Macierz odwzorowania liniowego

Niech dane będą przestrzenie wektorowe i nad ciałem oraz odwzorowanie liniowe .

Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej , zaś bazą przestrzeni . Dla odwzorowania liniowego mamy

     (1.1)

dla pewnych skalarów , , . Inaczej zapisując

dla każdego .

Otrzymaliśmy więc macierz , która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe . Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania przy bazach i .

Jeśli mamy daną macierz , ustalone bazy w przestrzeniach , , to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego . Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz możemy traktować jako odwzorowanie liniowe dane przepisem (1.1), gdzie jest bazą kanoniczną przestrzeni , zaś jest bazą kanoniczną przestrzeni .

Jeśli jest macierzą odwzorowania i przez oznaczymy kolumny macierzy , to każda kolumna jest ciągiem współrzędnych wektora w bazie . Oznacza to, że układ kolumn macierzy można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie ) . Rząd odwzorowania jest więc rzędem układu wektorów macierzy .

Mamy więc

Twierdzenie 1.1 Jeśli jest macierzą odwzorowania przy pewnych bazach przestrzeni i , to .

Niech będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach , przestrzeni i odpowiednio, macierz odwzorowania jest sumą macierzy , gdzie jest macierzą odwzorowania a macierzą odwzorowania . A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe , , . Załóżmy ponadto, że jest bazą , jest bazą i jest bazą . Niech i będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez

macierze odwzorowania , i odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości

Z drugiej strony

Zatem

Oznacza to, że

Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli , to . Jeśli , to . W języku macierzy oznacza to, że oraz (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać).