Przestrzenie wektorowe- ogólnie. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014.

Wydział MiNI PW

Zadanie 5.1.

Niech V b˛edzie przestrzeni ˛

a wektorow ˛

a nad ciałem K oraz niech A, B ⊆ V b˛ed ˛

a niepustymi

podzbiorami zbioru V . Pokaza´c, ˙ze

(a) A ⊆ span(A),

(b) je´sli A ⊆ B, to span(A) ⊆ span(B),

(c) span(span(A)) ⊆ span(A).

Zadanie 5.2.

Niech V b˛edzie przestrzeni ˛

a wektorow ˛

a nad ciałem K oraz niech W ⊆ V b˛edzie jej podprze-

strzeni ˛

a. Pokaza´c, ˙ze span(W ) = W .

Zadanie 5.3.

Znale´z´c wymiar przestrzeni R

2

nad ciałem Q.

Zadanie 5.4.

Niech R

n

[x]

oznacza przestrze ´n wektorow ˛

a wielomianów stopnia co najwy ˙zej n o współczyn-

nikach rzeczywistych. Czy nast˛epuj ˛

ace podzbiory s ˛

a jej podprzestrzeniami:

(a) wielomiany, których pierwiastkiem jest pewna ustalona liczba r ∈ R,

(b) wielomiany, których pierwiastkiem k-krotnym jest pewna ustalona liczba r ∈ R,

(c) wielomiany, których pierwiastkiem co najmniej k-krotnym jest pewna ustalona liczba r ∈ R.

Zadanie 5.5.

Udowodni´c, ˙ze zbiór ci ˛

agów o wyrazach rzeczywistych R

N

tworzy przestrze ´n wektorow ˛

a

nad R. Czy nast˛epuj ˛

ace podzbiory s ˛

a jej podprzestrzeniami:

(a) ci ˛

agi ograniczone,

(b) ci ˛

agi zbie ˙zne,

(c) ci ˛

agi zbie ˙zne do 0,

(d) ci ˛

agi zbie ˙zne do 1,

(e) ci ˛

agi o prawie wszystkich wyrazach b˛ed ˛

acych zerem (prawie wszystkie = wszystkie poza sko ´nczon ˛

a

liczb ˛

a),

(f) ci ˛

agi, których suma kwadratów jest sko ´nczona,

(g) ci ˛

agi (a

n

)

takie, ˙ze a

n+1

= a

n

+ a

n−1

dla n > 1,

(h) ci ˛

agi (a

n

)

takie, ˙ze a

n

=

a

n+1

+a

n−1

2

dla n > 1,

Zadanie 5.6.

Udowodni´c, ˙ze nast˛epuj ˛

ace zbiory s ˛

a podprzestrzeniami przetrzeni wektorowej funkcji R

R

nad R:

(a) zbiór funkcji ci ˛

agłych,

(b) zbiór funkcji ró ˙zniczkowalnych,

(c) zbiór funkcji parzystych,

(d) zbiór funkcji nieparzystych,

(e) zbiór funkcji rosn ˛

acych,

(f) zbiór funkcji monotonicznych,

(g) U = {f : R → R | f (0) = f (1)},

(h) zbiór funkcji ograniczonych,

(i) zbiór funkcji okresowych,

(j) zbiór funkcji okresowych z okresem 2.

1

Przestrzenie wektorowe- ogólnie. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014.

Wydział MiNI PW

Zadanie 5.7.

W wybranych przykładach podprzestrzeni wektorowych z powy ˙zszych zada ´n znale´z´c baz˛e

i wymiar tych podprzestrzeni.

Zadanie 5.8.

Wykaza´c, ˙ze V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacj ˛

a mno-

˙zenia przez skalar

? : C × C → C; (z

1

, z

2

) 7→ z

1

? z

2

:= z

1

· z

2

,

jest przestrzeni ˛

a wektorow ˛

a nad ciałem C.

Zadanie 5.9.

Niech V b˛edzie rodzin ˛

a wszystkich podzbiorów zbioru X. Okre´slamy w V nast˛epuj ˛

ace dzia-

łania. Dla dowolnych A, B ∈ V (tj. A, B ⊆ X):

0 · A := ∅

1 · A := A

A + B := (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Wykaza´c, ˙ze V z tymi działaniami jest przestrzeni ˛

a wektorow ˛

a nad ciałem Z

2

.

Zadanie 5.10.

Sprawdzi´c, czy zbiór R

2

z dodawaniem po współrz˛ednych i mno ˙zeniem przez liczby rzeczy-

wiste zdefiniowanym nast˛epuj ˛

aco a ? (x, y) = (ax, y) jest przestrzeni ˛

a wektorow ˛

a nad R. Co je´sli mno ˙zenie

przez skalar zdefiniowane jest nast˛epuj ˛

aco: a ? (x, y) = (ax, 0)?

2