) oraz (II) ∀

α∈V

∀

a∈K

f (a◦α) = a◦f (α)

nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .

Stwierdzenie 15.1. Złożenie przekształceń liniowych jest prze-

kształceniem liniowym.

Dowód. Niech f : V −→ W i g : W −→ U b

a przekształceniami

liniowymi. Wówczas dla dowolnych α, β ∈ V jest (g ◦ f )(α + β) =
g(f (α + β)) = g(f (α) + f (β)) = g(f (α)) + g(f (β)) = (g ◦ f )(α) +
(g ◦ f )(β) oraz dla dowolnych α ∈ V , a ∈ K jest: (g ◦ f )(a ◦ α) =
g(f (a ◦ α)) = g(a ◦ f (α)) = a ◦ g(f (α)) = a ◦ (g ◦ f )(α). Zatem g ◦ f
jest przekształceniem liniowym.

Stwierdzenie 15.2. Niech f : V −→ W b

edzie przekształceniem

liniowym przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniow

a W

nad ciałem K. Wówczas:

117

118

Wykłady z algebry liniowej I

(i) f (Θ) = Θ,
(ii) f (−α) = −f (α) dla każdego α ∈ V ,
(iii) f (α − β) = f (α) − f (β) dla dowolnych α, β ∈ V ,
(iv) f (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) = a

◦ f (α

) + . . . + a

◦ f (α

) dla

dowolnych a

, . . . , a

∈ K, α

, . . . , α

∈ V i dla dowolnego n ∈ N.

Dowód. (i). Na mocy (II) jest f (Θ) = f (0 ◦ Θ) = 0 ◦ f (Θ) = Θ.

(ii). Na mocy (I) i (i) mamy, że f (α)+f (−α) = f (α+(−α)) = f (Θ) =
Θ, wi

ec f (−α) = −f (α).

(iii). Na mocy (I) i (ii) jest f (α − β) = f (α + (−β)) = f (α) + f (−β) =
f (α) + (−f (β)) = f (α) − f (β).
(iv). Stosujemy indukcj

e wzgl

edem n. Dla n = 1 teza wynika z (II).

Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego n i niech
a

, . . . , a

n+1

∈ K oraz α

, . . . , α

n+1

∈ V . Wtedy na mocy (I), (II)

i założenia indukcyjnego mamy, że f (a

◦ α

+ . . . + a

n+1

◦ α

n+1

) =

f ((a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) + a

n+1

◦ α

n+1

) = f (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) +

f (a

n+1

◦ α

n+1

) = a

◦ f (α

) + . . . + a

◦ f (α

) + a

n+1

◦ f (α

n+1

). Zatem

teza zachodzi dla liczby n + 1.

Stwierdzenie 15.3. Niech f : V −→ W b

edzie przekształceniem

liniowym przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniow

W nad ciałem K. Wówczas zbiór Ker(f ) = {α ∈ V : f (α) = Θ}
zwany j

adrem f jest podprzestrzeni

a przestrzeni V . Ponadto f jest

różnowartościowe (tzn. f jest monomorfizmem liniowym) wtedy i tylko
wtedy, gdy Ker(f ) = {Θ}.

Dowód. Na mocy stwierdzenia 15.2(i) mamy, że Θ ∈ Ker(f ).

Niech a ∈ K, α, β ∈ Ker(f ). Wtedy na mocy (I) f (α + β) = f (α) +
f (β) = Θ + Θ = Θ, wi

ec α + β ∈ Ker(f ) oraz na mocy (II) f (a ◦ α) =

a ◦ f (α) = a ◦ Θ = Θ, sk

ad a ◦ α ∈ Ker(f ). Zatem Ker(f ) jest

podprzestrzeni

a przestrzeni V .

Załóżmy, że f jest różnowartościowe i niech α ∈ Ker(f ). Wtedy

f (α) = Θ. Ale na mocy stwierdzenia 15.2(i) jest Θ = f (Θ), wi

f (α) = f (Θ), sk

ad α = Θ.

Zatem Ker(f ) = {Θ}.

Na odwrót,

załóżmy, że Ker(f ) = {Θ} i weźmy dowolne α, β ∈ V takie, że f (α) =
f (β). Wtedy na mocy stwierdzenia 15.2(iii) jest Θ = f (α) − f (β) =
f (α − β), czyli α − β ∈ Ker(f ). Zatem α − β = Θ, sk

ad α = β i f

jest monomorfizmem.

Przekształcenia liniowe i ich zastosowania

119

Uwaga 15.1. Każda podprzestrzeń W przestrzeni liniowej V nad

ciałem K jest j

adrem pewnego przekształcenia liniowego określonego

na V . Rzeczywiście, niech f : V −→ V /W b

edzie przekształceniem

danym wzorem f (α) = α + W dla α ∈ V . Wtedy dla α, β ∈ V , a ∈ K
mamy, że f (α + β) = (α + β) + W = (α + W ) + (β + W ) = f (α) + f (β)
oraz f (a ◦ α) = a ◦ α + W = a ◦ (α + W ) = a ◦ f (α). Zatem f jest
przekształceniem liniowym. Ponadto dowolna warstwa z przestrzeni
V /W jest postaci α + W = f (α) dla pewnego α ∈ V , wi

ec f jest ”na”.

Dla α ∈ V mamy, że α ∈ Ker(f ) ⇔ α + W = W ⇔ α ∈ W . Zatem
Ker(f ) = W . Oznacza to, że podprzestrzenie przestrzeni liniowej V
s

a to dokładnie j

adra pewnych przekształceń liniowych określonych na

V .

Przykład 15.1. Niech W b

edzie podprzestrzeni

a przestrzeni li-

niowej V nad ciałem K. Wtedy z twierdzenia 12.3 istnieje podprze-
strzeń U przestrzeni V taka, że W ⊕ U = V . St

ad każde α ∈ V

można zapisać w postaci α = β + γ dla pewnych β ∈ W oraz γ ∈ U .
Jeśli β

, β

∈ W i γ

, γ

∈ U s

a takie, że β

+ γ

= β

+ γ

, to

− β

= γ

− γ

∈ W ∩ U = {Θ}, sk

ad β

= β

i γ

= γ

. Oznacza

to, że przekształcenie f : V → U dane wzorem f (α) = γ dla α ∈ V
takiego, że α = β + γ i β ∈ W oraz γ ∈ U , jest dobrze określone. Niech
α

, α

∈ V , a ∈ K. Wtedy istniej

a β

, β

∈ W , γ

, γ

∈ U takie, że

= β

+ γ

i α

= β

+ γ

, sk

ad α

+ α

= (β

+ β

) + (γ

+ γ

) oraz

+β

∈ W i γ

+γ

∈ U . Zatem f (α

+α

) = γ

+γ

= f (α

)+f (α

Ponadto a ◦ α

= a ◦ β

+ a ◦ γ

oraz a ◦ β

∈ W i a ◦ γ

∈ U , wi

f (a ◦ α

) = a ◦ γ

= a ◦ f (α

). St

ad f jest przekształceniem linio-

wym. Nazywamy je rzutem przestrzeni V na podprzestrzeń U wzdłuż
podprzestrzeni W . Ponieważ dla γ ∈ U jest γ = Θ + γ i Θ ∈ W , wi

f (γ) = γ. Zatem f jest ”na”. Dla β ∈ W mamy, że β = β +Θ i Θ ∈ U ,
wi

ec f (β) = Θ, sk

ad W ⊆ Ker(f ). Jeśli zaś α ∈ Ker(f ), to istniej

β ∈ W i γ ∈ U takie, że α = β + γ i Θ = f (α) = γ, sk

ad α = β ∈ W .

Zatem ostatecznie W = Ker(f ).

Stwierdzenie 15.4.

Niech f : V −→ W b

edzie przekształceniem

liniowym przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniow

a W

nad ciałem K. Wówczas zbiór Im(f ) = f (V ) = {f (α) : α ∈ V } zwany

120

Wykłady z algebry liniowej I

obrazem f jest podprzestrzeni

a przestrzeni W .

Dowód. Ze stwierdzenia 15.2(i) mamy, że Θ = f (Θ) ∈ f (V ).

Niech α, β ∈ f (V ). Wtedy istniej

a α

, β

∈ V takie, że α = f (α

)

i β = f (β

). Zatem α + β = f (α

) + f (β

) = f (α

+ β

) ∈ f (V ) oraz

dla a ∈ K: a ◦ α = a ◦ f (α

) = f (a ◦ α

) ∈ f (V ). Zatem f (V ) jest

podprzestrzeni

a przestrzeni W .

Stwierdzenie 15.5. Niech f : V −→ W b

edzie przekształceniem

liniowym przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniow

W nad ciałem K. Wówczas dla dowolnych wektorów α

, . . . , α

∈

V : jeżeli wektory f (α

), . . . , f (α

) s

a liniowo niezależne, to wektory

, . . . , α

też s

a liniowo niezależne. Jeżeli dodatkowo f jest mono-

morfizmem, to wektory α

, . . . , α

∈ V s

a liniowo niezależne wtedy

i tylko wtedy, gdy wektory f (α

), . . . , f (α

) s

a liniowo niezależne.

Dowód. Niech α

, . . . , α

∈ V . Załóżmy, że wektory f (α

), . . . ,

f (α

) s

a liniowo niezależne. Weźmy dowolne a

, . . . , a

∈ K takie,

że a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ. Wtedy na mocy stwierdzenia 15.2

mamy, że a

◦ f (α

) + . . . + a

◦ f (α

) = Θ, sk

ad z lnz wektorów

f (α

), . . . , f (α

) jest a

= . . . = a

= 0, czyli wektory α

, . . . , α

też

a liniowo niezależne.

Niech teraz dodatkowo f b

edzie monomorfizmem.

Załóżmy, że

wektory α

, . . . , α

a lnz i weźmy dowolne a

, . . . , a

∈ K takie, że

◦ f (α

) + . . . + a

◦ f (α

) = Θ. Wtedy ze stwierdzenia 15.2 mamy,

że f (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) = f (Θ), sk

ad a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

= Θ.

Zatem z lnz wektorów α

, . . . , α

wynika, że a

= . . . = a

= 0, czyli

wektory f (α

), . . . , f (α

) s

a liniowo niezależne.

Definicja 15.2. Przekształcenie liniowe f : V −→ W nazywamy

epimorfizmem, jeżeli f (V ) = W (tzn. f jest ”na”). Przekształcenie
liniowe f : V −→ V przestrzeni V w siebie nazywamy endomorfizmem
przestrzeni V .

Uwaga 15.2. Z tych określeń wynika od razu, że izomorfizm li-

niowy jest to taki monomorfizm, który jest jednocześnie epimorfizmem.

Przekształcenia liniowe i ich zastosowania

121

Stwierdzenie 15.6. Niech f : V −→ W b

edzie izomorfizmem

przestrzeni liniowych V i W nad tym samym ciałem K. Jeżeli wek-
tory α

, . . . , α

tworz

a baz

e przestrzeni V , to wektory f (α

), . . . , f (α

)

tworz

a baz

e przestrzeni W .

Dowód. Ze stwierdzenia 15.5 wynika od razu, że wektory f (α

), . . . ,

f (α

) s

a liniowo niezależne. Weźmy dowolne β ∈ W . Wtedy istnieje

α ∈ V takie, że β = f (α). Zatem istniej

a a

, . . . , a

∈ K takie, że

α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

, sk

ad na mocy stwierdzenia 15.2 jest, że

β = a

◦f (α

) + . . . + a

◦f (α

). Zatem wektory f (α

), . . . , f (α

) gene-

ruj

a przestrzeń W i s

a liniowo niezależne, czyli tworz

a baz

e przestrzeni

W .

15.2

Twierdzenie o izomorfizmie

Twierdzenie 15.1 (o izomorfizmie). Niech f : V −→ W b

edzie

przekształceniem liniowym. Wówczas

V /Ker(f ) ∼

= Im(f ).

Dowód. Niech F : V /Ker(f ) −→ Im(f ) b

edzie przekształceniem

danym wzorem: F (α + Ker(f )) = f (α) dla α ∈ V . Jeśli α, β ∈ V s

takie, że α + Ker(f ) = β + Ker(f ), to α − β ∈ Ker(f ), czyli
Θ = f (α − β) = f (α) − f (β), sk

ad f (α) = f (β). Wynika st

ad, że

przekształcenie F jest dobrze określone (nie zależy od wyboru repre-
zentantów warstw). Dalej, dla α, β ∈ V i a ∈ K mamy, że
F ((α + Ker(f )) + (β + Ker(f ))) = F ((α + β) + Ker(f )) = f (α + β) =
f (α) + f (β) = F (α + Ker(f )) + F (β + Ker(f )) oraz
F (a ◦ (α + Ker(f ))) = F (a ◦ α + Ker(f )) = f (a ◦ α) = a ◦ f (α) =
a ◦ F (α + Ker(f )). Zatem F jest przekształceniem liniowym. Weźmy
dowolne β ∈ Im(f ). Wtedy istnieje α ∈ V takie, że β = f (α) =
F (α + Ker(f )). Zatem F jest epimorfizmem. W końcu dla α ∈ V
mamy, że α + Ker(f ) ∈ Ker(F ) ⇔ f (α) = Θ ⇔ α ∈ Ker(f ) ⇔
α + Ker(f ) = Ker(f ). St

ad na mocy stwierdzenia 15.3 F jest mono-

morfizmem i ostatecznie F jest izomorfizmem liniowym.

122

Wykłady z algebry liniowej I

Twierdzenie 15.2. Niech f : V −→ W b

edzie przekształceniem li-

niowym. Jeżeli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, to przestrzeń
Im(f ) też jest skończenie wymiarowa i zachodzi wzór:

dim V = dim Ker(f ) + dim Im(f ).

Dowód. Z twierdzenia o izomorfizmie V /Ker(f ) ∼

= Im(f ). Z twier-

dzenia 14.4 mamy, że dim(V /Ker(f )) = dim V − dim Ker(f ). Zatem
na mocy stwierdzenia 15.6 mamy, że dim Im(f ) = dim V −dim Ker(f ),
sk

ad dim Im(f ) + dim Ker(f ) = dim V .

Twierdzenie 15.3. Niech wektory α

, . . . , α

tworz

a baz

e prze-

strzeni liniowej V nad ciałem K i niech β

, . . . , β

a dowolnymi

wektorami przestrzeni liniowej W nad ciałem K. Wówczas istnieje do-
kładnie jedno przekształcenie liniowe f : V −→ W takie, że f (α

) = β

dla każdego i = 1, . . . , n. Ponadto takie f jest dane wzorem:

f (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) = a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

(15.1)

dla a

, . . . , a

∈ K. Przekształcenie f jest monomorfizmem wtedy

i tylko wtedy, gdy wektory β

, . . . , β

a liniowo niezależne. Ponadto

f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory β

, . . . , β

gene-

ruj

a przestrzeń W oraz f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy

wektory β

, . . . , β

tworz

a baz

e przestrzeni W .

Dowód. Dla przekształcenia f danego wzorem (15.1) mamy, że

f (α

) = β

przy i = 1, . . . , n. Weźmy dowolne α, β ∈ V i dowolne

a ∈ K. Wtedy istniej

a a

, . . . , a

, b

, . . . , b

∈ K takie, że α = a

◦

+ . . . + a

◦ α

oraz β = b

◦ α

+ . . . + b

◦ α

. Zatem f (α + β) =

f ((a

)◦α

+. . .+(a

)◦α

) = (a

)◦β

+. . .+(a

)◦β

◦ β

+ . . . + a

◦ β

) + (b

◦ β

+ . . . + b

◦ β

) = f (α) + f (β) oraz

f (a◦α) = f ((aa

)◦α

+. . .+(aa

)◦α

) = (aa

)◦β

+. . .+(aa

)◦β

a ◦ (a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

) = a ◦ f (α). Zatem f jest szukanym prze-

kształceniem liniowym. Jeżeli g : V −→ W jest przekształceniem
liniowym takim, że g(α

) = β

dla i = 1, . . . , n, to ze stwierdzenia 15.2

mamy, że g(a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) = a

◦ g(α

) + . . . + a

◦ g(α

) =

◦ β

+ . . . + a

◦ β

= f (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

) dla dowolnych

, . . . , a

∈ K. Ponieważ {α

, . . . , α

} jest baz

a przestrzeni V , wi

ad g = f .

Przekształcenia liniowe i ich zastosowania

123

Jeżeli f jest różnowartościowe, to na mocy stwierdzenia 15.5 wek-

tory β

= f (α

), . . . , β

= f (α

) s

a liniowo niezależne. Na odwrót, za-

łóżmy, że wektory β

, . . . , β

a liniowo niezależne. Niech α ∈ Ker(f ).

Wtedy istniej

a a

, . . . , a

∈ K takie, że α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

, sk

Θ = f (α) = a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

, czyli a

= . . . = a

= 0 i α = Θ.

Zatem na mocy stwierdzenia 15.3 f jest monomorfizmem.

Jeżeli f jest epimorfizmem, to dla każdego β ∈ W istnieje α ∈ V

takie, że β = f (α). Ale α = a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

dla pewnych

, . . . , a

∈ K, wi

ec ze wzoru (15.1) β = a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

, czyli

wektory β

, . . . , β

generuj

a przestrzeń W . Na odwrót, załóżmy, że

wektory β

, . . . , β

generuj

a przestrzeń W . Weźmy dowolne β ∈ W .

Wtedy istniej

a a

, . . . , a

∈ K takie, że β = a

◦ β

+ . . . + a

◦ β

f (a

◦ α

+ . . . + a

◦ α

), czyli f jest epimorfizmem.

Ostatnia cz

eść twierdzenia wynika z jego pierwszej cz

eści.

15.3

Przykłady i zastosowania
przekształceń liniowych

Przykład 15.2. Niech V i W b

a przestrzeniami liniowymi nad

tym samym ciałem K. Wówczas przekształcenie f : V −→ W dane
wzorem f (α) = Θ dla α ∈ V jest przekształceniem liniowym, bo dla
α, β ∈ V , a ∈ K: f (α + β) = Θ = Θ + Θ = f (α) + f (β) oraz
f (a ◦ α) = Θ = a ◦ Θ = a ◦ f (α). Przekształcenie to nazywamy
zerowym lub trywialnym.

Przykład 15.3. Niech V b

edzie przestrzeni

a liniow

a nad ciałem

K. Niech a ∈ K b

edzie dowolnym ustalonym elementem ciała K.

Wtedy przekształcenie φ

: V −→ V dane wzorem φ

(α) = a ◦ α dla

α ∈ V , jest liniowe, gdyż dla α, β ∈ V , b ∈ K mamy, że φ

(α + β) =

a ◦ (α + β) = a ◦ α + a ◦ β = φ

(α) + φ

(β) oraz φ

(b ◦ α) = a ◦ (b ◦ α) =

(ab)◦α = (ba)◦α = b◦(a◦α) = b◦φ

(α). To przekształcenie nazywamy

homoteti

a o współczynniku a.

Przykład 15.4. Niech W b

edzie podprzestrzeni

a przestrzeni li-

niowej V nad ciałem K. Wówczas przekształcenie f : W −→ V dane

124

Wykłady z algebry liniowej I

wzorem f (α) = α dla α ∈ W jest oczywiście liniowe. Jest ono po-
nadto monomorfizmem podprzestrzeni W w przestrzeń V . W szcze-
gólności przekształcenie identycznościowe id

: V −→ V dane wzorem

(α) = α dla α ∈ V , jest przekształceniem liniowym.

Przykład 15.5. Opiszemy wszystkie przekształcenia liniowe

f : K

→ K

dla ustalonego ciała K i dla dowolnych ustalonych liczb

naturalnych m, n. Ponieważ wektory ε

, ε

, . . . , ε

tworz

a baz

e prze-

strzeni K

oraz dla dowolnych x

, . . . , x

∈ K jest [x

, . . . , x

] =

◦ ε

+ . . . + x

◦ ε

, wi

ec na mocy twierdzenia 15.3 wszystkimi

przekształceniami liniowymi f : K

→ K

a jedynie przekształcenia

f postaci:

f ([x

, . . . , x

]) = x

◦ β

+ . . . + x

◦ β

dla dowolnych ustalonych β

, . . . , β

∈ K

. Ale dla j = 1, . . . , n ist-

niej

a a

∈ K (i = 1, . . . , m) takie, że β

= [a

, a

, . . . , a

], wi

ad otrzymujemy tzw. wzór analityczny na dowolne przekształcenie

liniowe f : K

−→ K

f ([x

, . . . , x

]) = [a

+ . . . + a

, . . . , a

+ . . . + a

]. (15.2)

Zauważmy ponadto, że jeżeli a

0
ij

∈ K dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n s

takie, że przekształcenie f dane wzorem (15.2) spełnia wzór
f ([x

, . . . , x

]) = [a

0
11

+ . . . + a

0
1n

, . . . , a

0
m1

+ . . . + a

0
mn

], to dla

= [a

0
1j

, a

0
2j

, . . . , a

0
mj

], j = 1, . . . , n, b

edziemy mieli, że β

= f (ε

) =

, czyli a

0
ij

= a

dla wszystkich i, j. Wynika st

ad, że przekształcenie

liniowe f : K

−→ K

jest jednoznacznie wyznaczone przez m × n

macierz A = [a

]. Ponadto z definicji mnożenia macierzy mamy, że

dla przekształcenia f danego wzorem (15.2) zachodzi wzór:

f ([x

, . . . , x

]) = A ·















(15.3)

Przy tych oznaczeniach mamy też, że f (K

) = lin(β

, . . . , β

) oraz

wektory β

, . . . , β

możemy traktować jako kolumny macierzy A, wi

Przekształcenia liniowe i ich zastosowania

125

ad dla przekształcenia f mamy wzór:

dim Im(f ) = r(A).

(15.4)

Zatem z twierdzenia 15.2 mamy, że n = dim K

= dim Ker(f ) +

dim Im(f ), wi

ec na mocy wzoru (15.4):

dim Ker(f ) = n − r(A).

(15.5)

Zauważmy też, że [a

, . . . , a

] ∈ Ker(f ) wtedy i tylko wtedy, gdy

, . . . , a

] jest rozwi

azaniem układu jednorodnego











. . . +

= 0

. . . +

= 0

. ..

+ a

+ . . . + a

= 0

(15.6)

Wynika st

ad nast

epuj

ace

Twierdzenie 15.4. Zbiór rozwi

azań układu jednorodnego (15.6)

o macierzy współczynników A jest podprzestrzeni

a przestrzeni liniowej

wymiaru n − r(A).

Podamy teraz drugi sposób wyznaczania jednorodnego układu rów-

nań liniowych o zadanej podprzestrzeni rozwi

azań. Niech K b

edzie

ustalonym ciałem i niech V b

edzie dowoln

a podprzestrzeni

a przestrzeni

liniowej K

Wyznaczamy najpierw baz

e i wymiar podprzestrzeni

V . Niech wektory α

, . . . , α

tworz

a baz

e podprzestrzeni V . Wtedy

dim V = s. W praktyce wyznaczamy baz

e V w takiej postaci, aby

można było j

a uzupełnić w prosty sposób do bazy przestrzeni K

pewnymi wektorami bazy kanonicznej przestrzeni K

. Niech wektory

, . . . , α

, β

, . . . , β

n−s

tworz

a baz

e przestrzeni K

. Na mocy twier-

dzenia 15.3 istnieje dokładnie jeden epimorfizm f : K

−→ K

n−s

taki, że f (α

) = Θ dla wszystkich i = 1, . . . , s oraz f (β

) = ε

dla

j = 1, . . . , n − s. Z określenia f mamy, że V ⊆ Ker(f ). Ponadto
dim Im(f ) = dim K

n−s

= n − s, wi

ec z twierdzenia 15.2 mamy, że

n = dim K

= dim Ker(f ) + dim Im(f ), sk

ad dim Ker(f ) = s. Ale

126

Wykłady z algebry liniowej I

dim V = s oraz V ⊆ Ker(f ), wi

ec st

ad V = Ker(f ). Pozostaje za-

tem wyznaczyć wzór analityczny na przekształcenie f i w ten sposób
uzyskamy natychmiast ż

adany układ jednorodny.

Przykład 15.6. Znajdziemy układ jednorodny równań liniowych

nad ciałem R, którego przestrzeni

a rozwi

azań jest

V = lin([1, −1, 1], [1, 1, −1]). Najpierw znajdujemy baz

e przestrzeni

V :

1 −1

−w

≡

1 −1

2 −2

1
2

·w

≡

1 −1

. Zatem

baz

a przestrzeni V jest {[1, −1, 1], [0, 1, −1]}.

Nast

epnie uzupełniamy znalezion

a baz

e przestrzeni V do bazy całej

przestrzeni R

przy pomocy wektora [0, 0, 1]. Istnieje przekształcenie

liniowe f : R

−→ R takie, że f([1, −1, 1]) = 0, f([0, 1, −1]) = 0,

f ([0, 0, 1]) = 1. Wtedy f ([0, 1, 0]) = f ([0, 1, −1])+f ([0, 0, 1]) = 0+1 =
1 oraz f ([1, 0, 0]) = f ([1, −1, 1]) − f ([0, 1, −1]) = 0 − 0 = 0. Zatem dla
dowolnych x

, x

∈ R mamy, że f([x

, x

]) = x

· f ([1, 0, 0]) +

· f ([0, 1, 0]) + x

· f ([0, 0, 1]) = x

+ x

. Ale dim(Im f ) = 1, wi

dim(Ker f ) = 3 − 1 = 2. Ponadto V ⊆ Ker f oraz dim(V ) = 2, wi

V = Ker f . St

ad szukanym układem równań jest:

+ x

= 0.

Przykład 15.7. Znajdziemy układ jednorodny równań liniowych

nad ciałem R, którego przestrzeń rozwi

azań jest generowana przez wek-

tory: [1, −1, 1, −1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, −1, 7], [0, 2, −1, 1, 2].

Znajdujemy najpierw baz

e podprzestrzeni V generowanej przez

wektory: [1, −1, 1, −1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, −1, 7], [0, 2, −1, 1, 2].






0 3

1 −1

1 −1 1

1 −1 7

2 −1

1 2







−w

, w

−3w

≡







0 −2

1 −1 −2

0 −2

1 −1 −2

2 −1







, w

≡







1 1

0 0 3

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 2 −1 1 2







≡

1 1

0 0 3

0 2 −1 1 2

. Zatem baz

V jest {[1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, −1, 1, 2]} oraz dim V = 2. Ponieważ nasze
wektory maj

a 5 współrz

ednych, wi

ec szukany układ równań b

edzie si

Przekształcenia liniowe i ich zastosowania

127

składał z 5 − 2 = 3 równań.
Ponadto baz

a przestrzeni R

jest {[1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, −1, 1, 2],

[0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]}, wi

ec istnieje przekształcenie li-

niowe f : R

−→ R

takie, że

f ([1, 1, 0, 0, 3]) = [0, 0, 0],

(15.7)

f ([0, 2, −1, 1, 2]) = [0, 0, 0],

(15.8)

f ([0, 0, 1, 0, 0]) = [1, 0, 0],

(15.9)

f ([0, 0, 0, 1, 0]) = [0, 1, 0],

(15.10)

f ([0, 0, 0, 0, 1]) = [0, 0, 1].

(15.11)

Ponieważ wektory [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] tworz

a baz

e przestrzeni R

oraz należ

a do f (R

), wi

ec f (R

) = R

, czyli dim f (R

) = 3. Ale 5 =

dim R

= dim Ker(f ) + dim f (R

), wi

ec dim Ker(f ) = 5 − 3 = 2. Po-

nadto z (15.7) i (15.8) mamy, że V = lin([1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, −1, 1, 2]) ⊆
Ker(f ) oraz dim V = 2, wi

ec V = Ker(f ). Pozostaje zatem wy-

znaczyć wzór analityczny na takie przekształcenie f .

Niech ε

[1, 0, 0, 0, 0], ε

= [0, 1, 0, 0, 0], ε

= [0, 0, 1, 0, 0], ε

= [0, 0, 0, 1, 0],

= [0, 0, 0, 0, 1]. Wtedy dla dowolnych x

, x

∈ R:

, x

] = x

◦ ε

+ x

◦ ε

+ x

◦ ε

+ x

◦ ε

+ x

◦ ε

Zatem z liniowości przekształcenia f mamy, że f ([x

, x

]) =

◦ f (ε

) + x

◦ f (ε

) + x

◦ f (ε

) + x

◦ f (ε

) + x

◦ f (ε

Ze wzoru (15.8) mamy, że 2 ◦ f (ε

) − f (ε

) + f (ε

) + 2 ◦ f (ε

) =

[0, 0, 0], wi

ec 2 ◦ f (ε

) − [1, 0, 0] + [0, 1, 0] + 2 ◦ [0, 0, 1] = [0, 0, 0], sk

f (ε

) = [

1
2

, −

1
2

, −1].

Ze wzoru (15.7) mamy, że f (ε

) + f (ε

) + 3 ◦ f (ε

) = [0, 0, 0], czyli

f (ε

) + [

1
2

, −

1
2

, −1] + 3 ◦ [0, 0, 1] = [0, 0, 0], sk

ad f (ε

) = [−

1
2

, −2].

f ([x

, x

]) = x

◦[−

1
2

, −2]+x

◦[

1
2

, −

1
2

, −1]+x

◦[1, 0, 0]+x

◦

[0, 1, 0] + x

◦[0, 0, 1] = [−

1
2

+ x

1
2

−

1
2

+ x

, −2x

−x

+ x

Zatem V = Ker(f ) jest zbiorem rozwi

azań układu równań:







−

1
2

+ x

= 0

1
2

−

1
2

+ x

= 0

−2x

−

+ x

= 0

Literatura

[1] A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometri

a, PWN, Warszawa

1976.
[2] A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1971.
[3] L. Jeśmianowicz, J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa
1976.
[4] A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa 1984.
[5] A. I. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1995.
[6] A. Mostowski i M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, War-
szawa 1972.

128

Document Outline

Wstep
Pojecie ciala
Cialo liczb zespolonych I
Cialo liczb zespolonych II
Uklady równan liniowych
Wyznaczniki I
Wyznaczniki II
Rozwiniecie Laplace'a i wzory Cramera
- Rozwinicie Laplace'a
- Wzory Cramera
Algebra macierzy
Przestrzenie liniowe
Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Izomorfizmy. Sumy proste. Hiperplaszczyzny
Rzd macierzy
Przestrzenie ilorazowe
- Konstrukcja przestrzeni ilorazowej
- Baza i wymiar przestrzeni ilorazowej
Przeksztalcenia liniowe i ich zastosowania
Literatura

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 wyklad algebra liniowa
Wyklad7ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Wyklad8ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Wyklad2ALG2001a, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych
Wyklad5ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Wykład 4 - 2 sem, 2 Semestr, Analiza matematyczna i algebra liniowa
Wyklad6ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Egzamin z algebry, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszyc
Algebra liniowa i geometria kolokwia AGH 2012 13
Algebra Liniowa 2 Definicje Twierdzenia Wzory Jurlewicz Skoczylas
Egzamin z Algebry Liniowej 2004
Geometia i Algebra Liniowa
Poprawa 1 go kolokwium z algebry liniowej
do wydruku sc, WTD, algebra liniowa

więcej podobnych podstron

Ryszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej

Document Outline