Estymacja parametrów rozkładów

Artur Wilkowski

11 maja 2014

Teoretyczny model wyników pomiaru

Teoretyczny model wyników pomiaru

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 2 z 20

Teoretyczny model wyników pomiaru

Wykonujemy n pomiarów tej samej wielkości. Każdy pomiar jest
obarczony błędem losowym

x

ob
i

= x + ε

i

, dla i = 1, . . . , n

Zakładamy, że błędy losowe się ”znoszą”, czyli E(ε

i

) = 0. Wtedy:

E(x

ob
i

) = x

W praktyce geodezyjnej posługujemy się pojęciem ”poprawki”,
czyli v

i

= −ε

i

, wtedy

v

i

= x − x

ob
i

o tyle trzeba ”poprawić” zaburzoną obserwację, żeby uzyskać
wartość dokładną.

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 3 z 20

Teoretyczny model wyników pomiaru

W praktyce nie mamy dostępu do wartości ”prawdziwej” pomiaru
x

i

ani do ”prawdziwej” poprawki v

i

. Zamiast tego na podstawie

obserwacji x

ob

i

, obliczamy estymator wartości prawdziwej x:

ˆ

x = ˆ

E(x

ob

).

Estymator można interpretować jako estymator wartości
oczekiwanej obserwacji - które są zmiennymi losowymi.
Należy pamiętać, że estymator ˆ

x bardzo rzadko jest równy wartości

prawdziwej ˆ

x, jest obarczony pewnym błędem losowym

ˆ

x = x + η

Estymator poprawki można wtedy przedstawić jako

ˆ

v

i

= ˆ

x − x

ob
i

= v

i

+ η

Należy pamiętać, że:

ˆ

x - nie jest wartością prawdziwą estymowanej wartości

ˆ

v

i

- nie jest wartością prawdziwą poprawki

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 4 z 20

Teoretyczny model wyników pomiaru

Najprostszy model funkcjonalny (dokonujemy n pomiarów jednej
wielkości)



























v

1

= x − x

ob

1

v

2

= x − x

ob

2

..

.

v

n

= x = x

ob

n

W postaci macierzowej

V = 1

n

x − x

ob

gdzie

V =









v

1

v

2

..

.

v

n









1

n

=









1
1

..

.

1









x

ob

=









x

ob

1

x

ob

2

..

.

x

ob

n









A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 5 z 20

Teoretyczny model wyników pomiaru

Model uogólniony (liniowy)

V = x − x

ob

oraz



























x

1

= a

11

X

1

+ a

12

X

2

+ . . . a

1r

X

r

+ w

1

x

2

= a

21

X

1

+ a

22

X

2

+ . . . a

2r

X

r

+ w

2

· · ·

x

n

= a

n1

X

1

+ a

n2

X

2

+ . . . a

nr

X

r

+ w

n

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 6 z 20

Teoretyczny model wyników pomiaru

W postaci macierzowej

x = AX + w

gdzie

x =









x

1

x

2

..

.

x

n









A =








a

11

a

12

· · ·

a

1r

a

21

a

22

· · ·

a

2r

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

a

n1

a

n2

· · ·

a

nr








X =









X

1

X

2

..

.

X

r









X jest nazywany wektorem parametrów.

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 7 z 20

Przykład. Sieć niwelacyjna - model wyników pomiaru















































h

1−2

= h

2

− h

1

h

2−1

= h

1

− h

2

h

1−3

= h

3

− h

1

h

2−3

= h

3

− h

2

h

101−2

= h

2

− 156.482

h

1−101

= 156.482 − h

1

Porządkujemy wyrazy















































h

1−2

=

− h

1

+

h

2

h

2−1

=

h

1

− h

2

h

1−3

=

− h

1

+

h

3

h

2−3

=

− h

2

+

h

3

h

101−2

=

h

2

− 156.482

h

1−101

=

− h

1

+

156.482

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 8 z 20

W zapisie wektorowo-macierzowym

A =












−1

1

0

1

−1 0

−1

0

1

0

−1 1

0

1

0

−1

0

0












x =












h

1−2

h

2−1

h

1−3

h

2−3

h

101−2

h

1−101












X =






h

1

h

2

h

3






w =












0
0
0
0

−156.482

156.482












Wartości (przewyższenia) faktycznie zaobserwowane np.

x

obs

=












−1.235

1.229
9.992

11.232

−9.495
−8.250












A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 9 z 20

Macierze kowariancji kofaktorów i wag

Macierze kowariancji kofaktorów i wag

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 10 z 20

Macierze kowariancji, kofaktorów i wag.

Przyjmujemy, że obserwacji są między sobą niezależne, dlatego
macierz kowariancji wyników obserwacji ma postać

C

x

ob

=








σ

2

1

0

· · ·

0

0

σ

2

2

· · ·

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

0

· · ·

σ

2

n








W praktyce wariancje zastępujemy kofaktorami - błędami średnimi
pomiaru

C

x

ob

= σ

2

0

Q

X

ob

gdzie σ

2

0

- nieznany współczynnik wariancji, natomiast Q

X

ob

ma

postać

Q

x

ob

=








q

1

0

· · ·

0

0

q

2

· · ·

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

0

· · ·

q

n








=








m

2

1

0

· · ·

0

0

m

2

2

· · ·

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

0

· · ·

m

2

n








A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 11 z 20

Macierze kowariancji, kofaktorów i wag.

Macierzą wag jest macierz proporcjonalna do odwrotności macierzy
kofaktorów

P = cQ

−1
x

ob

=









c

m

2
1

0

· · ·

0

0

c

m

2
2

· · ·

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

0

· · ·

c

m

2

n









=








p

1

0

· · ·

0

0

p

2

· · ·

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

0

· · ·

p

n








gdzie c > 0 jest pewną stałą. Na rozwiązanie problemu
estymacji parametrów wpływają stosunki między wagami, nie
ich bezwzględne wartości.
Relacja między macierzą kowariancji i wag

C

x

ob

=

1

c

σ

2

0

P

−1

lub przyjmując c = 1

C

x

ob

= σ

2

0

P

−1

oraz P = σ

2

0

C

−1

X

ob

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 12 z 20

Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji

Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych

obserwacji

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 13 z 20

Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji

Problem I. Estymacja wektora wartości oczekiwanych obserwacji,
czyli estymacja ”prawdziwych” wartości pomiarów.

E(x

ob

) = x

Stosujemy metodę ”najmniejszych kwadratów”. Kryterium
optymalizacyjnym jest

min

X

(

ζ(X) =

X

i=1...n

p

i

v

2

i

)

= ζ( ˆ

X) =

X

i=1...n

p

i

ˆ

v

2

i

Procedura estymacji (metoda pośrednia):

1

Estymujemy wartości parametrów X

1

, . . . , X

r

, czyli

ˆ

X

1

, . . . , ˆ

X

r

2

Korzystając z modelu obliczamy poszukiwany estymator

ˆ

E(x

ob

) = ˆ

x = A ˆ

X + w

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 14 z 20

Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji

Z modelu wiemy, że V = x − x

ob

oraz x = AX + w, zatem

V = AX + w − x

ob

|

{z

}

L

zatem

V = AX + L

gdzie L = w − x

ob

jest wektorem wyrazów wolnych. Zakładamy, że

A jest macierzą kolumnowo pełnego rzędu i f = n − r jest liczbą
obserwacji nadliczbowych.
Przy tych oznaczeniach kryterium optymalizacyjne metody
najmniejszych kwadratów.

ζ(x) =

n

X

i=1

p

i

v

2

i

= V

T

P V

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 15 z 20

Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji

Przy takich założeniach estymatorem wartości oczekiwanej
parametrów X

1

, . . . , X

r

jest

ˆ

X = −(A

T

P A)

−1

A

T

P L

Natomiast poszukiwanym estymatorem najmniejszych kwadratów
wektora wartości oczekiwanych E(x

ob

) = x jest

ˆ

x = ˆ

E(x

ob

) = A ˆ

X + w

Jeżeli x

ob

ma rozkład normalny, powyższy estymator jest też

estymatorem największej wiarygodności.

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 16 z 20

Estymacja punktowa współczynnika wariancji

Estymacja punktowa współczynnika wariancji

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 17 z 20

Estymacja punktowa współczynnika wariancji

Problem II. Naszym celem jest estymacja macierzy kowariancji
C

x

ob

. Ponieważ macierz kowariancji wektora obserwacji, jest w

relacji do macierzy wag P

C

x

ob

= σ

2

0

P

−1

więc zadanie należy rozpocząć od określenia estymatora
współczynnika wariancji σ

2

0

. Załóżmy, że znamy już estymatory

wartości oczekiwanej wektora parametrów ˆ

X oraz poprawek ˆ

V

(

ˆ

X = −(A

T

P A)

−1

A

T

P L

ˆ

V = A ˆ

X + L

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 18 z 20

Estymacja punktowa współczynnika wariancji

Estymator kwadratowy współczynnika wariancji (nieobciążony,
niezmienniczy wzgl. X i najefektywniejszy), wyraża się jako

ˆ

σ

2

0

=

1

n − r

ˆ

V

T

P ˆ

V = m

2
0

m

0

jest również nazywane błędem średnim typowej obserwacji.

Jeżeli x

ob

ma rozkład normalny, powyższy estymator jest też

estymatorem największej wiarygodności.

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 19 z 20

Przypadki szczególne

Przypadki szczególne

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 20 z 20

Przypadki szczególne

1

n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, każdy pomiar
ma identyczną wariancję

ˆ

x =

1

n

P

n
i=1

x

ob
i

ˆ

σ

2

=

1

n−1

P

n
i=1

ˆ

v

2

i

2

n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, pomiary mają
różne wariancje

ˆ

x =

P

n

i=1

p

i

x

ob
i

P

n

i=1

p

i

ˆ

σ

0

2

= ˆ

V P ˆ

V

T

=

1

n−1

P

n
i=1

p

i

ˆ

v

2

i

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 21 z 20

[1] P. Grzegorzewski, K. Bobecka, A. Dembińska, J. Pusz.

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka.

Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania, 2001.

[2] J. Jakubowski, R. Sztencel.

Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego.

SCRIPT, 2002.

[3] Zbigniew Wiśniewski.

Rachunek Wyrównawczy w Geodezji (z przykładami).

Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w
Olsztynie, 2009.

A. Wilkowski

Estymacja parametrów rozkładów 22 z 20