Algebra liniowa 

1 

MB

 

 

Definicja 1 
Niech    i 

  będą  przestrzeniami  liniowymi.  Mówimy,  że  funkcja 

  jest  przekształceniem 

liniowym, jeżeli spełnia następujące warunki: 

 

 

Każde  przekształcenie  liniowe 

  nazywamy  funkcjonałem  liniowym  (formą  liniową)  na 

przestrzeni  . 
Każde przekształcenie liniowe 

 nazywamy operatorem liniowym na przestrzeni  . Doskonale 

znanym operatorem liniowym jest pochodna funkcji. 

 

Definicja 2 
Niech 

  będzie  przekształceniem  liniowym, 

  i 

  to 

bazy odpowiednio przestrzeni 

. Wówczas macierz 

 

gdzie 

. 

nazywa się macierzą przekształcenia   w bazach 

 i 

. 

 

Twierdzenie 1 
Niech 

  będzie  przekształceniem  liniowym.  Niech 

  i 

 

będą bazami odpowiednio przestrzeni   i  , macierz   macierzą przekształcenia   w bazach 

 i 

. 

Niech 

 ma współrzędne: 

 

w bazie  . Wówczas zachodzi wzór: 

 

 

Definicja 3 
Niech    będzie  przestrzenią  liniową,  funkcja 

  jest  formą  dwuliniową,  jeżeli  spełnia 

następujące warunki: 

 

(to znaczy   jest formą liniową ze względu na   i   przy ustalonym  ) 

 

(to znaczy   jest formą liniową ze względu na   i   przy ustalonym  )