ESTYMACJA PUNKTOWA

Optymalność

Własności

Parametr θ

Estymator Tn E(Tn) D2(Tn)

w sensie

Uwagi

estymatora

metody

2

1) nieobciążony

n

1

σ

MM,

x = ∑ x

µ

2) zgodny

i

MNK,

n

n

3) najbardziej

i=1

wartość

MNW

efektywny*

średnia

µ

 1 

2

π σ

metoda

zbiorowość generalna

mediana z próby

µ + O 

⋅

1) zgodny

 n 

2

n

kwantyli

normalna, duża próba

częstość względna z

wskaźnik

próby

p 1

( − p) 1) nieobciążony struktury p

m

p

2) zgodny

MNW

m-liczba obserwacji

pˆ =

n

3) najbardziej

wyróżnionych w próbie

n

efektywny

2

S

1) nieobciążony

* =

4

η −σ

2) zgodny

MNW

n

2

4

= 1 ∑

σ

( x

µ ) 2

3) najbardziej

(zał: X:N)

i −

n

n i=1

efektywny *

η σ

4 −

4

2

S

wariancja

=

+

n

MM,

2

n

n −1

σ

= 1

∑

2

( x

x ) 2

σ

1) zgodny

MNW

i −

η

n

n

(zał: X:N)

- czwarty moment

4

i=1

 1 

+ 

o



centralny

n

 

4

2

ˆ S =

η σ

4 −

+

n

n

= 1 ∑ ( x x ) 2

2

1) nieobciążony

i −

____

n −1

σ

2) zgodny

i=1

 1 

+ 

o



 n 

η − 4

σ

4

+

odchylenie

2

 1 

4σ n

jak dla

standardowe

S S , Sˆ

σ + O 

1) zgodny

estymatorów

σ

*

 n 



wariancji

+ 1

o





 n 

współcz.

1

(

2

− ρ )2

korelacji

r

 1 

MM,

wzór na wariancję

ρ + O

liniowej

(współ. korel.

 

n − 1

1) zgodny

MNW

ważny dla bardzo

ρ

 n 

liniowej Pearsona)

(zał: X:N) dużych n

* Najwyższą efektywność ustalono przy założeniu normalnego rozkładu w populacji generalnej MM – metoda momentów, MNK – metoda najmniejszych kwadratów, MNW – metoda największej wiarygodności Źródło: Pawłowski Z. (1966). Wstęp do statystyki matematycznej. PWN, Warszawa, s.298-299

Pawłowski Z. (1980). S tatystyka matematyczna. PWN, Warszawa, s.102-106

3

Błąd średniokwadratowy estymatora MSE(Tn)=D2(Tn)+[B(Tn)]2

MSE(Tn)=E(Tn- θ )2 – błąd średniokwadratowy estymatora (ang. Mean Square Error) MSE(T ) jest miarą dokładności estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się n

od rzeczywistej wartości parametru.

Czym mniejszy MSE (pierwiastek z MSE) tym większa dokładność.

D2(T

2

n)= E(Tn- E(Tn))2 – wariancja estymatora (

(

D T ) = D (T ) - średni błąd szacunku estymatora) n

n

(

D T ) jest miarą precyzji estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się od n

wartości oczekiwanej estymatora.

Czym mniejsza wariancja (średni błąd szacunku) tym większa precyzja.

B(Tn)=E(Tn)- θ - obciążenie estymatora Gdy obciążenie estymatora wynosi zero to estymator jest nieobciążony czyli oszacowania nie są obciążone błędem systematycznym. Gdy natomiast obciążenie jest różne od zera to estymator jest obciążony, czyli oszacowania są obciążone błędem systematycznym.

Uwaga:

Jeśli estymator Tn jest nieobciążony (czyli gdy E(Tn)=Υ) wówczas MSE(Tn)=D2(Tn) i przy interpretacji błędu szacunku (

D T ) można skorzystać z interpretacji pierwiastka błędu średniokwadratowego MSE(T )

n

n

Własności estymatorów

Estymator nazywa się nieobciążonym, jeśli E(Tn)=θ (czyli B(Tn)=0) Estymator nazywa się asymptotycznie nieobciążonym, jeśli 0

lim (

B T ) =

n

n→∞

Estymator nazywa się zgodnym, jeśli lim {

P T

przy każdej dowolnie małej dodatniej wartości ε .

n − θ < ε }= 1

n→∞

Tw. Jeśli 0

lim D2 (T ) = i estymator jest nieobciążony lub asymptotycznie nieobciążony to estymator jest n

n→∞

zgodny

Nieobciążony estymator *

T nazywamy efektywnym jeśli ma najmniejszą wariancję ze wszystkich n

estymatorów należących do klasy estymatorów nieobciążonych.

Wskaźnik efektywności estymatora Tn (gdzie *

T jest estymatorem efektywnym): n

2

*

e(T =

; e(T

n )∈<

1

,

0 >

n )

D (Tn )

D2 (T )

n

4