będzie przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej określonej nad ciałem .
Definicja 1
Wartością własną tego przekształcenia nazywamy skalar
, taki że istnieje niezerowy wektor spełniający warunek
· . Wektor nazywamy wektorem własnym przekształcenia , odpowiadającym wartości własnej .
Twierdzenie 1
Niech będzie macierzą kwadratową stopnia pewnego przekształcenia liniowego . Skalar jest wartością własną tego przekształcenia (wartością własną macierzy) wtedy i tylko wtedy, gdy jest
miejscem
zerowym
wielomianu
det
,
zwanego
wielomianem
charakterystycznym.
Uwagi:
1. Przekształcenie przestrzeni liniowej ‐wymiarowej w siebie może mieć co najwyżej wartości własnych (macierz stopnia ma co najwyżej wartości własnych).
2. Jeżeli równanie det
0 nie ma rozwiązań w ciele , to przekształcenie liniowe nie ma wartości własnych, ani wektorów własnych.
3. Równanie det
0 nazywamy równaniem charakterystycznym.
Wektory własne odpowiadające wartości własnej wyznaczamy rozwiązując jednorodny układ równań:
·
· .
1