Przestrzenie wektorowe- ogólnie. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

Zadanie 5.1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K oraz niech A, B ⊆ V będą niepustymi podzbiorami zbioru V . Pokazać, że

(a) A ⊆ span(A),

(b) jeśli A ⊆ B, to span(A) ⊆ span(B),

(c) span(span(A)) ⊆ span(A).

Zadanie 5.2. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K oraz niech W ⊆ V będzie jej podprzestrzenią. Pokazać, że span(W ) = W .

Zadanie 5.3. Znaleźć wymiar przestrzeni 2

R nad ciałem Q.

Zadanie 5.4. Niech Rn[x] oznacza przestrze ń wektorową wielomianów stopnia co najwy żej n o współczyn-nikach rzeczywistych. Czy następujące podzbiory są jej podprzestrzeniami: (a) wielomiany, których pierwiastkiem jest pewna ustalona liczba r ∈ R, (b) wielomiany, których pierwiastkiem k-krotnym jest pewna ustalona liczba r ∈ R, (c) wielomiany, których pierwiastkiem co najmniej k-krotnym jest pewna ustalona liczba r ∈ R.

Zadanie 5.5. Udowodnić, że zbiór ciągów o wyrazach rzeczywistych RN tworzy przestrze ń wektorową nad R. Czy następujące podzbiory są jej podprzestrzeniami: (a) ciągi ograniczone,

(b) ciągi zbie żne,

(c) ciągi zbie żne do 0,

(d) ciągi zbie żne do 1,

(e) ciągi o prawie wszystkich wyrazach będących zerem (prawie wszystkie = wszystkie poza sko ńczoną liczbą),

(f) ciągi, których suma kwadratów jest sko ńczona, (g) ciągi (an) takie, że an+1 = an + an−1 dla n > 1, (h) ciągi (an) takie, że an = an+1+an−1 dla n > 1, 2

Zadanie 5.6. Udowodnić, że następujące zbiory są podprzestrzeniami przetrzeni wektorowej funkcji RR

nad R:

(a) zbiór funkcji ciągłych,

(b) zbiór funkcji ró żniczkowalnych,

(c) zbiór funkcji parzystych,

(d) zbiór funkcji nieparzystych,

(e) zbiór funkcji rosnących,

(f) zbiór funkcji monotonicznych,

(g) U = {f : R → R | f (0) = f (1)},

(h) zbiór funkcji ograniczonych,

(i) zbiór funkcji okresowych,

(j) zbiór funkcji okresowych z okresem 2.

1

Przestrzenie wektorowe- ogólnie. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW

Zadanie 5.7. W wybranych przykładach podprzestrzeni wektorowych z powy ższych zada ń znaleźć bazę i wymiar tych podprzestrzeni.

Zadanie 5.8. Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mno-

żenia przez skalar

? : C × C → C; (z1, z2) 7→ z1 ? z2 := z1 · z2, jest przestrzenią wektorową nad ciałem C.

Zadanie 5.9. Niech V będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X. Określamy w V następujące dzia-

łania. Dla dowolnych A, B ∈ V (tj. A, B ⊆ X): 0 · A := ∅

1 · A := A

A + B := (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Wykazać, że V z tymi działaniami jest przestrzenią wektorową nad ciałem Z2.

Zadanie 5.10. Sprawdzić, czy zbiór 2

R z dodawaniem po współrz ędnych i mno żeniem przez liczby rzeczy-wiste zdefiniowanym następująco a ? (x, y) = (ax, y) jest przestrzenią wektorową nad R. Co jeśli mno żenie przez skalar zdefiniowane jest następująco: a ? (x, y) = (ax, 0)?

2