Porównanie zmiennej w

dwóch

populacjach lub w jednej

populacji pomiar

dwukrotny

SKALA INTERWAŁOWA

Testy normalności:

T e s t K o ł m o g o r o w a – S m i r n o w a
Test służy do weryfikacji hipotezy o zgodności rozkładu badanej zmiennej
(zmierzonej na skali interwałowej) z rozkładem normalnym.

H

0

: zmienna pochodzi z populacji rozkładzie normalnym

H

1

: zmienna nie pochodzi z populacji rozkładzie normalnym

)

d

,

(d

max

-
n

n

d

gdzie

n

d

=

)

(

max

0

i

x

n

i

F

-
n

d

=

n

i

x

i

F

1

)

(

max

0

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

T e s t S h a p i r o – W i l k a
Test służy do weryfikacji hipotezy o zgodności rozkładu badanej zmiennej
(zmierzonej na skali interwałowej) z rozkładem normalnym.

H

0

: zmienna pochodzi z populacji rozkładzie normalnym

H

1

: zmienna nie pochodzi z populacji rozkładzie normalnym

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

Testy parametryczne

T e s t F i s h e r a – S n e d e c o r a
Test służy do weryfikacji hipotezy o równości wariancji badanej zmiennej w dwóch
populacjach.

W ar u nk i st o so wan i a t e st u :



Badana zmienna w obydwu populacjach ma rozkład zgodny z rozkładem
normalnym ( sprawdzić korzystając z testu normalności)

H

0

: δ

2

1

= δ

2
2

δ

2

1

, δ

2
2

- wariancje w pierwszej i drugiej populacji

H

1

: δ

2

1

δ

2
2

F=

2

2

2

1

ˆ

ˆ

S

S ; gdzie

2

1

ˆS

=

1

1

2

1

1

n

S

n

i

2

2

ˆS

=

1

2

2

2

2

n

S

n

1

n -

liczebność pierwszej próby

2

1

S

-wariancja w pierwszej próbie

1

n

-liczebność drugiej próby

2

1

S

-wariancja w drugiej próbie

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

T e s t t S t u d e n t a d l a p r ó b n i e p o w i ą z a n y c h
Test służy do weryfikacji hipotezy o równości średnich badanej zmiennej w dwóch
populacjach.

W ar u nk i st o so wan i a t e st u :



Badana zmienna w obydwu populacjach ma rozkład zgodny z rozkładem
normalnym ( sprawdzić korzystając z testu normalności)



Wariancje badanej zmiennej w obydwu populacjach są równe (sprawdzić
korzystając z testu Fishera – Snedecora)

H

0

: μ

1 =

μ

2

H

1

:

μ

1 ≠

μ

2

t=

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

S

n

S

n

x

x

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

T e s t C o c h r a n a - C o x a
Test służy do weryfikacji hipotezy o równości średnich badanej zmiennej w dwóch
populacjach.
W ar u nk i st o so wan i a t e st u :



Badana zmienna w obydwu populacjach ma rozkład zgodny z rozkładem
normalnym ( sprawdzić korzystając z testu normalności)



Wariancje badanej zmiennej w obydwu populacjach różnią się (sprawdzić
korzystając z testu Fishera – Snedecora)

H

0

: μ

1 =

μ

2

H

1

:

μ

1 ≠

μ

2

C=

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

n

S

n

S

x

x

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

T e s t t S t u d e n t a d l a p r ó b p o w i ą z a n y c h
Test służy do weryfikacji hipotezy o nieistotności średniej różnic badanej zmiennej
w populacji.
W ar u nk i st o so wan i a t e st u :



Badana zmienna ma rozkład zgodny z rozkładem normalnym ( sprawdzić
korzystając z testu normalności)

H

0

: μ

0=

0 (średnia różnic cechy w populacji jest równa zero)

H

1

:

μ

0 ≠

0 (średnia różnic cechy w populacji różni się od zera)

t=

1

n

SD

y

x

y

x

gdzie

y

x

-

średnia różnic cechy w próbie

y

x

SD

-

odchylenie standardowe dla średniej różnic

n

-

liczebność próby

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

Testy nieparametryczne

SKALA PORZĄDKOWA

T e s t M a n n a – W h i t n e y ’ a
Test służy do weryfikacji hipotezy o równości rozkładów badanej zmiennej w dwóch
populacjach.

W ar u nk i st o so wan i a t e st u :



pomiar cechy na skali porządkowej lub na skali interwałowej z brakiem
normalności rozkładu

H

0

: Rozkłady zmiennej w dwóch populacjach są takie same

H

1

: Rozkłady zmiennej w dwóch populacjach różnią się

12

1

2

2

1

2

1

2

1

n

n

n

n

n

n

U

Z

U=min(R

1

,R

2

)

R

1

- suma rang dla pierwszej próby R

2

- suma rang dla drugiej próby

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

T e s t W i l c o x o n a
Test służy do weryfikacji hipotezy o zgodności rozkładów badanej zmiennej
w dwóch populacjach

W ar u nk i st o so wan i a t e st u :



pomiar cechy na skali porządkowej lub na skali interwałowej z brakiem
normalności rozkładu

H

0

: Mediana różnic pomiędzy pomiarami jest równa zero

H

1

: Mediana różnic pomiędzy pomiarami jest różna od zera

24

1

2

1

4

1

n

n

n

n

n

T

Z

T=min(R

+

,R

-

)

R

+

- suma rang dla różnic dodatnich R

-

- suma rang dla różnic ujemnych

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

SKALA NOMINALNA

T e s t n i e z a l e ż n o ś c i

2

Test służy do weryfikacji hipotezy o braku zależności pomiędzy dwiema cechami
jakościowymi
W ar u nk i st o so wan i a t e st u :



pomiar cechy na skali nominalnej lub na skali porządkowej

H

0

: Nie istnieje zależność pomiędzy badanymi cechami

H

1

: Istnieje zależność pomiędzy cechami

2

=

w

i

k

j

ij

ij

ij

t

t

n

1

1

2

)

(

n

ij-

liczebności obserwowane (dane z tabeli dwudzielczej)

ij

t

-

liczebności oczekiwane

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

UWAGA1: Aby móc stosować test niezależności

2

należy z danych badania

utworzyć tabelę dwudzielczą (tablicę kontyngencji) o w-wierszach i k-kolumnach (w k)

UWAGA2: Podczas prowadzenia badań można zauważyć wpływ liczebności próby
na podejmowane decyzje. W przypadku testu

2

można to przedstawić:

a) jeżeli n>40 i wszystkie

ij

t

1

>5,

to stosujemy test

2

b) jeżeli n>40 i którakolwiek

ij

t

<=5,

to stosujemy test

2

z poprawką Yates’a

c) jeżeli 20<n<=40 i wszystkie

ij

t

>5,

to stosujemy test

2

z poprawką Yates’a

d) jeżeli 20<n<=40 i którakolwiek

ij

t

<=5

, to stosujemy test dokładny Fishera

e) jeżeli n<=20, to stosujemy test dokładny Fishera.

T e s t M c N e m a r a
Test służy do weryfikacji hipotezy o równości proporcji osób z cechą występującą
w obydwu okolicznościach

W ar u nk i st o so wan i a t e st u:



pomiar cechy na skali nominalnej o dwóch kategoriach

H

0

: Proporcje osób z badaną cechą są takie same w obydwu grupach w populacji

H

1

: Proporcje osób z badaną cechą są nie są takie same

2

=

c

b

c

b

2

)

(

Jeżeli p<=0,05 to H

0

odrzucamy, przyjmując H

1

Jeżeli p>0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

UWAGA: Aby móc stosować test niezależności

2

należy z danych badania

utworzyć tabelę dwudzielczą o wymiarach (2 2).

przykład tabeli dla prób powiązanych:

Przed Po

0

1

Razem

0

a

b

a+b

1

c

d

c+d

Razem

a+c

b+d

a+b+c+d=n

b, c – liczby przypadków, w których nastąpiły zmiany kategorii
a, d – liczby przypadków, w których nie było zmian kategorii

1

jeżeli nie ma możliwości wyznaczenia

ij

t

, wtedy ocenie podlega

ij

n

Poprawione wzory